专题22+三点共线充要条件的应用-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题22 三点共线充要条件的应用

【方法点拨】

在平面内, 是不共线向量,设，P、A、B三点共线

说明：

1.上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值.

2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是“1”时，应化“1”.

3.遇到条件“两条线段相交于一点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．

【典型题示例】

例1    在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】0或.

【分析】条件中向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1，应先变形为系数和是1的情形，求出.继而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底边.

【解析】可化为

当，且时

∵三点共线

∴，故，，

在，，

.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：0或.

例2    在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（   ）

A．9        B．10      C．11    D．12

【答案】D

【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出m、n间的等量关系，再使用基本不等式求解.

【解析】因为，

所以

又因为B、P、E三点共线

所以m＋3n=1

所以，当且仅当时，“=”成立

所以的最小值是12．

例3    已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为_______.

【答案】

【分析】凑系数使其代数和为1，，取、，即，而可得M、E、F三点共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），，所以 的最小值为.

例4    在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为            .

【答案】

【分析】设，

则

如图，延长至，使

为求的取值范围，只需求点的轨迹.

遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设

中，，，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆

∴，即的取值范围为.

点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；

（2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”；

（3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？

例5    若是锐角的外心，，，，，则.

【答案】

【分析】由得，将变形为.如图，作，，则 三点共线，且.

在，，，故.

例6    已知中， ,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是          .

【答案】

【解析】由条件 ，

设，则，其系数和为1

设，则，故三点共线

由的最小值为，即点到的距离是

故

中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而.

∴的最小值是 .

【巩固练习】

1. 如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则            .

2.如图，在平行四边形中，， 为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（        ）

3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为                 .

4.在平面直角坐标系中，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为           ．

5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______.

6.在四边形中，.若，则       ．

7. 在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(　　)

A.＋       B.＋            C.＋   D.＋

8. 在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x， ＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．

9.在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线 于点，且，若的最小值为，则正数的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

10. 已知点是的外心，且，，若，则的值为      .

11. 在中，BC是定长，且，若面积的最大值为2，则边的长为      .

12.已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为

13.如图所示，过的重心作一直线分别交于点.若，，则的值为(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

14.已知中， , ， CD与BE交于点P，AP=1，BC=4，，则的值是          .

15.已知中，， , ， BM与AN交于点P，，则的取值范围是          .

16.已知A，B是圆上的动点，，满足对于任意A，B两点恒成立，则实数的取值范围是           .

【答案与提示】

1. 【答案】

【解析】因为是的中点

所以，即

因为三点共线，所以，.

2. 【答案】A

【分析】从三点共线入手，将用线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.

【解析】∵三点共线

∴（其中）

又，

所以

所以，解之得，选A.

3.【答案】

【解析】根据题意，，∴的终点在线段BC上，

∴，∴，∴；

又O是MN的中点，∴，

∴，

∴

，

∴的最小值是．

4.【答案】

【简析】设，则，

如图，，设

则，由勾股定理得，故．

5.【答案】

【分析】由可得在线段上，故，而 ，有基本不等式立得.

【解析】由，得，

因为，所以在线段上

所以，

又因为，

则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）．

故的最小值是．

6.【答案】－16

【解析】由中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”

设E为上一点，且，则

所以，则四边形是平行四边形，

所以.

7.【答案】　A

【解析】　如图，设＝λ(λ>0)，

又＝＋＝＋，

∴＝λ＋λ＝λ＋λ.

又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，

∴λ＝，∴＝＋.

8.【答案】　

【解析】　由D为BC的中点知，＝＋，

又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点，

故＝＝＋，

∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，

∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋

≥2＋＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

∴4x＋y的最小值为.

9. 【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.

【解析】

因为点是的三等分点，则，

又由点三点共线，则，

，

当且仅当时，等号成立，

即的最小值为 ，则有,

解可得或(舍），故，

故选：B.

10. 【答案】

【提示】解法同例5.

11.【答案】2

【解析】两边同时除以3得

设，则

故

∵BC是定长，且面积的最大值为2

∴当为BC边上的高时，面积取得最大值，此时

故.

12.【答案】D

【解析】因为，所以，由此可知，向量与向量，的一端三点共线，由图象及平面向量共线定理易知的取值范围为．

13.【答案】B

【解析】欲求的值，可依据题设建立关于的等式(方程思想).因为三点共线，所以可设.因为，所以.因为为的重心，所以.又，故可得，整理得，由此可得，故选B.

14.【答案】

【分析】关键是求出点P分线段CD所成的比，方法有二，一是利用相似三角形、成比例线段，通过作平行线，二是抓住CD、BE相交于P，两次使用三点共线.

【解析一】如图中，过点A作AF∥CD，交BP的延长线于F

由平面几何知识易得：AF=2DP，PC=2 AF，故PC=4DP

∴

   ①

   ②

  ③

由①②③解得.

【解析二】如上图右中，

∵D、P、C三点共线     ∴（）

∵B、P、E三点共线     ∴（）

∴    解之得         ∴（下略）.

15.【答案】

【提示】，

（其中）.

16.【答案】[0,4]

【提示】设，则，故A，B，D三点共线，且，，易知，只需.