高考数学三轮冲刺压轴小题04 多元问题的最值问题 (2份打包，解析版+原卷版)

多元问题的最值问题

一、方法综述

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。

解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。

二、解题策略

类型一  导数法

例1．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【举一反三】已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

类型二  消元法

例2．已知实数，，满足，，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是      ．

类型三  基本不等式法

例3．已知变量满足，若目标函数取到最大值，则函数的最小值为（  ）

A．1 B．2 C． D．

【举一反三】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ）

A．              B．               C．          D．

已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

类型四  换元法

例4．已知，则的最大值是__________．

【举一反三】已知实数满足,则有（   ）

A．最小值和最大值1                      B．最小值和最大值1

C．最小值和最大值                      D．最小值1,无最大值

已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是(   )

A．    B．    C．    D．

三、强化训练

1．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

2．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

3．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）

4．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．2

5．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

6．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．函数．若存在，使得，则的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

8．若存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

12．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（    ）

A．4 B． C．8 D．