专题24+利用向量的形解题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题24 利用向量的形解题

【方法点拨】

向量兼具“形”与“数”的双重属性，在解题中适时构造“形”，可以起到事倍功半的作用，可提高解题的迅捷度.

【典型题示例】

例1    在中，点满足，且对任意，恒成立，则______.

【答案】

【分析】设，则点P在过点B且平行于AC的直线上，而恒成立的几何意义是：过点B且平行于AC的直线上的任意一点与点A的距离以最小，根据平面几何知识知，必有，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得.

【解析】根据题意，在中，点满足.

设，则.

∵

∴对任意，恒成立，必有，即.

∵              ∴，

∴.

∴

故.

例2    若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.

【答案】

【分析】注意到条件，构造如图所示等腰直角三角形，为底边上的中线.设，，则.在，.

所以夹角的余弦值为.

例3    已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是             .

【答案】   

【解法一】 展开得

则的最大值是.

【解法二】注意到题目中两个垂直，及，利用数形结合, 如图,对应的点在圆上即可.

例4     设向量都是单位向量，，则的最小值是          .

【答案】

【解析】如下图,设,，，则在圆上，且,

取中点为，则由极化恒等式得

易知，所以.

例5    已知向量，的夹角为135o，且，，设（其中），当取最小值时，向量与的夹角大小为           .

【答案】

【解析】如上图，，，

则满足条件的点C的轨迹是过且平行于的直线

由平几知识知，当取最小值时，，即

此时，向量与的夹角大小为.

【巩固训练】

2.已知在△OAB中，OA＝，OB＝2，∠AOB＝135°，P为平面OAB上一点，且()，当OP最小时，向量与的夹角为       ．

3.已知在△ABC中，AB＝5，AC＝10，，点P为△ABC内（包含边界）一点，且()，则的最小值为       ．

4.已知向量，，满足，，则的最小值为________．

5.已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为120°，则|a| 的取值范围是          . 

6.已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是___________ .

7.已知向量，，满足，，则的取值范围为     ．

8.已知向量，满足，，设（其中），若最小值为，向量与的夹角大小为           .

9.（1）已知，若对任意，，则为_______三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）

（2）已知，若对任意，，则为______三角形

（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）

（3）已知，若对任意，，则为______三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）

10.已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，|c|＝1，(a－c)·(b－c)＝0，则|a－b|的取值范围是      ．

11. 已知a，b都是非零向量，满足|a－b |＝| a |，(a－b)·a＝0，则a－b与 b的夹角大小是（   ）．

A．45o     B．60o          C．135o           D．120o

12.已知向量，，且对任意，恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案或提示】

1.【答案】

【解析】仿例2，构造三角形，易知，而使用投影易得，故．

2.【答案】

【提示】解法同例5.

3.【答案】

【提示】如图，AD＝3，PD∥AC，易知的最小值为3．

4.【答案】

【提示】解法同例2.

5. 【答案】

【解析】设，，由余弦定理可知：，要求的取值范围，则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得.

6.【答案】

【提示】解法同例4.

7.【答案】

【提示】解法同例4.

8.【答案】或

【提示】解法同例5.

9.【答案】（1）直角（2）直角（3）钝角

10.【答案】[－1，＋1]．

【解析】如图，设c＝(1，0)，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，

且AC⊥BC，则|a－b|＝AB＝2MC.

∵MO2＋MA2＝OA2，而MA＝MC，∴MO2＋MC2＝4.

设M(x，y)，则x2＋y2＋(x－1)2＋y2＝4，

即x2＋y2－x＝.(*)，

|a－b|＝AB＝2MC＝2

＝2＝2＝.

由(*)知，≤x≤，

∴≤≤，

即－1≤≤＋1.∴≤|a－b|≤＋1.

即|a－b|的取值范围为[－1，＋1].

11. 【答案】C

12. 【答案】C

【分析】由已知两边平方得，可判断A；再由得，结合可判断B；由可判断C；由可判断D.

【解析】由得

，

即对任意恒成立，

所以，，

所以，

所以A错误；

由得，

由，所以B错误；

由，得，所以C正确；

由，所以D错误.

故选：C.