2022-2023学年湖南省常德市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析

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2022-2023学年湖南省常德市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 已知x=-1是方程+mx+1=0的一个实数根，则m的值是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. -2
2. 下列四个图形中，属于对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 没有透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则( )
A. 能够事先确定取出球的颜色
B. 取到红球的可能性更大
C. 取到红球和取到绿球的可能性一样大
D. 取到绿球的可能性更大
4. 已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（　　）
A. a=1，b=5 B. a=-5，b=-1
C a=5，b=1 D. a=-1，b=-5
5. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说确的是（   ）
A. 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B. 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活”
C. 种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树没有成活”
D. 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
6. 抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为( )
A. y＝﹣(x+1)2 B. y＝﹣(x﹣1)2
C y＝﹣x2+1 D. y＝﹣x2﹣1
7. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
8. 二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象点（-1，0），则代数式的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 2 D. 5
9. 2015年秀山县政府2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2017年共9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．设每年县政府的增长率为x，根据题意，列出方程为（　　）
A. B.
C. D.
10. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. B. C. D.
11. 如图所示，一动点从半径为2⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2018处，则点A2018与点A0间的距离是（　　）

A. 0 B. 2 C. D. 4
12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=-2．关于下列结论：①ab＜0；②b2-4ac＞0；③25a-5b+c＞0；④b-4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=-4，其中正确的结论有（　　）

A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个

二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.
13. 抛物线y=x2+2x+4的顶点坐标是 ______ ．
14. 一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 ______ ．
15. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为______．

16. 如图，边长为的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG，EF交AD于点H，那么AH的长为______.

17. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的点到路面的距离为6米，该抛物线的函数表达式为 ______ ．

18. 如图，一段抛物线：y= -x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C10．若P（28，m）在第14段抛物线C10上，则m= ______ ．

三、解 答 题（本大题2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
19. 如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．

（1）画出旋转后的△A1OB1，点A1的坐标为______ ；
（2）在旋转过程中，点B的路径的长．
20. 已知某抛物线图象的顶点为（－1，2），且过点（-2，4），求抛物线的解析式．
四、计算题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
21. 解方程：
（1）x2-6x+3=0 （2）．
22. 某校初三（1）班部分同学接受内容为“最适合自己的考前减压方式”的，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个没有完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．

23. “没有览夜景，味道重庆．”乘游船也有两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的窗口．“两江号”游轮核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场，同一时段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．
（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？
（2）春节期间，管理部门规定游轮船票单价没有能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量没有少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润至多？
24. 如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，CD=4，求线段AB的长．

五、解 答 题（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
25. 阅读下列材料并解决问题
进位制是一种记数方式，可以用有限数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一．
对于任意一个用进制表示数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：
例如：五进制数，记作:，
七进制数，记作:
（1）请将以下两个数转化为十进制：____________，____________ ；
（2）若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示．
26. 如图，已知直线AB点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．
(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若没有存在请说明理由．
(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度？值是多少？





















2022-2023学年湖南省常德市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 已知x=-1是方程+mx+1=0的一个实数根，则m的值是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. -2
【正确答案】C

【详解】试题分析：将x=-1代入方程可得：1-m+1=0，解得：m=2.
考点：一元二次方程的解
2. 下列四个图形中，属于对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】A是对称图形；B、C、D既没有是对称图形，也没有是轴对称图形.
故选A.
3. 没有透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则( )
A. 能够事先确定取出球的颜色
B. 取到红球的可能性更大
C. 取到红球和取到绿球的可能性一样大
D. 取到绿球的可能性更大
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据没有同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项．∵没有透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别，∴绿球数量大于红球数量，其摸球具有随机性，
∴摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性.
故选D．
考点：可能性的大小．
4. 已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（　　）
A. a=1，b=5 B. a=-5，b=-1
C. a=5，b=1 D. a=-1，b=-5
【正确答案】B

