2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 37.圆锥曲线中的四点共圆

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（1）圆锥曲线四点共圆：若两条直线与
二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.
（2）相交弦定理：
2.典例（2021新高考1卷）
在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
解析：因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.
3.练习 (2016年高考四川卷第20题)已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于，，证明：.
解 (1)(过程略)椭圆的方程是.
(2)设，，线段的中点为.
可得，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得
所以，由推论1得四点共圆.再由相交弦定理，立得.