专题11二次函数与单线段最值问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)              专题11二次函数与单线段最值问题  
【例1】(2022•襄阳)在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；(2)在y轴上有一点M(0，m)，当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值． 【例2】(2022•湖州)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M(如图2所示)．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【例3】(2021•青海)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为(1，0)，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)根据图象写出不等式ax2+(b﹣1 )x+c＞2的解集；(3)点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【例4】(2022•雅安)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A(﹣1，0)，B(3，0)，且与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．1．(2020•河北模拟)已知抛物线C：y＝ax2+bx+c(a＞0，c＜0)的对称轴为x＝4，C为顶点，且A(2，0)，C(4，﹣2)【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．2．(2018秋•宁城县期末)已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A(1，0)，C(﹣3，0)，(1)如图1，已知顶点坐标D为(﹣1，4)或B点(0，3)，选择适当方法求抛物线的解析式；(2)如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；(3)如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P(m，0)(﹣3＜m＜﹣1)，与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．3．(2021•桥西区模拟)如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；(3)如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．4．(2022•和平区二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2，4)，且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；(2)过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点(点D与点A不重合)，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．5．(2022•鹿城区校级二模)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标．(2)连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F(F在E的右侧)，过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．6．(2021•南岗区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A(﹣3，0)，B(4，0)，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．7．(2021•凉山州模拟)如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1，0)，且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．8．(2022•无锡二模)已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3(m＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；(3)若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．9．(2021•乳源县三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(5，0)，B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C(0，)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；(3)若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．10．(2021•河池)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣(x﹣1)2+4与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于点C．(1)求直线CA的解析式；(2)如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．(3)直线y＝nx+n与抛物线交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．11．(2021•桂林)如图，已知抛物线y＝a(x﹣3)(x+6)过点A(﹣1，5)和点B(﹣5，m)，与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，m的值和点C的坐标；(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．12．(2021•吉林)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A(0，﹣)，点B(1，)．(1)求此二次函数的解析式；(2)当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c(﹣2≤x＜)的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．(2020•武汉模拟)已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C．(1)则点A的坐标为 　   　，点B的坐标为 　   　．(2)如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE．(3)如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．14．(2020•哈尔滨模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；(3)已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．(2019•衡阳)如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．(2020•天津)已知点A(1，0)是抛物线y＝ax2+bx+m(a，b，m为常数，a≠0，m＜0)与x轴的一个交点．(Ⅰ)当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m，0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？17．(2020•凉山州)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O(0，0)、A(1，0)、B(，)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．18．(2020•滨州)如图，抛物线的顶点为A(h，﹣1)，与y轴交于点B(0，﹣)，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线l是过点C(0，﹣3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．(2016•巴彦淖尔)如图所示，抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A(6，0)两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；(2)求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P(x，y)是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．20．(2018•葫芦岛)如图，抛物线y＝ax2+4x+c(a≠0)经过点A(﹣1，0)，点E(4，5)，与y轴交于点B，连接AB．(1)求该抛物线的解析式；(2)将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．