2023年中考数学专项汇编 专题 四边形综合压轴30题

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专题 四边形综合压轴题30道
1．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，直角梯形中，，，，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
2．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，则的最小值为（    ）

A．22 B．24 C．25 D．26
3．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在正方形中，、分别是，的中点，，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
4．（2022·辽宁营口·校考模拟预测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，，现在有如下4个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（    ）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．（2023秋·广西南宁·九年级校联考阶段练习）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边EG始终在正方形外），若正方形边长为3，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为（　　）

A．9 B．3 C．4.5 D．2.25
7．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（    ）cm

A． B． C．6 D．3
8．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤若，则四边形是菱形．

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，已知四边形是四个角都是直角，四条边都相等的正方形，点在上，且，点是的中点，延长与的延长线交于点以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．

10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________．

11．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．

12．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为___________．

13．（2023秋·河北邢台·九年级邢台三中校考期末）如图1，在矩形中，，，分别是边和的中点，若线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图2所示．

（1）当线段绕点逆时针旋转时，线段的长为__________cm；
（2）如图3，连接，则长度的最小值是__________cm．
14．（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．

15．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三条边为边长，向形外分别作正方形，连接，其中正方形和正方形的面积分别为1和5，则长为_____．

16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，于点，点在上，，连接延长交于点，若，则线段的长为____________．

17．（2022秋·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，，连接．

(1)填空：点A的坐标： ；点B的坐标： ．
(2)若平分，交x轴于D，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，经过点D的直线交直线于E，当为以为底的等腰三角形时，求该直线的解析式．




18．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（1）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明；
（2）拓展延伸：如图3，在四边形中，，．若，，请求出的长．


19．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．

(1)如图，在四边形中，，，， ，则 ___________ ； ___________．
(2)小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长．
小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长．
(3)如图，在中，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．

20．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点M放在的斜边的中点处，设．

(1)如图1，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为________，周长为________．
(2)将图1中的绕顶点M逆时针旋转，得到图2，此时重叠部分的面积为________，周长为________．
(3)如果将绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你求出此时重叠部分的面积，并说明理由？
(4)在图3的情况下，若，求出重叠部分图形的周长．



21．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰和等腰中，，．将绕点逆时针旋转，连接．点为线段的中点，连接，

(1)如图1，当点旋转到边上时，线段与的数量和位置关系是 ．
(2)如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由
(3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，求线段的长


22．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的边长，E为边上一点且长为，动点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动．在点P的运动过程中，把沿折叠，点B落在点处．设运动时间为t秒．

(1)当 时，为直角；
(2)是否存在某一时刻t，使得点到直线的距离为？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

23．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当　　时，四边形是矩形．
(3)当多长时，四边形是菱形，请说明理由．

24．（2021春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，．

(1)如图1，若，求的面积．
(2)如图2，求证：．
(3)如图3，点为延长线上一点，点为延长线上一点，．请直接写出线段、、的数量关系．

25．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．

(1)图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
(3)如图3，若，求证，．

26．（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）在菱形中，，点E为菱形对角线上的动点，点F为延长线上的一点，且．

(1)如图1：当点E运动到对角线中点时，
①求的度数．
②猜测线段与的数量关系，并加以证明．（请选择其中的一个问题写出解答过程）
(2)如图2：当点E在对角线上运动时，线段与有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3：当点E运动到的延长线上时，线段与有怎样的数量关系，写出你的猜想．

27．（2022秋·四川达州·九年级校考期中）如图①，已知四边形 的对角线，相交于点O，点M是边的中点，过点M作交于点E，作交于点F

(1)若四边形是菱形，如图②，求证：四边形是矩形
(2)若四边形是矩形，如图③，则四边形是　　　　(在横线上填一个特殊平行四边形的名称)
(3)若四边形是矩形，如图④，点M是延长线上的一个动点，点F落在的延长线上，点E落在线段上，其余条件不变，写出，，三条线段之间存在的数量关系，并说明理由

28．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考期末）如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，

