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2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析，共54页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，用心做一做等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA值为（ ）
A. B. C. D.
3. 晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB=，,则∠BCD的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 15°
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 120° D. 150°
9. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6小题，每题4分，共24分）
11 若 ，则 =________．
12. 如果二次函数y=ax2+4x-的图象顶点的横坐标为1，则a的值为________．
13. 在一个没有透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
14. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，OC=1，则半径OB的长为________．
15. 如图，已知点A(2,2)是双曲线y=上一点，点B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标是________．
16. 如图，已知直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动，同时动点F从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着射线OA的方向运动，当点E到达终点A时点F随即停止运动，设运动时间为t秒，当动点E、F所在的直线将△OPA的面积分成1∶2的两部分时，t的值为________．
三、用心做一做（本题有8小题，共66分）
17. 计算：
18. 如图1，某社会实践小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA度数．
（2）求出这段河的宽（结果保留根号）．
19. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
20. 八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．
（2）老师决定从选择铅球训练3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
23. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm／s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm／s的速度沿BC向终点C运动，两点到达终点后停止运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ，设动点运动的时间为ts(t>0)．
(1) 连结DP，1s后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？ 请说明理由；
(2) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形?
(3) 如图②，设点M是EQ的中点，在点P、Q的整个运动过程中，试探究点M的运动路径长度是多少？
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（没有与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积值，并写出此时点D的坐标．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴，
∴．
3. 晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ）
A B. C. D. 1
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb，
所以颜色搭配正确的概率是.
故选B．
考点：列表法与树状图法．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
5. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB=，,则∠BCD的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 15°
【正确答案】A
【详解】解：∵直径CD垂直弦AB于点E，AB=，∴EB=AB=．∵⊙O的半径为2，∴sin∠EOB=，∴∠EOB=60°，∴∠BCD=30°．
故选A．
本题考查了垂径定理及角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．
考点：相似三角形的判定与性质．
7. 如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC的弧长为=π．故选B．
点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
8. 圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 120° D. 150°
【正确答案】C
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长是4πcm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为4πcm，
∴
解得：n=120
故选：C．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角．
9. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】(1)利用切线的性质得出，进而得出（），即可得出 ，得出答案即可；
(2)利用（1）所求得出：，进而求出（），即可得出答案；
(3)利用全等三角形的判定得出（），进而得出；
(4)利用四边形是菱形，，则，则，求出即可.
【详解】（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
（），
，
与相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：，
在和中，
，
（），
，
，
四边形是菱形，
故（2）正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
故（3）正确；
（4）四边形是菱形，，
，则，
，
故（4）正确；
正确个数有4个.
故选.
此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.
10. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧即可判断a、c、b的符号，进而可判断A项；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，抛物线的对称轴公式即可判断B项；
由图象可知；当x=1时，a+b+c<0，再B项的结论即可判断C项；
由（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，可知当x=－2时，y<0，进而可判断D项.
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，所以本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴，∴a﹣b＝0，所以本选项错误；
C、∵当x=1时，a+b+c<0，且a=b，∴，所以本选项错误；
D、∵（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，且当x=1时，y<0，∴当x=－2时，y<0，即4a﹣2b+c<0，∴，所以本选项正确.
故选：D.
本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
二、认真填一填（本题有6小题，每题4分，共24分）
11. 若 ，则 =________．
【正确答案】
【详解】设，
即x=2k, ,y=3k , z=4k .
代入.
考点：比例的应用．
12. 如果二次函数y=ax2+4x-的图象顶点的横坐标为1，则a的值为________．
【正确答案】-2
【详解】解：由题意得：，解得：a=﹣2．故答案为﹣2．
13. 在一个没有透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
【正确答案】24
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
14. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，OC=1，则半径OB的长为________．
【正确答案】2
【详解】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=，
∴BC=AB=
∵OC=1，
∴Rt△OBC中，
OB===2．
故2．
15. 如图，已知点A(2,2)是双曲线y=上一点，点B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标是________．
【正确答案】
【详解】解：过B作BE⊥x轴于点E，过A作AD⊥BE于点D，∴∠BCE+∠CBE=90°．∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠ABD=∠BCE．在△ADB和△BEC中，∵∠ABD=∠BCE，∠D=∠BEC=90°，AB=BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD=BE，BD=CE．设B（a，b），其中a＞2，则AD=a-2，BE=b，∴b=a-2． ∵ab=4，∴a(a-2)=4，∴，解得： 或（舍去），∴，，∴B．故答案为．
16. 如图，已知直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动，同时动点F从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着射线OA的方向运动，当点E到达终点A时点F随即停止运动，设运动时间为t秒，当动点E、F所在的直线将△OPA的面积分成1∶2的两部分时，t的值为________．
【正确答案】
【详解】解：在中，令y=0，得：，解得：x=4，∴OA=4．解方程组，得：，∴OP==4，tan∠POA=，∴∠POA=60°，∴△OPA是边长为4的等边三角形，．分两种情况讨论：
①当E在OP上运动时，△OEF是边长为2t的等边三角形．∵△OEF∽△OPA，且面积比为1：3或2：3，∴，或，解得：t=或．
②当E在PA上运动时，PE=2t-4，EA=8-2t，F(2t，0)，E(t，)，直线EF为，∴G，∴OG=2×（）=，∴PG== ．
∵= PG•PE=或，解即：或，解得：t=或．
综上所述：t=或或或．
点睛：本题是函数的综合题．解题时注意要分类讨论．第二种情况当E在PA上运动时，计算量比较大，容易出错．
三、用心做一做（本题有8小题，共66分）
17. 计算：
【正确答案】
【分析】根据二次根式性质，零指数幂的意义、角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式===．
18. 如图1，某社会实践小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA的度数．
（2）求出这段河的宽（结果保留根号）．
【正确答案】（1）∠CBA =15°；（2）
【详解】试题分析：（1）根据三角形的外角的性质、题意计算即可；（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可
试题解析：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°， ∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D， 设BD=xm， ∵∠BCA=30°， ∴CD==x，
∵∠BAD=45°， ∴AD=BD=x， 则x﹣x=60， 解得x=≈82，
答：这段河的宽约为82m．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题
19. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【正确答案】 (1) BD＝5cm;(2)S阴影 ＝cm2.
