2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 30.抛物线焦点弦

这是一份2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 30.抛物线焦点弦，共5页。试卷主要包含了常用结论，抛物线的通径，通径长为，以焦点弦为直径的圆与准线相切等内容，欢迎下载使用。

抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1.,.
证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.
性质2.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
证明：，则的方程为，整理可得：
，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程
性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
证明：略
性质4.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
证明思路：中点弦问题，点差法即可.
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
2典例.例1.（2019年全国1卷）已知抛物线方程的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为.
若，求的方程；
若，求．
解析：（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
例2.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．
例3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条
互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则
的是小值为( )
A．B．C．D．
解析：法一:设,,直线方程为
取方程,得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知

当且仅当(或)时,取得等号．
法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为
根据焦点弦长公式有:
．
故选A．
法四:设点,则

设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以
同理
所以(当且仅当时等号成立)
更多结论：抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．
于是本题可以直接利用这个性质秒杀
,所以．
椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理
已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则．
其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离．