(1)证明：；
(2)类比引申:如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足 时，仍有；
(3)联想拓展:如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．

29．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：　　；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转

解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．

30．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．

(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．

1．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，直角梯形中，，，，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点G，作交的延长线于点F，可证明四边形是矩形，得，，则，，由旋转得，，即可证明，得，即可求得．
【详解】解：作于点G，作交的延长线于点F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
，，
由旋转得，，
∴，
在和中，


∴，

故选：B．

【点睛】此题重点考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，则的最小值为（    ）

A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接、，则，再根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接，

在矩形中，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
则，
，
是的垂直平分线，
，
，
连接，则，
，
的最小值为26，
即的最小值为26，
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出．
3．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在正方形中，、分别是，的中点，，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断③错误．延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故④正确．
【详解】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③若成立，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，有，
∵，
∴，
显然，
∴假设不成立，
∴，故③错误，
④根据可得，
∴，
如图，延长交的延长线于，

∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵已证明，
∴是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，，
∴．故④正确；
故正确的有①②④，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4．（2022·辽宁营口·校考模拟预测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，，现在有如下4个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①正确．证明，即可；
②错误．求得，进而可得结论；
③正确．证明，，即可证明结论；
④错误．证明，求出的面积即可判断．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
，
，，
，故①正确；
设，
∵，
∴，，
在中，，
，
，
，
，
，
若，则为正三角形，，显然不合题意，
故②错误；
，
，
，
，，
，G都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，故③正确；
，，
，
，故④错误，
故正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
5．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（    ）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【分析】以为边作等边，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证明，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边，过点H作于N，于M，

又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，

∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2023秋·广西南宁·九年级校联考阶段练习）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边EG始终在正方形外），若正方形边长为3，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为（　　）

A．9 B．3 C．4.5 D．2.25
【答案】D
【分析】如图，连接，由点F是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果．
【详解】解：如图，连接，
∵点F是的中点，四边形是正方形，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（ASA），
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分四边形的面积为．
故选：D．

【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积、解题的关键是熟知正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积的知识并会应用．
7．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（    ）cm

A． B． C．6 D．3
【答案】B
【分析】先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出，进而求出，最后用含角的直角三角形的性质即可求出的最小值
【详解】解：如图，作出点C关于的对称点E，过点E作于N，交于M，连接，此时最小．

∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即：的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，含角的直角三角形的性质，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置．
8．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤若，则四边形是菱形．

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】②借助轴对称可知；③利用勾股定理求，构造方程，求，在构造勾股定理求；①④由相似，，在计算，进而可判断①；⑤证得，再证菱形即可．
【详解】解：点P在对称轴上，点B与点是对称点，
则；
故②正确；
连结，由翻折，，，
由勾股定理，
∴，
设，
在中，，
由勾股定理，
解得，
∴，
在中，，
；
故③正确；

过M作，交延长线于F，
由，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
则，
∴
故④不正确；
∵
∴
∴；
故①不正确；
连接，由对称性可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
故⑤正确．

五个结论中正确的是②③⑤．
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换，三角形全等判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质等知识的应用，此题的关键是能够证明．
9．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，已知四边形是四个角都是直角，四条边都相等的正方形，点在上，且，点是的中点，延长与的延长线交于点以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．

【答案】①②④
【分析】由，，，证明≌，得，则，可判断正确；
设正方形的边长为，则，，，可求得，，，则，，所以，可判断错误；
根据勾股定理得，，，则，所以，可判断正确；
因为，，所以，可判断正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，
，，
≌，
，
，
故正确；
设，则，，，
，，，
，，，
，
故错误；
，，，
，
，
故正确；
≌，
，
，
，
故正确，
故答案为：．
【点睛】本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，证明≌及是解题的关键．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________．

【答案】或##或
【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为的中位线，求出，，的长度即可求得点B与点的距离．
【详解】∵，，，
∴
如图，当点在右侧时，连接，

由旋转可知，，，
∵
∴
∵为的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
则：；
如图，当点在左侧时，连接，