【详解】试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．
试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD==cm．
（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．
考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．
20. 八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．
（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
【正确答案】（1）36 ， 40， 5；（2）．
【分析】（1）先求出跳绳所占比例，再用比例乘以360°即可，用篮球的人数除以所占比例即可；根据加权平均数的概念计算训练后篮球定时定点投篮人均进球数．
（2）画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360°×（1-50%-20%-10%-10%）=36度；
该班共有学生（2+5+7+4+1+1）÷50%=40人；
训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是=5，
故36，40，5．
（2）三名男生分别用A1,A2,A3表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为M）
的结果有6种，
∴P（M）==．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．
【正确答案】(1)CD与⊙O相切;理由见解析；(2)2
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的长即可．
【详解】（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA=CB，
∴，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC=OD
∵OA=OC=2，
∴DO=4，
∴CD=.
考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能图形选择简单的方法解题．
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
【正确答案】 ①. y=x2+x ②. g=-x2+32x-150 ③. 16 ④. 6
【分析】（1）分别把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系数法求解即可；
（2）纯g=x个月的总利润-总150万-x个月的维修保养费用，化简即可求的g关于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化为顶点式，求得顶点坐标即可知其值问题；只有当g＞0时，才能回收，所以可根据二次函数g＞0时对应的x值来确定其在第6个月可回收．
【详解】解：（1）根据题意可知
当x=1时，y=2，
当x=2时，y=6，
所以
解得
∴y=x2+x；
（2）纯g=33x-150-（x2+x），
=-x2+32x-150；
（3）g=-x2+32x-150=-（x-16）2+106，
即设施开放16个月后游乐场的纯达到．
又在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，
当x≤5时，g＜0；
而当x=6时，g＞0，
所以6个月后能收回．
故答案为(1). y=x2+x (2). g=-x2+32x-150 (3). 16 (4). 6
本题考查利用二次函数的模型解决实际问题．先根据题意求出二次函数的解析式是解题关键．求最值问题可利用抛物线的顶点坐标解决．
23. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm／s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm／s的速度沿BC向终点C运动，两点到达终点后停止运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ，设动点运动的时间为ts(t>0)．
(1) 连结DP，1s后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？ 请说明理由；
(2) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形?
(3) 如图②，设点M是EQ的中点，在点P、Q的整个运动过程中，试探究点M的运动路径长度是多少？
【正确答案】（1）能.四边形EQDP是平行四边形. (2)当t为2.5或3.1时，△EDQ为直角三角形(3)点M的运动路径长度是cm
【详解】试题分析：（1）如图1，当t=1时，AP=1，BQ=1.25，QD=0.75．由PE∥DC，得到EP=0.75，从而有EP=QD，再由EP∥QD，即可得到结论；
（2）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可；
（3）作AB的中点M，DC的中点M′，连接MM′，则M运动的路径就是线段MM′．过M作MG⊥BC于G．可以证明MG是△ABC的中位线，得到MG=2，BG=GC=2.5．再由M′是DC的中点，得到M′C=1.5，进而得到GM′=2.5－1.5=1，在Rt△MGM′中，由勾股定理即可得出MM′的长．
试题解析：解：（1）能．理由如下：
如图1，当t=1时，AP=1，BQ=1.25，QD=2-1.25=0.75．∵PE∥DC，∴，∴，∴EP=0.75，∴EP=QD．∵EP∥QD，∴四边形EQDP是平行四边形．
（2）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣t．又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC，
∴.∵BC=5厘米，CD=3厘米，∴BD=2厘米，∴DQ=1.25t﹣2，∴ ，解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4﹣t．在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，∴AD==5，∴CN==.∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴，∴，解得t=3.1（秒）．
综上所述：当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
（3）作AB的中点M，DC的中点M′，连接MM′，则M运动的路径就是线段MM′．过M作MG⊥BC于G．∵M是AB的中点，∴G是BC的中点，∴MG是△ABC的中位线，∴MG=AC=2，BG=GC=2.5．∵M′是DC的中点，∴M′C=DC=1.5，∴GM′=2.5－1.5=1，∴MM′===（cm）．
点睛：本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题第（2）问的关键是用分类讨论的思想解决问题，第（3）问的关键是弄清楚M的运动路径具体是什么．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（没有与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的值，并写出此时点D的坐标．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为；（2）①P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）；②D（）．
【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）①首先求出AB直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可．
【详解】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1．
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3．
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴，解得：．
∴直线AB的解析式为．
∴C点坐标为（0，）．
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），
∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，﹣x）．
（i）当OC=OP时，，
解得（舍去）．
∴P1（）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（）．
（iii）当OC=PC时，由，
解得（舍去）．
∴P3（）．
综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）．
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x，）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ（OG+GH）
=
=．
∵0＜x＜3，
∴当时，S取得值为，此时D（）．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1. 方程：x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）
A. x=﹣1 B. x=3 C. x1=﹣1，x2=3 D. 以上答案都没有对
2. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
3. 已知一组数据：16，15，16，14，17，16，15，则众数是（ ）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
4. 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
5. 在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( )
