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2023年河北省中考数学复习全方位第14讲 二次函数的图象和性质 课件
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这是一份2023年河北省中考数学复习全方位第14讲 二次函数的图象和性质 课件，共42页。PPT课件主要包含了真题演练，考点梳理，图象及性质，开口向下，两个不同的，平移规律，题型突破，-1＜x＜3，yx2+2x+1，x11x2-2等内容，欢迎下载使用。
命题点 3 二次函数图象的变换
1. (2020·河北,15)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.
下列判断正确的是( )A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对
2. (2010·河北,11)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为( )
A. (2,3) B. (3,2) C. (3,3) D. (4,3)
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
4. (2015·河北,25)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.
解:(1)把点B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得-(2-h)2+1=1,解得h=2,∴抛物线的解析式是y=-(x-2)2+1,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,1).
(2)在y=-(x-h)2+1中,令x=0,解得y=-h2+1,即yC=-h2+1,∵-h2+1≤1,∴yC的最大值是1.此时点C的坐标是(0,1),把点C(0,1)代入y=-(x-h)2+1,得h=0,则函数的解析式是y=-x2+1,对称轴是y轴,开口向下,则当x1>x2≥0时,y1
5. (2020·河北,23)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.(1)求W与x的函数关系式;(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.①求Q与x的函数关系式;②x为何值时,Q是W薄的3倍?【注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】
6. (2014·河北,24)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
(3)所有满足条件的抛物线共有8条.
7. (2013·河北,20)如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m= .
考点 4 二次函数与一元二次方程、不等式的 关系
1. 定义一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y是x的二次函数,其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.2. 二次函数解析式的确定(1)求二次函数解析式一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数的解析式:
①当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c的形式;
②当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k的形式;③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两点式y=a(x-x1)(x-x2)的形式.
(2)步骤:①设二次函数的解析式;②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出函数的解析式.
(3)三种解析式之间的关系:
【易错提示】二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的增减性,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取值时,要依据其增减性而定.
2. 系数a,b,c与二次函数图象的关系
1. 平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.
【规律总结】求二次函数图象与x轴的交点的方法:令y=0,解关于x的方程,最后把所得的数值写成坐标的形式.求二次函数图象与y轴交点的方法:令x=0,求出y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.
1. (2021·秦皇岛模拟)如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为( )
2. (2021·石家庄新华区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为( )
A. 0 B. -1C. 1 D. 2
3. (2021·河北模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.下列结论:①abc<0;②2a+b<0;③4a-2b+c>0;④3a+c>0,其中正确的结论个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. (2021·河北模拟)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,0),抛物线y=a(x-h)2+k过点C,顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上.若抛物线与线段AB无公共点,则k的取值范围是( )
5. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
利用二次函数的图象可知,当函数值y>0时,x的取值范围是 .
6. (2021·河北预测)如图,一段抛物线y=-x2+4x(0≤x≤4),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3……如此进行下去,直至得抛物线C2 021,若点P(m,3)在第2 021段抛物线C2 021上,则m= .
8 081或8 083
1. (2021·邯郸模拟)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )
A. y=(x-1)2+1 B. y=(x+1)2+1 C. y=2(x-1)2+1 D. y=2(x+1)2+1
2. (2021·河北预测)求经过A(1,4),B(-2,1)两点,对称轴为x=-1的抛物线的解析式是 .
3. (2021·唐山模拟)如图,在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
解:(1)∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-4,把点B(3,0)代入二次函数解析式,得0=4a-4,解得a=1,∴二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标为(3,0)和(-1,0),∴二次函数图象向右平移1个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点.故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).
5. (2021·邯郸模拟)已知二次函数的图象经过点(0,-2),且当x=1时函数有最小值-3.(1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点(-2,y1),(1,y2)和(3,y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小.
解:(1)由题意知:抛物线的顶点坐标为(1,-3),设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3,由于抛物线过点(0,-2),则有a(0-1)2-3=-2,解得a=1,因此抛物线的解析式为y=(x-1)2-3.
(2)∵a=1>0,∴故抛物线的开口向上.∵抛物线的对称轴为x=1,∴(1,y2)为抛物线的顶点坐标,∴y2最小.由于(-2,y1)和(4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(4,y1)和(3,y3)来比较y1,y3的大小,∵在y轴的右侧是增函数,∴y1>y3.于是y2
根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )A. 6b C. ab
3. (2021·河北模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)和(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0
5. (2021·邯郸模拟)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解是 .