同理可得：，，，
则：；
综上，点B与点的距离为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出
为的中位线是解决问题的关键．
11．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．

【答案】2或或
【分析】判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据相似三角形的性质进行求解．
【详解】解：①时，过点作，垂足为点．
∴为的中点，

则，，取为的中点，
∴，为的中位线，即，
∴、、三点在一条线上，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，是等腰三角形；
②时，则，

∵，，
∴，
∴
则，
∴当B时，是等腰三角形；
③时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、．

易知为矩形，∴，，
∴、、在同一直线上，
∴为的中位线，
∵，，
∴，，，
∴，
即：，
整理得：，即，
解得：或（舍去）
∴当时，△CDF是等腰三角形．
综上，当、、时，是等腰三角形．
故答案为：2或或．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为___________．

【答案】或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿对角线翻折得到，
∴，，
∵以为折痕，将进行翻折，得到，
∴，，
①当点恰好落在上时，如图，

在和中，

∴
∴，即为等腰三角形，
∵
∴点为中点，
∴，
在中，有，
即，解得
②当点恰好落在上时，如图，

∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵沿进行翻折，得到，
∴
在中，
，
在和中，

∴≌（）
∴
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了空间想象能力以及分类讨论的思想，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．
13．（2023秋·河北邢台·九年级邢台三中校考期末）如图1，在矩形中，，，分别是边和的中点，若线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图2所示．

（1）当线段绕点逆时针旋转时，线段的长为__________cm；
（2）如图3，连接，则长度的最小值是__________cm．
【答案】         
【分析】（1）如图1，过点作交的延长线于点，则，结合旋转性质可证得（AAS），即可运用勾股定理求得答案；
（2）根据题意可得点始终在上，当点与点重合时，为最小值，利用勾股定理可求得，进而可得出答案．
【详解】解：（1）如图1，过点作交的延长线于点，则，

四边形是矩形，
，
分别是边和的中点，
，
在Rt中，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
在和中，
，
（AAS），
，
，
在Rt中，
，
故答案为：；
（2）如图2，以为圆心，5为半径作，连接交于，

线段绕点逆时针旋转得到线段，
点始终在上，
当点与点重合时，为最小值，
在Rt中，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转变换的性质、圆中的最值问题等，解题关键是添加辅助圆，利用圆中的最值求解．
14．（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．

【答案】2
【分析】如图，连接，取的中点F，连接，先证明，得，根据三角形的中位线定理可得，，由平行线的性质和三角形的内角和定理可得，所以是等边三角形，可得结论．
【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接，

∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M是的中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理得，，，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识的综合运用，解题的关键是证明△FMN是等边三角形．
15．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三条边为边长，向形外分别作正方形，连接，其中正方形和正方形的面积分别为1和5，则长为_____．

【答案】
【分析】连接，由正方形和正方形的面积分别为1和5，得，，则，而，由勾股定理得，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，则，根据勾股定理求得，再证明，得．
【详解】解：连接，
正方形和正方形的面积分别为1和5，
，，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：．

【点睛】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明是解题的关键．
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，于点，点在上，，连接延长交于点，若，则线段的长为____________．

【答案】
【分析】先证明，可得，设，则，，，，由，，可证，，再利用，可得，进一步证明，可得，，由勾股定理，可列出方程，解出的值，即可求出，的长，在根据勾股定理求出线段的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，

∴，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，（舍），
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质及勾股定理的应用，根据题意设出，并表示出、、，利用勾股定理列出方程，解出的值是解答本题的关键．
17．（2022秋·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，，连接．

(1)填空：点A的坐标：；点B的坐标：．
(2)若平分，交x轴于D，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，经过点D的直线交直线于E，当为以为底的等腰三角形时，求该直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据矩形的性质即可解决问题；
（2）如图1中，作于M．由，推出，由，推出，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；
（3）如图2中，作线段的中垂线，垂足为F，交于E，则，是以为底的等腰三角形．进而求出直线的解析式．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如下图中，作于M．

