专题23二次函数推理计算与证明综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题23二次函数推理计算与证明综合问题

【例1】(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
(1)当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【分析】(1)将点(1，m)，(3，n)代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；
(2)再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．
【解答】解：(1)将点(1，m)，(3，n)代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，2)．
(2)∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
【例2】(2022•绍兴)已知函数y＝﹣x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，﹣3)，(﹣6，﹣3)．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
(2)根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
(3)根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【解答】解：(1)把(0，﹣3)，(﹣6，﹣3)代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
(2)∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣(x+3)2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
(3)①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+(﹣3)＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4(舍去)．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣(m+3)2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝(舍去)．
综上所述，m＝﹣2或．
【例3】(2022•青岛)已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【分析】(1)将(2，4)代入解析式求解．
(2)由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：(1)将(2，4)代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
(2)∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
【例4】(2022•杭州)设二次函数y1＝2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
(2)若函数y1的表达式可以写成y1＝2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．
(3)设一次函数y2＝x﹣m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1＝2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点(x0，0)时，求x0﹣m的值．
【分析】(1)根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2(x﹣x1)(x﹣x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
(2)把函数y1＝2(x﹣h)2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
(3)把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点(x0，0)，把(x0，0)代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：(1)∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A(1，0)、B(2，0)，
∴y1＝2(x﹣1)(x﹣2)，即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
(2)把y1＝2(x﹣h)2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2(h﹣1)2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
(3)由题意得，y＝y1﹣y2
＝2(x﹣m) (x﹣m﹣2)﹣(x﹣m)
＝ (x﹣m)[2(x﹣m)﹣5]．
∵函数y的图象经过点 (x0，0)，
∴(x0﹣m)[2(x0﹣m)﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2(x0﹣m)﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
【例5】(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点(1，1)，(，)，(﹣，﹣)，……都是和谐点．
(1)判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数y＝ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【分析】(1)设函数y＝2x+1的和谐点为(x，x)，可得2x+1＝x，求解即可；
(2)将点(，)代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣(x﹣3)2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：(1)存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为(x，x)，
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为(﹣1，﹣1)；
(2)①∵点(，)是二次函数y＝ax2+6x+c(a≠0)的和谐点，
∴＝a+15+c，
∴c＝﹣a﹣，
∵二次函数y＝ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c＝﹣；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣(x﹣3)2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．

