2023年中考数学专项汇编 【函数】题型精练 二次函数

这是一份2023年中考数学专项汇编 【函数】题型精练 二次函数，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二次函数（精练）
A基础训练 B能力提升
A基础训练
一、单选题
1．（2022春·辽宁葫芦岛·九年级期中）抛物线的项点坐标是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022春·吉林长春·九年级期末）抛物线的对称轴是直线（    ）
A． B． C． D．
3．（2022春·北京东城·九年级北京二中期末）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线所对应的函数解析式为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2022春·天津河北·九年级天津二中期末）二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（    ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
5．（2022春·广东广州·九年级广州市知用学校阶段练习）已知二次函数，若，是该二次函数图象上的两点，且，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022春·广东深圳·九年级期末）已知二次函数，则该函数的图象可能为（    ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线.分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（    ）

A．①⑤ B．①②⑤ C．③④ D．②③④
8．（2022春·吉林长春·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和5，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．或
9．（2022春·吉林·九年级期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022春·江苏扬州·九年级阶段练习）已知关于x的函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
11．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③，是图像上两点，则；④；⑤若且，则．其中正确结论有（    ）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①③④⑤
12．（2022春·广东广州·九年级广州大学附属中学阶段练习）如图，抛物线与轴交于点A、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则关于的方程的两根为，，其中正确的结论有（    ）个．

A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，而且左右两条抛物线关于轴对称，右边的抛物线解析式是______．

14．（2022春·吉林长春·九年级期末）如图是抛物线型拱桥截面，当拱顶离水面4时，水面宽6．若水面上升1，则水面宽度为______．

15．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集是 __．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数，当，y的最小值是，最大值是，则______．
三、解答题
17．（2022春·辽宁葫芦岛·九年级期中）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．

(1)求a的值
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．



18．（2022春·广东阳江·九年级期末）如图，喷泉的喷头喷出的水珠在空中形成抛物线，在抛物线各个位置上水珠的竖直高度y（单位：m）与它喷头的水平距离x（单位：m）满足函数关系式．

(1)求水珠运动过程中距离地面的最大高度；
(2)观赏的人站在距离喷头水平距离的地方，会不会恰好被喷泉喷出的水打湿？请说明理由．






19．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，直线经过点和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点，若的面积为

(1)求点的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由．







B能力提升
20．（2022·九年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：经过点．

(1)求抛物线C的表达式；
(2)将抛物线C沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
(3)将抛物线C沿直线翻折，得到的图象记为，设C与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．





21．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数（m为常数）．
(1)若该二次函数的图象经过点，求m的值；
(2)求证：无论m取何值，二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．






22．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程的根所在的范围．
第一步：画出函数的图象，发现图象是一条连续不断的曲线．
第二步：因为当时，；当时，，所以图象与轴的一个公共点的横坐标在0，1之间，所以可确定方程的一个根所在的范围是．
第三步：通过取0和1的平均数缩小所在的范围；
取，因为当时，，又因为当时，，所以．
(1)请仿照第二步，通过运算验证的另一个根所在范围是；
(2)小明在的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将所在范围缩小，得到的近似值约为，请问小明的这个结论是否正确，并说明理由．






23．（2022·全国·九年级专题练习）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：
x/m
0
10
20
30
40
50
60
y/m
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8


下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是　　的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为　　m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
(3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点　　（填写“高”或“低”）约　　m（结果保留小数点后一位）．

答案与解析
A基础训练
一、单选题
1．（2022春·辽宁葫芦岛·九年级期中）抛物线的项点坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：抛物线的项点坐标是．
故选：D
2．（2022春·吉林长春·九年级期末）抛物线的对称轴是直线（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
∴对称轴是直线；
故选：B
3．（2022春·北京东城·九年级北京二中期末）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线所对应的函数解析式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为，即为．
将抛物线向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为．
故选D．
4．（2022春·天津河北·九年级天津二中期末）二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（    ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
【答案】C
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，
得到抛物线，即，
故选：C．
5．（2022春·广东广州·九年级广州市知用学校阶段练习）已知二次函数，若，是该二次函数图象上的两点，且，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，是函数的图象上的两点，且，
，
化简整理得，，
，
实数的取值范围是，
故选：D．
6．（2022春·广东深圳·九年级期末）已知二次函数，则该函数的图象可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，
所以可排除A、C两个选项，
当时，对称轴，故B选项不符合题意，
当时，对称轴，故D选项符合题意，
故选：D．
7．（2022春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线.分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（    ）

