2023年中考数学专项汇编 【数与式】题型精讲 分式

这是一份2023年中考数学专项汇编 【数与式】题型精讲 分式，共84页。试卷主要包含了分式，最简分式，约分，通分，最简公分母，先化简，再求值，计算，在计算时，小亮的计算过程如下等内容，欢迎下载使用。
分式（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：分式的定义
题型二：分式有意义的条件
题型三：分式的值
题型四：分式的基本性质
角度1：判断分式变形是否正确
角度2：利用分式基本性质变形成立条件
角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化
角度4：分式分子分母最高项化正
角度5：分式分子分母系数化整
题型五：约分与最简分式
题型六：通分与最简公分母
题型七：分式的运算
角度1：分式的加减
角度2：分式的乘除
角度3：分式的混合运算
角度4：分式化简求值
角度5：整数指数幂运算
角度6：负指数幂与科学记数法
第四部分：中考真题感悟

第一部分：知识点精准记忆
知识点一：分式的有关概念
1．分式：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．对于分式来说：
①当时，分式有意义；
②当时，分式没有意义；
③只有在同时满足且这两个条件时，分式的值才是零．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
3．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分时，如果分式的分子或分母是多项式，要先分解因式，再约去分子和分母所有的公因式.
4．通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.
5．最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
确定最简公分母步骤：
①定系数：取各分母系数的最小公倍数；
②定字母：取分式分母中的所有字母；
③定指数：取各个字母的最高指数
知识点二：分式的基本性质
1．基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
即 （）或 （），其中是整式.
2．符号法则：分子、分母与分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
即.
知识点三：分式的运算
1、分式的加减
①同分母：分母不变，分子相加减：
②异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减：
2、分式的乘除和乘方
①乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：
②除法：把除式的分子分母颠倒位置，与被除式相乘：（）
③乘方：分式的乘方要把分子，分母分别乘方:（为正整数）
3、分式的混合运算顺序：先乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面．
第二部分：课前自我评估测试
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
2．（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
5．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）当时，求的值
第三部分：典型例题剖析
题型一：分式的定义
典型例题
例题1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学八年级阶段练习）下列代数式中，是分式的是（　　　）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（    ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二：分式有意义的条件
典型例题
例题1．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）的取（   ）值时，代数式有意义．
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·八年级单元测试）在函数中，自变量的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．
例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是__________．
同类题型归类练
1．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是______．
2．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）函数y＝的自变量x的取值范围是_____．

题型三：分式的值
典型例题
例题1．（2022·湖北·建始县花坪民族中学九年级期中）若，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．1
例题2．（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）若成立，则的取值范围是______________
例题3．（2022·浙江舟山·七年级期末）若表示一个整数，则整数可取的个数有______个．
例题4．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题
我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如

．
(1)下列分式中，属于真分式的是（    ）
A．    B．    C．    D．
(2)将假分式，化成整式和真分式的和的形式．
(3)当取哪些整数时，分式的值也是整数？



同类题型归类练
1．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校九年级阶段练习）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）已知，则的值是（    ）
A．－5 B．5 C．－4 D．4
3．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）已知a2+b2＝6ab，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．±2
4．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知，那么分式的值为__．


题型四：分式的基本性质
角度1：判断分式变形是否正确
典型例题
例题1．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）已知，则下列各式中不正确的是（   ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·江苏南京·八年级期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·福建省泉州实验中学八年级阶段练习）下列代数式变形正确的是（　　）
A．＝﹣ B． C．＝ D．＝

同类题型归类练
1．（2022·江苏·靖江市滨江学校八年级阶段练习）下列式子从左至右变形不正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）下列代数式变形正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2022·山东烟台·八年级期末）已知，则下列说法错误的是（    ）
A． B． C． D．

角度2：利用分式基本性质变形成立条件
典型例题
例题1．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的和都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（    ）
A．2 B． C． D．
例题2．（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ）
A．2 B． C． D．
例题3．（2022·江西景德镇·八年级期末）利用分式的基本性质填空：．