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴．
（3）如下图中，作线段的中垂线垂足为F，交于E，则，是以为底的等腰三角形．

∵，，
设的解析式为
∴，解得：；
∴直线的解析式为，
∵F是的中点，
∴,
设的解析式为；
∵，
∴，
解得
∴的解析式为；
将点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考压轴题．
18．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是，位置关系是；
（1）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明；
（2）拓展延伸：如图3，在四边形中，，．若，，请求出的长．

【答案】（1）问题发现：；（1）探究证明：见解析（2）拓展延伸：
【分析】（1）问题发现：证明，利用全等三角形对应边相等对应角相等即可求解．
（1）探究证明：证明，利用全等三角形对应边相等对应角相等即可求解．
（2）拓展延伸：先利用旋转构造出等腰三角形，再构造直角三角形利用勾股定理求解．
【详解】（1）问题发现：
解：由旋转知：，，
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴线段与的数量关系是，位置关系是；
（1）探究证明：．
证明：∵在与中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即；
（2）拓展延伸：
解：如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴旋转后，与重合，，
∴，，
∴，
∴，
过点E作，垂足为点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形，勾股定理等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活应用，要求学生会通过作辅助线构造等边三角形和直角三角形．
19．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．

(1)如图，在四边形中，，，，，则 ___________ ； ___________．
(2)小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长．
小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长．
(3)如图，在中，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)
(2)7
(3)或或

【分析】（1）连接，证明是等边三角形，从而得到和直角三角形，根据,继而求得;
（2）以为边作等边，连接，过点E作于F，证得，求出，由直角三角形的性质得出由勾股定理求出，再由勾股定理即可得出答案；
（3）过点C作，交延长线于H，设，求出，由直角三角形的性质得出，构建方程求出x，进而得出的长，分三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）如图，连接，

,
是等边三角形，

，
,
又,
,
故答案为：
（2）以为边作等边，连接，过点E作于F，如图2所示，

则，
，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：

在中，由勾股定理得：

∴，
（3）过点C作，交延长线于H，设，如图3所示，

，
，
,
，
又，
∴是等腰直角三角形，

，
①如图4所示，

当时，
连接，过点C作，交延长线于点G，过点A作，
则，，，
，

∵在和中，

∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
，

，
②图5所示，

当时，
连接，作于点G，于K，
如图，则
，，

③如图6所示，

当时，
作于M，作于H，
则，,

，
，
综上所述，四边形ABCD的面积为或或．
【点睛】本题是考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握准筝形的判定与性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点M放在的斜边的中点处，设．

(1)如图1，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为________，周长为________．
(2)将图1中的绕顶点M逆时针旋转，得到图2，此时重叠部分的面积为________，周长为________．
(3)如果将绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你求出此时重叠部分的面积，并说明理由？
(4)在图3的情况下，若，求出重叠部分图形的周长．
【答案】(1)9，
(2)，
(3)面积是9，理由见解析
(4)

【分析】（1）根据，得出的值，再根据M是的中点，得出，求出重叠部分的面积，再根据的值即可求出周长；
（2）易得重叠部分是正方形，即可求解；
（3）过点M分别作的垂线，垂足为H、E．求得，则阴影部分的面积等于正方形的面积．
（4）先过点M作于点E，于点H，根据，得出，从而得出，进而求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵M是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴重叠部分的面积是，周长为．
故答案为：9，；
（2）∵重叠部分是正方形，
∴边长为，
∴面积为，周长为．
故答案为：9，12；
（3）面积是9，理由如下：
如图，过点M分别作的垂线，垂足分别为H、E，

∵M是斜边的中点，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积等于正方形的面积，
∵正方形的面积是，
∴阴影部分的面积是9；
（4）如图所示：

过点M作于点E，于点H，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
∴，，
∴，矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴四边形的周长为：．
【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，综合性强，较难．正确添加常用的辅助线，构造全等三角形是解题关键．
21．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰和等腰中，，．将绕点逆时针旋转，连接．点为线段的中点，连接，