A．①⑤ B．①②⑤ C．③④ D．②③④
【答案】A
【详解】解：∵，
∴无论x取何值，的值总是正数，所以①正确；
∵抛物线过点，
则有，
解得，
所以②不正确；
∵，，
当时，，，
∴，所以③不正确；
观察图像可知当时，；
时，；
时，．
所以④不正确；
∵抛物线，其对称轴为直线，
抛物线，其对称轴为直线，
又∵两抛物线交于点，
∴结合抛物线对称性，可求得，，
则，，所以，所以⑤正确．
故选：A．
8．（2022春·吉林长春·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和5，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的下方，
不等式的解集是，
故选：C．
9．（2022春·吉林·九年级期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①由图象可知：，，
∴，故①正确；
②由图象可知：，
∴，故②错误；
③∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，故③错误，
④∵抛物线对称轴为直线，，
又当时，，
∴当时，，故④正确；
∴正确的一共有2个，
故选：B．
10．（2022春·江苏扬州·九年级阶段练习）已知关于x的函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴函数的对称轴为，二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴，即．
故选：C．
11．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③，是图像上两点，则；④；⑤若且，则．其中正确结论有（    ）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①③④⑤
【答案】D
【详解】解：抛物线的开口向下：，
对称轴为：，，
与轴的交点位置在轴的正半轴上：，
∴，故①正确；
抛物线与轴有两个交点，
∴，故②错误；
由图象可知：时，随的增大而减小，
由抛物线的对称性可知：与的函数值相同，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵和的函数值相同，
由图象可知：当时：，
∴，故④正确；
若且，
则：，
∴关于对称轴对称，
∴；故⑤正确；
综上，正确的是：①③④⑤；
故选D．
12．（2022春·广东广州·九年级广州大学附属中学阶段练习）如图，抛物线与轴交于点A、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则关于的方程的两根为，，其中正确的结论有（    ）个．

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可知抛物线开口向下，
∴．
抛物线对称轴在轴右侧，则，
∴．
∵抛物线与轴的交点位于x轴上方，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵，
∴，
解得：．
∵该抛物线对称轴为直线，
∴，
∴此时，与图象不符，故②错误，不符合题意；
∵该抛物线对称轴为直线，，则，
∴点离函数对称轴远．
∵抛物线开口向下，，
∴，故③错误，不符合题意；
∵抛物线经过点，则抛物线过点，
∵二次函数的对称轴也是直线，
∴抛物线过点，
∴方程的两根不可能为，，故④错误，不符合题意．
综上可知正确的结论只有①1个．
故选A．
二、填空题
13．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，而且左右两条抛物线关于轴对称，右边的抛物线解析式是______．

【答案】
【详解】解：，
顶点坐标为：，
∵左右两条抛物线关于轴对称，
∴右边抛物线的顶点坐标为：，
∴右边的抛物线解析式是：；
故答案为：．
14．（2022春·吉林长春·九年级期末）如图是抛物线型拱桥截面，当拱顶离水面4时，水面宽6．若水面上升1，则水面宽度为______．

【答案】
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，
由已知可得，点在此抛物线上，
则，
解得，
∴，
当时，，
解得，
此时水面的宽度为，
故答案为：．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集是 __．
【答案】或或
【详解】解：分两种情况：
当时，当或时，直线在抛物线的下方，
关于的不等式的解集是或；
当时，当时，直线在抛物线的下方，
关于的不等式的解集是；
综上，关于的不等式的解集是或或，
故答案为：或或．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数，当，y的最小值是，最大值是，则______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵二次函数，
∴当时，取得最小值，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，时取得最小值，时取得最大值，
即，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
当时，时，取得最小值，时取得最大值
或时，取得最小值，时取得最大值，
即，或，，
解得，或（不合题意，舍去）；
，（不合题意，舍去），由上可得，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（2022春·辽宁葫芦岛·九年级期中）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．