同类题型归类练
1．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）若＝成立，则x的取值范围是___




角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化
典型例题
例题1．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大10倍，则分式的值（    ）
A．缩小10倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
例题2．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．无法确定
例题3．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）．
例题4．（2022·山东济南·八年级期中）阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，
则，，①；
所以②．
(1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．









同类题型归类练
1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（    ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍
3．（2022·浙江·湖州市埭溪镇上强中学七年级阶段练习）将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ）
A．不变 B．扩大为原来的9倍
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
4．（2022·福建·厦门外国语学校八年级阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（    ）．
A．26 B．28 C．30 D．32
5．（2022·广东·佛山市顺德区文德学校八年级阶段练习）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小到原来的 D．扩大9倍

角度4：分式分子分母最高项化正
典型例题
例题1．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校模拟预测）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝_____．
例题2．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
①；②；③；④．
例题3．（2022·陕西渭南·八年级期末）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母
……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；
(2)请把以上解分式方程过程补充完整．



同类题型归类练
1．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．




2．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）小明在解分式方程时，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 　 　、　 　．
(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．


角度5：分式分子分母系数化整
典型例题
例题1．（2022·山东滨州·八年级期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·浙江湖州·七年级期末）有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（    ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
例题3．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．
例题4．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：=
=1+．
（1）请写出分式的基本性质　　　　；
（2）下列分式中，属于真分式的是　　　　；
A．　　　　B．　　　　C．﹣　　　　D．
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．



同类题型归类练
1．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江浙江·七年级期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．
①；②；③；④．



4．（2022·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1）      （2） ．



题型五：约分与最简分式
典型例题
例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）下列运算结果为 的是（　　）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题3．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）化简：________；=________．
例题4．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）化简：______．
例题5．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有__________个．
同类题型归类练
1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（    ）
①，②，③，④
A．① B．② C．③ D．④
2．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）将分式约分后得_________。
4．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是______．
5．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）化简：
(1)；
(2)．






题型六：通分与最简公分母
典型例题
例题1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）分式和的最简公分母是___________
例题3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）把，通分，则=________， =__________.
例题4．（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．



同类题型归类练
1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在计算通分时，分母确定为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）下列三个分式，，中的最简公分母是 ______．
3．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）三个分式：，，的最简公分母是_____________．
4．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）分式、与的最简公分母是______．
5．（2022·江苏南京·八年级期末）分式和的最简公分母为___________．
题型七：分式的运算
角度1：分式的加减
典型例题
例题1．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：，结果为（　　）
A．1 B． C． D．
例题2．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：=___________．
例题3．（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）化简，结果等于________．
例题4．（2022·北京昌平·八年级期中）计算：



例题5．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）化简：．小明的解法如下框：
解：原式


小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的解答过程．



同类题型归类练
1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）化简的结果是______．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）化简：___．
4．（2022·浙江舟山·七年级期末）化简：
言言同学的解答如下：

言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．


角度2：分式的乘除
典型例题
例题1．（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）下列各式中，计算结果正确的是（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）计算：=________；=________；＝_______．
例题3．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）计算 ：
(1)
(2)
(3)


同类题型归类练
1．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．

2．（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)







3．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）计算
(1)
(2)









角度3：分式的混合运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)






例题2．（2022·上海·七年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4).
(5)
(6).
(7)
(8).
(9)
例题3．（2022·辽宁·大连市第七十六中学八年级阶段练习）计算：．




例题4．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级期末）已知，求代数式的值．




例题5．（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是  （填序号）；
①　　　　②　　　　③　　　　　④
(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．









同类题型归类练
1．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）计算
(1)
(2)







2．（2022·全国·八年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)．
(4)














3．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简（1），再将x＝5代入求值．
解：原式1……第1步
第2步
第3步
第4步
第5步
第6步
当x＝5时，原式第7步
(1)以上步骤中，第 　 　步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 　 　；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．




