2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 02函数对称性与周期性及应用

函数对称性与周期性及应用

一．函数的对称性：

函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.

1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.（公众号：凌晨讲数学）

代数表示: (1).

          (2).

即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.

一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.

特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.

2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.

用代数式表示：(1).

              (2).

一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.

特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.（公众号：凌晨讲数学）

3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.

(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.

(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.

(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.

二．函数的周期性

1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.

2.函数周期性有关结论:

设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，

则函数是周期函数，且是它的一个周期.

(1).                  (2).

(3).                     (4).

3.函数的对称性与周期性

性质1. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.

性质2. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.（公众号：凌晨讲数学）

性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.

特别地：

(1).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.

(2).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.

(3).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.(4).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.

4.周期性的应用:

(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到

整个函数的性质.

(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.

(3).单调性：（公众号：凌晨讲数学）

由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).

二．典例分析

1．（2021新高考2卷）

已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．

解析：因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.

2．（2021全国甲卷）

设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）

A． B． C． D．

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．

3．（2021全国乙卷）

已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ）

A． B． C． D．

解析：因为的图像关于直线对称，所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.

所以故选：D

4．（2022新高考1卷）

已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）

A． B． C． D．

解析：因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，

所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC.

5．（2022新高考2卷）

已知函数的定义域为R，且，则（       ）

A． B． C．0 D．1

解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．