2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（本题共有10小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
2. 数650000用科学记数法表示为（ ）
A. 65×104 B. 6.5×104 C. 6.5×105 D. 6.5×106
3. 一个几何体有n个大小相同的小正方形搭成,其左视图、俯视图、如图所示，则n的值最小是（ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
4. 下列运算正确的是（　　）
A |-1|＝-1 B. x3•x2＝x6 C. x2+x2＝x4 D. （3x2）2＝6x4
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
6. 有一组数据：2，5，5，6，7，每个数据加1后的平均数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 若点Α在函数y=3x+b的图象上,且3m-n>2,则b的取值范围为　(　 　)
A. b>2 B. b>-2 C. b<2 D. b<-2
8. 如图，DE是△ABC的中位线，表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积,则=（ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）
9. 因式分解：mx2－4m＝_____________．
10. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若，，则菱形ABCD的周长为________．

三、解 答 题（本题共2小题，共10分）
11. 计算：（-3）2+20170- ×sin45°．
12. 先化简，再求值：，其中
四、选一选（本题共有4小题，每小题3分，共12分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
13. 函数y=x2+2x－2写成y=a（x－h）2+k的形式是（ ）．
A. y=（x－1）2+2 B. y=（x－1）2+1
C y=（x+1）2－3 D. y=（x+2）2－1
14. 如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则si的值是（ ）

A. B. C. D.
15. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子没有全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，旗杆的高度为（）.

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
16. 如图为二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象，则下列说法：①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④ 当-10 其中正确的个数为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
五、填 空 题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）
17. 已知A、B两点在反比例函数（m≠0）和（m≠）的图像上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为________________．
18. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______．

六. 解 答 题（本题共5小题，其中第19题,6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，共42分）
19. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，没有将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图．
20. 如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)

21. 如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），是的平分线，.
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若=3，，求的值.

22. 如图，函数与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求函数的解析式；
（2）根据图象直接写出x的取值范围；
（3）求的面积．
23. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，
抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在象限动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，没有存在说明理由．







2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（本题共有10小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】B

【分析】根据相反数的定义可得结果．
【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，
故选：B．
本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键．
2. 数650000用科学记数法表示为（ ）
A. 65×104 B. 6.5×104 C. 6.5×105 D. 6.5×106
【正确答案】C

【详解】试题分析：650000用科学记数法表示为6.5×105，
故选C．
点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
3. 一个几何体有n个大小相同的小正方形搭成,其左视图、俯视图、如图所示，则n的值最小是（ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
【正确答案】B

【分析】
【详解】由题中所给出的左视图知物体共三层，每一层都是两个小正方体；
从俯视图可以可以看出层的个数，所以图中的小正方体至少1+2+4=7．
故选B．
4. 下列运算正确的是（　　）
A. |-1|＝-1 B. x3•x2＝x6 C. x2+x2＝x4 D. （3x2）2＝6x4
【正确答案】A

【详解】试题分析：A、∵＞1，∴－1＞0，
∴|－1|＝－1，故此选项正确；
B、x3•x2＝x5，故此选项错误；
C、x2＋x2＝2x2，故此选项错误；
D、(3x2)2＝9x4，故此选项错误．
故选A．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
6. 有一组数据：2，5，5，6，7，每个数据加1后的平均数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】D

【详解】∵(2+5+5+6+7)÷5=25÷5=5，每个数据加1，则平均数加1，
∴这组数据的平均数为6，
故选D．
7. 若点Α在函数y=3x+b的图象上,且3m-n>2,则b的取值范围为　(　 　)
A. b>2 B. b>-2 C. b<2 D. b<-2
【正确答案】D

【详解】分析：由点（m,n）在函数的图像上，可得出3m+b=n，再由3m-n＞2，即可得出b＜-2，此题得解．
详解：
∵点A（m，n）在函数y=3x+b的图象上，
∴3m+b=n．
∵3m-n＞2，
∴3m-(3m+b)＞2，即-b>2,
∴b＜-2．
故选D．
点睛：考查了函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据函数图象上点的坐标特征，再3m-n＞2，得出-b＞2是解题的关键．
8. 如图，DE是△ABC的中位线，表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积,则=（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据三角形的中位线定理，△ADE∽△ABC，DE：BC＝1：2，
∴它们的面积比是1：4，
∴＝＝，
故选B．
点睛：本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二、填 空 题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）
9. 因式分解：mx2－4m＝_____________．
【正确答案】