一．解答题(共20题)
1．(2022•瑞安市校级三模)已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
(2)设点P(m，y1)，Q(4，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【分析】(1)把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值；
(2)根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a(x﹣1)2+a2﹣a﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
若抛物线的顶点在x轴上，
则a2﹣a﹣2＝0，
∴a＝2或﹣1．
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
则Q(4，y2)关于直线x＝1对称点的坐标为(﹣2，y2)，
∴当a＞0时，若y1＜y2，m的取值范围为：﹣2＜m＜4；
当a＜0时，若y1＜y2，m的取值范围为：m＜﹣2或m＞4．
2．(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)、点B(x2，y2)为抛物线y＝ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；
(3)若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．
【分析】(1)先化抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2+1，依此可求抛物线的对称轴；
(2)利用二次函数性质即可求得答案；
(3)利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答．
【解答】解：(1)y＝ax2﹣2ax+a＝a(x﹣1)2，
∴抛物线的对称轴为x＝1；
(2)∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，
∴1﹣x1＞1﹣x2，
∴A离对称轴越远，
若a＞0，开口向上，则y1＞y2，
若a＜0，开口向下，则y1＜y2，
(3)∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，
∴t＜0且t＞1，
∴存在1﹣x1＝x2﹣1，
即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，
∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣(t+1)＜t+3﹣1，
∴﹣1＜t＜0．
3．(2022•新野县三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．
(1)抛物线的对称轴为直线 　x＝2　，抛物线与y轴的交点坐标为 　(0，2)　；
(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．
【分析】(1)由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，答案可得；
(2)利用当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝﹣＝2．
令x＝0，则y＝2．
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2与y轴的交点为(0，2)．
故答案为：x＝2；(0，2)．
(2)∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝2，
∴顶点在1≤x≤5范围内，
∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，
∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6，
∴25a﹣20a+2＝﹣6，
解得a＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2+x+2
当x＝2时，y＝﹣×22+×2+2＝，
∴此时y的最大值为．
当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6，
∴4a﹣8a+2＝﹣6，
解得a＝2，
∴抛物线为y＝2x2﹣8x+2，
当x＝5时，y＝2×25﹣8×5+2＝12，
∴此时y的最大值12．
综上，y的最大值为12．
4．(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+(a﹣1)x﹣1．
(1)若该函数的图象经过点(1，2)，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若(x1，y1)，(x1，y2)为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．
(3)当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
【分析】(1)直接将点(1，2)代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；
(2)利用题意，﹣＝＝＝﹣1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
(3)利用顶点公式求得x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，由a＜0且a≠﹣1即可判断x＜0，y＞0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．
【解答】解：(1)∵函数图象过点(1，2)，
∴将点代入y＝ax2+(a﹣1)x﹣1，
解得a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，
∴x＝﹣＝﹣，
∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，
∴该二次函数的顶点坐标为(﹣，﹣)；
(2)函数y＝ax2+(a﹣1)x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，
∵(x1，y1)，(x2，y2)为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，
∴﹣＝＝＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣(x+1)2≤0，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；
(3)∵y＝ax2+(a﹣1)x﹣1，
∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，
∵a＜0且a≠﹣1，
∴x＜0，y＞0，
∴该二次函数图象的顶点在第二象限．
5．(2022•盈江县模拟)抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．