【详解】∵点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，
∴a=-5,b=-1.
故选B.
点睛:关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
5. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说确的是（   ）
A. 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B. 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活”
C. 种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树没有成活”
D. 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
【正确答案】D

【详解】A. 种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故没有正确；
B. 种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活” ，故没有正确；
C. 种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活” ，故没有正确；
D. 种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；
故选D.
6. 抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为( )
A. y＝﹣(x+1)2 B. y＝﹣(x﹣1)2
C. y＝﹣x2+1 D. y＝﹣x2﹣1
【正确答案】A

【分析】直接根据“左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：抛物线y=-x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：
y=-（x+1）2．
故选A．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，掌握“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
【正确答案】D

【分析】直接根据圆周角定理即可求解．
【详解】如图，连结OC，
∵，
∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°
故选：D

本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8. 二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象点（-1，0），则代数式的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 2 D. 5
【正确答案】C

【详解】把（-1，0）代入y=ax2+bx+1得
a-b+1=0,
∴a-b=-1,
∴1-a+b=1-(a-b)=1-(-1)=2.
故选C.
9. 2015年秀山县政府2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2017年共9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．设每年县政府的增长率为x，根据题意，列出方程为（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】根据等量关系：2015的+2016的+2017年的=9.5亿元可列方程为.
故选D.
10. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：连接OC

∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC= ，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积


故选A．
11. 如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2018处，则点A2018与点A0间的距离是（　　）

A. 0 B. 2 C. D. 4
【正确答案】C

【详解】
如图，∵OA1=OA2，∠OA1A2=60°,
∴△OA1A2是等边三角形.
∵⊙O的半径=2，
∴A0A1=4, OA1=OA2= A1A2=2，
∴A0A1=4,
A0A2=,
A0A3=2,
A0A4=,
A0A5=2,
A0A6=0,
A0A7=4，…
∵2018÷6=336……2，
∴按此规律运动到点A2018处,A2018与A2重合，
∴A0A2018=.
故选C
12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=-2．关于下列结论：①ab＜0；②b2-4ac＞0；③25a-5b+c＞0；④b-4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=-4，其中正确的结论有（　　）

A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【详解】 ∵ 抛物线开口向下，
∴a ＜ 0 ，
∵  ，
∴b=4a ， ab ＞ 0 ，
∴① 错误， ④ 正确，
∵ 抛物线与 x 轴交于﹣ 4 ， 0 处两点，
∴b 2 ﹣ 4ac ＞ 0 ，方程 ax 2 +bx=0 的两个根为 x 1 =0 ， x 2 = ﹣ 4 ，
∴②⑤ 正确，
∵ 当 a= ﹣ 5 时 y c，所以c＜b＜a；故选D.
点睛：本题主要考查二次函数的增减性，开口向下的抛物线上的点离对称轴越近的所对应的函数值越大，开口向上时则相反，这是解决这道题的关键.
8. 如图，原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A（2，0）和点B（0，2）， C是优弧上的任意一点（没有与点O,B重合），则tan∠BCO的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：连结AB，根据正切的定义得到tan∠A=，再根据圆周角定理得∠C=∠A，所以tan∠BCO=．
故选A．
考点：圆周角定理．
9. 如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　)

A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
【正确答案】B

【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，
∴圆锥的底面周长为6π，
∵圆锥的高是6，
∴圆锥的母线长为
设扇形的圆心角为n∘，
∴ =6π，
解得n=120.
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°.
故选B.
点睛：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
10. 如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过 点的切线 与 的延长线交于点 ，则 等于（ ）


A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】连接OC，由切线的性质可求出，再根据题意可知，即求出，根据三角形内角和定理即可求出的大小．
【详解】如图，连接OC，
由切线的性质可知，即．
∵OA=OC，
∴，
∴，
∴．