【详解】试题分析：mx2－4m
＝m(x2－4)
＝m(x－2)(x＋2)．
故答案为m(x－2)(x＋2)．
点睛：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果各项含有公因式要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若，，则菱形ABCD的周长为________．

【正确答案】

【分析】首先根据菱形的性质可知菱形的对角线垂直平分，然后在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长，再由菱形的四边形相等，可得菱形ABCD的周长．
【详解】∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，DO=BD=2，
在Rt△AOD中，AD=，
∴菱形ABCD的周长为4．
故答案为4．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及勾股定理等知识．
三、解 答 题（本题共2小题，共10分）
11. 计算：（-3）2+20170- ×sin45°．
【正确答案】7

【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】（-3）2+20170-×sin45°
=9+1-3×
=10-3
=7
12. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】2019.

【详解】试题分析：先将分子、分母分解因式，同时把除法转化为乘法，约分后代入a的值计算即可．
试题解析：
解：原式＝
＝a＋1，
当a＝2018时，
原式＝2018＋1
＝2019．
四、选一选（本题共有4小题，每小题3分，共12分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
13. 函数y=x2+2x－2写成y=a（x－h）2+k的形式是（ ）．
A. y=（x－1）2+2 B. y=（x－1）2+1
C. y=（x+1）2－3 D. y=（x+2）2－1
【正确答案】C

【详解】试题分析：y＝x2＋2x－2＝(x2＋2x＋1)－1－2＝(x＋1)2－3，
即y＝(x＋1)2－3．
故选C．
点睛：由于二次项系数是1，所以利用配方法可直接加上项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
14. 如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则si的值是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据∠A＝120°，得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，得出AD＝1，CD=，再根据，利用解直角三角形求出．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，
∴ ．

故选：D．
此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°是解决问题的关键．
15. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子没有全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，旗杆的高度为（）.

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【正确答案】B

【详解】试题分析：过C作CE⊥AB于E，

∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°
∴四边形CDBE为矩形，
BD＝CE＝21，CD＝BE＝2
设AE＝xm．
则1：1.5＝x：21，
解得：x＝14．
故旗杆高AB＝AE＋BE＝14＋2＝16米．
故选B．
点睛：本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
16. 如图为二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象，则下列说法：①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④ 当-10 其中正确的个数为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断-1＜x＜3时，y的符号．
【详解】①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，可知a＜0，故错误；
②由二次函数与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），可知对称轴为x==1，即-=1，
因此可得b=-2a，即2a+b=0，故正确；
③由函数的顶点在象限，因此可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，故正确；
④由二次函数与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），图象开口向下，因此当-1＜x＜3时，y＞0，故正确．
共3个正确的．
故选C.
五、填 空 题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）
17. 已知A、B两点在反比例函数（m≠0）和（m≠）的图像上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为________________．
【正确答案】.

【详解】试题分析：设A（a，b），则B（a，－b），
依题意得：
，
所以＝0，
,即5m－5＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴，y轴对称的点的坐标．根据题意得＝0，即5m－5＝0是解题的难点．
18. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______．

【正确答案】8,,

【分析】分3种情况分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cos∠AOH=cos∠P，，BC=PC－2PG；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，=8，∠APC=∠AOK，cos∠APC=cos∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∠C=∠CAB，BC=AB．
【详解】解：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；
∵AB=AP，
∴，
∵AO过圆心，
∴AG⊥PB，
∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，
∵∠AOB=2∠P，
∴∠AOH=∠P，
∵OA=5，AH=4，
∴OH=3，
∵∠OAH=∠PAG，
∴sin∠OAH=sin∠PAG，
∴，
∴PG=，
∵∠AOH=∠P，
∴cos∠AOH=cos∠P，，
∴，
∴BC=PC－2PG=；
（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，=8，∠APC=∠AOK，
∴PB=PA==，
∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，
∴，
∴，
∴BC=PC－PB=；
（3）当BA=BP时，如图（3），
∵BA=BP，
∴∠P=∠BAP，
∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=AB=8．
故答案为或或．

