高考数学三轮冲刺压轴小题03 解密函数零点相关问题 (2份打包，解析版+原卷版)

解密函数零点相关问题

一、方法综述

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．

根据函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．

二、解题策略

类型一：函数零点的分布问题

例1．【2020·河南高考模拟】已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.

【解题秘籍】判断函数零点所在区间有三种常用方法：①直接法，解方程判断；②定理法；③图象法．

【举一反三】函数f(x)＝ln x＋x－，则函数的零点所在区间是(　　)

A．         B．            C．            D．(1，2)

【答案】C

【解析】函数f(x)＝ln x＋x－的图象在(0，＋∞)上连续，且＝ln＋－＝ln＋＜0，f(1)＝ln 1＋1－＝＞0，故f(x)的零点所在区间为．学科$网

类型二  函数零点的个数问题

例2．【2020·陕西高考模拟】已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，

当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，

当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，

当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，

作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，

设h（x）＝ ，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），

作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，

即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【举一反三】 【2020·安徽高考模拟】已知函数若函数有两个零点，，则（   ）

A． B．或 C．或 D．或或

【答案】D

【解析】当时，，

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

所以当时，的最小值为.

又在上，的图像如图所示：

因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，故或或，

若，则，故，则，

若，则.综上，选D.

类型三  已知函数零点求参数

例3．【2020·天津高考模拟】已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，

即方程恰有三个不相等的实数解，

即与有三个不同的交点.

令，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；且当时，，

当时，，，

当时，，据此绘制函数的图像如图所示，

结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是 .本题选择C选项.

【举一反三】【2020·江苏高考模拟】已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．

【答案】或

【解析】函数0，得|x+a|a＝3，

设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），

不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，

得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，

解得x＝﹣1，或x＝4；

若 ①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时 x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，

由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．

若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，

所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．

得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，

又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，

解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．

③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；

综上所述，a或﹣1．

三、强化训练

1．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【来源】四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高三上学期第二次调研考试数学（理）试题

【答案】A

【解析】令，则，

则函数有个零点即直线与函数有个交点，

将直线与函数的图像分别沿轴的正方向上移个单位，

即直线与函数的图像有个交点，

因为，满足，所以函数是奇函数，

因为直线过点，所以只需满足直线与刚好有除点外的另一个交点即可，，，，

故在点处的切线方程为，

如图，将直线绕原点逆时针旋转，

显然与只有一个交点，

故实数的取值范围是，故选：A.

2．已知函数，若函数在上恒有两个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．或

C．或 D．

【来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 文科数学试题

【答案】B

【解析】作出和，如图所示，

要使函数在上恒有两个零点，

即函数与的图象有两个交点，

易知当时，满足题意；

当时，有三个交点，不满足题意；

当时，考虑与相切时，

设切点坐标为，

所以，

解得，

所以当时，有两个交点，满足题意；

当时，有四个交点，不满足题意；

当时，无交点，不满足题意

综上，实数的取值范围为或，

故选.

3．已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【来源】四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学理科试题

【答案】C

【解析】设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，

所以，所以函数关于对称的函数为.

由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，

故函数与函数图象在区间有交点，

所以方程在区间上有解，

所以，即，所以.

故选：C.

4．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．在区间上是增函数

B．

C．若方程恰有个实根，则

D．若函数在上有 个零点，则

【来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题

【答案】C

【解析】由题意，作出函数的图象，如图所示，

对于A中，当，若，即，

可得，

当时，为周期为的函数，作出在区间的函数，

可知在区间上先增后减，所以A错误；

对于B中，因为时，函数为周期为的函数，

又由，所以，，

所以，所以B错误；

对于C中，直线恒过定点，

函数的图象和函数的图象有三个交点，

当，设与相切于点，则，解得，

当，根据对称性可知，当与相切时，，则，即，

综上可得，当函数的图象和函数的图象有三个交点时，，

所以C正确．

对于D中，又由函数在上有 个零点，

故直线与在上由6个交点，

不妨设，

由图象可知关于直线对称，关于直线对称，

关于直线对称，所以，所以D错误.

故选：C.

5．为实数，表示不超过的最大整数.，若的图像上恰好存在一个点与的图像上某点关于轴对称，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】设，点关于 轴对称，由题意可知在 有一个解，故在 有一个解

设，

写成分段函数形式即为

作出函数图象可知

与， 只有一个交点，由图象可知，的取值范围为

或

故答案为：

6．已知，，若函数(为实数)有两个不同的零点，，且，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】，求导，在上单调递增.

函数有两个不同零点，等价于方程有两个不等实根.

设，则，又在上单调递增，作出函数的图像，

则问题转化为在上有两个不同的实根，，

则，则，，.

设，，则，

在上单调递增，且，由零点存在性定理知，在上有唯一零点，故在上单调递减，在上单调递增，

所以.

7．已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________.

【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题

【答案】

【解析】令，可得，

令，，

，令，可得，列表如下：

所以，函数在处取得最大值，即.

当时，.

所以，函数的定义域为，

，令，由于，解得，列表如下：

所以，函数在处取得最大值，即，

若使得函数存在个零点，

则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为、，

作出函数的图如下图所示：

由图象可知，.

作出函数与函数在上的图象如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，

直线与函数在上的图象有两个交点，

综上所述，实数的取值范围是.

8．已知函数给出下列四个结论：

①存在实数，使函数为奇函数；

②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；

③对任意实数和，函数总存在零点；

④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.

【来源】中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测数学试题

【答案】① ② ③ ④

【解析】

如上图分别为，和时函数的图象，

对于① ：当时，，

图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；

对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确；

对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确

对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；

故答案为：① ② ④

9．已知是奇函数，定义域为，当时，（），当函数有3个零点时，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】当时，易知函数单调递减，且时，，时，，其大致图象如下，

在的大致图象如下，

又函数是定义在上的奇函数，故函数的图象如下，

要使函数有3个零点，只需函数的图象与直线有且仅有3个交点，

由图象可知，．

10．设函数，若b，c，d分别为函数的三个不同零点，则的最大值是_______.

【答案】

【解析】

有三个不同的零点，即与有三个不同交点，

如图可知，，

所以

设

令

当单调递增；

当单调递减；

故答案为：