2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 10.三角形四心及应用

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新教材惊现“四心”，距离它现身高考还有多久？一．重要结论1.重心：三角形三条中线的交点，重心为证明：是所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明:作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 重心性质1．是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明：∵G是△ABC的重心∴=0=0，即，由此可得.（反之亦然（证略））重心性质2. 如图，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则.     证明：点G是的重心，知O，得O，有.又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得， 有=，得，于是得2．外心：三角形三条中垂线的交点.外心外心性质：如图，为的外心，证明：1.；，同理可得等.2.，同理可得等.3.，同理可得等.证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.附：如图，直角三角形中，.           3．内心.三角形三条角平分线的交点.内心为内心性质.是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（    ）A.外心      B.内心      C.重心          D.垂心解：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，  又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.4．垂心：三角形三条高线的交点.垂心为垂心性质.点是△ABC所在平面内任一点，点是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））二．典例分析1．若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（     ）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心解析：且，，化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心.故选：C.2．在中，向量与满足，且，则为（       ）A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形解析：∵，∴的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，又∵，∴，则为等腰直角三角形，故选：D.3．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（       ）A． B． C． D．1解析：如图，连接AD并延长交BC与点M,设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,因为，所以设，因为AM与向量AD共线，设,,所以，即，,所以故选：A4．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（       ）A． B．2 C． D．解析：表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，所以点在的平分线上，即为的角平分线，在中，，，利用正弦定理知：同理，在中，，，其中，分析可知当时，取得最小值，即5．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（       ）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C6．已知点是锐角的外心，，，，若，则（       ）A．6 B．5 C．4 D．3解析：如图所示，过点分别作，，垂足分别为，；则，分别为，的中点，∴，；又，∴，∵，∴，，化为①，②，联立①②解得，；∴．故选：B7．为所在平面内一点，，，则的面积等于（       ）A． B． C． D．解析：如图所示，以为相邻边作平行四边形，连接，交于点，则为的中点，也是的中点，因为，所以，又因为，所以，因为，所以且，又因为，所以，且,所以，所以的面积.故选：C.8．已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（       ）A． B． C． D．解析：取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，所以，而，所以，，，四点共线，所以，即，不妨令，则，．所以．故选：C．9．设H是的垂心，且，则______.解析：是的垂心由题设得.再由，得，.故.故答案为:【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.10．已知点为三角形所在平面内的一点，且满足，，则___．解析：∵， ，∴，两边同时平方可得，，∴，∵，则，故答案为．