本题考查等腰三角形的性质；解直角三角形．

六. 解 答 题（本题共5小题，其中第19题,6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，共42分）
19. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，没有将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图．
【正确答案】（1）；（2）

【分析】（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率即是白球所占的比值；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是没有放回实验，此题属于放回实验，此题要求画树状图，要按要求解答．
【详解】解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
（2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示：


从树状图可看出：发生的所有可能的结果总数为6，
两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率．
本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的；解题时要注意此题是放回实验还是没有放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)

【正确答案】塔高约为(60＋20)m.

【详解】试题分析：先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=x，则BE=2x，DE=2x，DC=3x，BC=x，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．
试题解析：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．
又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE．
设EC=x，则DE=BE=2EC=2x，DC=EC+DE=x+2x=3x，BC= ==x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∴x+60=3x，解得：x=，∴DE=2x=．
答：塔高约为 m．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
21. 如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），是的平分线，.
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若=3，，求的值.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC＝4，然后证出△ABC∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例列式解答即可．
试题解析：
（1）证明：连接OC，

∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4．
∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝ 90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得：AD＝．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求的面积．
【正确答案】（1）；（2）当或时，；（3）8

【分析】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）将没有等式转化为，找出图象中函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）设函数图象分别与x轴和y轴交于点D、C，C、D的坐标都可以求得，则，求解即可．
【详解】解：（1）分别把代入得，
解得，
所以A点坐标，B点坐标为，
分别把代入得，
解得，
所以函数解析式为；
（2），即 ，即要找函数图象低于反比例函数图象的部分对应的x的取值范围，所以当或时，；
（3）函数图象分别与x轴和y轴交于点D、C，如图，

当时，，则C点坐标为，
当时，，解得，则D点坐标为，
所以

．
本题主要考查函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．

23. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，
抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，没有存在说明理由．

【正确答案】（1）y2=﹣x2+2x+3．（2）；（3）（1，2）或（1，5）

【详解】试题分析：（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
（2）设A（a，-a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=-a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，依据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．
试题解析：
（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C1：与C2顶点相同，
∴ =1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3．
（2）如图1所示：

设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+ ．
∴当a=时，AQ+OQ有值，值为．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，
，
∴△BCM≌△MDB′
∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．
∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．
整理得：a2﹣7a﹣10=0．
解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2），
当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．
解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．















2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共10小题，每题3分，共计30分）
1. 一元二次方程x2－6x－3＝0的两根为x1、x2，则 x1＋x2的值为（ ）
A. －3 B. 6 C. 3 D. －
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（   ）
A. 7sin35° B. 7cos35° C. 7tan35° D.
3. 若关于x方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个没有等的实根，则m的取值范围是（　　）
A. m＜3 B. m≤3 C. m＜3且m≠2 D. m≤3且m≠2
4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
6. 已知抛物线与x轴的一个交点为（m，0），则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
A. B.
C. D.
8. 将一条抛物线向左平移2个单位后得到了y=2x2的函数图象，则这条抛物线是（ ）
A. y=2x2+2 B. y=2x2－2
C. y=2（x－2）2 D. y=2（x+2）2
9. 如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数时，则∠ABP的度数为（ ）

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
10. 在△ABC中，角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=2，AC=3，则△ABC的周长为（ ）
A. 12－ B. 7－ C. 5+2 D. 5+
二、填 空 题（本大题共8小题，每题2分，共计16分）
11. 二次函数顶点坐标是_______.
12. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是_______cm2．
13. 某商场额3月份为16万元，5月份为25万元，设商场这两个月额的平均增长率为x，则可列方程为____________.
14. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，AB=20．则OE=_______.

15. 抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是_______.

16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=_______.