角度4：分式化简求值
典型例题
例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．




例题2．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）先化简，冉求值，其中满足．





例题3．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中．




例题4．（2022·西藏·林芝市广东实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中，．






同类题型归类练
1．（2022·巴中四川师范大学附属第四实验中学九年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中a是方程的解．



2．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）先化简再求值：，再在，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．



3．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学九年级期中）先化简，再求值，其中




4．（2022·福建·泉州七中九年级阶段练习）化简并求值：，其中．



角度5：整数指数幂运算
典型例题
例题1．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）计算：
(1)
(2)



同类题型归类练
1．（2022·河南南阳·八年级期中）计算：
(1)．
(2)（要求结果不含负整数指数幂）．



2．（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)



角度6：负指数幂与科学记数法
典型例题
例题1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（         ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学计数法表示该孢子的半径是（   ）
A． B． C． D．


同类题型归类练
1．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）现代比较先进的光学显微镜可以观测0.0000005米．将0.0000005用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）据研究发现，奥密克戎是一种新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径为100nm，已知1nm=m，那么用科学记数法表示冠状病毒的平均直径为（   ）
A．1×10-9m B．0.1×10-8m C．1×10-7m D．1×10-8m

第四部分：中考真题感悟
1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ）
A．且 B．且 C． D．且
3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：．



4．（2022·西藏·中考真题）计算：．



5．（2022·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．




6．（2022·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．




7．（2022·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．




8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．


9．（2022·广东深圳·中考真题）先化简，再求值：其中


10．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：



小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，，
∴，，
故选：C．
2．（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
故选：C．
3．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：；
故选D．
4．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：∵代数式有意义，分母不能为0，
∴，即，
故答案为：．
5．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）当时，求的值
【答案】
【详解】解：当时，
．
第三部分：典型例题剖析
题型一：分式的定义
典型例题
例题1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵在式子、、、、、、中，分式有：、、、，
∴分式有个．
故选：A．
例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学八年级阶段练习）下列代数式中，是分式的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．是分数，是单项式，故该选项不合题意；
B．分母是常数，是单项式，故该选项不合题意；
C．分母是常数，是单项式，故该选项不合题意；
D．正确．
故选D．
同类题型归类练
1．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解： ，， ，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，，的分母中含有字母，因此是分式．
故分式有3个，
故选：C．
2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（    ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】解：分式有：，，，，共有4个．
故选：C．
题型二：分式有意义的条件
典型例题
例题1．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）的取（   ）值时，代数式有意义．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：C
例题2．（2022·全国·八年级单元测试）在函数中，自变量的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：C．
例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是__________．
【答案】x≠-2
【详解】解：由题意得，3x+6≠0，
解得x≠-2．
故答案为：x≠-2．
同类题型归类练
1．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】
【详解】要使分式有意义，即：，
解得：．
故答案为：．
2．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）函数y＝的自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥2且x≠3##x≠3且x≥2
【详解】解：由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
题型三：分式的值
典型例题
例题1．（2022·湖北·建始县花坪民族中学九年级期中）若，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：A．
例题2．（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）若成立，则的取值范围是______________
【答案】
【详解】解：∵分式的分母不能为零，
∴，，
即，，
∴成立，
∴a的取值范围是．
故答案为：．
例题3．（2022·浙江舟山·七年级期末）若表示一个整数，则整数可取的个数有______个．
【答案】4
【详解】解：∵为整数，
∴2x+3为1，3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
例题4．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题
我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如

．
(1)下列分式中，属于真分式的是（    ）
A．    B．    C．    D．
(2)将假分式，化成整式和真分式的和的形式．
(3)当m取哪些整数时，分式的值也是整数？
【答案】(1)A
(2)
(3)-1或0或2或3

（1）
解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．
∴是真分式，， ，是假分式，
故选A
（2）




