高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用完整版课件ppt

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1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccs A
a2＋c2－2accs B
a2＋b2－2abcs C
思考　在a2＝b2＋c2－2bccs A中，若A＝90°，公式会变成什么？答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
1.余弦定理适用于任何三角形.(　　)2.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　　)3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　　)4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　　)
一、已知两边及一角解三角形
例1　 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形.
解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
A＝90°，C＝60°.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cs C＝ ，则c＝ ，sin A＝ .
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C＝12＋22－2×1×2× ＝4，解得c＝2.
已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.由余弦定理的推论，
又∵0°三、余弦定理的简单应用
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是A.45° B.60°C.90° D.135°
又0°(2)在△ABC中，若acs B＋acs C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acs B＋acs C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形
D解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－ ，则该三角形的第三条边长为A.52 D.4
B解析　设第三条边长为x，
B解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定
B解析　因为bcs C＋ccs B＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.
故△ABC为直角三角形.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ，C＝15°，则c＝ ，A＝ .
又A为△ABC的内角，
1.知识清单：(1)余弦定理.(2)余弦定理解决的两类问题.(3)余弦定理的简单应用.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：不要忽略三角形中的隐含条件.