(1)求b，c的值；
(2)抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．
①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；
②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．
【分析】(1)根据对称轴公式x＝﹣，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值；
(2)①由(1)可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得n＝﹣m﹣3，从而可得抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，根据对称轴公式x＝﹣，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中，即可证明；
②先分别求出点P和点Q的横坐标，由①可得n＝﹣11，设点E横坐标为x，由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标，即可求解．
【解答】(1)解：∵抛物线C1：y＝x2+bx+c对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴x＝﹣＝1，c＝﹣3，
∴b＝﹣2；
(2)①证明：∵抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点P的坐标为：(1，﹣4)，
∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点，
∴﹣4＝﹣12+m+n，
∴n＝﹣m﹣3，
∴抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，
∴对称轴为：直线x＝﹣＝，
将x＝代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：
y＝﹣m﹣3，
∴点Q坐标为：(，﹣m﹣3)，
将x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，得：
y＝﹣m﹣3，
∴点Q也在抛物线C1上；
②解：由①知n＝﹣m﹣3，
∵m＝8，
∴n＝﹣11，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+8x﹣11，对称轴为：直线x＝＝4，
设点E横坐标为x，
∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，
∴点E坐标为(x，x2﹣2x﹣3)，1＜x＜4，
∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，
∴点F横坐标为x，
∴点F坐标为(x，﹣x2+8x﹣11)，
∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣(x2﹣2x﹣3)
＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3
＝﹣2x2+10x﹣8
＝﹣2(x2﹣5x+4)
＝﹣2(x2﹣5x+)+
＝﹣2(x﹣)2+，
∴当x＝时，EF取得最大值，最大值为，
∴EF长度的最大值为．
6．(2022•沂水县二模)抛物线y＝ax2+bx经过点A(﹣4，0)，B(1，5)；点P(2，c)，Q(x0，y0)是抛物线上的点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；
(3)若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，(M、N两点不重合)，当MN≤5时，求m的取值范围．
【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)根据二次函数的性质判断即可；
(3)设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则(x1﹣x2)2≤25，所以(x1+x2)2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx经过点A(﹣4，0)，B(1，5)，
∴，解得，
∴抛物线为y＝x2+4x，
∵y＝x2+4x＝(x+2)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2，﹣4)；
(2)∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵点P(2，c)关于对称轴的对称点为(﹣6，c)，
∵x0＞﹣6，
∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；
当x0≥2时，则c≤y0；
(3)设M、N的横坐标分别为x1、x2，
∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，(M、N两点不重合)，
∴x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，
∵MN≤5，
∴(x1﹣x2)2≤25，
∴(x1+x2)2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，
解得m≤，
∵抛物线的顶点坐标为(﹣2，﹣4)，
∴函数的最小值为﹣4，
∴﹣4＜m≤．
7．(2022•姜堰区二模)设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x(2x+m)+n．
(1)求证：y1，y2的图象必有交点；
(2)若m＞0，y1，y2的图象交于点A(x1，a)、B(x2，b)，其中x1＜x2，设C(x3，b)为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
(3)在(2)的条件下，如果存在点D(x1+2，c)在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
【分析】(1)证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x(2x+m)+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；
(2)由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；
(3)把点A(x1，a)、点D(x1+2，c)代入y2＝x(2x+m)+n，根据a＞c得x1(2x1+m)+n﹣2(x1+2)2﹣m(x1+2)﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由(2)得x1＝﹣，代入求解即可．
【解答】(1)证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x(2x+m)+n，
化简为：2x2+(m﹣2)x﹣m＝0，
△＝(m﹣2)2+8m＝(m+2)2≥0，
∴方程2x+m+n＝x(2x+m)+n有解，
∴y1，y2的图象必有交点；

