2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 06 导数与零点专题

                         专题：导数与零点

一．导言

导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从16年起全国卷对这个点的考察：

如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一，结合近五年全国主要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向：

1.判断或证明零点个数. 此题型以2019年全国一卷20题为典型例子，是一类较新的题型. 重点考察学生利用函数单调性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性，突出考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性.

    2.已知零点个数求参数范围. 此题型在16-18年连续三年均有考察，处理此类问题有两种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形结合解决问题.此题型还可衍生到对过点求切线个数，公切线个数的考察上.

3.讨论或者证明零点所满足的分布特征.此题型以2020年全国三卷21题为典型例子，需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达均有较高的要求.

4.零点偏移或者双零点，极值点问题.主要考察变量替换与构造函数解决问题的基本方法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换，对数均值不等式等均可完成，在各地的模拟题中属于常见的类型.

下面，将通过一些高考题目和典型的模拟题具体展开这四类题型的研究和讨论，找到破解零点问题的常见思路与方法，提升逻辑推理，数学运算，直观想象的核心素养，让学生在研究问题的过程中获得成就感.

二．题型1：判断或证明零点个数

1．已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

2．已知函数.

（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

（2）设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.

3.已知函数，.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由.

4．已知函数,为的导函数.

(1)求证:在上存在唯一零点;

(2)求证:有且仅有两个不同的零点.

题型2：已知零点个数求参数范围

5．已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

6．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

:

7．已知函数，

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，讨论的零点个数.

8．已知函数，，其中是自然对数的底数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）设函数，若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.(取，)

题型3：零点的分布特征

9．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

10．已知函数.

（1）当时，讨论极值点的个数；

（2）若分别为的最大零点和最小零点，当时，证明：.

11.已知函数.

（1）若曲线在点处的切线为，求的最小值；

（2）当常数时，若函数在上有两个零点，证明：.

12．已知函数和函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，且函数有三个零点、、，求的取值范围.

题型4：零点（极值点）偏移，双零点（极值点）问题

13.已知函数，若，证明：.

14．设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）如果且关于的方程有两解，，证明.

15.已知有两个不同的极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

16.已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）设是的两个零点，证明：.

练习题

1．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

3. 已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为

A．， B．， C．， D．，

5．已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.

6. 已知函数.

（1）讨论函数在上单调性；

（2）设，试证明在上有且仅有三个零点.

7.已知函数.

（1）求实数的值；

（2）若函数，求证：有且仅有两个零点.（）

8.设函数，.

（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；

（2）讨论函数零点的个数.

9．设函数.

（1）讨论函数的单调性：

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

10．已知函数．

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

11. 已知函数.

（1）时，求处的切线方程；

（2）时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数解，若不存在，说明理由.

12.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数的导函数为，若函数恰有个零点，证明：.

13.已知函数.

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当时，为函数在上的零点，求证：.

14.已知函数.

（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值.

15.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，函数恰有2个零点，证明：.

16.已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）方程有三个实根求证：

17．设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.

18．已知函数，且.

（1）求的值；

（2）在函数的图象上任意取定两点，，记直线的斜率为，求证：存在唯一，使得成立.