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2023年河北省中考数学复习全方位第22讲 矩形菱形正方形 课件
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这是一份2023年河北省中考数学复习全方位第22讲 矩形菱形正方形 课件，共60页。PPT课件主要包含了真题演练，下列正确的是，考点梳理，互相平分，∠ABC，垂直平分，互相垂直，垂直平分且相等，题型突破等内容，欢迎下载使用。
1. (2010·河北,14)如图,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上,CD=6,点A对应的数为-1,则点B所对应的数为 .
2. (2019·河北,5)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=( )
A.30° B. 25° C. 20° D. 15°
3. (2010·河北,4)如图,在 ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则 ABCD的周长为( )
A.6 B. 9 C. 12 D. 15
4. (2017·河北,9)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.以下是排乱的证明过程:①又BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD,③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.证明步骤正确的顺序是( )
A.③→②→①→④ B.③→④→①→② C.①→②→④→③ D. ①→④→③→②
5. (2013·河北,11)如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=( )
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
6. (2011·河北,14)如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= .
7. (2014·河北,23)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)求∠ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.
解:(1)证明:由旋转的性质,得AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE.又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE,AB=AC,∴AD=AE.∴△ABD≌△ACE(SAS).
(3)证明:∵∠BAC=∠ACE=40°,∴BA∥CE.由(1),知△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE=40°.∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=140°, ∴∠BAE+∠ABD=180°.∴AE∥BD.∴四边形ABFE是平行四边形.又∵AB=AE,∴平行四边形ABFE是菱形.
8. (2020·河北,16)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( )
A. 1,4,5 B. 2,3,5 C. 3,4,5 D. 2,2,4
A.甲的思路错,他的n值对 B.乙的思路和他的n值都对C.甲和丙的n值都对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
10. (2016·河北,6)关于 ABCD的叙述,正确的是( )
A.若AB⊥BC,则 ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则 ABCD是正方形C.若AC=BD,则 ABCD是矩形 D.若AB=AD,则 ABCD是正方形
11. (2018·河北,12)用一根长为acm的铁丝,首尾相接围成一个正方形.现要将它按如图所示的方式向外等距扩1cm,得到新的正方形,则这根铁丝需增加( )
A. 4cm B. 8cm C. (a+4)cm D. (a+8)cm
12. (2015·河北,16)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则( )
A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以 D. 甲可以,乙不可以
13. (2014·河北,8)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. (2013·河北,13)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=( )
A. 90° B. 100° C. 130° D. 180°
(3)四边形CEFK为平行四边形.证明:设CK,DE相交于点M.∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG.∵BK=AG,∴KG=AB=CD.又∵KG∥CD,∴四边形CKGD为平行四边形.∴CK=DG=EF,CK∥DG.又∵EF∥DG,∴CK∥EF.∴四边形CEFK为平行四边形.
1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图.
【规律总结】应用矩形性质计算的一般思路:(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形,用勾股定理或三角函数求线的长度;(2)根据矩形对角线相等且互相平分,可借助对角线的关系得到全等三角形,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用,建立能够得到线段或角度的等量关系.
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图.
1.定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图.
1. (2021·河北大联考)求证:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°,求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∴AD∥BC,AB∥DC.(①)∵∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形.(②)在证明的过程中,依据①②分别表示( )
A.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形B.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形C. ①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形D. ①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
2.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为( )
A. 31° B. 28° C. 62° D. 56°
4. (2021·张家口模拟)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 .
6. (2021·河北预测)已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).(1)四边形EFGH的形状是 ,证明你的结论. (2)当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,说明理由.
1. (2021·河北一模)在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中,老师给出了如下画菱形的步骤,请问这么画的依据是( )
A.四条边都相等的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2. (2021·河北模拟)如图,OC平分∠AOB,点D是OC上一点,过点D分别作OB和OA的平行线,交OA于点E,交OB于点F.下面是某同学根据条件进行的推理:
∵DE∥OB,DF∥OA,∴四边形OEDF是 ※ . ∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.∵DE∥OB,∴∠EDO=∠BOC,∴∠AOC=∠EDO,∴OE=DE,∴四边形OEDF是 ⦾ . 上述推理过程中的※和⦾分别代表( )
A.平行四边形、矩形 B.平行四边形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形
3. (2021·河北模拟)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH等于( )
4. (2021·河北模拟)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( )
5. (2021·河北预测)如图,在菱形ABCD中,过点A作AH⊥BC,分别交BD,BC于点E,H,点F为ED的中点,∠BAF=120°,则∠C的度数为 °.
1. (2021·河北中考模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,点F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为( )
A. 5 B.6 C. 7 D. 8
2. (2021·石家庄43中一模)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,分别以其对角线AD,CE为边作正方形,则两个阴影部分的面积差a-b的值为( )
3. (2021·河北二模)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CD,则CD的长为( )
4. (2021·邯郸二模)如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为( )
A. 15 B.20 C.25 D. 30
5. (2021·石家庄模拟)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在边DC的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= .
6. (2021·河北模拟)如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连接EB,EA,延长BE交边AD于点F.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)求∠AFB的度数.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC. ∵△CDE是等边三角形,∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,∴∠ADE=∠BCE=30°.∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,∴△ADE≌△BCE(SAS).
