2022-2023学年天津九十中九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2022-2023学年天津九十中九年级（上）期末数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津九十中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是(    )A. 小东夺冠的可能性较大
B. 如果小东和他的对手比赛局，他一定会赢局
C. 小东夺冠的可能性较小
D. 小东肯定会赢3.  如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是，则四边形的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 4.  用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，将直角三角形绕点旋转得到直角三角形，若，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，点、在直角坐标系内．以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，那么点的坐标为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知是半径为的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )
 A.  B.
C.  D. 9.  如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知二次函数为常数的图象上一点为，则关于的一元二次方程的两实数根是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，11.  如图，为的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则长的最大值是(    )A.
B.
C.
D. 12.  如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：
分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；
分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；
连接，，，与交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
平分；；；；所有正确结论的序号是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.  如图，、、是上三点，是延长线上一点，，则______
 14.  点和点关于原点对称，则______．
 15.  如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，若：：，，则的长为______ ．16.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是______．17.  若二次函数在时的最大值为，那么的值是______．18.  在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点．
Ⅰ线段的长度等于______；
Ⅱ请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的．
______．
 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
Ⅰ解方程：；
Ⅱ已知关于的一元二次方程有实数根，若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
20.  本小题分
已知是的直径，是的弦，连接．
Ⅰ如图，连接，若，求及的大小；
Ⅱ如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接若，，求的大小．
 21.  本小题分
如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．当为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
22.  本小题分
如图，为的直径，点，为上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点．
求证：直线是的切线．
连接，若，，求阴影部分的面积．
23.  本小题分
年北京冬季奥运会于月日至月日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”某工厂今年二月份生产了个“冰墩墩”，产品热销后，该工厂增大生产量，四月份生产了个“冰墩墩”若该工厂每月生产“冰墩墩”总个数的月增长率相同．
求该工厂每月生产“冰墩墩”总个数的月增长率；
已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，每降价元，每天可多售个．那么降价多少元时，每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润为多少元？24.  本小题分
将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点为线段上一动点，过点作交对角线于点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，记旋转角为．
Ⅰ如图，当点为中点时，，求点的坐标；
Ⅱ若旋转后点落在上，设．
(ⅰ)如图，若旋转后与矩形的重合部分为四边形．交于点，交于点，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
(ⅱ)若与矩形的重叠部分的面积为，当时，试用含有的式子表示直接写出结果即可．
 25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴交于点，第一象限的点在抛物线上，轴上有一点．
Ⅰ求抛物线的解析式及它的对称轴；
Ⅱ点在线段上，点在线段上，若，且求的值；
Ⅲ在抛物线的对称轴上，是否存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意，有人预测小东夺冠的可能性是，结合概率的意义，
A、小东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
B、小东和他的对手比赛局时，他可能赢局，故本选项错误；
C、小东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
D、小东可能会赢，故本选项错误．
故选：．
根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
本题主要考查了概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小，难度较小．
 3.【答案】 【解析】解：如图，
在中，点、分别是、的中点，
，且，
∽，
的面积：的面积：，
的面积：四边形的面积：，
的面积是，
四边形的面积是．
故选：．
由点、分别是、的中点，可得是的中位线，则，则∽，且相似比是：，则的面积和的面积比是：，则的面积：四边形的面积：，结合已知条件，可得结论．
本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可．
【解答】
解：，
，
则，即，
故选D．  5.【答案】 【解析】解：由旋转的性质可知：，
，，
，
又，
，
故选B．
【分析】
根据旋转的性质可得出，再通过角的计算即可得出结论．
本题考查了旋转的性质以及角的计算，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角是关键．  6.【答案】 【解析】解：、，
，，
由题意得，∽，相似比为，
，
，，
点的坐标为，
故选：．
根据得、的坐标求出、的长，根据位似的概念得到比例式，计算求出、的长，得到点的坐标．
本题考查的是位似变换的概念和性质以及坐标与图形的性质．
 7.【答案】 【解析】解：如图所示：
是等边三角形，的半径为，
在中，，，
，
，
，即它的内接正三角形的边长为，
故选：．
根据题意画出图形，欲求的边长，把中边当弦，作的垂线，在中，求的长；根据垂径定理知：，从而求正三角形的边长即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
 9.【答案】 【解析】解：点是的外心，
，
，
点是的内心，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系．
本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用表示的度数．
 10.【答案】 【解析】解：，
对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
关于的一元二次方程的两实数根是，，
故选：．
先求出抛物线的对称轴，再求出点的对称点，即可得出关于的一元二次方程的实数根．
本题考查了抛物线与轴的交点，把关于的一元二次方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：如图，点，分别是，的中点，
，

