2022-2023学年山东省烟台市招远市九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 解析版

这是一份2022-2023学年山东省烟台市招远市九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省烟台市招远市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．无法确定
2．（3分）下列由4个大小相同的正方体搭成的几何体，左视图与其它几何体的左视图不同的为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以点C为圆心，以r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣3 B．y＝（x﹣5）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣5 D．y＝（x﹣5）2﹣5
5．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么，两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆向左转，第二辆也向左转的概率（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）若点A（﹣2022，y1），B（2023，y2）都在双曲线上，且y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C． D．
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，，则∠ABD的度数为（　　）

A．110° B．105° C．100° D．95°
9．（3分）我国航天事业捷报频传，神州十五号于2022年11月29日晚11点08分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，震撼人心．当神州十五号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为12千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则神州十五号从A处到B处的距离AB的长为（　　）千米．


A． B． C． D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 　 　．
12．（3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是　 　．
13．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，点D在⊙O上，则∠D的度数是　 　．

14．（3分）如图，在△ACB中，∠BAC＝50°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为　 　．

15．（3分）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为 　 　．
16．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是 　 　m．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．（8分）（1）sin45°﹣cos245°+tan45°；
（2）sin230°+sin260°﹣sin45°+tan60°．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点P（4，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A（0，1），B（6，1）．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长．

19．（8分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有 　 　名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 　 　；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
20．（8分）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB，证明：OM＝CD．

21．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P（2，﹣1）．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）点A（t，y1），B（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，比较y1与y2的大小；
（Ⅲ）Q（m，n）为该抛物线上一点，当2m+n取得最小值时，求点Q的坐标．
22．（8分）某文具店某种型号的计算器每个进价14元，售价22元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10个以上的，每多买一个，所买的全部计算器每个就降价0.1元，例如：某人买18个计算器，于是每个降价0.1×（18﹣10）＝0.8（元），因此所买的18个计算器都按每个21.2元的价格购买，但是每个计算器的最低售价为18元．
（1）一次至少购买 　 　个计算器，才能以最低售价购买；
（2）写出该文具店一次销售x（x＞10）个时，所获利润y（元）与x（个）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
23．（8分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．

（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
24．（8分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，与CD交于点E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝3，AE＝9．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：OC2＝OE•OP；
（3）求线段EG的长．

25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 　 　，抛物线的顶点坐标为 　 　．
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为9？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请直接写出点D的坐标．
（4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．



2022-2023学年山东省烟台市招远市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，
∴两次都是正面向上的概率为，
故选：A．
2．（3分）下列由4个大小相同的正方体搭成的几何体，左视图与其它几何体的左视图不同的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：选项A、B、D的左视图均为底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形，而选项C的左视图底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：C．
3．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以点C为圆心，以r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】由∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，根据勾股定理求得BC＝4，作CD⊥AB于点D，由×5CD＝×3×4＝S△ABC，求得CD＝2.4，当⊙C与直线AB相交时，则圆心C到直线AB的距离小于半径r，可求得r的取是范围是r＞2.4，于是可以得到问题的答案．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
作CD⊥AB于点D，
∵AB•CD＝AC•BC＝S△ABC，
∴×5CD＝×3×4，
∴CD＝2.4，
∵以点C为圆心，以r为半径的圆与AB所在直线相交，
∴CD＜r，
∴r＞2.4，
在1、1.5、2、3这四个数中，只有3＞2.4，
∴r可能为3，
故选：D．

4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣3 B．y＝（x﹣5）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣5 D．y＝（x﹣5）2﹣5
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣2）2﹣4+1，即y＝（x﹣5）2﹣3．
故选：B．
5．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝＜0，
即对称轴在y轴的左边．
故选：D．
6．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么，两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆向左转，第二辆也向左转的概率（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆也向左转的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中第一辆向左转，第二辆也向左转的结果有1种，
∴第一辆向左转，第二辆也向左转的概率为，
故选：A．
7．（3分）若点A（﹣2022，y1），B（2023，y2）都在双曲线上，且y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C． D．
【分析】根据已知得3+2a＞0，从而得出a的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣2022，y1），B（2023，y2）都在双曲线上，且y1＜y2，
∴3+2a＞0，
∴a＞﹣，
∴a的取值范围是a＞﹣，
故选：C．
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，，则∠ABD的度数为（　　）

A．110° B．105° C．100° D．95°
【分析】连接OB，则OC＝OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【解答】解：如图，

连接OB，则OB＝OD，
∵OC＝OD，
∴OC＝OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD＝30°+75°＝105°．
故选：B．
9．（3分）我国航天事业捷报频传，神州十五号于2022年11月29日晚11点08分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，震撼人心．当神州十五号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为12千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则神州十五号从A处到B处的距离AB的长为（　　）千米．