(2)解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x(2x+m)+n，
化简为：2x2+(m﹣2)x﹣m＝0，
(2x+m)(x﹣1)＝0，
∵m＞0，x1＜x2，
∴x1＝﹣，x2＝1，
∴b＝2+m+n，
当y＝2+m+n时，y2＝x(2x+m)+n＝2+m+n，
化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，
2x2﹣2+mx﹣m＝0，
2(x+1)(x﹣1)+m(x﹣1)＝0，
(2x+m+2)(x﹣1)＝0，
解得，x＝1(等于x2)，或x＝，
∴x3＝，
∴x3﹣x1＝﹣(﹣)＝﹣1；


(3)解：∵点D(x1+2，c)在y2的图象上，
∴c＝(x1+2)[2(x1+2)+m]+n＝2(x1+2)2+m(x1+2)+n．
∵点A(x1，a)在y2的图象上，
∴a＝x1(2x1+m)+n．
∵a＞c，
∴a﹣c＞0，
∴x1(2x1+m)+n﹣2(x1+2)2﹣m(x1+2)﹣n＞0，
化简得4x1+4+m＜0，
由(2)得x1＝﹣，
∴4×(﹣)+4+m＜0，
﹣2m+4+m＜0，
﹣m+4＜0，
m＞4，
∴m的取值范围为m＞4．
8．(2022•西城区校级模拟)已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；
(3)若这条抛物线经过点P(2m+1，y1)，Q(2m﹣t，y2)，且y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．
(2)由二次函数的对称性及AB＝4可得点A，B坐标，进而求解．
(3)由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'坐标，由抛物线开口向下可求解．
【解答】解：(1)∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝(x﹣2m)2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为(2m，﹣1)．
(2)∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m，
∴抛物线经过(2m+2，n)，(2m﹣2，n)，
将(2m+2，n)代入y＝(x﹣2m)2﹣1得n＝22﹣1＝3．
(3)点P(2m+1，y1)关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为(2m﹣1，y1)，
∵抛物线开口向上，
∴当2m﹣t＞2m+1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2，
解得t＜﹣1或t＞1．
9．(2022•黄岩区一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．
(1)当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．
①求抛物线解析式；
②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；
(2)设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1(m≠n)时，M＝N．求证：a+b＝1．
【分析】(1)①由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标，然后通过待定系数法求解．
②由抛物线开口方向及交点横坐标求解．
(2)由y＝y1﹣y2，M＝N可得m，n为方程ax2+(b﹣1)x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系进行证明．
【解答】解：(1)①将x＝﹣1和x＝2分别代入y2＝x+1得y2＝0，y2＝3，
∴抛物线经过(﹣1，0)，(2，3)，
∴，
解得，
∴y1＝﹣x2+2x+3．
②∵抛物线y1＝﹣x2+2x+3开口向下，抛物线与直线交点坐标为(﹣1，0)，(2，3)，
∴﹣1＜x＜2时，y1＞y2．
(2)∵y＝y1﹣y2＝ax2+bx+3﹣(x+1)＝ax2+(b﹣1)x+2，
∴x＝m时，M＝am2+(b﹣1)m+2，
x＝n时，N＝an2+(b﹣1)n+2，
∴m，n为方程ax2+(b﹣1)x+2＝0的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝﹣＝1，
∴b﹣1＝﹣a，
∴a+b＝1．
10．(2022•路桥区一模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣(m+2)x+m(m是常数)．
(1)求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)若点A(2m+1，7)在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，若抛物线y＝x2﹣(m+2)x+m与直线y＝x+t(t是常数)在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．
【分析】(1)由Δ＝b2﹣4ac＞0证明．
(2)将点A坐标代入解析式求解．
(3)分类讨论，通过数形结合求解．
【解答】解：(1)令x2﹣(m+2)x+m＝0，
则Δ＝(m+2)2﹣4m＝m2+4＞0，
∴方程x2﹣(m+2)x+m＝0有两个不相等实数根，
∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．
(2)将(2m+1，7)代入y＝x2﹣(m+2)x+m得7＝(2m+1)2﹣(m+2)(2m+1)+m，
解得m＝2或m＝﹣2，
当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，
当m＝﹣2时，y＝x2﹣2．
(3)①当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，
令x2﹣4x+2＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴抛物线与x轴交点坐标为(2+，0)，(2﹣，0)，
如图，当直线y＝x+t经过(2+，0)时，2++t＝0，
解得t＝﹣2﹣，

