专题02+函数的奇偶性与单调性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题02  函数的奇偶性与单调性

【方法点拨】

1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．

2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.

【典型题示例】

例1   （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数为奇函数，且存在m∈[－1，1]，使得不等式成立，则x的取值范围是           ．

【答案】[－2,2]

【解析】求得a=2，且f(x)为R上的增函数，

可化为f(x2)＋x2≤2－mx－f(mx－2)

由f(x)为奇函数，得2－mx－f(mx－2)= 2－mx＋f(2－mx)

令F(x)=f(x)＋x，则F(x2)≤F(2－mx)，故有x2≤2－mx，即x2＋mx－2≤0

令G(x)= x2＋mx－2

因为存在m∈[－1，1]，使G(x)= x2＋mx－2≤0

故G(－1)= x2－x－2≤0或G(1)= x2＋x－2≤0

解之得－2≤x≤2.

例2    已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，在f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”．

【解析】　∵f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)且x∈R，

∴f(x)是奇函数

∵函数f(x)＝x3－2x＋ex－，

∴f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时取等号)，

∴f(x)在R上单调递增.，

由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a).

所以2a2≤1－a，解之得－1≤a≤.

所以实数a的取值范围是.

例3   已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为         ． 

【答案】

【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.

【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增

由得

即

由是奇函数得，故

由在上单调递增，得，即，解得，

故实数的取值范围为.

例4    已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围．

【解析】函数，若存在使得不等式成立，

令，，

所以，为奇函数．

不等式，即，

即，

所以，

因为在上为增函数，在上为增函数，

所以在上为增函数，

由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，

令，，

由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，

（1），（4），所以，，

所以由题意可得，

即实数的取值范围是．

故答案为：．

例5   已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下：

，且恒成立，

，即，

当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或；

综上，时，实数的取值范围是，，．

故选：．

例6   已知函数，，则t的取值范围是       ．

【答案】

【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为，易知是奇函数，故进一步变为（#），故下一步需构造函数，转化为研究的单调性，而单增，故（#）可化为，即，解之得.

例7    (2022·江苏南通期末·8)已知函数，，，,则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.

【解析】令，其中，则，

因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，

当时，，此时，

故函数在上为增函数，

因为

故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，

所以，，

，则，即，

，则，则，即，

因此，.

故选：B.

【巩固训练】

1．若函数为偶函数，则实数=       

2.设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

3.已知函数，则满足的实数x的取值范围是        ．

4. 已知函数，若，则实数的取值范围__________.

5.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.

6.已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

7. （多选题）关于函数下列结论正确的是（    ）

A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称

C．在上单调递增 D．恒大于0

8.已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）.

A． B．

C． D．

9.已知函数.若存在m∈(1,4)使得不等式成立，则实数的取值范围是

A.             B.          C.           D.

10. 已知函数，则关于x不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知，若恒成立，则实数的取值范围___．

12.已知，若恒成立，则实数的取值范围_     __．

13. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

14.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案或提示】

1．【答案】1

【解析】奇函数，，.

2. 【答案】B

【解析】偶函数，且在单增，转化为，解得或.

3.【答案】（2,3）

【解析】奇函数，且单减，转化为，解得.

4. 【答案】

【解析】设，则奇函数，且单增，而，由得即，故，解之得.

5.【答案】

【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，

因此由得，故答案为：

6. 【答案】A

【解析】，该函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数，

当时，，

任取，，则，，

所以，，

，，即，

所以，函数在上单调递增，，

，则，

即.故选：A.

7. 【答案】ACD

8. 【答案】C

【解析】构造函数，

由于，所以，所以的定义域为.

，

所以为奇函数， .

当时，都为增函数，

所以当时，递增，所以在上为增函数.

由，得，

即，所以，解得.

所以不等式的解集为.故选：C

9. 【答案】C

【解析】

设，则为定义在的奇函数

所以关于点对称

又

所以当时，，在上单增

故在上也单增

因为可化为

所以

因为为的奇函数，

所以

又因为存在m∈(1,4)使得不等式成立，分参得

易得，所以，故选C.

10.【答案】A

【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.

【解析】函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数，

因为，

所以函数在上单调递增，

所以，

所以，即，解得

所以不等式的解集为

故选：A

11.【答案】

【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解

【解析】因为，

所以是上的奇函数，

，

，

所以是上的增函数，

等价于，

所以，所以，

令，则，

因为且定义域为，

所以是上的偶函数，

所以只需求在上的最大值即可.

当时，，，

则当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

可得：，即.

故答案为：.

12.【答案】

【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解

【解析】因为，

所以是上的奇函数，

，

，

所以是上的增函数，

等价于，

所以，所以，

令，则，

因为且定义域为，

所以是上的偶函数，

所以只需求在上的最大值即可.

当时，，，

则当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

可得：，即.

故答案为：.

13.【答案】D

【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.

【解析】，

令，则，可得是奇函数，

又，

又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；

当且仅当，即时等号成立；

故，可得是单调增函数，

由得，

即，即对恒成立.

当时显然成立；当时，需，得，

综上可得，故选：D.

14.【答案】A

【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.

【解析】由题设，令，

∴，

∴为奇函数，又，即为增函数，

∵，即，

∴，则，

∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，

∴，即.故选：A