（3）
解：∵，m为整数，
∴或或或
解得：或或或
同类题型归类练
1．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校九年级阶段练习）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，且
∴，
∴，
故选B．
2．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）已知，则的值是（    ）
A．－5 B．5 C．－4 D．4
【答案】B
【详解】解：，
，
，
故选：B．
3．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）已知a2+b2＝6ab，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．±2
【答案】B
【详解】解：∵a2+b2＝6ab,
∴（a＋b）2＝8ab,
（a−b）2＝4ab,
∴，
∴＝．
故选B．
4．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知，那么分式的值为__．
【答案】##0.2
【详解】解：将两边同时乘以x得：，
将两边同时平方得：，
将两边同时减去得：，
所以．
故答案为：．
题型四：分式的基本性质
角度1：判断分式变形是否正确
典型例题
例题1．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）已知，则下列各式中不正确的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵x：y=3：2，
∴设x=3a，y=2a，
∴，，，，
∴选项A、B、C都正确，选项D错误，
故选：D．
例题2．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项正确．
故选：A．
例题3．（2022·江苏南京·八年级期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项符合题意，
故选：D．
例题4．（2022·福建省泉州实验中学八年级阶段练习）下列代数式变形正确的是（　　）
A．＝﹣ B． C．＝ D．＝
【答案】C
【详解】解：A. ＝﹣，原变形错误，不合题意；
B.当z=0时，不成立，不合题意；
C. ＝，变形正确，符合题意；
D. ＝，原变形错误，不合题意，
故选：C．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·靖江市滨江学校八年级阶段练习）下列式子从左至右变形不正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，故A符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：A．
2．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误．
故选：C．
3．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）下列代数式变形正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、原式=，故此选项不符合题意；
B、原式=，故此选项不符合题意；
C、原式=，故此选项符合题意；
D、原式=，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（2022·山东烟台·八年级期末）已知，则下列说法错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴设，，
A．，说法正确，不符合题意；
B．，∴，该项说法错误，符合题意；
C．，说法正确，不符合题意；
D．，，故，说法正确，不符合题意；
故选：B．
角度2：利用分式基本性质变形成立条件
典型例题
例题1．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的和都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵x和y都扩大3倍，
∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，
∵分式的值不变，
∴x2+□也扩大到原来的9倍，
∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□也要扩大到原来的9倍，
∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□可以是y2．
故选：C．
例题2．（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
∴为含或的一次单项式，故只有C符合题意．
故选C．
例题3．（2022·江西景德镇·八年级期末）利用分式的基本性质填空：．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当、都扩大3倍时，
A、，故A错误．
B、，故B错误．
C、，故C错误．
D、，故D正确．
故选D．
2．（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）若＝成立，则x的取值范围是___
【答案】x≠-1
【详解】解：∵＝，
∴x+1≠0，
解得：x≠-1，
故答案为：x≠-1．
角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化
典型例题
例题1．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大10倍，则分式的值（    ）
A．缩小10倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
【答案】B
【详解】解：分别用10x，10y去代换原分式中的x、y，
得．
故选：B．
例题2．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．无法确定
【答案】C
【详解】解：把分式中的，都扩大2倍，
可得：，
∴把分式中的，都扩大2倍，分式的值扩大了2倍．
故选：C
例题3．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）．
【答案】1
【详解】解：．
故答案为：1．
例题4．（2022·山东济南·八年级期中）阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，
则，，①；
所以②．
(1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【答案】(1)等式，分式
(2)
（1）
解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，
第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质．
故答案为：等式，分式；
（2）
解：设，
则，，，
∴，
∴分式的值为：．