故选：B．
本题考查圆切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
二、填 空 题
11. 已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于y轴的对称点P2的坐标是___________．
【正确答案】（-2，-3）

【分析】根据平面直角坐标系中，点关于坐标轴对称，点的坐标变化的特点，可知，P2与P1关于原点对称，进而，可求得答案.
【详解】∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴点P的坐标为（2，-3），
∵点P关于y轴的对称点是P2，
∴点P2的坐标是（-2，-3）
故（-2，-3）
本题主要考查平面直角坐标系中，点关于对称轴对称后，点的坐标变化的特点，根据题意，数形，牢记坐标变化的特点，是解题的关键.
12. 如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，则∠ACB=______．

【正确答案】70°

【分析】首先连接AD，由BD是直径，利用直径所对的圆周角是直角，即可求得∠BAD=90°，又由∠ABD=20°，即可求得∠D的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ACB的度数．
【详解】解：连接AD，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=20°，
∴∠D=90°﹣∠ABD=70°，
∴∠ACB=∠D=70°．
故答案为70°．

13. 一个布袋中装有只有颜色没有同的a（a＞12）个小球，分别是2个白球、4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，多次重复实验，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．根据题中给出的信息，布袋中黄球的个数为______．

【正确答案】8

【详解】试题分析：首先根据黑球数÷总数=摸出黑球的概率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率可得答案．
解：球的总数：4÷0.2=20（个），
2+4+6+b=20，
解得：b=8，
故答案为8．
考点：利用频率估计概率．
14. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是______．

【正确答案】

【详解】解：过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．
当x=0时，y=3，∴点B的坐标为（0，3）；
当y=0时，x=4，∴点A的坐标为（4，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∴si=．
∵C（0，﹣1），∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴CP=BC•si=．
∵PQ为⊙C的切线，∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ==．
故答案为．

15. 设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
【正确答案】 ①. 130° ②. 160°

【详解】试题分析：如图：

∵∠A＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC ＋∠ICB
＝∠ABC＋∠ACB
＝(∠ABC＋∠ACB)
＝×100°
＝50°，
∴∠BIC＝180°－(∠IBC ＋∠ICB)
＝180°－50°
＝130°；
如图：

由以上可知∠ABC＋∠ACB＝100°，
∵O是三角形的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BAC＝80°，
∴∠OAB＋∠OAC＝80°，
∴∠OBA＋∠OCA＝80°，
∴∠OBC＋∠OCB
＝∠ABC＋∠ACB－(∠OBA＋∠OCA)
＝100°－80°
＝20°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)
＝180°－20°
＝160°．
故答案为130°，160°．
点睛：本题主要考查了三角形的内心和外心，熟知三角形的内心是三个内角平分线的交点、外心是三边垂直平分线的交点是解决此题的关键．
16. 在解某个方程时，甲看错了项的系数，得出的两个根为-9，-1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为_______
【正确答案】x2-10x+9=0.

【详解】看错项，所以常数项是-9-1)=9，看错了常数项，所以项是-（8），所以x2-10x+9=0.
三、解 答 题
17. 已知P（﹣3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点．

（1）求b的值；
（2）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象向上平移k（是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值；
（3）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持没有变，得到一个新的图象，请你新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．
【正确答案】(1)b=23；（2）5；（3）n＞或﹣1＜n＜3．