17. 边长为2正方形ABCD与边长为2 的正方形AEFG按图（1）位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转如图（2），线段DG与线段BE相交，交点为H，则△GHE与△BHD面积之和的值为_________
18. 已知二次函数，当时，的值为5，则实数的值为_______.
三、解 答 题（本大题共10小题，共计84分）
19. 计算：（1）； （2）
20. （1）解方程：； （2）
21. 已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1、x2，求x12+x22的最小值．
22. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

23. 如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；
（1）若点A、C的坐标分别为（-3，0）、（-2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；
（3）以图中的点D为位似，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

24. 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．

25. 学校为奖励“汉字听写大赛”的学生，派王老师到商店购买某种，他看到如图所示的关于该的信息，
购买件数
价格
没有超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价没有得低于30元
便用1400元买回了，求王老师购买该的件数．
26. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+cA（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

27. 在平面直角坐标系中，A点坐标是（0，6），M点坐标是（8，0）．P是射线AM上一点，PB⊥x轴，垂足为B．设AP=a．
（1）AM= ；
（2）如图，以AP为直径作圆，圆心为点C．若⊙C与x轴相切，求a值；
（3）D是x轴上一点，连接AD、PD．若△OAD∽△BDP，试探究满足条件的点D的个数（直接写出点D的个数及相应a的取值范围，没有必说明理由）．

28. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C－B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝0.5时，求线段QM的长；
（2）当M在AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点三角形为直角三角形？若可以，请求t的值；若没有可以，请说明理由.
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若没有是，请说明理由．










2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共10小题，每题3分，共计30分）
1. 一元二次方程x2－6x－3＝0的两根为x1、x2，则 x1＋x2的值为（ ）
A. －3 B. 6 C. 3 D. －
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数关系可知x1＋x2＝＝6．
故选B．
点睛：题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1x2＝．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（   ）
A. 7sin35° B. 7cos35° C. 7tan35° D.
【正确答案】B

【分析】根据余弦的定义列出算式，计算即可．
【详解】在Rt△ABC中,
∴
故选B.
考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
3. 若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个没有等的实根，则m的取值范围是（　　）
A. m＜3 B. m≤3 C. m＜3且m≠2 D. m≤3且m≠2
【正确答案】C

【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解没有等式组即可得到m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0.
由△≥0可得
22-4(m-2)≥0
解得m≤3，
解m-2≠0得m≠2，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
故答案选D.
本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与一元二次方程的定义.
4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】


故选D．
5. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【正确答案】C

【分析】连接OC，由圆周角定理可知，又由DC是⊙O切线，可知，根据直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
【详解】解：连接OC，如下图：

∵，
∴
又∵DC切⊙O于点C，OC为半径
∴
∴是直角三角形
∴
∴

故选：C
本题考查切线的性质定理，圆周角定理，以及直角三角形性质，牢记相关知识点，数形解题是关键．
6. 已知抛物线与x轴的一个交点为（m，0），则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2－m－1＝0，
∴m2－m＝1，
∴m2－m－2013＝1－2013＝－2012．
故选A．
7. 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x的增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．故选C．
8. 将一条抛物线向左平移2个单位后得到了y=2x2的函数图象，则这条抛物线是（ ）
A. y=2x2+2 B. y=2x2－2
C. y=2（x－2）2 D. y=2（x+2）2
【正确答案】C

【详解】试题分析：∵y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（2，0），
∴原抛物线解析式为y=2（x-2）2．
故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
9. 如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数时，则∠ABP的度数为（ ）

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【正确答案】D

【详解】试题分析：连接BD,

∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D,
∴∠ADB=90°,
当∠APB的度数时,
则P和D重合,
∴∠APB=90°,
∵AB=2,AD=1,
∴sin∠ABP= ,
∴∠ABP=30°,
∴当∠APB的度数时,∠ABP的度数为30°．
故选D．
考点：圆周角定理．．
10. 在△ABC中，角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=2，AC=3，则△ABC的周长为（ ）
A. 12－ B. 7－ C. 5+2 D. 5+
【正确答案】D