当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，令x2﹣4x+2＝x+t，整理得x2﹣5x+2﹣t＝0，
则Δ＝52﹣4(2﹣t)＝17+4t＝0，
解得t＝﹣，

∴﹣＜t＜﹣2﹣满足题意．
②同理，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2，
将x＝0代入y＝x2﹣2得y＝﹣2，
∴抛物线经过(0，﹣2)，
将(0，﹣2)代入y＝x+t得t＝﹣2，
令x2﹣2＝x+t，
由Δ＝1﹣4(﹣2﹣t)＝0可得t＝﹣，
∴﹣＜t＜﹣2满足题意．
综上所述，﹣＜t＜﹣2﹣或﹣＜t＜﹣2．
11．(2022•安徽模拟)已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
(1)若抛物线经过(﹣1，﹣2)时，求抛物线解析式；
(2)设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
(3)若线段AB两端点坐标分别是A(0，2)，B(2，2)，当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】(1)将(﹣1，﹣2)代入解析式求解．
(2)将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得yp取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
(3)分别将点A，B坐标代入解析式求解．
【解答】解：(1)将(﹣1，﹣2)代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，
解得m＝﹣1，
∴y＝x2+2x﹣1．
(2)将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得yP＝m2+4m+2＝(m+2)2﹣2，
∴m＝﹣2时，yp取最小值，
∴y＝x2+4x+2＝(x+2)2﹣2，
∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2．
(3)∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝(x﹣m)2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为(m，﹣2)，
∴抛物线随m值的变化而左右平移，
将(0，2)代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，
解得m＝2或m＝﹣2，
将(2，2)代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，
解得m＝0或m＝4，
∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，
2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
12．(2022•富阳区一模)已知抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣)．
(1)若抛物线过点(2，1)，求抛物线的解析式；
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)、N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，试判断点(2，﹣9)在不在此抛物线上；
(3)抛物线上有两点E(0，n)、F(b，m)，当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．
【分析】(1)将(2，1)代入函数解析式求解．
(2)由当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将x＝2代入解析式判断．
(3)由b≤﹣2时，m≤n恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点坐标，列不等式求解．
【解答】解：(1)将(2，1)代入y＝a(x﹣1)(x﹣)得1＝a(2﹣)，
解得a＝2，
∴y＝2(x﹣1)(x﹣)．
(2)∵y＝a(x﹣1)(x﹣)，
∴抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(，0)，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0，0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，
∴抛物线对称轴为值x＝0，即1+＝0，
解得a＝﹣3，
∴y＝﹣3(x﹣1)(x+1)，
将x＝2代入y＝﹣3(x﹣1)(x+1)得y＝﹣9，
∴点(2，﹣9)在抛物线上．
(3)∵抛物线对称轴为直线x＝，
∴点E(0，n)关于对称轴对称的点E'(1+，n)，
∵当b≤﹣2时，m≤n恒成立，
∴抛物线开口向下，即a＜0，且﹣2≤1+，
解得a≤﹣1．
13．(2022•河东区二模)已知抛物线y＝a(x+3)(x﹣4)与y轴交于点A(0，﹣2)．
(Ⅰ)求抛物线y＝a(x+3)(x﹣4)的解析式及顶点坐标；
(Ⅱ)设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．
(i)若点D在抛物线上，求点D的坐标；
(ii)点E(2，﹣)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．
【分析】(Ⅰ)将点A(0，﹣2)代入y＝a(x+3)(x﹣4)，即可求解；
(Ⅱ)(i)设P(t，0)，分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，通过证明△PND≌△AOP(AAS)，可得D(t+2，﹣t)，再将D点代入二次函数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得D(t﹣2，t)，再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；
(ii)分两种情况讨论：当D点在x轴下方时，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，P(2，0)；当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，可证明△GAF≌△APO(AAS)，从而得到GF＝2，则E点与G点重合，OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，求出P(﹣，0)．
【解答】解：(Ⅰ)将点A(0，﹣2)代入y＝a(x+3)(x﹣4)，
得﹣12a＝﹣2，
∴a＝，
∴y＝(x+3)(x﹣4)＝x2﹣x﹣2，
∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣)2﹣，
∴顶点为(，﹣)；
(Ⅱ)(i)令a(x+3)(x﹣4)＝0，
解得x＝4或x＝﹣3，
∴B(4，0)，
设P(t，0)，
如图1，当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，
∵∠APD＝90°，
∴∠OPA+∠NPD＝90°，∠OPA+∠OAP＝90°，
∴∠NPD＝∠OAP，
∴△PND≌△AOP(AAS)，
∴OP＝ND，AO＝PN，
∴D(t+2，﹣t)，
∴(t+5)(t﹣2)＝﹣t，
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D(3，﹣1)或(﹣8，10)；
当点D在点P的左侧时，同理可得D(t﹣2，t)，
∴t＝(t﹣2+3)(t﹣2﹣4)，
解得t＝，
∴D(，)或(，)；
综上所述：D点坐标为(3，﹣1)或(﹣8，10)或(，)或(，)；
(ii)如图2，当D点在x轴下方时，
∵PE平分∠APD，
∴∠APE＝∠EPD，
∵∠APD＝90°，
∴∠APE＝45°，
当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，
∴P(2，0)；
如图3，当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，
∵∠PAF+∠FAG＝90°，∠FAG+∠FGA＝90°，
∴∠PAF＝∠FGA，
∵PE平分∠APD，∠APD＝90°，
∴∠APE＝∠EPD＝45°＝∠AGP，
∵AP＝AG，
∴△GAF≌△APO(AAS)，
∴AF＝OP，FG＝OA，
∵OA＝2，
∴GF＝2，
∵E(2，﹣)，
∴E点与G点重合，
∴OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，
∴P(﹣，0)；
综上所述：P点坐标为(2，0)或(﹣，0)．



