专题01+单调性的几个等价命题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题01 单调性的几个等价命题

【方法点拨】

1. 函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有；
2. 对任意，当时,都有函数f(x)－kx为上的增函数

说明：含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或?,?等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.

【典型题示例】

例1   （2022·江苏南通海安12月考·8）已知f(x)＝x2＋2ax－1，对任意x1、x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，恒有x2f(x1)－x1f(x2)＜a(x1－x2)成立，则实数a的取值范围是（    ）

A. (－∞，2] B. (－∞，3] C. (－∞，] D. (0，]

【答案】A

【分析】由已知条件可得函数在上单调递增，所以在上恒成立，从而可得在上恒成立，进而可求得答案

【解析】由，，得，

所以，

因为且，

所以函数在上单调递增，即在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，

所以实数a的取值范围是，

故选：A

例2   已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据结合，可得出，可知函数在上为增函数，可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

【解析】由以及，，

所以，，

构造函数，则，

所以，函数在上为增函数，

由于，则对任意的恒成立，

由，可得，

当时，则，当且仅当时，等号成立，

所以，，因此实数的取值范围是.

故选：B.

例3    已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,1)点，对任意，当时,都有，则不等式)的解集为(            )

A.(In2, +∞)  B.(-∞,ln2)  C.(In 2,1)  D.(0, ln 2)

【答案】D

【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将化为

令，

故在R上单增，且

可化为

即，所以，，解之得

所以不等式)的解集为(0, ln 2).

点评：

1. f(x)在单增（减）对任意，当时，都有 ；
2. 结构联想，当题目中出现，应移项通分转化为，即F(x)=f(x)－ax在单增.

例4    已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.

【解析】不等式可变形为，

即，当，且恒成立，

所以函数在上单调递减.

令

则在上恒成立，

即在上恒成立.

设，则.

因为当时，，

所以函数在上单调递减，

所以，

所以，

即实数的取值范围为.

例5    已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为

A.   B.   C.   D.

【答案】D

【解析】构造函数，则因为是定义在上的奇函数，故为定义域是 的偶函数

又对任意两个不相等的正数都有，即，故在上为减函数.

综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.

又，，，且

所以，即,故答案为：D.

【巩固训练】

1. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A．          B．       C．           D．

2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

3.若对∀x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<x2，都有<1，则m的最小值是(　　)

注：(e为自然对数的底数，即e＝2.718 28…)

A.          B．e         C．1           D.

4.已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5.已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．         B．  

C．                        D．

6.设函数是定义在上的奇函数，，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为______.

7.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是　     　．

8.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（   ）

A．7 B．8 C．9 D．11

【答案与提示】

1. 【答案】B

【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故选B.

2. 【答案】A

【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.

【解析】由且得：

令，可知在上单调递增

在上恒成立，即：

令，则

时，，单调递减；时，，单调递增

    ，解得：

本题正确选项：

点评：

本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.

3.【答案】　C

【解析】　由题意，当0≤m<x1<x2时，

由<1，等价于x1ln x2－x2ln x1<x2－x1，即x1ln x2＋x1<x2ln x1＋x2，

故x1(ln x2＋1)<x2(ln x1＋1)，故<，

令f(x)＝，则f(x2)<f(x1)，

又∵x2>x1>m≥0，

故f(x)在(m，＋∞)上单调递减，

又由f′(x)＝，令f′(x)<0，解得x>1，

故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故m≥1.

4. 【答案】B

【解析】因为，不妨设，则可化为，即

设

则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立

所以在R上单增

故在R上恒成立

所以，故

所以实数的取值范围是， 选B．

5. 【答案】B

【解析】令，则，成立，

则为单调增函数，

若对任意的恒成立，则，

即，即都有，

令，则，

∴，∴，故选B

6.【答案】

【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.

综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.

且.故即.

根据函数性质解得，故答案为：.

7.【答案】，

【解析】设，则，

，

令，

，

在上单调递减，

，

，

时，，

．

的取值范围是，．

故答案为：，．

8.【答案】C

【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.

【解析】由题干条件可知：等价于，

令，，则

， ，

当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值

.

令，，则，当时，此题无解，所以，

则，当，当，

所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.

若成立，只需，即，即，

两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，

令，本题即求的最大的正整数.

恒成立，则在上单调递减，

，，，

所以的最大正整数为9.

故选：C.

点评:

本题考查构造函数法解决恒成立问题，双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为，只需.