【详解】试题分析：如图，作△ABC的角平分线AD交BC于D，

则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵角∠A是最小角∠C的2倍，
∴∠C＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠C＝∠CAD，
∴AD＝CD，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
∵AB＝2，AC＝3，
∴，
∴BD•BC＝4①，
3BD＝2BC－2BD②，
由②得，BD＝BC③，
③代入①得，BC•BC＝4，
解得BC＝，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2＋＋3＝5＋．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形，然后根据相似三角形对应边成比例得到两个等式并整理成关于BC的方程是解题的关键，也是本题的难点，作出图形更形象直观．
二、填 空 题（本大题共8小题，每题2分，共计16分）
11. 二次函数的顶点坐标是_______.
【正确答案】（-2，-3）

【详解】试题分析：二次函数y＝－(x＋2)2－3是顶点式，
∴二次函数y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是：（－2，－3）．
故答案为（－2，－3）．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．
12. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是_______cm2．
【正确答案】15π

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．
故答案是：15π
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
13. 某商场额3月份为16万元，5月份为25万元，设商场这两个月额的平均增长率为x，则可列方程为____________.
【正确答案】

【详解】试题分析：3月份的额为16万元，平均每次增长百分率为x，则四月份的额是16(1＋x)，五月份的额是16(1＋x)(1＋x)即16(1＋x)2，根据5月份的额是25万元可列方程为16(1＋x)2＝25．
故答案为16(1＋x)2＝25．
14. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，AB=20．则OE=_______.

【正确答案】8

【详解】试题分析：∵直径AB＝20，
∴半径为10，
连接OC，

∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝12，
∴CE＝DE＝6，
由勾股定理得：OC2＝CE2＋OE2，
102＝62＋OE2，
∴OE＝8，
故答案为8．
点睛：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决此类题目的一般步骤是先利用垂径定理求出弦长的一半，然后连接圆心与弦的一个端点，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
15. 抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是_______.

【正确答案】或

【详解】试题分析：根据图象可以知抛物线的对称轴为x＝－1，根据抛物线的对称性可以确定抛物线与x轴的另一个交点横坐标为x＝－3，y＜0即对应抛物线在x轴下方部分，所以图象可得y＜0时x的取值范围为x＜－3或x＞1．
故答案为x＜－3或x＞1．
点睛：本题考查了二次函数与没有等式，主要利用了二次函数的对称性，此类题目利用数形的思想求解更加简便．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=_______.

【正确答案】2

详解】试题分析：连接OE，OF，OG；

∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OG⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，AF＝AE，CF＝CG，
∴∠OGC＝∠OFC＝∠OED＝90°；
∵∠C＝90°，
∴四边形OFCG是矩形，
∵OG＝OF，
∴四边形OFCG是正方形；
设OF＝x，则CF＝CG＝OF＝x，AF＝AE＝6－x，BE＝BG＝8－x，
∴6－x＋8－x＝10，解得x＝2，
∴OF＝2，
∴AE＝AF＝AC－CF＝4；
∵点D是斜边AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∴DE＝AD－AE＝1，
∴tan∠ODA＝＝2．
点睛：此题考查了三角形内切圆的性质．注意切线长定理．还要注意直角三角形的内切圆中，如果连接过切点的半径，可以得到一个正方形，借助于方程即可求得半径的长．
17. 边长为2的正方形ABCD与边长为2 的正方形AEFG按图（1）位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转如图（2），线段DG与线段BE相交，交点为H，则△GHE与△BHD面积之和的值为_________
【正确答案】6

【详解】试题分析：）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAB＋∠BAG ＝∠EAG＋∠BAG，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD＝∠AEB，
在正方形AEFG中，∠AGE＝∠AEG＝45°，
∴∠HGE＋∠HEG＝45°＋∠AGD＋45°－∠AEB＝90°，
所以∠GHE＝90°，
所以对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高；
同理对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高，
∴△GHE和△BHD面积之和的值为：×22＋×(2)2＝2＋4＝6．
故答案为6．
点睛：此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判断与性质，圆周角定理，确定△GHE与△BHD面积之和取值时点H的位置是解本题的关键．解题时注意：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18. 已知二次函数，当时，的值为5，则实数的值为_______.
【正确答案】或1

