专题66递推法求解概率-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题66 递推法求解概率

【方法点拨】

在概率的背景下，得到递推关系，综合运用数列中的方法，诸如待定系数法、叠加法等求解通项公式进一步求解问题.

【典型题示例】

例1   （2022·江苏徐州期末·22改编）为抢占市场，某品牌电动汽车近期进行了一系列优惠促销方案．销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券2万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，3，4点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出5，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第19格（幸运之神）或第20格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第格的概率为．则=           ；若有6人玩该游戏，每人一局，则这6人获得优惠券总金额的期望为             （结果精确到1万元）．

【分析】根据规则得到递推关系，使用待定系数法求得，即是以为首项，公比为的等比数列，求出，再使用叠加法求出通项公式.

【解析】由题意知，，．

汽车模型移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：

①汽车模型先到第格，又掷出5，6点，其概率为；

②汽车模型先到第格，又掷出1，2，3，4点，其概率为．

所以，

则，且

所以数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以，．

所以

，．

所以．

设玩游戏的6人中有X人获得优惠券，则，

所以这6人获得优惠券总金额的期望值为（万元）．

【巩固训练】

1. 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为，则的表达式为       .

2.某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为=        ，玩该游戏获胜的概率为           .

3. 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．则玩该游戏获胜的概率为           ．

【答案或提示】

1.【解析】易得

到达点有两种情况：

①     从点按向量移动，即；

②     ②从点按向量移动，即

数列是以为首项，为公比的等比数列.

又

2.【答案】，

【解析】棋子开始在第0站为必然事件，.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，.

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；

②第一次掷硬币出现反面，其概率为.

.

棋子跳到第站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；

②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.

.

故当时，数列是首项为，公比为的等比数列.

.

以上各式相加，得，

获胜的概率为，

失败的概率.

3.【答案】

【解析】棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.

棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以P1＝.

棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以P2＝＋＝.

棋子跳到第n(2≤n≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n－2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为Pn－2；

棋子先跳到第n－1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为Pn－1.

故Pn＝Pn－2＋Pn－1(2≤n≤99，n∈N*)．

所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)．

又因为P1－P0＝－，

所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首项为－，公比为－的等比数列．

Pn－Pn－1＝－n－1＝n.

所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0＝99＋98＋…＋＋1

＝＋1＝.

所以玩该游戏获胜的概率为.