14．(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；
(2)①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；
②按第一种情况：当点A是最高点，可得m＞1或m＜﹣，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；
(3)分情况讨论：①当m＜﹣1时，②当﹣1≤m≤1时时，③当1＜m＜2时，④当2＜m＜3时，⑤当m＝3，⑥当3≤m＜4时，⑦当m＝4时，⑧当m＞4时，分别画出图形求解即可．
【解答】解：(1)把(0，﹣1)和(2，7)代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝(x+1)2﹣2，
∴顶点C的坐标为(﹣1，﹣2)；
(2)①当x＝﹣1﹣2m时，y＝(﹣1﹣2m+1)2﹣2＝4m2﹣2，
∴B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，
则AC＝BC，
又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，
∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，
∴A(2m﹣1，4m2﹣2)，
∵点A的横坐标为m，
∴2m﹣1＝m，
解得：m＝1，
∴A(1，2)，B(﹣3，2)，
∵由(1)得，C(﹣1，﹣2)，
∴S△ABC＝[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]＝8；
②∵A(m，(m+1)2﹣2)，B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣时，
则h＝(m+1)2﹣2﹣(﹣2)＝(m+1)2；
当点B是最高点，即0≤m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣(﹣2)＝4m2，
综上，h与m之间的函数关系式为：h＝(m+1)2(m＞1或m＜﹣)或 h＝4m2(0≤m＜1)；
(3)①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；
②当﹣1≤m≤1时，则1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
③当1＜m＜2时，则0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
④当2＜m＜3时，则﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
⑤当m＝3时，点E在抛物线上，此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；
⑥当3＜m＜4时，则﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；
⑦当m＝4时，则2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点)；
⑧当m＞4时，则2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点．
综上，当m≤﹣1或m＝4时，抛物线与矩形有3个交点．
15．(2022•长春二模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；
(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】(1))直接利用对称轴公式x＝﹣即可求出；
(2)①y1＞y2利用图象法，根据函数的增减性判断即可；
②通过计算可知，点P(m﹣1，1)、Q(m+1、1)为抛物线上关于对用轴x＝m对称的两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：当y轴在点P左侧时(含点P)，作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时y1＝y2，不符题意；当y轴在点Q右侧时(含点Q)，作出图形，即可得出点M、N分别和点P、Q重合，此时y1＝y2，不符题意；当y轴在点P、Q之间时(不含P、Q)，作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，此时y1＞y2，符合题意，即有m﹣1＜0＜m+1．即﹣1＜m＜m；
(3)当m＞0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，当m＜0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，分别解出即可得到结果．
【解答】解：(1)抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x＝﹣＝m；
(2)①当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴，
∴图形G如图1所示：

：图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
②通过计算可得，P(m﹣1，1)，Q(m+1，1)为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：
如图2所示：当y轴在点P左侧时(含点P)，

经翻折后，得到点M、N的纵坐标相同，y1＝y2，不符合题意；
如图3所示：当y轴在点Q右侧时(含点Q)，

点M，N分别和点P、Q重合，y1＝y2，不符合题意；
如图4所示：当y轴在点P、Q之间时(不含P、Q)，

经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意，
此时有m﹣1＜0＜m+1，
∴﹣1＜m＜1，
综上所述：m的取值范围为﹣1＜m＜1；
(3)当m＞0时，如图所示

∵抛物线y＝x2﹣2m+m2翻折后y＝﹣(x﹣m)2+2m2，
∴图象G与直线：y＝m+2恰好有3个公共点在点A、B之间，
∴，
∴解得＜m＜2；
当m＜0时，如图所示，