【详解】试题分析：二次函数的对称轴为直线x＝＝－2，
①a＞0时，在－4≤x≤1范围内，当x＝1时，取得值，
a×12＋4a×1＋a2－1＝5，
整理得，a2＋5a－6＝0，
解得a1＝1，a2＝－6（舍去），
②a＜0时，当x＝－2时，取得值，
a×（－2）2＋4a×（－2）＋a2－1＝5，
整理得，a2－4a－6＝0，
解得a1＝2－，a2＝2＋（舍去），
所以实数a的值为2－或1．
故答案为2－或1．
三、解 答 题（本大题共10小题，共计84分）
19. 计算：（1）； （2）
【正确答案】（1）-2；（2）4.

【详解】试题分析：（1）先化简值，计算乘方，代入角的三角函数值计算，然后合并同类二次根式即可；
（1）先计算算术平方根，负指数幂，代入角的三角函数值，计算0次幂，相加减即可．
试题解析：
解：（1）原式＝＝－2；
（2）原式＝2＋2－2×＋1＝4－1＋1＝4.
点睛：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解答此类题目的关键是熟记角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．
20. （1）解方程：； （2）
【正确答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）直接利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解．
试题解析：
解：（1），
a＝2，b＝－5，c＝－1，
b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－1)＝33>0，
，
∴；
（2），
(x－3)(x－3＋4x)＝0，
x－3＝0或5x－3＝0，
∴.
21. 已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1、x2，求x12+x22的最小值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）的最小值为．

【分析】（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个没有相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得x1＋x2＝2m＋1、x1•x2＝m(m＋1)，利用配方法可将x12＋x22变形为(x1＋x2)2－2 x1•x2，代入数据即可得出x12＋x22＝2(m＋)2＋，进而即可得出x12＋x22的最小值．
【详解】（1）证明：∵∆＝[﹣(2m＋1)]2﹣4m(m＋1)＝1＞0，
∴方程总有两个没有相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为x1、x2，
∴x1＋x2＝2m＋1、x1•x2＝m(m＋1)，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1•x2＝(2m＋1)2﹣2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2，
∴x12＋x22的最小值为．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出x12＋x22＝2(m＋)2＋．
22. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

【正确答案】（1）见解析
（2）图中阴影部分的面积为π.

【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD，然后根据勾股定理求出CD，则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【详解】（1）证明：连接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝＝．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝＝．
∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝．
∴图中阴影部分的面积为：－．
23. 如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；
（1）若点A、C的坐标分别为（-3，0）、（-2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；
（3）以图中的点D为位似，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

【正确答案】（1）画图见解析，B（﹣4，2）；（2）画图见解析；（3）画图见解析．

【分析】（1）根据A，C点坐标作出直角坐标系，进而求出B点坐标；
（2）根据轴对称的性质平移的性质得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，B（-4，2）；
（2）如图所示：△A1B1C1即所求；

（3）如图所示：△A2B2C2即为所求．
本题主要考查了位似变换、轴对称变换和平移变换，根据题意建立正确的坐标系是解题关键．
24. 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．

【正确答案】（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析

【分析】（1）在Rt△ABE中，根据∠α的正切值即可求得楼高；
（2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．
【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中，
∵,
∴BA=10tan60°=米.
即楼房的高度约为17.3米；

（2）当时，老人仍可晒到太阳；理由如下：
假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为点H，
∵∠BFA=45°，
∴，此时的影长AF=BA=17.3米，
所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1，
∴CH=CF=0.1米，
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上．
∴老人仍可晒到太阳．
本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
25. 学校为奖励“汉字听写大赛”的学生，派王老师到商店购买某种，他看到如图所示的关于该的信息，
购买件数
价格
没有超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价没有得低于30元
便用1400元买回了，求王老师购买该的件数．
【正确答案】王老师购买该的件数为40件．

