专题60+两招玩转多面体的外接球-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题60 两招玩转多面体的外接球

【方法点拨】

解决多面体的外接球问题的关键是“定心”，常用方法有两种：

（1）“补体法”：对于符合特殊条件的四面体补形为长方体解决，常见的有下列两种类型.

类型一：墙角模型（三条线两个垂直，补形为长方体，其体对角线的中点即球心）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出.

类型二：对棱相等模型（补形为长方体）

如下图，三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，

，

补充：

第三步：根据墙角模型，，，，求出.

（2）“窜心法”：多面体的外接球心问题，可转化为其某两个侧面三角形外接圆的垂线来解决，即球心就是分别过两个侧面三角形外接圆的圆心且垂直于该平面的直线的交点（即将三角形外接圆的圆心，垂直上蹿下跳）.

第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；

第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；

第三步：解，算出，在中，勾股定理：.

说明：

    解法二是通法，具体解题过程中，常常涉及复杂的线面位置关系的论证、多次解三角形等，有一定的难度.

【典型题示例】

例1    (2021·全国)已知三棱锥P ­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)

A．8π　　　　　　　 B．4π

C．2π  D．π

【答案】D

【解析】因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，

因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.

取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，

所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，

所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，

所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P ­ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P ­ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π×()3＝π.故选D.

例2   在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为____________.

【答案】

【解析】设和的外心和，过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心（两垂线共面的证明，此处从略），连接即为所求球的半径

易知二面角的平面角为（证明从略），故，

因为是的外心，所以，，

在，，，所以，

在，

∴四面体的外接球的表面积为.

例3     在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．

【答案】

【解析】由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，记该长方体的棱长为，所以，即，所以，由此可得，

．

例4       已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为(　　)

A.   B.2   C.   D.2

【答案】　B

【解析】　取AB的中点O1，连接OO1，

如图，

在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，

所以△ABC所在小圆圆O1是以AB为直径的圆，

所以O1A＝，且OO1⊥AO1，

又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，

所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，

所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2.

【巩固训练】

1.在三棱锥中，平面ACD⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝CD＝DA＝3，AB＝，则三棱锥的外接球的表面积为（      ）．

A．         B．       C．     D．

2.如下图，在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的表面积为（     ）                       

A．         B．     C．     D．

3.三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为            .

4.如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为               .

5.正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为         .

6. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　．

7. 已知在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，且底面ABCD是等腰梯形，BC//AD，若SD＝AD＝8，BC＝6，AB＝CD＝，则四棱锥S－ABCD的体积为        ；它的外接球的半径为        ．(第一空2分，第二空3分)

8.在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为           .

9.(多选题)在正六棱锥中，已知底面边长为，侧棱长为，则

A．           B．共有条棱所在的直线与是异面直线

C．该正六棱锥的内切球的半径为

D．该正六棱锥的外接球的表面积为

【答案或提示】

1. 【答案】B

              甲                   乙                        丙

【解析】∵AB⊥AC   ∴△ABC外接圆的圆心为BC中点，

∴外接球的球心在过BC中点且垂直于△ABC所在平面的直线上

如上图（乙）中，设BC中点为O1，球心为O，同理，设△ADC外接圆的圆心为O2

则OO2= O1E=，

在△OO2D中，O2D=，所以OD2= O1E2+ O2D2=

所以三棱锥的外接球的表面积为15

2. 【答案】B

【解析】四边形的外接圆的直径，故四棱锥外接球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上，

又因为两点在球面上，故其球心在过中点且垂直于的垂面上，

所以球心即为中点（的外接圆即为大圆），

故，四棱锥外接球的表面积为.    

3.【答案】

【解析一】，，，

，.

【解析二】，，，

，.

4.【答案】

【解析】同例2，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，，.

5.【答案】

【解析】这是对棱相等的特殊情况放入长方体中，，

，.

6.【答案】

【解析】取的中点，连接、，

因为是等边三角形，

所以，又因，所以，

所以即为二面角的平面角，即，

因为是等边三角形，

所以的外接圆圆心即为三角形的重心，

过作平面，而为的外接圆圆心，过作平面，

所以与的交点即为三棱锥外接球的球心，

作平面截面图，

则，，，

而，则，

所以，

所以三棱锥外接球的表面积为．

7.【答案】；

【提示】球心O在SD的中垂面上，所以O到底面的距离d＝4，设底面ABCD的圆心为H，半径为r，则，解得，所以外接球的半径为．

8.【答案】

【解析】如“方法点拨类型二”图，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，

设长宽高分别为，则，，

，，

，，.

9.【答案】BCD

【解析】设底面中心为，平面，.

若，则平面，则，即矛盾，A错.

与异面，B对.

对于C，可用几何法.

设四棱锥内切球球心为，一定在上，图中，

，，取中点，连接，

过作于点，平面

只需，由

内切球球半径，C正确.

设内切圆半径为，取中点，，，，

，，.

中，，

，.

设外接球半径为，则，，

，D对，选BCD.