2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 09.等和线及应用

等和线及应用

如图所示，由于三点共线，故当且仅当. 进一步，若

，

由于点在直线上的任意性可知，点所动成的直线平行于直线，且直线上任意一点都满足，故称直线为等和线. 此时相似于，因此，我们就可以取特殊情形，即过三点的直线分别垂直于，时，计算.

例1.（2017年3卷）在矩形中，，点在以为圆心且与相切的圆上，若，求的最大值.

解析：如图，由等和线性质可知，，显然，当的平行线与圆在最上方相切时，取最大，显然此时，直线的方程为，故可取为点到直线的距离.由于的平行线与圆相切，故可得的方程为，那么取为点到直线的距离.这样就可得到.

练习题

给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.

【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证

，当时，取最大值，；

（2）取OA中点E，则

OC交BE于F，设,，易证

，当时，取最大值，.