同类题型归类练
1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（    ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
【答案】D
【详解】解：把的与（，均为正）都扩大10倍，
可得：，
∴这个代数式的值缩小到原来的．
故选：D
2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍
【答案】A
【详解】解：由题意得：
，
∴如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，
故选：A．
3．（2022·浙江·湖州市埭溪镇上强中学七年级阶段练习）将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ）
A．不变 B．扩大为原来的9倍
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
【答案】D
【详解】解：由题意，得
，
故选：D．
4．（2022·福建·厦门外国语学校八年级阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（    ）．
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【详解】解：根据题意，得，
设，其中k为正整数．
两式相加，得．
因为a、b为正整数，
所以必为正整数．
所以，
解得，，且k为正整数．
当时，，不合题意，舍去；
当时，；
所以的最小值是28；
故选：B．
5．（2022·广东·佛山市顺德区文德学校八年级阶段练习）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小到原来的 D．扩大9倍
【答案】A
【详解】解：m和n都扩大3倍时，
原分式变为：，
即把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变．
故选A．
角度4：分式分子分母最高项化正
典型例题
例题1．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校模拟预测）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝_____．
【答案】
【详解】原式＝＝，
故答案为：
例题2．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③；④
【详解】解：①；
②；
③；
④
例题3．（2022·陕西渭南·八年级期末）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母
……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；
(2)请把以上解分式方程过程补充完整．
【答案】(1)分式的基本性质；等式的基本性质
(2)见解析
（1）解：第一步是将分式的分子与分母同时乘以，依据是分式的基本性质，第二步是将方程的两边同乘以去分母，依据是等式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质．
（2）解：，第一步：方程整理，第二步：去分母，第三步：去括号，第四步：移项，第五步：合并同类项，第六步：系数化为1得，第七步：经检验，是分式方程的解．
同类题型归类练
1．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
2．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）小明在解分式方程时，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 　 　、　 　．
(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．
【答案】(1)分式的基本性质，等式的性质；
(2)．
(1)
第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以-1方程整理，
第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以（x-3），
故答案为：分式的基本性质，等式的性质；
(2)
解：，
第一步：方程整理，
第二步：去分母得：，
去括号得，
移项合并得，
系数化1得．
检验：当时，，
∴是分式方程的根．
角度5：分式分子分母系数化整
典型例题
例题1．（2022·山东滨州·八年级期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，
故选：B．
例题2．（2022·浙江湖州·七年级期末）有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（    ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
【答案】A
【详解】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为，故本选项不正确；
③当k为负值时，多项式x2-ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
④当2t=0即t=0时，（t-2）2t=（-2）0=1，
当t-2=1即t=3时，（t-2）2t=16=1，
当t-2=-1即t=1时，（t-2）2t=（-1）2=1，
t可以取的值有3个，故本选项正确；
综上正确的说法是①④．
故选：A．
例题3．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．
【答案】
【详解】
解：原式．
故答案为：．
例题4．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：=
=1+．
（1）请写出分式的基本性质　　　　；
（2）下列分式中，属于真分式的是　　　　；
A．　　　　B．　　　　C．﹣　　　　D．
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．
【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）=m﹣1+
【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，
故选：C．
（3）∵=m﹣1+，
∴故答案为：m﹣1+．
同类题型归类练
1．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：

，
故选：A.
2．（2022·浙江浙江·七年级期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
故选：C．
3．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③；④
【详解】解：①，
②，
③，
④
4．（2022·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1）      （2） ．
【答案】（1）；（2） ．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式=；
题型五：约分与最简分式
典型例题
例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）下列运算结果为 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、与不一定相等，不符合题意；
B、，符合题意；
C、与不一定相等，不符合题意；
D、与不一定相等，不符合题意；
故选B．
例题2．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：

∴最简分式有，，共2个，
故选B.
例题3．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）化简：________；=________．
【答案】         
【详解】解：；
．
故答案为：；
例题4．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）化简：______．
【答案】
【详解】解：

，
故答案为：．
例题5．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有__________个．
【答案】2##两
【详解】解：是最简分式，
，不是最简分式，
是最简分式，
，不是最简分式，
故最简分式有2个，
故答案为：2．
同类题型归类练
1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（    ）
①，②，③，④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【详解】解：，，都是最简分式，
，故④符合题意；
故选：D
2．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．＝，原式不是最简分式，故本选项错误；
B．＝，原式不是最简分式，故本选项错误；
C．中分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确；
D．＝＝x，原式不是最简分式，故本选项错误．
故选：C．
3．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）将分式约分后得_________。
【答案】
【详解】解：