(1)如图1，当点旋转到边上时，线段与的数量和位置关系是．
(2)如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由
(3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，求线段的长
【答案】(1)，
(2)成立，利用见解析
(3)线段的长为1或

【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
（3）分点B在左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出，即可得出结论．
【详解】（1）解：，；
理由：当点B旋转到边上时，点E必在边上，
∴，
在中，点O是的中点，
∴，
∴，
在中，点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵等腰，且，
∴，
∴，
∴；
（2）仍然成立，
理由：如图2，延长到点M，使得，连接，，，

∵O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵和是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，；
（3）当点B在左侧时，如图3，

延长到点M，使得，连接，，，
同（2）的方法得，，
∴，，，
∵，
∴，
在五边形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
过点E作交的延长线于H，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
当点B在右侧时，如图4，

同①的方法得，，，
连接，过点E作于H，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
即：线段的长为1或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出是解本题的关键．
22．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的边长，E为边上一点且长为，动点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动．在点P的运动过程中，把沿折叠，点B落在点处．设运动时间为t秒．

(1)当时，为直角；
(2)是否存在某一时刻t，使得点到直线的距离为？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．

【分析】（1）由正方形的边长，且长为，得到，由折叠可得，，求得，即可求得
（2）存在，过点作，交，于点M，N，过E作，交于H，得到四边形是矩形，然后分两种情况讨论可得到t的值
【详解】（1）∵正方形的边长，E为边上一点且长为，
∴，
当时，，
∴由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，
∵点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动，
∴（秒），
故答案为：
（2）存在，过点作，交，于点M，N，过E作，交于H，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形是矩形，
同理可得：四边形是矩形．
①如图，若点P在之间时，则，，

∵，，
由折叠可得，，
∴中，，
∴，
设，
∴，，
∵中，，
∴，
解得：．
∴，
∴；
②如图2，若点P在右边时，则，，

由折叠可得，，
∴中，，
∴，
设，
∴，
∵中，，
∴，
解得：．
∴，
∴．
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换（折叠问题）和勾股定理，熟练掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．
23．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当　　时，四边形是矩形．
(3)当多长时，四边形是菱形，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)10；
(3)当时，四边形是菱形．

【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合题意证，然后利用全等三角形的性质证明即可；
（2）结合（1），找到矩形的特殊性——有一个角是直角的平行四边形是矩形，然后解直角三角形即可；
（3）结合（1），找到菱形的特殊性——邻边相等的平行四边形是菱形，然后证是等边三角形，利用等边三角形性质求解即可．
【详解】（1）证明：是平行四边形，
即，
，
是的中点,
，
在与中：

，
，
是平行四边形；
（2）是平行四边形，，，，
，，，
由（1）可知当时，
四边形是矩形，
在中，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：当四边形是菱形时，
，
是平行四边形，，，，
，，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用；抓住矩形、菱形的特殊性是解题的关键．
24．（2021春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，．

(1)如图1，若，求的面积．
(2)如图2，求证：．
(3)如图3，点为延长线上一点，点为延长线上一点，．请直接写出线段、、的数量关系．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)

【分析】（1）如图，延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，由勾股定理和三角形面积公式可求解；
（2）将绕着点按顺时针方向旋转，得，可得，，，由“”可证，可得，可得结论；
（3）在上截取，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论．
【详解】（1）解：如图，延长至，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
的面积；
（2）证明：将绕着点按顺时针方向旋转，得，

则，，，
四边形是正方形，
，
，
，
、、在一直线上，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：
理由：如图3，在上截取，连接，

，，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．

(1)图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
(3)如图3，若，求证，．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)见解析

【分析】（1）由中点定义得出，继而利用对角线互相平分证明四边形为平行四边形，由等角对等边得出，即可根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）设，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得的长度，进而利用勾股定理进行求解即可；
（3）延长交过点A作垂直于的直线于H点，过点D作于点P，证明，把化为，从而三条线段放在了等腰直角三角形中即可证明．
【详解】（1）∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）设，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，
即，
∴，
∴；
（3）延长交过点A作垂直于的直线于H点，过点D作于点P，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，综合性较强，能够根据题意准确作出辅助线是解题的关键．
26．（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）在菱形中，，点E为菱形对角线上的动点，点F为延长线上的一点，且．

