2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 29. 椭圆轨迹汇编

这是一份2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 29. 椭圆轨迹汇编，共4页。试卷主要包含了定义法求轨迹方程的基本步骤，代入法求轨迹方程的基本步骤等内容，欢迎下载使用。

二．知识梳理:
1.定义法求轨迹方程的基本步骤:
2.代入法求轨迹方程的基本步骤:
三．典例分析.
1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.
例1．若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．
解析：由于点满足，即点到两个定点，的距离之和等于常数，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故，故椭圆的标准方程为.
例2．在中，若BC的长为6，周长为16，则顶点A在怎样的曲线上运动？
解析：如图，建立坐标系，
已知的周长为16，且，则，
有，得，又，所以，所以的顶点A的轨迹方程为：，即顶点A在椭圆上运动.
例3.如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程．
解析：连接，如下图：由题意可知，，圆的半径，且，
由垂直平分线定理可知，，故
由椭圆定义可知，的轨迹为椭圆，设的轨迹方程为：()，
从而，即，又因为、，所以，又由可知，，
从而的轨迹方程为：.
例4.已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切. 求动圆圆心的轨迹方程.
解析：设圆的半径的，则，
所以的轨迹是以的焦点的椭圆，则，，所以，，，故动圆圆心轨迹方程为
2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.
例5.已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.求点的轨迹.
解析：动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，，化简得：，即点的轨迹为.
3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.
例6.已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
求的方程.
解析：设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，
化简得 .
4.相关点法求轨迹.
例7．如图，设是圆上的动点，作轴，为垂足，为上一点，且.当在圆上运动时，求点的轨迹的方程.
解析：设点的坐标为，点的坐标为，因为轴且，得，即，因为在圆上，得，故，整理得，故的方程为.
四.练习题
1．化简方程为不含根式的形式是（ ）
A. B. C. D.
2．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A. B. C.D.
3．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C．D．
4.已知动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．求动点的轨迹方程.
5.设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点E的轨迹方程.
6.设为圆的动点，在轴的投影为，动点满足，动点的轨迹为.求的方程.