故答案为：.
4．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是______．
【答案】②③##③②
【详解】解：，因此①不是最简分式；
中分子和分母没有公因式，因此②是最简分式；
中分子和分母没有公因式，因此③是最简分式；
，因此④不是最简分式；
故答案为：②③．
5．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．

（1）
解：
=
=
=．
（2）
解：
=
=
=
=．

题型六：通分与最简公分母
典型例题
例题1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为．
故选：A．
例题2．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）分式和的最简公分母是___________
【答案】##
【详解】分式和的最简公分母是
故答案为：．
例题3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）把，通分，则=________， =__________.
【答案】         
【详解】解：，，
故答案为：，．
例题4．（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
（1）
解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）
解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
同类题型归类练
1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在计算通分时，分母确定为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
计算通分时，分母确定为．
故选B
2．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）下列三个分式，，中的最简公分母是 ______．
【答案】
【详解】解：三个分式，，的最简公分母是；
故答案为：．
3．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）三个分式：，，的最简公分母是_____________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴、、的最简公分母为．
故答案为：．
4．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）分式、与的最简公分母是______．
【答案】
【详解】分式，，的分母分别为：ab，，，
故最简公分母是：．
故答案为：．
5．（2022·江苏南京·八年级期末）分式和的最简公分母为___________．
【答案】2(a＋b)(a－b)
【详解】解：，
所以两个分式的最简公分母为2（a+b）（a-b），
故答案为：2(a＋b)(a－b)
题型七：分式的运算
角度1：分式的加减
典型例题
例题1．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：，结果为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：



故选：A
例题2．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：=___________．
【答案】##
【详解】解：



故答案为：
例题3．（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）化简，结果等于________．
【答案】2
【详解】解：



故答案为：2
例题4．（2022·北京昌平·八年级期中）计算：
【答案】
【详解】解：原式＝


．
例题5．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）化简：．小明的解法如下框：
解：原式


小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的解答过程．
【答案】小明的解答错误，解答过程见解析
【详解】解：小明的解答错误，解答过程如下：






同类题型归类练
1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：原式

，
，
，
原式，
故选：B．
2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）化简的结果是______．
【答案】
【详解】解：


．
故答案为：．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）化简：___．
【答案】
【详解】解：原式
．
故答案为：．
4．（2022·浙江舟山·七年级期末）化简：
言言同学的解答如下：

言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
【答案】不正确，过程见解析
【详解】不正确．解答如下：




．
角度2：分式的乘除
典型例题
例题1．（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）下列各式中，计算结果正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
例题2．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）计算：=________；=________；＝_______．
【答案】              
【详解】解：；
；
；
故答案为：，，．
例题3．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）计算 ：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：


；
（2）解：

；
（3）解：


．
同类题型归类练
1．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
（1）
解：


；
（2）
解：



．
2．（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
（1）


；
（2）


；
（3）


；
（4）


；
（5）



；
（6）



．
3．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
（1）
解：


．
（2）
解：



．
角度3：分式的混合运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（1）
原式＝


．
（2）
原式

．
（3）
原式

．
（4）
原式


．
例题2．（2022·上海·七年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4).
(5)
(6).
(7)
(8).
(9)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)；
(7)；
(8)；
(9)
（1）
原式

；
（2）
原式


；
（3）
原式=
=
=
；
（4）
原式=
=
=
=
=；
（5）

=
=
=
=
=；
（6）
原式


；
（7）
，
，
，
，
，
；
（8）
原式

；
（9）
原式，
，
，
，
，
．
例题3．（2022·辽宁·大连市第七十六中学八年级阶段练习）计算：．
【答案】

【详解】解：






例题4．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级期末）已知，求代数式的值．
【答案】-1
【详解】解：原式



，
当时，
原式．
例题5．（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是  （填序号）；
①　　　　②　　　　③　　　　　④
(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)②③
(2)，过程见解析
(3)，当，该式的值是整数，
【详解】（1）解：①，不是“和谐分式”，　　　　
②，是“和谐分式”，　　　
③，是“和谐分式”，
④，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
（2）解：