A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：∠BDP＝90°，在Rt△ADP中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD，DP的长，然后在Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：∠BDP＝90°，
在Rt△ADP中，∠APD＝30°，AP＝12千米，
∴AD＝AP＝6（千米），
PD＝AD＝6（千米），
在Rt△BDP中，∠BPD＝45°，
∴BD＝DP•tan45°＝6（千米），
∴AB＝BD﹣AD＝（6﹣6）千米，
故选：D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【分析】作OE⊥AD，根据正弦的定义求出BC、AC，根据垂径定理求出AE，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出AO，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AD于E，
设BC＝3x，
在Rt△ABC中，sin∠A＝，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，AC＝＝4x，
∴AD＝AC＝4x，
∵AB＝AD+BD，
∴5x＝4x+2，
解得，x＝2，
∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED＝AD＝4，
∵OE⊥AD，∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，AO＝5，
∴OC＝AC﹣AO＝3，
由勾股定理得，OB＝＝3，
故选：B．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 　2　．
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故答案为：2．
12．（3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是　　．
【分析】根据题意画出图形，如图所示，作CD垂直于BA，交BA延长线于点D，在直角三角形ACD中，利用邻补角定义求出∠CAD＝60°，进而确定出∠ACD＝30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，由AD+DB求出DB的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，利用锐角三角函数定义即可求出sinB的值．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，过C作CD⊥BA，交BA延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC＝1，
根据勾股定理得：CD＝＝，
在Rt△BCD中，CD＝，BD＝BA+AD＝4+1＝5，
根据勾股定理得：BC＝＝，
则sinB＝＝＝．
故答案为：．

13．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，点D在⊙O上，则∠D的度数是　60°　．

【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠A＝∠D＝60°，然后利用余弦的定义求出∠A的度数即可．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，cosA＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝60°．
故答案为60°．
14．（3分）如图，在△ACB中，∠BAC＝50°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为　π　．

【分析】根据旋转的性质可知，由此可得S阴影＝，根据扇形面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵，
∴S阴影＝＝πAB2＝π．
故答案为：π．
15．（3分）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为 　4或2　．
【分析】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAM中，OA＝5，
∴OM＝＝3，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．
故答案为：4或2．

16．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是 　150　m．
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后10s滑行的距离．
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝10时，y＝450，
所以600﹣450＝150（m），
答案：150．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．（8分）（1）sin45°﹣cos245°+tan45°；
（2）sin230°+sin260°﹣sin45°+tan60°．
【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算平方，最后计算加减；
（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算平方，然后计算乘法，最后计算加减；
【解答】解：（1）sin45°﹣cos245°+tan45°
＝﹣（）2﹣1
＝﹣﹣1
＝﹣；
（2）sin230°+sin260°﹣sin45°+tan60°
＝（）2+（）2﹣×+
＝+﹣1+
＝．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点P（4，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A（0，1），B（6，1）．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长．

【分析】根据中心投影的定义画出光线即可得出图形，再根据坐标得出AB＝6，AB∥x轴，PM、PN的值，根据相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图，连接PA并延长交x轴于点C，连接PB并延长交x轴于点D，则CD就是木杆AB在x轴上的投影，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交AB于点N，
∵A（0，1），B（6，1）．
∴AB∥x轴，AB＝6，
∵点P（4，3），
∴PM＝3，PN＝PM﹣MN＝3﹣1＝2，
∴△PAB∽△PCD，
∴＝，
即＝＜
∴CD＝9，
即木杆AB在x轴上的投影长为9．

19．（8分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有 　50　名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 　108°　；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，即可解决问题；
（3）由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：

（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同主题的概率为＝．
20．（8分）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB，证明：OM＝CD．

【分析】设圆的半径是r，ON＝x，则AB＝2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．
【解答】证明：设圆的半径是r，ON＝x，则AB＝2x，
在直角△CON中，CN＝＝，
∵ON⊥CD，
∴CD＝2CN＝2，
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝x，
在△AOM中，OM＝＝，
∴OM＝CD．