命题点 3 二次函数图象的变换
1. (2020·河北,15)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.
下列判断正确的是( )A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对
2. (2010·河北,11)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为( )
A. (2,3) B. (3,2) C. (3,3) D. (4,3)
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
4. (2015·河北,25)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.
解:(1)把点B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得-(2-h)2+1=1,解得h=2,∴抛物线的解析式是y=-(x-2)2+1,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,1).
(2)在y=-(x-h)2+1中,令x=0,解得y=-h2+1,即yC=-h2+1,∵-h2+1≤1,∴yC的最大值是1.此时点C的坐标是(0,1),把点C(0,1)代入y=-(x-h)2+1,得h=0,则函数的解析式是y=-x2+1,对称轴是y轴,开口向下,则当x1>x2≥0时,y1
5. (2020·河北,23)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.(1)求W与x的函数关系式;(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.①求Q与x的函数关系式;②x为何值时,Q是W薄的3倍?【注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】
6. (2014·河北,24)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
(3)所有满足条件的抛物线共有8条.
7. (2013·河北,20)如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m= .
考点 4 二次函数与一元二次方程、不等式的 关系
1. 定义一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y是x的二次函数,其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.2. 二次函数解析式的确定(1)求二次函数解析式一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数的解析式:
①当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c的形式;
②当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k的形式;③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两点式y=a(x-x1)(x-x2)的形式.
(2)步骤:①设二次函数的解析式;②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出函数的解析式.
(3)三种解析式之间的关系:
【易错提示】二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的增减性,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取值时,要依据其增减性而定.
2. 系数a,b,c与二次函数图象的关系
1. 平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.
【规律总结】求二次函数图象与x轴的交点的方法:令y=0,解关于x的方程,最后把所得的数值写成坐标的形式.求二次函数图象与y轴交点的方法:令x=0,求出y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.
1. (2021·秦皇岛模拟)如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为( )
2. (2021·石家庄新华区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为( )
A. 0 B. -1C. 1 D. 2
3. (2021·河北模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.下列结论:①abc<0;②2a+b<0;③4a-2b+c>0;④3a+c>0,其中正确的结论个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. (2021·河北模拟)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,0),抛物线y=a(x-h)2+k过点C,顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上.若抛物线与线段AB无公共点,则k的取值范围是( )
5. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
利用二次函数的图象可知,当函数值y>0时,x的取值范围是 .
6. (2021·河北预测)如图,一段抛物线y=-x2+4x(0≤x≤4),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3……如此进行下去,直至得抛物线C2 021,若点P(m,3)在第2 021段抛物线C2 021上,则m= .
8 081或8 083
1. (2021·邯郸模拟)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )
A. y=(x-1)2+1 B. y=(x+1)2+1 C. y=2(x-1)2+1 D. y=2(x+1)2+1
2. (2021·河北预测)求经过A(1,4),B(-2,1)两点,对称轴为x=-1的抛物线的解析式是 .
3. (2021·唐山模拟)如图,在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
解:(1)∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-4,把点B(3,0)代入二次函数解析式,得0=4a-4,解得a=1,∴二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标为(3,0)和(-1,0),∴二次函数图象向右平移1个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点.故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).
5. (2021·邯郸模拟)已知二次函数的图象经过点(0,-2),且当x=1时函数有最小值-3.(1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点(-2,y1),(1,y2)和(3,y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小.
解:(1)由题意知:抛物线的顶点坐标为(1,-3),设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3,由于抛物线过点(0,-2),则有a(0-1)2-3=-2,解得a=1,因此抛物线的解析式为y=(x-1)2-3.
(2)∵a=1>0,∴故抛物线的开口向上.∵抛物线的对称轴为x=1,∴(1,y2)为抛物线的顶点坐标,∴y2最小.由于(-2,y1)和(4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(4,y1)和(3,y3)来比较y1,y3的大小,∵在y轴的右侧是增函数,∴y1>y3.于是y2
根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )A. 6
3. (2021·河北模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)和(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0
5. (2021·邯郸模拟)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解是 .
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