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    专题54利用拆凑法求不等式的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题)

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    专题54利用拆凑法求不等式的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题)

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    这是一份专题54利用拆凑法求不等式的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题),共6页。学案主要包含了方法点拨,典型题示例,巩固训练,答案与提示等内容,欢迎下载使用。


    专题54 利用拆凑法求不等式的最值

    【方法点拨】

    1. 已知的一边是二次齐次可分解,另一边是常数,可考虑换元法;
    2. 例2、例3中使用了拆凑用以“凑形”,其目的在于一次使用基本不等式,能实现约分或倍数关系.

    【典型题示例】

    1   若实数满足,则的最大值为______

    【答案】

    【解析】因为

    ,设

    故原问题可转化为“已知,求的最大值”.

    又因为

    所以的最大值为,当且仅当时取等号.

    故答案为:

    2   已知的最大值是________

    【答案】

    【分析】本题变量个数较多且不易消元考虑利用均值不等式进行化简要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉观察分子为均含故考虑将分母中的拆分与所以.

    点评

    本题在拆分时还有一个细节因为分子的系数相同所以要想分子分母消去变量则分母中也要相同从而在拆分的时候要平均地进行拆分(因为系数也相同)所以利用均值不等式消元要善于调整系数使之达到消去变量的目的

    3    若实数xy满足x22xy10x2y2的最小值是________

    分析

    思路1:注意到条件与所求均含有两个变量从简化问题的角度来思考消去一个变量转化为只含有一个变量的函数从而求它的最小值.本题中可直接由已知解得y代人所求消去y;也可将直接使用“1”的代换,将所求转化为关于xy二次齐次分式.

    思路2:由所求的结论为x2y2想到将条件应用基本不等式构造出x2y2然后将x2y2求解出来即可.

    解析一从结论出发,注意到已知中不含“y2”项,故拆“x2项的系数

    x2y2=tx2tx2y2=tx2tx2y2]tx2 xy(0<t<1)    

    t:,解之得:t

    代人※得:x2y2x2xy)=

    x2y2的最小值是

    解析二从已知出发,注意到结论中不含“xy”项,故拆“xy 项的系数

    x22xyx22(tx)( y)x2[(tx)2+( y) 2]= (1+t2)x2+ y 2

    (1+t2):=1:1(下略).

     

     

     

    【巩固训练】

    1.已知的最小值为         

    2.已知正实数xy满足x2xy2y21,则5x2y的最小值为________

    3.已知,则的最小值为            .

    4.是正实数时,的最大值是     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【答案与提示】

    1,【答案】

    【解析】注意到分母中因式均含c,故需拆分子含“c2 项的系数

    ,解之得:t,所以

    当且仅当,即时,等号成立.

    ,当且仅当时,等号成立.

    2.【答案】4

    【解析】:将已知条件左边分解因式得x2xy2y2=( xy) ( x+2y)=1

    因为xy是正实数,且( xy) ( x+2y)=1>0,所以xy >0 x+2y>0

    5x2y=a( xy)+b ( x+2y),则a=4b =1,所以5x2y=4( xy)+ ( x+2y)

    由基本不等式得.

    3.【答案】

    【解析一】.

    【解析二】,设.

    则满足等式x,y存在,去分母后配方得: ,故,解得.

    4.【答案】

    【解法一】

    【解法二】设

    所以,即

    ,解之得.

    【解法三】令 ,

    .


     

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