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    2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 13.爪型三角形及应用

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    2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 13.爪型三角形及应用

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    这是一份2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 13.爪型三角形及应用,共18页。试卷主要包含了在中,,BC边上的高等于,则,的左、右焦点,是坐标原点等内容,欢迎下载使用。


    高三二轮微专题:爪型三角形及应用

        如图所示中,从其中一个顶点出发引一条射线与所在直线交于点,这样,就得到一个爪字型的三角形,由于线段的引入,结合正余弦定理,会产生很多有趣的结论和问题. 因此以爪型三角形为背景的问题是高考或者模考中的常考题型.

        爪型三角形的基本几何特征: . 其他几何性质会随着线段不同特点而定.

    一.为中线:平面向量来相伴

    为中线时,借助平面向量有:,这样我们就可以借助向量运算及正余弦定理实现解题.

    11.已知的内角的对边分别为,且边上的中线,若,则的面积为(   

    A. B. C. D.

    解析:,故

    .

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    练习1. 中,角所对的边为,且满足.

    1)求角的大小;

    2)若的中点,且,求的最大值.

    解:1)由正弦定理及

    ,化简得.

    ,因此,.

    2)由,又的中点,则

    等式两边平方得

    所以

    ,当且仅当时取等号,因此,的面积最大值为.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    .为高线:道不尽的特殊值.

    为高线时,图中就会出现两个直角三角形,那我们就可以在这两个直角三角形中大胆的使用直角三角形的正弦,余弦,正切定义,使用特数值,顺利求解题目.

    2.(2016年全国3卷中,BC边上的高等于,

    A.           B.           C.         D.

    解析:直角三角形中,取,再由题意,,故,最后由余弦定理可得:.

     

    练习2.中,边上的高,,则    

    A.               B.                C.              D.

    解析:选A.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    .为角平分线:角平分线定理

    如图,可设,这样可得.另一方面,设的高为,则,联立上面两式可得:

    ,即角平分线性质定理.

    3. 2015全国2卷中,上的点,平分面积是面积的2倍.

    (1)

    (2. 2015全国2卷中,上的点,平分面积是面积的2倍.

    (1)

    (2) AD1DC,求BDAC的长.

    解析:(1)有角平分线定理可得.2)利用爪型三角形角度之间的关系.

    1

    由正弦定理可知.

    2

    ,则,在中,由余弦定理可知,

    ,解得,即

     

     

    练习3.已知双曲线的两条渐近线分别为直线,经过右焦点且垂直于的直线分别交两点,且,则该双曲线的离心率为( 

    A. B. C. D.

    A

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    四.一般情形:可借助平面向量实现..

     

     

     

     

    例4.(2018全国1卷)中,边上的中线,的中点,则

    A. B.

    C. D.

    解析:A.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    小结:本节围绕高考或者模考中常见的一类三角形:爪型三角形展开.

     

     

     

     

    如图,由于的具体特征不同,我们依次可以得到中线,角平分线,高线所对应的一些常见的解题手段和思路,应用过程中,要善于结合正余弦定理,内角关系,平面向量准确解题,希望通过本节课,能够在今后所出现的爪型三角形解题中丰富解题手段,提高解题能力.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    练习题

    1.中,,则BC边上的中线AD的长为  

    A.1 B. C.2 D.

    2.中,边上的高,,则    

    A.               B.                C.              D.

    3.已知双曲线的两条渐近线分别为直线,经过右焦点且垂直于的直线分别交两点,且,则该双曲线的离心率为( 

    A. B. C. D.

    4.(2018全国1卷)中,边上的中线,的中点,则

    A. B.

    C. D.

    5.如图,在中,上一点,且满足,若,则的值为

    A.    B.     C.       D.

    6.(2018全国3卷)设,是双曲线)的左、右焦点,是坐标原点.过的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为

    A. B. C. D.

     

     

     

    7.在中,角所对的边分别为,且满足.

    (1)求角的大小;

    (2)若的中点,且,求的最大值.

     

     

     

     

     

     

    8.如图,在中,,点D在线段BC上.