∴图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，
∴，
∴解得：﹣2＜m＜﹣1．
综上所述，m的取值范围为：＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．
16．(2022•开福区校级一模)已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c(a＞0)．
(1)若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；
(2)当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；
(3)若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．
【分析】(1)根据抛物线顶点式可得y＝a(x﹣1)2+1＝ax2﹣2ax+a+1，即可得出答案；
(2)由题意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可得|ax2+bx+c|≥0，进而可得﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，即可得出答案；
(3)由直线与抛物线C1有且只有一个公共点，可得方程ax2+(b﹣m)x++m+c＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，可得(b﹣m)2﹣4a(+m+c)＝0，进而可得，即可求得：a＝1，b＝﹣2，c＝1；抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，由于抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，分别根据二次函数的性质讨论即可．
【解答】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，1)，
∴y＝a(x﹣1)2+1＝ax2﹣2ax+a+1，
∴b＝﹣2a，c＝a+1；
(2)∵y＝ax2+bx+c，a＞0，c＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，
∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，
∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；
(3)∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+(b﹣m)x++m+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴(b﹣m)2﹣4a(+m+c)＝0，
整理得：(1﹣a)m2﹣2(2a+b)m+b2﹣4ac＝0，
∵不论m为任何实数，(1﹣a)m2﹣2(2a+b)m+b2﹣4ac＝0恒成立，
∴，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．
此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，
∴(k+1﹣1)2＝k，
解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，
∴k＝0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，
∴(k﹣1)2＝k，
解得：k＝或，
∵k＞1，
∴k＝，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．
17．(2022•安徽模拟)已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A(﹣2，2)，该图象与直线x＝2相交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；
(3)点M(m，0)、N(n，0)是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．
【分析】(1)将(﹣2，2)代入解析式求出c与a的关系，再将x＝2代入解析式求解．
(2)由抛物线顶点坐标公式求出顶点纵坐标为c+，由a2+b2≥2ab可得a＝b时，即c＝时，c+取最小值．
(3)分类讨论图象开口向上，向下两种情况，结合图象，根据抛物线经过定点A，B求解．
【解答】解：(1)将(﹣2，2)代入y＝ax2﹣x+c得2＝4a+2+c，
∴4a+c＝0，
将x＝2代入y＝ax2﹣x+c得y＝4a﹣2+c＝﹣2，
∴点B坐标为(2，﹣2)．
(2)∵4a+c＝0，
∴c＝﹣4a，
∵c＞0，
∴a＜0，
∵y＝ax2﹣x+c，
∴抛物线顶点纵坐标为＝c﹣＝c+，
∵a2+b2﹣2ab＝(a﹣b)2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴a＝b时，a2+b2＝2ab为最小值，
∴当c＝时，c+取最小值，
解得c＝﹣1(舍)或c＝1，
∴c+最小值为2，即图象顶点纵坐标的最小值为2．
(3)如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣4a开口向上，