(2)∵△ADE≌△BCE,∴AE=BE,∴∠BAE=∠ABE.∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∴∠DAE=∠AFB.∵AD=CD=DE,∴∠DAE=∠DEA. ∵∠ADE=30°,∴∠DAE=75°,∴∠AFB=75°.
1. (2010·河北,14)如图,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上,CD=6,点A对应的数为-1,则点B所对应的数为 .
2. (2019·河北,5)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=( )
A.30° B. 25° C. 20° D. 15°
3. (2010·河北,4)如图,在 ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则 ABCD的周长为( )
A.6 B. 9 C. 12 D. 15
4. (2017·河北,9)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.以下是排乱的证明过程:①又BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD,③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.证明步骤正确的顺序是( )
A.③→②→①→④ B.③→④→①→② C.①→②→④→③ D. ①→④→③→②
5. (2013·河北,11)如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=( )
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
6. (2011·河北,14)如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= .
7. (2014·河北,23)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)求∠ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.
解:(1)证明:由旋转的性质,得AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE.又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE,AB=AC,∴AD=AE.∴△ABD≌△ACE(SAS).
(3)证明:∵∠BAC=∠ACE=40°,∴BA∥CE.由(1),知△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE=40°.∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=140°, ∴∠BAE+∠ABD=180°.∴AE∥BD.∴四边形ABFE是平行四边形.又∵AB=AE,∴平行四边形ABFE是菱形.
8. (2020·河北,16)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( )
A. 1,4,5 B. 2,3,5 C. 3,4,5 D. 2,2,4
A.甲的思路错,他的n值对 B.乙的思路和他的n值都对C.甲和丙的n值都对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
10. (2016·河北,6)关于 ABCD的叙述,正确的是( )
A.若AB⊥BC,则 ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则 ABCD是正方形C.若AC=BD,则 ABCD是矩形 D.若AB=AD,则 ABCD是正方形
11. (2018·河北,12)用一根长为acm的铁丝,首尾相接围成一个正方形.现要将它按如图所示的方式向外等距扩1cm,得到新的正方形,则这根铁丝需增加( )
A. 4cm B. 8cm C. (a+4)cm D. (a+8)cm
12. (2015·河北,16)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则( )
A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以 D. 甲可以,乙不可以
13. (2014·河北,8)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. (2013·河北,13)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=( )
A. 90° B. 100° C. 130° D. 180°
(3)四边形CEFK为平行四边形.证明:设CK,DE相交于点M.∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG.∵BK=AG,∴KG=AB=CD.又∵KG∥CD,∴四边形CKGD为平行四边形.∴CK=DG=EF,CK∥DG.又∵EF∥DG,∴CK∥EF.∴四边形CEFK为平行四边形.
1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图.
【规律总结】应用矩形性质计算的一般思路:(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形,用勾股定理或三角函数求线的长度;(2)根据矩形对角线相等且互相平分,可借助对角线的关系得到全等三角形,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用,建立能够得到线段或角度的等量关系.
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图.
1.定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图.
1. (2021·河北大联考)求证:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°,求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∴AD∥BC,AB∥DC.(①)∵∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形.(②)在证明的过程中,依据①②分别表示( )
A.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形B.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形C. ①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形D. ①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
2.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为( )
A. 31° B. 28° C. 62° D. 56°
4. (2021·张家口模拟)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 .
6. (2021·河北预测)已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).(1)四边形EFGH的形状是 ,证明你的结论. (2)当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,说明理由.
1. (2021·河北一模)在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中,老师给出了如下画菱形的步骤,请问这么画的依据是( )
A.四条边都相等的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2. (2021·河北模拟)如图,OC平分∠AOB,点D是OC上一点,过点D分别作OB和OA的平行线,交OA于点E,交OB于点F.下面是某同学根据条件进行的推理:
∵DE∥OB,DF∥OA,∴四边形OEDF是 ※ . ∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.∵DE∥OB,∴∠EDO=∠BOC,∴∠AOC=∠EDO,∴OE=DE,∴四边形OEDF是 ⦾ . 上述推理过程中的※和⦾分别代表( )
A.平行四边形、矩形 B.平行四边形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形
3. (2021·河北模拟)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH等于( )
4. (2021·河北模拟)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( )
5. (2021·河北预测)如图,在菱形ABCD中,过点A作AH⊥BC,分别交BD,BC于点E,H,点F为ED的中点,∠BAF=120°,则∠C的度数为 °.
1. (2021·河北中考模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,点F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为( )
A. 5 B.6 C. 7 D. 8
2. (2021·石家庄43中一模)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,分别以其对角线AD,CE为边作正方形,则两个阴影部分的面积差a-b的值为( )
3. (2021·河北二模)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CD,则CD的长为( )
4. (2021·邯郸二模)如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为( )
A. 15 B.20 C.25 D. 30
5. (2021·石家庄模拟)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在边DC的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= .
6. (2021·河北模拟)如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连接EB,EA,延长BE交边AD于点F.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)求∠AFB的度数.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC. ∵△CDE是等边三角形,∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,∴∠ADE=∠BCE=30°.∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,∴△ADE≌△BCE(SAS).
(2)∵△ADE≌△BCE,∴AE=BE,∴∠BAE=∠ABE.∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∴∠DAE=∠AFB.∵AD=CD=DE,∴∠DAE=∠DEA. ∵∠ADE=30°,∴∠DAE=75°,∴∠AFB=75°.
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