    (1)当时,求的值;

    (2)若AD是的平分线,,求的面积.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1A

    【分析】

    分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得,之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则,得到,之后将其合并,得到,下一步应用相反向量,求得,从而求得结果.

    【详解】

    根据向量的运算法则,可得

    所以,故选A.

    【点睛】

    该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.

    2B

    【详解】

    分析:由双曲线性质得到然后在和在中利用余弦定理可得.

    详解:由题可知

    中,

    ,

    故选B.

    点睛:本题主要考查双曲线的相关知识,考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用,属于中档题.

    3A

    【分析】

    由已知条件,令,则在中结合余弦定理可知,根据三角形面积公式即可求最大值

    【详解】

    由题意,可得如下示意图

    ,又,即有

    由余弦定理知:

    ,当且仅当时等号成立

    故选:A

    【点睛】

    本题考查了正余弦定理,利用向量的知识判断线段的长度及比例关系,再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围,进而结合三角形面积公式求最值

    4A

    【分析】

    中,由余弦定理,化简可得;在中,由余弦定理可知,由此可得,由此即可求出的周长.

    【详解】

    中,由余弦定理,可知

    中,由余弦定理可知

    所以的周长为.

    故选:A.

    【点睛】

    本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于中等题.

    5D

    【分析】

    由余弦定理可得:,在中,由余弦定理可得:,即可.

    【详解】

    由余弦定理可得:

     中,由余弦定理可得:

    故选D

    【点睛】

    本题主要考查了余弦定理,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

    6D

    【分析】

    由向量共线定理可得,结合基本不等式即可求出的最小值.

    【详解】

    如图可知xy均为正,且

    ,当且仅当,即时等号成立,

    的最小值为9.

    故选:D.

    【点睛】

    易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:

    1一正二定三相等”“一正就是各项必须为正数;

    2二定就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;

    3三相等是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

    7A

    【解析】

    因为,所以;因为是直线上的一点,所以设, ,即

    ,则;故选A.

    8C

    【分析】

    首先由三点共线得到,然后,即可计算出答案.

    【详解】

    因为

    所以

    因为三点共线,所以,即

    因为,所以

    所以

    故选:C

    【点睛】

    三点共线,若,则

    9.(1;(2.

    【分析】

    1)利用正弦定理边角互化思想得出,再利用两角差的余弦公式可得出的值,结合角的范围可得出角的大小;

    2)由中线向量得出,将等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律和定义,并结合基本不等式得出的最大值,再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.

    【详解】

    1)由正弦定理及

    ,化简得.

    ,因此,

    2)如下图,由

    的中点,则

    等式两边平方得

    所以

    ,当且仅当时取等号,因此,的面积最大值为.

    【点睛】

    本题考查正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题,对于三角形的中线计算,可以利用中线向量进行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

    10.(1;(2.

    【分析】

    1)先根据正弦定理完成角化边,然后利用余弦定理求解出的值;

    2)先根据已知条件表示出,再利用基本不等式求解出的范围,从而可求解出的最大值.

    【详解】

    1)因为,所以

    所以,所以

    所以

    2)因为,所以

    又因为,所以,所以(取等号时),

    所以,所以(取等号时),

    所以的最大值为.

    【点睛】

    本题考查解三角形的综合应用,其中涉及到正弦定理完成边化角以及利用余弦定理求解最值,对学生的转化与计算能力要求较高,难度一般.注意:使用基本不等式时要说明取等号的条件.

    11(1) (2)

    【分析】

    1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值,利用正弦定理可求,由已知利用二倍角的正弦函数公式可得,在中,利用正弦定理可求的值;

    2)设,则,由余弦定理可得x的值,进而可求DC,又由(1)可求的值,利用三角形面积公式即可求值得解.

    【详解】

    解:(1B是三角形内角,

    中,

    2)设,则

    中,由余弦定理可得:

    解得:

    因为AD的平分线,

    所以

    ,而

    所以

    又由(1)知

    时,

    时,

    综上,的面积为

     

     

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