；
（3）解：




，
∵为整数，
∴，
∴当时，是整数，
又∵．
∴时，原式的值是整数．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
（1）
解：


（2）





2．（2022·全国·八年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)．
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（1）
解：原式


，
故答案是： ．
（2）
解：原式


，
故答案是： ．
（3）
解：原式


故答案是： ．
（4）
解：原式


，
故答案是： ．
3．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简（1），再将x＝5代入求值．
解：原式1……第1步
第2步
第3步
第4步
第5步
第6步
当x＝5时，原式第7步
(1)以上步骤中，第 　 　步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 　 　；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
【答案】(1)一、没按照正确的运算顺序计算
(2) ，当x＝5时，原式
(3)要正确应用运算律
（1）
解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，
故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；
（2）
原式[1]
（）
•
，
当x＝5时，原式；
（3）
解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．
角度4：分式化简求值
典型例题
例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：




当时，
原式
例题2．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）先化简，冉求值，其中满足．
【答案】，或
【详解】解：




∵，
∴，
∴原式

，
对于来说，

∵，
∴，
∴，
∴当时，原式，
当时，原式．
例题3．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中．
【答案】，
【详解】解：原式

，
，
原式．
例题4．（2022·西藏·林芝市广东实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：



，
当时，原式．

同类题型归类练
1．（2022·巴中四川师范大学附属第四实验中学九年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中a是方程的解．
【答案】，
【详解】解：



，
解得：
，
，，
∵a是方程的解
∴或
当时，原分式无意义，（舍去），
∴当时，原式．
2．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）先化简再求值：，再在，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，．
【详解】解：


．
根据分式有意义的条件可知：，且，故取，
当时，
．
3．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学九年级期中）先化简，再求值，其中
【答案】，
【详解】解：


，
当 ，原式．
4．（2022·福建·泉州七中九年级阶段练习）化简并求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：



当时，
原式．
角度5：整数指数幂运算
典型例题
例题1．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据合并同类项法则，可知，故不正确；
根据单项式乘以单项式和同底数幂相乘，可知，故不正确；
根据同底数幂相除，可知，故不正确；
根据平方差公式，可知(-1-a)(a-1)=（-1-a）（-1+a）=1-a2，故正确．
故选D．
例题2．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
（1）
解：原式=
=
=0
（2）
解：原式=
=
同类题型归类练
1．（2022·河南南阳·八年级期中）计算：
(1)．
(2)（要求结果不含负整数指数幂）．
【答案】(1)12
(2)
解：原式


．
（2）
解：原式


．
2．（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)4
（1）解：＝＝；
（2）解：＝1＋4－1=4.

角度6：负指数幂与科学记数法
典型例题
例题1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（         ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．
故选D．
例题2．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学计数法表示该孢子的半径是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：150000nm＝m＝m；
故选：C．
同类题型归类练
1．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）现代比较先进的光学显微镜可以观测0.0000005米．将0.0000005用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将0.0000005用科学记数法表示为．
故选：D．
2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）据研究发现，奥密克戎是一种新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径为100nm，已知1nm=m，那么用科学记数法表示冠状病毒的平均直径为（   ）
A．1×10-9m B．0.1×10-8m C．1×10-7m D．1×10-8m
【答案】C
【详解】解：100nm．
故选C．
第四部分：中考真题感悟
1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ）
A．且 B．且 C． D．且
【答案】B
【详解】解：依题意，
∴且
故选B
3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】原式

．
4．（2022·西藏·中考真题）计算：．
【答案】1
【详解】
=     
=
=1
5．（2022·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
6．（2022·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【详解】解：原式


，
当时，原式．
7．（2022·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
（1）解：
=
=．
（2）
解：
=
=
=．
8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：




．
9．（2022·广东深圳·中考真题）先化简，再求值：其中
【答案】，
【详解】解：原式
=

将代入得原式．
10．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：



小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：


=28；
（2）


=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．