当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
．
故选：．
根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大．
 12.【答案】 【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，平分，故正确，
，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，故错误，
连接．
，，
∽，
，
，
，
，
，
，故正确，
故选：．
由作图可知，垂直平分线段，平分，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 13.【答案】 【解析】解：设点是优弧不与，重合上的一点，连接、，
．
．
．
故答案是：．
设点是优弧不与，重合上的一点，则，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和圆内接四边形对角互补的知识．
 14.【答案】 【解析】解：由于点和点关于原点对称，
所以，，
所以，
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特征进行解答即可．
本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标特征是正确解答的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
：：，，
，
解得，，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算可得到．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：袋子中共有个小球，其中红球有个，
摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 17.【答案】或 【解析】解：，
抛物线图象开口向下，抛物线的对称轴为直线，
当，即时，当时，函数取得最大值为，
，
解得：；
当，即时，当时，函数取得最大值为，
，
解得：舍去．
当，即时，当时，函数取得最大值为，
，
解得或舍去，
综上所述，或，
故答案为：或．
表示出对称轴后，分三种情况，找出关于的方程，解之即可得出结论．
本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于的方程．
 18.【答案】  作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可 【解析】解：Ⅰ如图，．
故答案为：．

Ⅱ如图，点，射线即为所求．
方法：作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可．
故答案为：作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理，三角形的外心，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 19.【答案】解：Ⅰ，
，
，
，
，
解得，；
Ⅱ一元二次方程有两实数根分别为，，
，，，
，
，
，
，
解得不合题意，舍去，，
． 【解析】Ⅰ根据配方法可以解答此方程；
Ⅱ根据题意和根与系数的关系，可以求得的值．
本题考查根与系数的关系、解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和根与系数的关系．
 20.【答案】解：Ⅰ是的直径，
，
，
，
在中，．
 ，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，． 【解析】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．
由直径所对的圆周角是直角可得的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
由半径的关系可得，再利用，可得，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
 21.【答案】解：设这个苗圃园的面积为平方米，
由题意可得，
，
平行于墙的一边长米，且不大于米，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：当时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米． 【解析】根据题意和图形，可以得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求得当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意列出函数解析式，利用二次函数的性质解答．
 22.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
连接，过点作，垂足为，

，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积的面积

，
阴影部分的面积为：． 【解析】连接，利用等弧所对的圆周角相等，再利用等腰三角形的性质证出，从而证明，即可解答；
利用圆周角定理求出，然后证明是等边三角形，最后利用扇形的面积减去的面积进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 23.【答案】解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为；
设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每个“冰墩墩”应降价元． 【解析】设该工厂平均每月生产量增长率为，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量该工厂平均每月生产量的增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 24.【答案】解：如图，过点作于，

点，
，
是的中点，
，
，即，
，，
；
如图，当点在上时，

，
，
，
，
，
，
由旋转得：，
中，，，
，，
，
中，，
即，
；
如图，当时，与矩形的重叠部分是，

，
，
，
；
当时，如图，旋转后与矩形的重合部分为四边形，

由可知：，
过点作于，则，
，
，即，
，



；
综上，． 【解析】如图，过点作于，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算，的值，可得点的坐标；
如图，当点在上时，根据等腰三角形的性质可得，根据，可得结论；
当时，与矩形的重叠部分是，根据三角形面积公式可得结论；当时，如图，旋转后与矩形的重合部分为四边形，根据面积差可得结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，三角函数的定义，三角形面积，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，合理的表示线段，理清线段的长与坐标的关系是解决问题有效的方法．
 25.【答案】Ⅰ解：抛物线经过点，，
，解得，，
抛物线的解析式为；
对称轴为．
Ⅱ如图，连接，，，，，
点在抛物线上，
，解得，舍去
，
，，
，，，
，
是直角三角形，，
点在线段上，，
，则，，
，
，
，
．
Ⅲ存在，
，，
设点，
若时，
，
，，
，，
若时，
，，
，
若时，
，
，
，此时点恰好是线段的中点，构不成三角形，舍去，
点的坐标为：，，，． 【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，其中对等腰三角形存在性的判断和分类讨论是函数与几何综合题里的常考题型．
Ⅰ把点，分别代入抛物线，解得，的值，即可得出抛物线的解析式和其对称轴；
Ⅱ由条件可求出点的坐标为，用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，则，，由，可得到关于的方程，求出的值；
Ⅲ可分三种情况考虑：当，，时，可分别求出点的坐标．