A. B. C. D.
6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
7. 如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是( )
A. cm B. cm C. cm D. 30cm
8. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 现有60件某种产品，其中有3件次品，那么从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是_____．
10. 某校男子足球队队员的年龄分布为如图的条形图，则这些队员年龄的众数、中位数分别是_____．
11. 已知四边形ABCD内有一点E，满足EA=EB=EC=ED，且∠BCD=130°，那么∠BAD的度数为_____．
12. 若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于_____．
13. 一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘以4，所得到的一组新数据的方差是_________．
14. 若m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，则代数式am2+bm﹣7的值为_____．
15. 如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
16. 某种药品原来售价60元，连续两次降价后售价为48.6元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是_____．
17. 写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）_____．
18. 如图，AB是⊙O直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．）
19. 解方程：（1）2x2﹣5x+2=0；
（2）x+3﹣x（x+3）=0．
20. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对
他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［］）
21. 如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与边BC相交于点D，与△ABC的外接圆相交于点C．
求证：IE＝BE．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
23. 甲、乙两个没有透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
24. 某旅行社的一则广告如下：我社推出去井冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数没有超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费没有得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．
（1）如果批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费 元；
（2）如果公司计划用29250元组织批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？
25. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
26. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
27. 如图所示：在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3，6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：
（1）多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）△PAQ面积能否达到3cm2？
（3）多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？
28. 如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1. 方程：x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）
A. x=﹣1 B. x=3 C. x1=﹣1，x2=3 D. 以上答案都没有对
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵x（x+1）=3（x+1）
∴x（x+1）﹣3（x+1）=0
∴（x+1）（x﹣3）=0
∴x1=﹣1，x2=3
故选C．
考点：解一元二次方程
2. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
【正确答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP没有垂直直线l两种情况讨论．
【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP没有垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
3. 已知一组数据：16，15，16，14，17，16，15，则众数是（ ）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
【正确答案】B
【详解】∵在这组数据中16出现的次数至多，
∴这组数据的众数是16.
故选B.
4. 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
【正确答案】B
【详解】
由题意得,∠AOB==60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=2⋅cos30°=2×=，
故选B.
5. 在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先利用树状图展示所有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能结果数，其中可以构成完全平方式占2种，
所以可以构成完全平方式的概率=．
故选A．
题目主要考查列表法与树状图法求概率及完全平方式，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7. 如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是( )
A. cm B. cm C. cm D. 30cm
【正确答案】A
【详解】如下图，在灰色扇形OAB向右无滑动滚动过程中，点O移动的距离等于线段A1B1的长度，而A1B1的长度等于灰色扇形OAB中弧的长度，
∵S扇形=，OA=6，
∴（cm），即点O移动的距离等于：cm.
故选A.
点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.
8. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【正确答案】A
【详解】∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=OB=×4=12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=PA，
设P（x，0），
∴PA=12-x，
∴⊙P的半径PM=PA=6-x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选A．
考点：1．切线的性质；2．函数图象上点的坐标特征．
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 现有60件某种产品，其中有3件次品，那么从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是_____．
【正确答案】
【详解】∵这60件产品中，每一件被抽到机会是均等的，
∴任意抽取1件恰好是次品的概率为：P（抽到次品）=.
10. 某校男子足球队队员的年龄分布为如图的条形图，则这些队员年龄的众数、中位数分别是_____．
【正确答案】15,15
【详解】由统计图可知，足球队共有：2+6+8+3+2+1=22（人），其中15岁的人至多，共有8人，所以众数是15；而这22人中，按年龄从小到大排列，排在第11和12的都是15岁，所以中位数也是15；即这支球队队员年龄的众数是15，中位数是15.
11. 已知四边形ABCD内有一点E，满足EA=EB=EC=ED，且∠BCD=130°，那么∠BAD的度数为_____．
【正确答案】50°
【详解】如图：∵EB=EC=ED，
∴∠1=∠ECD，∠2=∠ECB，
∴∠1+∠2=∠ECD+∠ECB=∠BCD=130°，
∴∠BED=360°-130°-130°=100°，
∴∠AEB+∠AED=360°-100°=260°，
∵EB=EA=ED，
∴∠3=（180°-∠AEB），∠4=（180°-∠AED），
∴∠3+∠4=180°-（∠AEB+∠AED）=180°-130°=50°，
即∠BAD=50°.
12. 若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于_____．
【正确答案】18π
【详解】试题分析：圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线．
由题意得圆锥的侧面积=π×3×6=18π．
考点：圆锥的侧面积
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆锥的侧面积公式，即可完成.
13. 一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘以4，所得到的一组新数据的方差是_________．
【正确答案】16s2
【详解】设原数据组中的数据为：，其平均数为，
则S2=.
那么新数据组为，新数据组的平均数为，
∴新数据组的方差为：
=
=
=S2.
点睛：当一组数据中每个数据都扩大为原来的倍后，所得新数据组的方差扩大为原数据组方差的倍.
14. 若m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，则代数式am2+bm﹣7的值为_____．
【正确答案】-2
【详解】把代入方程可得：，
∴，
∴.
15. 如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
【正确答案】πa2
【详解】如图，把原图中的阴影部分分成A、B、C三块区域，则大圆刚好由4个A、4个B、4个C组成，
∴S阴影=A+B+C=S大圆，
∵小圆的半径为，大圆的半径是小圆的直径，
∴大圆的半径是，
∴S大圆=，
∴S阴影=.
16. 某种药品原来售价60元，连续两次降价后售价为48.6元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是_____．
【正确答案】10﹪
【详解】设每次下降的百分率为，根据题意可得：
，
解得（没有合题意，舍去），
所以每次下降的百分率为10%.
17. 写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）_____．
【正确答案】没有如：（x+1）(x+2)=0
【详解】∵以为根，且二次项系数为1的一元二次方程为，
∴以-1，-2为根，且二次项系数为1的一元二次方程为，即.
18. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____．
【正确答案】2
【详解】如下图，作点C关于直径AB的对称点C1，连接DC1，交AB于点P，此时PC+PD最短.
∵点C和点C1关于AB对称，点C是上半圆上的三等分点，
∴AB垂直平分CC1，点C1是下半圆上的三等分点，
∴PC=PC1，∠AOC1=60°，
∴PC+PD=PD+PC1=DC1，
∵点D是的中点，
∴为半圆O，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOC1=∠DOA+∠AOC1=90°，
∴在Rt△DOC1中，DC1=，
∴PC+PD的最小值为.
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．）
19. 解方程：（1）2x2﹣5x+2=0；
（2）x+3﹣x（x+3）=0．
【正确答案】(1)x1=2，x2=;(2)x1=﹣3，x2=1
【详解】试题解析：
（1）题选用“公式法”来解（也可用其它方法）；
（2）题根据题目特点，选用“因式分解法”来解.
试题解析：
（1）∵在方程中，，
∴，
∴，
∴；
（2）原方程可变形为：，
∴或，
解得：
20. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对
他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［］）
【正确答案】解：（1）9；9．
（2）s2甲＝；
s2乙＝．
（3）甲参加比赛更合适．
【详解】解：（1）9；9．
（2）s2甲＝
＝＝；
s2乙＝
＝＝．
（3）甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故甲参加比赛更合适．
21. 如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与边BC相交于点D，与△ABC的外接圆相交于点C．
求证：IE＝BE．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：
连接IB，由三角形内心是三条角平分线的交点，可得AE平分∠BAC，BI平分∠ABC，再三角形外角的性质和圆周角定理可证∠BIE=∠IBE，就可得到BE=IE.
试题解析：
连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠CAD=∠DBE
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
【正确答案】（1）详见解析
（2）或
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个没有相等实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
23. 甲、乙两个没有透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【正确答案】（1）树状图见解析；（2）.
【详解】试题分析：先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．
试题解析：（1）树状图如下：
（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为，
即P（两个数字之和能被3整除）=．
本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．随机A的概率P（A）等于A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
24. 某旅行社的一则广告如下：我社推出去井冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数没有超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费没有得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．
（1）如果批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费 元；
（2）如果公司计划用29250元组织批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？
【正确答案】（1）27360；（2）应安排45人参加
【详解】试题分析：
（1）由题意可列出式子：38×[800﹣（38﹣30）×10]计算可得结果；
（2）首先由30×800=24000＜29250，可知这次去旅游的人数超过了30人，
设安排了人去旅游，由题意可列方程：，解方程求得值后，再由人均费用没有低于500元进行检验即可得到答案.
试题解析：
（1）∵人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，
∴批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费：38×[800﹣（38﹣30）×10]=27360；
故答案为27360；
（2）设这次旅游安排了人参加，
∵30×800=24000＜29250，
∴＞30，根据题意得：
，
整理得，，
解得：，
∵800﹣10（﹣30）≥500，
∴≤60，
∴=45．
答：这次旅游应安排45人参加．
25. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【正确答案】(1) AC=4；(2)详见解析.
【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
26. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴．
27. 如图所示：在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3，6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：
（1）多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）△PAQ的面积能否达到3cm2？
（3）多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？
【正确答案】（1）1秒或2秒；（2）3cm2；（3）2秒.
【详解】（1）设x秒△PAQ的面积为2cm2，列出方程解答即可．
（2）设x秒△PAQ的面积为3cm2，通过列出方程解答可知此方程无实数根，即没有能达到．
（3）根据P、Q两点的移动规律，分别写出1，2，3秒时的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
28. 如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
【正确答案】(1)1s、4s、7s、16s;(2)
【详解】试题分析：
（1）题意可知，本题存在四种可能，故分以下四种情况讨论计算即可：①如图1，圆O在直线AC左侧和直线AC相切；②如图2，圆O和直线AB左侧和直线AB相切；③如图3，圆O在直线AC右侧和直线AC相切；④如图4，圆O在直线AB右侧和直线AB相切；
（2）由（1）可知，在图2和图3的情形中，半圆O和△ABC有重叠部分，按图分情况计算即可.
试题解析：
（1）①如图1所示：当点N与点C重合时，AC⊥OC，OC=ON=3cm，
∴AC与半圆O所在的圆相切．
∴此时点O运动了1cm，故运动时间为：t=1（s）
②如图2所示；
当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．
∵在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=6cm，
∴OF=3cm，即OF等于半圆O的半径，
∴AB与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了4cm，故运动时间为：t=4（s）
③如图3所示；过点O作OH⊥AB，垂足为H．
当点O运动到BC的中点时，AC⊥OC，OC=OM=3cm，
∴AC与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了7cm，故运动时间为：t=7（s）．
④如图4所示；
当点O运动到B点的右侧，且OB=6cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q．
∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，
∴OQ=OB=3cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，
∴直线AB与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了16cm，所求运动时间为：t=16（s）．
综上所述：当点的值为1s，4s，7s，16s时，半圆O所在圆和△ABC的边所在直线相切.
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形．
①如图2所示：重叠部分是圆心角为90°，半径为3cm的扇形，所求重叠部分面积=（cm2）；
②如图③所示：
设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．
则PH=BH．
∵在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3cm
∴OH=1.5cm，BH=cm，BP=cm，
∴S△POB=BPOH=（cm2）.
又∵∠DOP=2∠DBP=60°，
∴S扇形DOP=（cm2），
∴所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形DOP=（cm2）．
点睛：解第（1）小题时，关键是将所有情况考虑完整.由于圆心在直线BC上移动，所以半圆O所在的圆只可能和直线AC和直线AB相切，而半圆O所在的圆和每条直线相切时，都需要考虑左、右两侧相切的情况，这样就可知共存在4种情况，画出对应的图形，就可分析具体的解法了.