(1)求a的值
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
∵图象的对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）∵，
∴二次函数的表达式为，
即抛物线与y轴交于点，
将该点向下平移5个单位即是原点，
∴抛物线向下平移5个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．
18．（2022春·广东阳江·九年级期末）如图，喷泉的喷头喷出的水珠在空中形成抛物线，在抛物线各个位置上水珠的竖直高度y（单位：m）与它喷头的水平距离x（单位：m）满足函数关系式．

(1)求水珠运动过程中距离地面的最大高度；
(2)观赏的人站在距离喷头水平距离的地方，会不会恰好被喷泉喷出的水打湿？请说明理由．
【答案】(1)8
(2)不会恰好被喷泉喷出的水打湿，理由见解析
【详解】（1）∵，
∴顶点坐标为，
∴y的最大值为8，
∴水珠运动过程中距离地面的最大高度为8；
（2）当时，
∴不会恰好被喷泉喷出的水打湿．
19．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，直线经过点和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点，若的面积为

(1)求点的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
∵直线l过点和两点，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
（2）把点代入得：，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（3）能，理由如下：
设将抛物线上下平移后的解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴能将抛物线向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A，
平移后的解析式为：．
B能力提升
20．（2022·九年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：经过点．

(1)求抛物线C的表达式；
(2)将抛物线C沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
(3)将抛物线C沿直线翻折，得到的图象记为，设C与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）∵抛物线C：经过点，
∴．
∴．
∴抛物线C的表达式为．
（2）∵抛物线C：，
∴抛物线C的顶点为，如图1，
点关于直线的对称点为．
∴抛物线的顶点坐标为．

（3）∵抛物线C：，
∴抛物线的对称轴为，
∵正方形的边长为2，
∴正方形的顶点B的坐标为，如图2．
∴ ．
∴．

21．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数（m为常数）．
(1)若该二次函数的图象经过点，求m的值；
(2)求证：无论m取何值，二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)m的取值范围是
【详解】（1）解：把点代入抛物线中，得
，
解得：；
（2）证明：
，
∵无论m取何值，，
∴，
∴二次函数图象与x轴必有两个交点．
（3）解：设平行于x轴的直线为，
∵直线与该二次函数的图象交于点A，B，
∴，
整理得，，
若是方程的两根，则是直线与抛物线交点A，B的横坐标，
∴，
由题意得，，
解得，．
∴m的取值范围是．
22．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程的根所在的范围．
第一步：画出函数的图象，发现图象是一条连续不断的曲线．
第二步：因为当时，；当时，，所以图象与轴的一个公共点的横坐标在0，1之间，所以可确定方程的一个根所在的范围是．
第三步：通过取0和1的平均数缩小所在的范围；
取，因为当时，，又因为当时，，所以．
(1)请仿照第二步，通过运算验证的另一个根所在范围是；
(2)小明在的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将所在范围缩小，得到的近似值约为，请问小明的这个结论是否正确，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)小明的这个结论不正确，理由见解析
【详解】（1）因为当时，；当时，，
所以方程的另一个根所在的范围是．

（2）小明的这个结论不正确，理由如下：
取，因为当时，，
又因为当时，，
所以．
故小明的这个结论不正确．
23．（2022·全国·九年级专题练习）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：
x/m
0
10
20
30
40
50
60
y/m
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8


下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是　　的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为　　m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
(3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点　　（填写“高”或“低”）约　　m（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)图见解析
(2)抛物线；14.5
(3)高；2.8
【详解】（1）解：（1）根据表中的数据在平面直角坐标系描出个点，用光滑曲线将各个点连接起来，如图所示：

（2）解：由图象可知，曲线可看作抛物线的一部分，
设该抛物线的解析式为：，
将，，代入，得，
解得，
∴．
当时，y最大，
∴当水平距离为时，达到最高；
故答案为：抛物线；14.5；
（3）解：甲最高为，
∴，
故答案为：高；2.8．