专题54利用拆凑法求不等式的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题)
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专题54 利用拆凑法求不等式的最值
【方法点拨】
- 已知的一边是二次齐次可分解,另一边是常数,可考虑换元法;
- 例2、例3中使用了拆凑用以“凑形”,其目的在于一次使用基本不等式,能实现约分或倍数关系.
【典型题示例】
例1 若实数,满足,则的最大值为______.
【答案】
【解析】因为,,
,设,,
故原问题可转化为“已知,求的最大值”.
又因为,
所以的最大值为,当且仅当时取等号.
故答案为:.
例2 已知,则的最大值是________
【答案】
【分析】本题变量个数较多且不易消元,考虑利用均值不等式进行化简,要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉,观察分子为均含,故考虑将分母中的拆分与搭配,即,而,所以.
点评:
本题在拆分时还有一个细节,因为分子的系数相同,所以要想分子分母消去变量,则分母中也要相同,从而在拆分的时候要平均地进行拆分(因为系数也相同).所以利用均值不等式消元要善于调整系数,使之达到消去变量的目的.
例3 若实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________.
【分析】
思路1:注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.本题中可直接由已知解得y,代人所求消去y;也可将直接使用“1”的代换,将所求转化为关于x,y的二次齐次分式.
思路2:由所求的结论为x2+y2,想到将条件应用基本不等式构造出x2+y2,然后将x2+y2求解出来即可.
【解析一】从结论出发,注意到已知中不含“y2”项,故拆“x2”项的系数
设x2+y2=tx2-tx2+y2=tx2-tx2+y2]≥tx2 xy(0<t<1) ※
则t:,解之得:t
代人※得:x2+y2≥x2xy)=
∴x2+y2的最小值是.
【解析二】从已知出发,注意到结论中不含“xy”项,故拆“xy” 项的系数
设x2+2xy=x2+2(tx)( y)≤x2+[(tx)2+( y) 2]= (1+t2)x2+ y 2
则(1+t2):=1:1(下略).
【巩固训练】
1.已知,则的最小值为 .
2.已知正实数x,y满足x2+xy-2y2=1,则5x-2y的最小值为________.
3.已知,则的最小值为 .
4.当是正实数时,的最大值是 .
【答案与提示】
1,【答案】
【解析】注意到分母中因式均含c,故需拆分子含“c2” 项的系数
设
故,解之得:t,所以
当且仅当,即时,等号成立.
则,当且仅当时,等号成立.
2.【答案】4
【解析】:将已知条件左边分解因式得x2+xy-2y2=( x-y) ( x+2y)=1
因为x,y是正实数,且( x-y) ( x+2y)=1>0,所以x-y >0 , x+2y>0
设5x-2y=a( x-y)+b ( x+2y),则a=4,b =1,所以5x-2y=4( x-y)+ ( x+2y)
由基本不等式得.
3.【答案】
【解析一】.
【解析二】,设,.
则满足等式的x,y存在,去分母后配方得: ,故,解得.
4.【答案】
【解法一】
【解法二】设
所以,即
故,解之得.
【解法三】令 ,
.
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