【详解】试题分析：先判断购买的件数超过了30，设购买了x件，表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，根据总钱数是1400元建立方程求出答案．
试题解析：
解：∵30×40＝1200＜1400，
∴数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣(x﹣30)×0.5]元，
根据题意可得：
x[40﹣(x﹣30)×0.5]＝1400，
解得：x1＝40，x2＝70，
∵x＝70时，40﹣(70﹣30)×0.5＝20＜30，
∴x＝70没有合题意舍去，
答：王老师购买该的件数为40件．
点睛：此题主要考查了一元二次方程应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．
26. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+cA（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

【正确答案】（1），顶点坐标为；（2）；（3）或

【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，
（2）根据图象即可求出y的取值范围，
（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB=4,由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．
【详解】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c

解得，
抛物线的解析式为：，
，
顶点坐标为，
（2）的抛物线的对称轴为，开口向下，如图，

0＜x＜3时，，
（3）设P（x，y），
△PAB的高为|y|，
A（﹣1，0），B（3，0），
，
，
解得，
当时，
，
此时方程无解，
当时，
，
解得，
或．
本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，A点坐标是（0，6），M点坐标是（8，0）．P是射线AM上一点，PB⊥x轴，垂足为B．设AP=a．
（1）AM= ；
（2）如图，以AP为直径作圆，圆心为点C．若⊙C与x轴相切，求a的值；
（3）D是x轴上一点，连接AD、PD．若△OAD∽△BDP，试探究满足条件的点D的个数（直接写出点D的个数及相应a的取值范围，没有必说明理由）．

【正确答案】（1）10；（2）a= ；（3）见解析．

【详解】试题分析：（1）由点的坐标可得OA＝6，OB＝8，根据勾股定理即可求出AM的值．
（2）设切点为E．连接CE，易得Rt△CEM∽Rt△AOM，则，代入求得a的值．
（3）图形，分三种情况探究满足条件的点D的个数．
试题解析：
解：（1）10；
（2）由题意知⊙C与x轴相切，
设切点为E．连接CE，则CE⊥x轴，且CE＝a易证Rt△CEM∽Rt△AOM，
所以，即，
解得a＝ ；

（3）①当0＜a＜时，满足条件的D点有2个；
②当a＝时，满足条件的D点有3个；
③当a＞且a≠10时，满足条件的D点有4个．
28. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C－B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝0.5时，求线段QM长；
（2）当M在AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请求t的值；若没有可以，请说明理由.
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若没有是，请说明理由．

【正确答案】（1）QM=1；（2）t=1或或4；（3）为定值, .

【详解】试题分析：（1）过点C作CF⊥AB于F，利用直线平行得出Rt△AQM∽Rt△ACF，再利用对应边的比值相等求出即可；
（2）由于∠DCA为锐角，故有三种情况：
①当∠CPQ＝90°时，点P与点E重合，可得DE＋CP＝CD，从而可求t；②当∠PQC＝90°时，如备用图1，容易证出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例线段，EQ＝EM﹣QM ＝4－2t，可求t；③当P在AD上时，∠PCQ＝90°，此时PD＝CD，代入即可求出t的值；
（3）当t＞2时，如备用图2，先证明四边形AMQP为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△CRQ∽△CAB，再利用比例线段可求．
试题解析：
解：（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形．
∴CF＝4，AF＝2，
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，
∴ ，
即，
∴QM＝1；
（2）根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有三种情况：
①当∠CPQ＝90°时，点P与点E重合，此时DE＋CP＝CD，即t＋t＝2，∴t＝1；
②当∠PQC＝90°时，
如备用图1，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，
∴ ，
由（1）知，EQ＝EM﹣QM＝4﹣2t，
而PE＝PC﹣CE＝PC﹣（DC﹣DE）＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2，
∴ ，
∴t＝ ；
③当P在AD上时，∠PCQ＝90°，此时PD＝CD，所以t－2＝2 ，所以t＝4；
综上所述，t＝1或或4；
（3）为定值,
当t＞2时，如备用图2，PA＝DA﹣DP＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t，
由（1）得，BF＝AB﹣AF＝4，∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴QM＝MB＝6﹣t，∴QM＝PA，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴四边形AMQP为矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，
∴ .
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键．