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA值为（ ）
A. B. C. D.
3. 晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB=，,则∠BCD的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 15°
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 120° D. 150°
9. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6小题，每题4分，共24分）
11 若 ，则 =________．
12. 如果二次函数y=ax2+4x-的图象顶点的横坐标为1，则a的值为________．
13. 在一个没有透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
14. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，OC=1，则半径OB的长为________．
15. 如图，已知点A(2,2)是双曲线y=上一点，点B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标是________．
16. 如图，已知直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动，同时动点F从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着射线OA的方向运动，当点E到达终点A时点F随即停止运动，设运动时间为t秒，当动点E、F所在的直线将△OPA的面积分成1∶2的两部分时，t的值为________．
三、用心做一做（本题有8小题，共66分）
17. 计算：
18. 如图1，某社会实践小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA度数．
（2）求出这段河的宽（结果保留根号）．
19. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
20. 八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．
（2）老师决定从选择铅球训练3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
23. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm／s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm／s的速度沿BC向终点C运动，两点到达终点后停止运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ，设动点运动的时间为ts(t>0)．
(1) 连结DP，1s后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？ 请说明理由；
(2) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形?
(3) 如图②，设点M是EQ的中点，在点P、Q的整个运动过程中，试探究点M的运动路径长度是多少？
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（没有与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积值，并写出此时点D的坐标．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴，
∴．
3. 晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ）
A B. C. D. 1
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb，
所以颜色搭配正确的概率是.
故选B．
考点：列表法与树状图法．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
5. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB=，,则∠BCD的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 15°
【正确答案】A
【详解】解：∵直径CD垂直弦AB于点E，AB=，∴EB=AB=．∵⊙O的半径为2，∴sin∠EOB=，∴∠EOB=60°，∴∠BCD=30°．
故选A．
本题考查了垂径定理及角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．
考点：相似三角形的判定与性质．
7. 如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC的弧长为=π．故选B．
点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
8. 圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 120° D. 150°
【正确答案】C
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长是4πcm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为4πcm，
∴
解得：n=120
故选：C．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角．
9. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】(1)利用切线的性质得出，进而得出（），即可得出 ，得出答案即可；
(2)利用（1）所求得出：，进而求出（），即可得出答案；
(3)利用全等三角形的判定得出（），进而得出；
(4)利用四边形是菱形，，则，则，求出即可.
【详解】（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
（），
，
与相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：，
在和中，
，
（），
，
，
四边形是菱形，
故（2）正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
故（3）正确；
（4）四边形是菱形，，
，则，
，
故（4）正确；
正确个数有4个.
故选.
此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.
10. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧即可判断a、c、b的符号，进而可判断A项；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，抛物线的对称轴公式即可判断B项；
由图象可知；当x=1时，a+b+c<0，再B项的结论即可判断C项；
由（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，可知当x=－2时，y<0，进而可判断D项.
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，所以本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴，∴a﹣b＝0，所以本选项错误；
C、∵当x=1时，a+b+c<0，且a=b，∴，所以本选项错误；
D、∵（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，且当x=1时，y<0，∴当x=－2时，y<0，即4a﹣2b+c<0，∴，所以本选项正确.
故选：D.
本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
二、认真填一填（本题有6小题，每题4分，共24分）
11. 若 ，则 =________．
【正确答案】
【详解】设，
即x=2k, ,y=3k , z=4k .
代入.
考点：比例的应用．
12. 如果二次函数y=ax2+4x-的图象顶点的横坐标为1，则a的值为________．
【正确答案】-2
【详解】解：由题意得：，解得：a=﹣2．故答案为﹣2．
13. 在一个没有透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
【正确答案】24
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
14. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，OC=1，则半径OB的长为________．
【正确答案】2
【详解】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=，
∴BC=AB=
∵OC=1，
∴Rt△OBC中，
OB===2．
故2．
15. 如图，已知点A(2,2)是双曲线y=上一点，点B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标是________．
【正确答案】
【详解】解：过B作BE⊥x轴于点E，过A作AD⊥BE于点D，∴∠BCE+∠CBE=90°．∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠ABD=∠BCE．在△ADB和△BEC中，∵∠ABD=∠BCE，∠D=∠BEC=90°，AB=BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD=BE，BD=CE．设B（a，b），其中a＞2，则AD=a-2，BE=b，∴b=a-2． ∵ab=4，∴a(a-2)=4，∴，解得： 或（舍去），∴，，∴B．故答案为．
16. 如图，已知直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动，同时动点F从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着射线OA的方向运动，当点E到达终点A时点F随即停止运动，设运动时间为t秒，当动点E、F所在的直线将△OPA的面积分成1∶2的两部分时，t的值为________．
【正确答案】
【详解】解：在中，令y=0，得：，解得：x=4，∴OA=4．解方程组，得：，∴OP==4，tan∠POA=，∴∠POA=60°，∴△OPA是边长为4的等边三角形，．分两种情况讨论：
①当E在OP上运动时，△OEF是边长为2t的等边三角形．∵△OEF∽△OPA，且面积比为1：3或2：3，∴，或，解得：t=或．
②当E在PA上运动时，PE=2t-4，EA=8-2t，F(2t，0)，E(t，)，直线EF为，∴G，∴OG=2×（）=，∴PG== ．
∵= PG•PE=或，解即：或，解得：t=或．
综上所述：t=或或或．
点睛：本题是函数的综合题．解题时注意要分类讨论．第二种情况当E在PA上运动时，计算量比较大，容易出错．
三、用心做一做（本题有8小题，共66分）
17. 计算：
【正确答案】
【分析】根据二次根式性质，零指数幂的意义、角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式===．
18. 如图1，某社会实践小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA的度数．
（2）求出这段河的宽（结果保留根号）．
【正确答案】（1）∠CBA =15°；（2）
【详解】试题分析：（1）根据三角形的外角的性质、题意计算即可；（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可
试题解析：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°， ∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D， 设BD=xm， ∵∠BCA=30°， ∴CD==x，
∵∠BAD=45°， ∴AD=BD=x， 则x﹣x=60， 解得x=≈82，
答：这段河的宽约为82m．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题
19. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【正确答案】 (1) BD＝5cm;(2)S阴影 ＝cm2.