21．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P（2，﹣1）．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）点A（t，y1），B（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，比较y1与y2的大小；
（Ⅲ）Q（m，n）为该抛物线上一点，当2m+n取得最小值时，求点Q的坐标．
【分析】（Ⅰ）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；
（Ⅱ）根据二次函数的性质判断y1与y2的大小；
（Ⅲ）先用m表示2m+n得到2m+n＝m2﹣2m+3，然后配成顶点式，从而得到2m+n取最小值时m的值，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，
即y＝x2﹣4x+3；
（Ⅱ）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t＞2，
∴点A（t，y1），B（t+1，y2）在对称轴的右侧的抛物线上，
∵t＜t+1，
∴y1＜y2；
（Ⅲ）∵点Q（m，n）在该抛物线上，
∴n＝m2﹣4m+3，
∴2m+n＝2m+（m2﹣4m+3）＝m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2，
∴当m＝1时，2m+n有最小值2，
∴Q（1，0）．
22．（8分）某文具店某种型号的计算器每个进价14元，售价22元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10个以上的，每多买一个，所买的全部计算器每个就降价0.1元，例如：某人买18个计算器，于是每个降价0.1×（18﹣10）＝0.8（元），因此所买的18个计算器都按每个21.2元的价格购买，但是每个计算器的最低售价为18元．
（1）一次至少购买 　50　个计算器，才能以最低售价购买；
（2）写出该文具店一次销售x（x＞10）个时，所获利润y（元）与x（个）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
【分析】（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只18元，因此得到22﹣0.1（x﹣10）＝18，解方程即可求解；
（2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；
（3）首先把函数变为y＝﹣0.1x2+9x＝﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．
【解答】解：（1）设一次购买x只，
则22﹣0.1（x﹣10）＝18，
解得：x＝50．
答：一次至少买50只，才能以最低价购买，
故答案为：50；
（2）当10＜x≤50时，
y＝[22﹣0.1（x﹣10）﹣14]x＝﹣0.1x2+9x，
当x＞50时，y＝（18﹣14）x＝4x；
综上所述：y＝；
（3）y＝﹣0.1x2+9x＝﹣0.1（x﹣45）2+202.5，
①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当x＝46时，y1＝202.4，
当x＝50时，y2＝200．
y1＞y2．
即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．
当x＝45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）＝16.5（元），此时利润最大．
23．（8分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．

（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
【分析】（1）过点D作DG⊥BH于G，则∠DGB＝90°，GH＝DE＝20cm，由锐角三角函数定义求出∠BDG＝30°，即可解决问题；
（2）过点B作BN⊥ED交ED的延长线于点G，过点A作AK⊥BG于K，则GE＝BH＝28cm，∠BDG＝180°﹣∠EDC＝60°，先证△ABK是等腰直角三角形，得AK＝12（cm），再求出GD＝BD＝20（cm），即可解决问题．
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BH于G，则∠DGB＝90°，GH＝DE＝20cm，
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG＝，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BN⊥ED交ED的延长线于点G，过点A作AK⊥BG于K，
则GE＝BH＝28cm，∠BDG＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠GBD＝90°﹣∠BDG＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AK＝＝12（cm），
在Rt△BDG中，∠GBD＝30°，
∴GD＝BD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．

24．（8分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，与CD交于点E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝3，AE＝9．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：OC2＝OE•OP；
（3）求线段EG的长．

【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得DF⊥OD，从而证明结论；
（2）利用△ODE∽△OPD，得，再根据OC＝OD，等量代换即可；
（3）连接DG，设OD＝OA＝x，则OE＝AE﹣OA＝9﹣x，利用勾股定理解得OD＝5，再利用勾股定理求出DG的长，进而解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ADO＝∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
又∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知PF⊥OD，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴∠ODP＝∠OED，
∵∠DOE＝∠POD，
∴△ODE∽△OPD，
∴，
∴OD2＝OE•OP，
∵OC＝OD，
∴OC2＝OE•OP；
（3）解：连接DG，

∵AB⊥CD，
∴CD＝2DE＝6，
设OD＝OA＝x，则OE＝AE﹣OA＝9﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，（8﹣x）2+32＝x2，
解得x＝5，
∴CG＝2OA＝10，
∵CG是⊙O的直径，
∴∠CDG＝90°，
∴DG＝＝8，
∴EG＝＝．
25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 　y＝﹣x2﹣2x+3　，抛物线的顶点坐标为 　（﹣1，4）　．
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为9？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请直接写出点D的坐标．
（4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．


【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接BC，求出直线BC的解析式，过点P作PG∥y中交BC于点G，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），则S△BCP＝3×（﹣t2﹣3t）＝，此时t无实数根；
（3）设D点横坐标为n，由题意可得S△BPD＝（n+3）×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣3t，求出n的值即可求D点坐标；
（4）设PE与x轴的交点为H，由题意可知∠GHE＝45°，则H（﹣1，0），直线HE与抛物线的交点即为所求P点．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点为（﹣1，4）；
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3，（﹣1，4）；
（2）存在点P，使四边形BOCP的面积为9，理由如下：
连接BC，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝BO＝3，
∴S△BOC＝3×3＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝x+3，
过点P作PG∥y中交BC于点G，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），
∴PG＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，
∴S△BCP＝3×（﹣t2﹣3t），
∵3×（﹣t2﹣3t）＝，
此时t实数根，
∴点P不存在；
（3）由（2）知，S△BCP＝3×（﹣t2﹣3t），
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴S△BPD＝×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣3t，
设D点横坐标为n，
∴（n+3）×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣3t，
解得n＝﹣1，
∴D（﹣1，2）；
（4）设PE与x轴的交点为H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE，
∴∠PEG＝30°，
∴∠GHE＝45°，
∴OH＝OE，
∵E（0，﹣1），
∴H（﹣1，0），
∴直线HE的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴P（，）．