(1)如图1：当点E运动到对角线中点时，
①求的度数．
②猜测线段与的数量关系，并加以证明．（请选择其中的一个问题写出解答过程）
(2)如图2：当点E在对角线上运动时，线段与有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3：当点E运动到的延长线上时，线段与有怎样的数量关系，写出你的猜想．
【答案】(1)①，②，见解析
(2)，见解析
(3)，见解析

【分析】（1）①四边形是菱形，，证明得是等边三角形，得到，求得，即可求得；②在①的基础上，求得，得到，即可求得；
（2）在上截取，交于点G．四边形是菱形，，证明得是等边三角形，得到，证明得，即可得到为等边三角形，，即可得到；
（3）在的延长线上截取，交于点G．四边形是菱形，，证明得是等边三角形，得到，证明得，即可得到为等边三角形，，即可得到．
【详解】（1）①∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
②
∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴；
（2），
证明：在上截取，交于点G．

∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，且，
∴为等边三角形，
∴，且，
∴，且，
∴；
（3），
证明：在的延长线上截取，交于点G．

∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，且，
∴，
∴为等边三角形，
∴，且，
∴，且
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质，构造辅助线、熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．
27．（2022秋·四川达州·九年级校考期中）如图①，已知四边形的对角线，相交于点O，点M是边的中点，过点M作交于点E，作交于点F

(1)若四边形是菱形，如图②，求证：四边形是矩形
(2)若四边形是矩形，如图③，则四边形是　　　　(在横线上填一个特殊平行四边形的名称)
(3)若四边形是矩形，如图④，点M是延长线上的一个动点，点F落在的延长线上，点E落在线段上，其余条件不变，写出，，三条线段之间存在的数量关系，并说明理由
【答案】(1)见详解；
(2)菱形；
(3)，理由见详解；

【分析】（1）根据菱形对角线互相垂直即可得到，结合，，即可得到证明；
（2）根据四边形是矩形得到，结合点M是边的中点，即可得到证明；
（3）根据，可得四边形是平行四边形及，即可得到，根据四边形是矩形得到，得到，即可得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点M是边的中点，，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
故答案为菱形；
（3）解：，理由如下，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查矩形形的判定与性质，菱形判定与性质，等腰三角形判定与性质，解题的关键是证明通过转换得到答案．
28．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考期末）如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，

(1)证明：；
(2)类比引申:如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足时，仍有；
(3)联想拓展:如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】(1)见详解；
(2)
(3)，证明见详解

【分析】（1）延长到G，使得，连接．先证明，得到，，进而证明，，得到，即可证明；
（2）延长到G，使得，连接．先证明，得到，，进而证明，，得到，即可证明；
（3）作，截取，连接．先证明，得到，，进而证明，，得到，在中，得到，再进行等量代换即可得到．
【详解】（1）证明：如图1，延长到G，使得，连接．
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；

（2）解：当时，仍有．
证明：如图2，延长到G，使得，连接．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；

故答案为：；
（3）解：．
证明：如图3，作，截取，连接．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
29．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：　　；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转

解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，然后证明，可得，进而可以得结论；
（2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，，然后证明，可得，然后证明，进而可以得结论；
（3）连接，根据菱形的性质可得，是等边三角形，然后证明，可得四边形的面积的面积的面积的面积，然后根据等边三角形的面积即可解决问题．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
，
，，，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
；
故答案为：；
（2），理由如下：
是等腰直角三角形，，
，
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
，
，，，，

，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，

四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形的面积的面积的面积
的面积的面积
的面积

．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
30．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．

(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)

【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；
②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；
（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．
【详解】（1）①如图，连接，

∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，

∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，

∵
∴当在上时，如图，此时最大，，

由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，

综上所述，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键.