【详解】试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．
试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD==cm．
（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．
考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．
20. 八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．
（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
【正确答案】（1）36 ， 40， 5；（2）．
【分析】（1）先求出跳绳所占比例，再用比例乘以360°即可，用篮球的人数除以所占比例即可；根据加权平均数的概念计算训练后篮球定时定点投篮人均进球数．
（2）画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360°×（1-50%-20%-10%-10%）=36度；
该班共有学生（2+5+7+4+1+1）÷50%=40人；
训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是=5，
故36，40，5．
（2）三名男生分别用A1,A2,A3表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为M）
的结果有6种，
∴P（M）==．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．
【正确答案】(1)CD与⊙O相切;理由见解析；(2)2
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的长即可．
【详解】（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA=CB，
∴，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC=OD
∵OA=OC=2，
∴DO=4，
∴CD=.
考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能图形选择简单的方法解题．
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
【正确答案】 ①. y=x2+x ②. g=-x2+32x-150 ③. 16 ④. 6
【分析】（1）分别把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系数法求解即可；
（2）纯g=x个月的总利润-总150万-x个月的维修保养费用，化简即可求的g关于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化为顶点式，求得顶点坐标即可知其值问题；只有当g＞0时，才能回收，所以可根据二次函数g＞0时对应的x值来确定其在第6个月可回收．
【详解】解：（1）根据题意可知
当x=1时，y=2，
当x=2时，y=6，
所以
解得
∴y=x2+x；
（2）纯g=33x-150-（x2+x），
=-x2+32x-150；
（3）g=-x2+32x-150=-（x-16）2+106，
即设施开放16个月后游乐场的纯达到．
又在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，
当x≤5时，g＜0；
而当x=6时，g＞0，
所以6个月后能收回．
故答案为(1). y=x2+x (2). g=-x2+32x-150 (3). 16 (4). 6
本题考查利用二次函数的模型解决实际问题．先根据题意求出二次函数的解析式是解题关键．求最值问题可利用抛物线的顶点坐标解决．
23. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm／s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm／s的速度沿BC向终点C运动，两点到达终点后停止运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ，设动点运动的时间为ts(t>0)．
(1) 连结DP，1s后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？ 请说明理由；
(2) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形?
(3) 如图②，设点M是EQ的中点，在点P、Q的整个运动过程中，试探究点M的运动路径长度是多少？
【正确答案】（1）能.四边形EQDP是平行四边形. (2)当t为2.5或3.1时，△EDQ为直角三角形(3)点M的运动路径长度是cm
【详解】试题分析：（1）如图1，当t=1时，AP=1，BQ=1.25，QD=0.75．由PE∥DC，得到EP=0.75，从而有EP=QD，再由EP∥QD，即可得到结论；
（2）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可；
（3）作AB的中点M，DC的中点M′，连接MM′，则M运动的路径就是线段MM′．过M作MG⊥BC于G．可以证明MG是△ABC的中位线，得到MG=2，BG=GC=2.5．再由M′是DC的中点，得到M′C=1.5，进而得到GM′=2.5－1.5=1，在Rt△MGM′中，由勾股定理即可得出MM′的长．
试题解析：解：（1）能．理由如下：
如图1，当t=1时，AP=1，BQ=1.25，QD=2-1.25=0.75．∵PE∥DC，∴，∴，∴EP=0.75，∴EP=QD．∵EP∥QD，∴四边形EQDP是平行四边形．
（2）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣t．又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC，
∴.∵BC=5厘米，CD=3厘米，∴BD=2厘米，∴DQ=1.25t﹣2，∴ ，解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4﹣t．在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，∴AD==5，∴CN==.∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴，∴，解得t=3.1（秒）．
综上所述：当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
（3）作AB的中点M，DC的中点M′，连接MM′，则M运动的路径就是线段MM′．过M作MG⊥BC于G．∵M是AB的中点，∴G是BC的中点，∴MG是△ABC的中位线，∴MG=AC=2，BG=GC=2.5．∵M′是DC的中点，∴M′C=DC=1.5，∴GM′=2.5－1.5=1，∴MM′===（cm）．
点睛：本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题第（2）问的关键是用分类讨论的思想解决问题，第（3）问的关键是弄清楚M的运动路径具体是什么．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（没有与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的值，并写出此时点D的坐标．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为；（2）①P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）；②D（）．
【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）①首先求出AB直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可．
【详解】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1．
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3．
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴，解得：．
∴直线AB的解析式为．
∴C点坐标为（0，）．
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），
∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，﹣x）．
（i）当OC=OP时，，
解得（舍去）．
∴P1（）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（）．
（iii）当OC=PC时，由，
解得（舍去）．
∴P3（）．
综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）．
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x，）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ（OG+GH）
=
=．
∵0＜x＜3，
∴当时，S取得值为，此时D（）．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1. 方程：x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）
A. x=﹣1 B. x=3 C. x1=﹣1，x2=3 D. 以上答案都没有对
2. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
3. 已知一组数据：16，15，16，14，17，16，15，则众数是（ ）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
4. 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
5. 在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( )
