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2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 13.爪型三角形及应用
展开这是一份2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 13.爪型三角形及应用,共18页。试卷主要包含了在中,,BC边上的高等于,则,的左、右焦点,是坐标原点等内容,欢迎下载使用。
高三二轮微专题:爪型三角形及应用
如图所示中,从其中一个顶点出发引一条射线与所在直线交于点,这样,就得到一个爪字型的三角形,由于线段的引入,结合正余弦定理,会产生很多有趣的结论和问题. 因此以爪型三角形为背景的问题是高考或者模考中的常考题型.
爪型三角形的基本几何特征: . 其他几何性质会随着线段不同特点而定.
一.为中线:平面向量来相伴
当为中线时,借助平面向量有:,这样我们就可以借助向量运算及正余弦定理实现解题.
1例1.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,为边上的中线,若,则的面积为( )
A. B. C. D.
解析:,故
.
练习1. 在中,角、、所对的边为、、,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若为的中点,且,求的最大值.
解:(1)由正弦定理及得,
由知,
则,化简得,.
又,因此,.
(2)由,又为的中点,则,
等式两边平方得,
所以,
则,当且仅当时取等号,因此,的面积最大值为.
二.为高线:道不尽的特殊值.
为高线时,图中就会出现两个直角三角形,那我们就可以在这两个直角三角形中大胆的使用直角三角形的正弦,余弦,正切定义,使用特数值,顺利求解题目.
例2.(2016年全国3卷)在中,,BC边上的高等于,则
A. B. C. D.
解析:直角三角形中,取,再由题意,,故,最后由余弦定理可得:.
练习2.中,是边上的高,,则( )
A. B. C. D.
解析:选A.
三.为角平分线:角平分线定理
如图,可设,这样可得.另一方面,设的高为,则,联立上面两式可得:
,即角平分线性质定理.
例3. (2015全国2卷)中,是上的点,平分,面积是面积的2倍.
(1) 求;
(例2. (2015全国2卷)中,是上的点,平分,面积是面积的2倍.
(1) 求;
(2) 若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解析:(1)有角平分线定理可得.(2)利用爪型三角形角度之间的关系.
(1),,
∵,,∴.
由正弦定理可知.
(2)∵,,∴.
设,则,在△与△中,由余弦定理可知,
,
,∵,∴,∴,解得,即.
练习3.已知双曲线的两条渐近线分别为直线,,经过右焦点且垂直于的直线分别交,于两点,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
选A
四.一般情形:可借助平面向量实现.且.
例4.(2018全国1卷)在△中,为边上的中线,为的中点,则
A. B.
C. D.
解析:选A.
小结:本节围绕高考或者模考中常见的一类三角形:爪型三角形展开.
如图,由于的具体特征不同,我们依次可以得到中线,角平分线,高线所对应的一些常见的解题手段和思路,应用过程中,要善于结合正余弦定理,内角关系,平面向量准确解题,希望通过本节课,能够在今后所出现的爪型三角形解题中丰富解题手段,提高解题能力.
练习题
1.在中,,则BC边上的中线AD的长为
A.1 B. C.2 D.
2.中,是边上的高,,则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的两条渐近线分别为直线,,经过右焦点且垂直于的直线分别交,于两点,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.(2018全国1卷)在△中,为边上的中线,为的中点,则
A. B.
C. D.
5.如图,在中,,,为上一点,且满足,若,,则的值为
A. B. C. D.
6.(2018全国3卷)设,是双曲线()的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为
A. B. C. D.
7.在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若为的中点,且,求的最大值.
8.如图,在中,,,点D在线段BC上.
(1)当时,求的值;
(2)若AD是的平分线,,求的面积.
1.A
【分析】
分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得,之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则,得到,之后将其合并,得到,下一步应用相反向量,求得,从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则,可得
,
所以,故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.
2.B
【详解】
分析:由双曲线性质得到,然后在和在中利用余弦定理可得.
详解:由题可知
在中,
在中,
故选B.
点睛:本题主要考查双曲线的相关知识,考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用,属于中档题.
3.A
【分析】
由已知条件,令,,则在△中结合余弦定理可知,根据三角形面积公式即可求最大值
【详解】
由题意,可得如下示意图
令,,又,即有
∴由余弦定理知:
,当且仅当时等号成立
∴有
∴
故选:A
【点睛】
本题考查了正余弦定理,利用向量的知识判断线段的长度及比例关系,再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围,进而结合三角形面积公式求最值
4.A
【分析】
在和中,由余弦定理,化简可得;在中,由余弦定理可知,由此可得,由此即可求出的周长.
【详解】
在和中,由余弦定理,可知
∴
在中,由余弦定理可知
∴
∴
所以的周长为.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于中等题.
5.D
【分析】
由余弦定理可得:,在中,由余弦定理可得:,即可.
【详解】
由余弦定理可得:.
在中,由余弦定理可得:,
故选D.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
6.D
【分析】
由向量共线定理可得,结合基本不等式即可求出的最小值.
【详解】
如图可知x,y均为正,且,
,当且仅当,即时等号成立,
则的最小值为9.
故选:D.
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
7.A
【解析】
因为,所以;因为是直线上的一点,所以设,则 ,即
,则;故选A.
8.C
【分析】
首先由三点共线得到,然后,即可计算出答案.
【详解】
因为,
所以
因为三点共线,所以,即
因为,所以
所以
故选:C
【点睛】
三点共线,若,则
9.(1);(2).
【分析】
(1)利用正弦定理边角互化思想得出,再利用两角差的余弦公式可得出的值,结合角的范围可得出角的大小;
(2)由中线向量得出,将等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律和定义,并结合基本不等式得出的最大值,再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.
【详解】
(1)由正弦定理及得,
由知,
则,化简得,.
又,因此,;
(2)如下图,由,
又为的中点,则,
等式两边平方得,
所以,
则,当且仅当时取等号,因此,的面积最大值为.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题,对于三角形的中线计算,可以利用中线向量进行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
10.(1);(2).
【分析】
(1)先根据正弦定理完成角化边,然后利用余弦定理求解出的值;
(2)先根据已知条件表示出,再利用基本不等式求解出的范围,从而可求解出的最大值.
【详解】
(1)因为,所以,
所以且,所以,
所以;
(2)因为,所以,
又因为,所以,所以(取等号时),
所以,所以(取等号时),
所以的最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形的综合应用,其中涉及到正弦定理完成边化角以及利用余弦定理求解最值,对学生的转化与计算能力要求较高,难度一般.注意:使用基本不等式时要说明取等号的条件.
11.(1) (2) 或.
【分析】
(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值,利用正弦定理可求,由已知利用二倍角的正弦函数公式可得,在中,利用正弦定理可求的值;
(2)设,则,由余弦定理可得x的值,进而可求DC,又由(1)可求的值,利用三角形面积公式即可求值得解.
【详解】
解:(1),B是三角形内角,
,
,
.
,
,
,
∴在中,.
(2)设,则,
在中,由余弦定理可得:,
解得:或.
因为AD是的平分线,
所以,
即,而,
所以.
又由(1)知,
①当时,;
②当时,.
综上,的面积为或.
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