∵抛物线经过定点A(﹣2，2)，B(2，﹣2)，m＞﹣2，n＜3，
∴n＝3时，y＞0，
∴，
解得a＞．
如图，抛物线开口向下，

点N在点A左侧，n＜﹣2满足题意，
点M在点A右侧点B左侧，m＞﹣2满足题意，
∴a＜0符合题意．
综上所述，a＞或a＜0．
18．(2022•江都区一模)对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣(x﹣3)2+2是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为 　②　(只填序号即可)，其上确界为 　7　；
(2)若反比例函数y＝(a≤x≤b，a＞0)的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
(3)如果函数y＝﹣x2+2ax+2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【分析】(1)y＝x2+2x+1＝(x+1)2≥0，则函数是没有上界函数；y＝2x﹣3(x≤5)时y≤7，则函数是有上界函数，上确界为7；
(2)由题意可得≤y≤，则＝b+1，＝2，分别求出a、b即可；
(3)分三种情况讨论：①a≤﹣1时，1﹣2a＝6，解得a＝﹣；②a≥3时，6a﹣7＝6，解得a＝(舍)；③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，a2+2＝6，解得a＝2或a＝﹣2(舍)．
【解答】解：(1)∵y＝x2+2x+1＝(x+1)2，
∴y≥0，
∴y＝x2+2x+1没有上界函数；
∵y＝2x﹣3(x≤5)，
∴y≤7，
∴y＝2x﹣3(x≤5)有上界函数，上确界为7，
故答案为：②，7；
(2)∵y＝(a≤x≤b，a＞0)，
∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，
∴≤y≤，
∵函数上确界是b+1，
∴＝b+1，
∵函数的最小值为2，
∴＝2，
∴b＝3，
∴a＝；
(3)∵y＝﹣x2+2ax+2＝﹣(x﹣a)2+a2+2，
∴当x＝a时，y有最大值a2+2，
①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，
∵6为上确界，
∴1﹣2a＝6，
∴a＝﹣；
②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，
∵6为上确界，
∴6a﹣7＝6，
∴a＝(舍)；
③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，
∵6为上确界，
∴a2+2＝6，
∴a＝2或a＝﹣2(舍)；
综上所述：a的值为﹣或2．
19．(2022•亭湖区校级一模)已知抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A．
(1)点A的坐标为 　(0，﹣2)　；对称轴为 　x＝　(用含a的代数式表示)；
(2)无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，则点B的坐标为 　(3，1)　；
(3)若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；
(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B)，若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．
【分析】(1)令x＝0，求得对应的y值即可求得点A的坐标；利用二次函数的性质即可求得抛物线的对称轴；
(2)利用a的系数为0，求得对应的x值，将x值代入解析式即可求得结论；
(3)利用分类讨论的思想方法，用待定系数法解答即可；
(4)利用分类讨论的方法分①当a＞0时和②当a＜0时两种情况讨论解答，结合图象，利用轴对称的性质和待定系数法解答即可．
【解答】解：(1)令x＝0，则y＝﹣2，
∴A(0，﹣2)；
抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x＝﹣＝，
故答案为：(0，﹣2)；x＝；
(2)∵抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2＝ax2﹣3ax+x﹣2＝(x2﹣3x)a+x﹣2，
又无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，
∴x2﹣3x＝0，
∴x＝3，
∵当x＝3时，y＝x﹣2＝1，
∴B(3，1)，
故答案为：(3，1)；
(3)∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2开口方向向下．
由(1)知：抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x＝，
①若≤﹣1，则a≥，与a＜0矛盾，不合题意；
②若﹣1＜＜3，则a＜﹣，
此时，抛物线的顶点为图象最高点，
即当x＝时，函数y的值为2，
∴a×﹣(3a﹣1)×﹣2＝0，
解得：a＝﹣1或a＝﹣(不合题意，舍去)．
∴a＝﹣1；
③若≥3，则﹣≤a＜0，
此时，点(3，2)是满足﹣1≤x≤3时，图象的最高点，
∵9a﹣3(3a﹣1)﹣2＝1≠2，
∴此种情况不存在，
综上，满足条件的抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2；
(4)∵B(3，1)，
∴将点B沿直线y＝﹣2进行翻折后得到的对称点的坐标为B′(3，﹣5)，
∴点B′到直线y＝﹣6的距离为1．
①当a＞0时，
∵图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，
∴此时，抛物线的顶点的纵坐标为﹣4，
∴＝﹣4，
解得：a＝，
∴a＝或；
②当a＜0时，
∵点B′到直线y＝﹣6的距离为1，
∴图象M1上仅存在一个点到直线y＝﹣6的距离为2，
综上，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，a的值为或．
20．(2022•义安区模拟)已知抛物线的图象经过坐标原点O．
(1)求抛物线解析式．
(2)若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点(0，1)，设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．
①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．
②求证：无论k为何值，k1k2为定值．
【分析】(1)先把(0，0)代入，得出c＝n2，再代入即可得解；
(2)①设B(﹣t，1)，C(t，1)，t＞0，分别代入直线OB、OC，得出kOB，kOC求解即可；
②联立，再利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2，进而得出，，求解即可．
【解答】(1)解：由题意，把(0，0)代入，
得0＝﹣n2+c，
∴c＝n2，
∴y＝，
∴抛物线解析式为y＝x2；
(2)解：①由题意得，B、C两点关于y轴对称，
设B(﹣t，1)，C(t，1)，t＞0，
∴＝1，解得：t＝±，
∴代入OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x，
∴
∴
即；
②证明：由题知，直线BC：y＝kx+1：
联立得：，
得：，
∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2，
∵点B在直线OB上，
∴kx1+1＝k1x1，即，
∵点C在直线OC上，
∴kx2+1＝k2x2，即，
∴＝＝＝，
即无论k为何值，k1k2为定值，值为．