A. B. C. D.
6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
7. 如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是( )
A. cm B. cm C. cm D. 30cm
8. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 现有60件某种产品，其中有3件次品，那么从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是_____．
10. 某校男子足球队队员的年龄分布为如图的条形图，则这些队员年龄的众数、中位数分别是_____．
11. 已知四边形ABCD内有一点E，满足EA=EB=EC=ED，且∠BCD=130°，那么∠BAD的度数为_____．
12. 若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于_____．
13. 一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘以4，所得到的一组新数据的方差是_________．
14. 若m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，则代数式am2+bm﹣7的值为_____．
15. 如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
16. 某种药品原来售价60元，连续两次降价后售价为48.6元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是_____．
17. 写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）_____．
18. 如图，AB是⊙O直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．）
19. 解方程：（1）2x2﹣5x+2=0；
（2）x+3﹣x（x+3）=0．
20. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对
他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［］）
21. 如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与边BC相交于点D，与△ABC的外接圆相交于点C．
求证：IE＝BE．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
23. 甲、乙两个没有透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
24. 某旅行社的一则广告如下：我社推出去井冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数没有超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费没有得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．
（1）如果批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费 元；
（2）如果公司计划用29250元组织批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？
25. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
26. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
27. 如图所示：在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3，6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：
（1）多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）△PAQ面积能否达到3cm2？
（3）多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？
28. 如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1. 方程：x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）
A. x=﹣1 B. x=3 C. x1=﹣1，x2=3 D. 以上答案都没有对
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵x（x+1）=3（x+1）
∴x（x+1）﹣3（x+1）=0
∴（x+1）（x﹣3）=0
∴x1=﹣1，x2=3
故选C．
考点：解一元二次方程
2. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
【正确答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP没有垂直直线l两种情况讨论．
【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP没有垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
3. 已知一组数据：16，15，16，14，17，16，15，则众数是（ ）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
【正确答案】B
【详解】∵在这组数据中16出现的次数至多，
∴这组数据的众数是16.
故选B.
4. 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
【正确答案】B
【详解】
由题意得,∠AOB==60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=2⋅cos30°=2×=，
故选B.
5. 在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先利用树状图展示所有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能结果数，其中可以构成完全平方式占2种，
所以可以构成完全平方式的概率=．
故选A．
题目主要考查列表法与树状图法求概率及完全平方式，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7. 如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是( )
A. cm B. cm C. cm D. 30cm
【正确答案】A
【详解】如下图，在灰色扇形OAB向右无滑动滚动过程中，点O移动的距离等于线段A1B1的长度，而A1B1的长度等于灰色扇形OAB中弧的长度，
∵S扇形=，OA=6，
∴（cm），即点O移动的距离等于：cm.
故选A.
点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.
8. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【正确答案】A
【详解】∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=OB=×4=12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=PA，
设P（x，0），
∴PA=12-x，
∴⊙P的半径PM=PA=6-x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选A．
考点：1．切线的性质；2．函数图象上点的坐标特征．
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 现有60件某种产品，其中有3件次品，那么从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是_____．
【正确答案】
【详解】∵这60件产品中，每一件被抽到机会是均等的，
∴任意抽取1件恰好是次品的概率为：P（抽到次品）=.
10. 某校男子足球队队员的年龄分布为如图的条形图，则这些队员年龄的众数、中位数分别是_____．
【正确答案】15,15
【详解】由统计图可知，足球队共有：2+6+8+3+2+1=22（人），其中15岁的人至多，共有8人，所以众数是15；而这22人中，按年龄从小到大排列，排在第11和12的都是15岁，所以中位数也是15；即这支球队队员年龄的众数是15，中位数是15.
11. 已知四边形ABCD内有一点E，满足EA=EB=EC=ED，且∠BCD=130°，那么∠BAD的度数为_____．
【正确答案】50°
【详解】如图：∵EB=EC=ED，
∴∠1=∠ECD，∠2=∠ECB，
∴∠1+∠2=∠ECD+∠ECB=∠BCD=130°，
∴∠BED=360°-130°-130°=100°，
∴∠AEB+∠AED=360°-100°=260°，
∵EB=EA=ED，
∴∠3=（180°-∠AEB），∠4=（180°-∠AED），
∴∠3+∠4=180°-（∠AEB+∠AED）=180°-130°=50°，
即∠BAD=50°.
12. 若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于_____．
【正确答案】18π
【详解】试题分析：圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线．
由题意得圆锥的侧面积=π×3×6=18π．
考点：圆锥的侧面积
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆锥的侧面积公式，即可完成.
13. 一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘以4，所得到的一组新数据的方差是_________．
【正确答案】16s2
【详解】设原数据组中的数据为：，其平均数为，
则S2=.
那么新数据组为，新数据组的平均数为，
∴新数据组的方差为：
=
=
=S2.
点睛：当一组数据中每个数据都扩大为原来的倍后，所得新数据组的方差扩大为原数据组方差的倍.
14. 若m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，则代数式am2+bm﹣7的值为_____．
【正确答案】-2
【详解】把代入方程可得：，
∴，
∴.
15. 如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
【正确答案】πa2
【详解】如图，把原图中的阴影部分分成A、B、C三块区域，则大圆刚好由4个A、4个B、4个C组成，
∴S阴影=A+B+C=S大圆，
∵小圆的半径为，大圆的半径是小圆的直径，
∴大圆的半径是，
∴S大圆=，
∴S阴影=.
16. 某种药品原来售价60元，连续两次降价后售价为48.6元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是_____．
【正确答案】10﹪
【详解】设每次下降的百分率为，根据题意可得：
，
解得（没有合题意，舍去），
所以每次下降的百分率为10%.
17. 写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）_____．
【正确答案】没有如：（x+1）(x+2)=0
【详解】∵以为根，且二次项系数为1的一元二次方程为，
∴以-1，-2为根，且二次项系数为1的一元二次方程为，即.
18. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____．
【正确答案】2
【详解】如下图，作点C关于直径AB的对称点C1，连接DC1，交AB于点P，此时PC+PD最短.
