冀教版八年级下册22.6 正方形试讲课ppt课件

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相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究. 充分显示了中华祖先的聪明才智.
正方形的对称性：正方形是中心对称图形，对称中心为点O；又是轴对称图形，有四条对称轴.
例1 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC上，且EC ＝2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG 分别 交BC、DC 于点M、N.若正方形ABCD 的边长为a， 则重叠部分四边形EMCN 的面积为(　　) A. a 2　　 B. a 2　 　 C. a 2　 　D. a 2
作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，易得△EPM ≌△EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解．作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵CA 是∠BCD 的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE 是正方形，
在△EPM 和△EQN 中，∴△EPM ≌△EQN (ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积，∵正方形ABCD 的边长为a，∴AC＝ a，∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，∴正方形PCQE 的面积＝ a× a＝ a 2，∴四边形EMCN 的面积＝ a 2.
本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想．
已知：如图，正方形ABCD 的两条对角线相交于点O，点M，N 分别在OA，OD上，且MN∥AD.请探究线段DM 和CN 之间的数量关系， 写出结论并给出证明.
DM＝CN.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA＝OD，AD＝DC，∠DAM＝∠CDN＝45°.又∵MN∥AD，∴OM＝ON.∴AM＝DN.∴△AMD ≌△DNC.∴DM＝CN.
已知：如图，正方形ABCD 的两条对角线相交于点O，E 为OC上一点， AM⊥BE，垂足为M，AM 与DB 相交于点F. 求证：OE=OF.
在正方形ABCD 中，OA＝OB，∠BOC＝∠AOF＝90°.∵在Rt△AME 中，∠EAM＋∠AEM＝90°，在Rt△AOF 中，∠FAO＋∠AFO＝90°，∴∠AEM＝∠AFO.∴△AOF ≌△BOE.∴OE＝OF.
如图，菱形ABCD 的面积为120 cm2，正方形AECF 的面积为50 cm2，则菱形的边长为________．
小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　　)A．1次　 B．2次C．3次 D．4次
思考正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来， 并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论.
正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．
例2 如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD 是矩形．(2)当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形？并说明理由．
(1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰三角形的 性质得出∠ADB＝90°，即可证得结论；(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝ CD，进而利用正方形的判定方法即可判定 矩形AEBD 是正方形．
(1)证明：∵点O 为AB 的中点，OE＝OD，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴平行四边形AEBD 是矩形．(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD 是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD 是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD.∵由(1)得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．
本题运用演绎推理解答，(1)中根据对角线互相平分判定四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质证直角，从而判定四边形AEBD是矩形．(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等，即可判定该矩形是正方形．
例3 如图，已知在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，E 是BD 的延长线上的点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED， 求证：四边形ABCD 是正方形．
要证▱ABCD 是正方形，有三种途径可走：即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的条件进行证明；若要证明▱ABCD 是菱形，由于题中条件与对角线相关，则需证AC⊥BD.
(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA ＝EC 可得△EAC 是等腰三角形，然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相 垂直的平行四边形是菱形可证出结论；(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝ BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO＝CO， ∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC， ∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED， ∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC＝2AO，BD＝2DO， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD 是正方形.
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；(4)证：“菱形＋对角线相等”．
1 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？
正方形．因为有三个角是直角，所以是矩形，由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形．
如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________________，使四边形ABCD是正方形．
∠BAD＝90°(答案不唯一)
下列判断错误的是(　　)A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形
关于▱ABCD 的叙述，正确的是(　　)A．若AB⊥BC，则▱ABCD 是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD 是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD 是正方形
小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　) A．①②B．②③C．①③D．②④
四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD； ②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO； ④四边形ABCD 为矩形；⑤四边形ABCD 为菱形； ⑥四边形ABCD 为正方形.则下列推理不成立的是(　　)A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤C．①②⇒⑥ D．②③⇒④
易错点：将特殊四边形的判定相混淆导致出错
将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(　　)A．2 cm2 B．4 cm2C．6 cm2 D．8 cm2
在△ABC 中，点D，E，F 分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，AD，则下列三种说法：①如果EF＝AD，那么四边形AEDF 是矩形；②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF 是菱形；③如果AD⊥BC 且AB＝AC，那么四边形AEDF 是正方形，其中正确的有(　　)A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF.(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．
(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D. ∵点E，F 分别为AB，AD 的中点， ∴BE＝ AB，DF＝ AD. ∴BE＝DF. 在△BCE 和△DCF 中， ∴△BCE ≌△DCF (SAS)．
(2)AB⊥BC，理由如下： ∵点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点， ∴OE＝ BC＝ AD＝AF. 同理可证：OF＝AE＝ AB； ∴OE＝OF＝AF＝AE. ∴四边形AEOF 是菱形． ∵AB⊥BC，又易知OE∥BC，∴AE⊥OE. ∴四边形AEOF 是正方形．
如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 边的中点，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED ≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE 是正方形．
(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD. ∴△BED ≌△CFD.(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵∠A＝90°，∴四边形DFAE 为矩形． ∵△BED ≌△CFD，∴DE＝DF. ∴四边形DFAE 是正方形．
定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD 的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.
(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD 是菱形． 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形． ∴BD＝
②如图①，连接AC，BD，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BD＝BD，∴△ABD ≌△CBD，∴AD＝CD.
(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP＝2PD，过点P 作直线 分别交AD，BC 于点E，F，使四边形ABFE 是等 腰直角四边形，求AE 的长．
(2)若EF 与BC 垂直，则AE≠EF，BF≠EF，AB≠BF， AB≠AE，∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件． 若EF 与BC 不垂直． ①当AE＝AB＝5时，如 图②，此时四边形 ABFE 是等腰直角四 边形．
②当BF＝AB 时，如图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形．∴BF＝AB＝5.∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5.综上所述，AE 的长为5或6.5.
如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 是AB 的中点，E，F 分别是AC，BC 上的点(点E 不与端点A，C 重合)，且AE＝CF，连接EF 并取EF 的中点O，连接DO 并延长至点G，使GO＝DO，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG 是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？并求四边形EDFG 面积的最小值．
(1)如图，连接CD.∵O 是EF 的中点，∴OE＝OF. 又∵OD＝OG，∴四边形EDFG 为平行四边形． ∵AC＝BC，D 为AB 的中点，∠ACB＝90°， ∴AD＝DC，∠A＝∠FCD＝45°，CD⊥AB. 在△AED 和△CFD 中，AE＝CF，∠A＝∠FCD， AD＝DC，∴△AED ≌△CFD. ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF. ∴四边形EDFG 为菱形． ∵CD⊥AD，∴∠ADE＋∠EDC＝90°. ∴∠EDC＋∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°. ∴四边形EDFG 为正方形．
(2)∵四边形EDFG 为正方形， ∴当正方形EDFG 的边长DE 最短时，其面积最小． ∵垂线段最短， ∴当DE⊥AC 时，四边形EDFG 的面积最小． ∵AD＝DC，DE⊥AC， ∴AE＝EC，DE＝ AC＝2. ∴当E 为AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小， 四边形EDFG 的面积的最小值＝22＝4.
1. 判定方法：(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角 的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相 等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂 直且相等的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形．2. 四边形间的关系：(1)平行四边形、矩形、菱形、 正方形间的包含关系如图.
(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转 化关系如图：