∵点C和点C1关于AB对称，点C是上半圆上的三等分点，
∴AB垂直平分CC1，点C1是下半圆上的三等分点，
∴PC=PC1，∠AOC1=60°，
∴PC+PD=PD+PC1=DC1，
∵点D是的中点，
∴为半圆O，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOC1=∠DOA+∠AOC1=90°，
∴在Rt△DOC1中，DC1=，
∴PC+PD的最小值为.
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．）
19. 解方程：（1）2x2﹣5x+2=0；
（2）x+3﹣x（x+3）=0．
【正确答案】(1)x1=2，x2=;(2)x1=﹣3，x2=1
【详解】试题解析：
（1）题选用“公式法”来解（也可用其它方法）；
（2）题根据题目特点，选用“因式分解法”来解.
试题解析：
（1）∵在方程中，，
∴，
∴，
∴；
（2）原方程可变形为：，
∴或，
解得：
20. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对
他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［］）
【正确答案】解：（1）9；9．
（2）s2甲＝；
s2乙＝．
（3）甲参加比赛更合适．
【详解】解：（1）9；9．
（2）s2甲＝
＝＝；
s2乙＝
＝＝．
（3）甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故甲参加比赛更合适．
21. 如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与边BC相交于点D，与△ABC的外接圆相交于点C．
求证：IE＝BE．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：
连接IB，由三角形内心是三条角平分线的交点，可得AE平分∠BAC，BI平分∠ABC，再三角形外角的性质和圆周角定理可证∠BIE=∠IBE，就可得到BE=IE.
试题解析：
连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠CAD=∠DBE
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
【正确答案】（1）详见解析
（2）或
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个没有相等实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
23. 甲、乙两个没有透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【正确答案】（1）树状图见解析；（2）.
【详解】试题分析：先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．
试题解析：（1）树状图如下：
（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为，
即P（两个数字之和能被3整除）=．
本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．随机A的概率P（A）等于A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
24. 某旅行社的一则广告如下：我社推出去井冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数没有超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费没有得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．
（1）如果批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费 元；
（2）如果公司计划用29250元组织批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？
【正确答案】（1）27360；（2）应安排45人参加
【详解】试题分析：
（1）由题意可列出式子：38×[800﹣（38﹣30）×10]计算可得结果；
（2）首先由30×800=24000＜29250，可知这次去旅游的人数超过了30人，
设安排了人去旅游，由题意可列方程：，解方程求得值后，再由人均费用没有低于500元进行检验即可得到答案.
试题解析：
（1）∵人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，
∴批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费：38×[800﹣（38﹣30）×10]=27360；
故答案为27360；
（2）设这次旅游安排了人参加，
∵30×800=24000＜29250，
∴＞30，根据题意得：
，
整理得，，
解得：，
∵800﹣10（﹣30）≥500，
∴≤60，
∴=45．
答：这次旅游应安排45人参加．
25. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【正确答案】(1) AC=4；(2)详见解析.
【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
26. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴．
27. 如图所示：在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3，6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：
（1）多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）△PAQ的面积能否达到3cm2？
（3）多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？
【正确答案】（1）1秒或2秒；（2）3cm2；（3）2秒.
【详解】（1）设x秒△PAQ的面积为2cm2，列出方程解答即可．
（2）设x秒△PAQ的面积为3cm2，通过列出方程解答可知此方程无实数根，即没有能达到．
（3）根据P、Q两点的移动规律，分别写出1，2，3秒时的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
28. 如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
【正确答案】(1)1s、4s、7s、16s;(2)
【详解】试题分析：
（1）题意可知，本题存在四种可能，故分以下四种情况讨论计算即可：①如图1，圆O在直线AC左侧和直线AC相切；②如图2，圆O和直线AB左侧和直线AB相切；③如图3，圆O在直线AC右侧和直线AC相切；④如图4，圆O在直线AB右侧和直线AB相切；
（2）由（1）可知，在图2和图3的情形中，半圆O和△ABC有重叠部分，按图分情况计算即可.
试题解析：
（1）①如图1所示：当点N与点C重合时，AC⊥OC，OC=ON=3cm，
∴AC与半圆O所在的圆相切．
∴此时点O运动了1cm，故运动时间为：t=1（s）
②如图2所示；
当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．
∵在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=6cm，
∴OF=3cm，即OF等于半圆O的半径，
∴AB与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了4cm，故运动时间为：t=4（s）
③如图3所示；过点O作OH⊥AB，垂足为H．
当点O运动到BC的中点时，AC⊥OC，OC=OM=3cm，
∴AC与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了7cm，故运动时间为：t=7（s）．
④如图4所示；
当点O运动到B点的右侧，且OB=6cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q．
∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，
∴OQ=OB=3cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，
∴直线AB与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了16cm，所求运动时间为：t=16（s）．
综上所述：当点的值为1s，4s，7s，16s时，半圆O所在圆和△ABC的边所在直线相切.
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形．
①如图2所示：重叠部分是圆心角为90°，半径为3cm的扇形，所求重叠部分面积=（cm2）；
②如图③所示：
设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．
则PH=BH．
∵在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3cm
∴OH=1.5cm，BH=cm，BP=cm，
∴S△POB=BPOH=（cm2）.
又∵∠DOP=2∠DBP=60°，
∴S扇形DOP=（cm2），
∴所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形DOP=（cm2）．
点睛：解第（1）小题时，关键是将所有情况考虑完整.由于圆心在直线BC上移动，所以半圆O所在的圆只可能和直线AC和直线AB相切，而半圆O所在的圆和每条直线相切时，都需要考虑左、右两侧相切的情况，这样就可知共存在4种情况，画出对应的图形，就可分析具体的解法了.
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