【详解】试题分析：（1）直接把点P，Q的坐标代入抛物线方程联立方程组求解b的值；
（2）利用图象与x轴无交点，则b2﹣4ac＜0，即可求出k的取值范围，进而得出k的值．
（3）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．
解：（1）∵P（﹣3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点，
∴，解得：b=2；
（2）平移后抛物线的关系式为y=x2+2x﹣3+k．
要使平移后图象与x轴无交点，
则有b2﹣4ac=4﹣4（﹣3+k）＜0，
k＞4．
因为k是正整数，所以k的最小值为5．
（3）令x2+2x﹣3=0，
解之得：x1=1，x2=﹣3，
故P，Q两点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0）．
如图，当直线y=x+n（n＜1），
P点时，可得n=3，
当直线y=x+nQ点时，
可得n=﹣1，
∴n的取值范围为﹣1＜n＜3，
翻折后的二次函数解析式为二次函数y=﹣x2﹣2x+3
当直线y=x+n与二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象只有一个交点时，
x+n=﹣x2﹣2x+3，
整理得：x2+3x+n﹣3=0，
△=b2﹣4ac=9﹣4（n﹣3）=21﹣4n=0，
解得：n=，
∴n的取值范围为：n＞，
由图可知，符合题意n的取值范围为：n＞或﹣1＜n＜3．

考点：二次函数图象与几何变换．
18. 如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（没有与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，CD⊥CP，可得∠ACB=∠PCD=90°，又由∠A与∠P是对的圆周角，由圆周角定理，可得∠A=∠P，即可判定，又由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（2）首先过点B作BE⊥PC于E，由点P是的中点，可得∠PCB=∠ACB=45°，然后利用三角函数的性质，求得BE，CE的长，继而求得PE，CD的长．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A与∠P是对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴，
∴AC•CD=PC•BC；
（2）解：当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于E，
∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵点P是的中点，
∴∠PCB=∠ACB=45°，
∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A=，
∴PE=BE=3，
∴PC=PE+CE=7，
∴CD=PC•tan∠P=．

此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．解题的关键是注意数形思想与转化思想的应用．
19. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0两个根；
(2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0?
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

【正确答案】(1)x1＝1，x2＝3；(2)当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0；
(3)当x＞2时，y随x的增大而减小．

【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标即可得到方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）根据图象与x轴交点的坐标即可得到没有等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；
（2）没有等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，
当x＜1或x＞3时，y＜0．
（3）图中可以看出对称轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
20. 某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工．若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价4500元．现将这50吨原料全部加工完．设其中粗加工x吨，获利y元.
（1）请完成表格并求出y与x的函数关系式（没有要求写自变量的范围）；

（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得利润，利润是多少？
【正确答案】（1）y=-200x+30000；(2) 应把30吨进行粗加工，另外20吨进行精加工，这样才能获得利润，利润为24000元．

【详解】试题分析：（1）本题可根据题意列出方程：y=（4000-600-3000）x+（4500-900-3000）（50-x），化简即可得出本题的答案．
（2）解本题时要分别对粗加工和精加工进行计算，再将两者加，得出一元没有等式，再根据函数的性质即可得出利润的值．
试题解析：（1）y=（4000-600-3000）x+（4500-900-3000）（50-x） 
=400x+30000-600x 
=-200x+30000；
（2）设应把x吨进行粗加工，其余进行精加工，
由题意可得，
解得x≥30，
设这时总获利y元，则y=400x+（4500-3000-900）（50-x），
化简得y=-200x+30000，
由函数性质可知：这个函数y随x的增大而减少，当x取最小值30时，y值；
因此：应把30吨进行粗加工，另外20吨进行精加工，这样才能获得利润，利润为24000元．
本题考查了一元没有等式的运用．解此类题目时常常要函数性质来计算．注意本题的没有等关系为：必须在20天内完成．
21 解方程或没有等式组
（1）x2﹣6x﹣16=0
（2），并写出它的整数解．
【正确答案】(1) x1=8，x2=-2；(2) 没有等式组的整数解为： ．

【详解】试题分析：
（1）根据本题特点，用“因式分解法”解此方程即可；
（2）先分别求出没有等式组中两个个没有等式的解集，由此求得没有等式组的解集，再根据没有等式的解集即可的求得没有等式组的整数解.
试题解析：
（1）原方程可化为：，
∴或，
解得：；
（2）
解没有等式①式得：x＜3，
解没有等式②式得：x，
∴原没有等式组的解集为： ，
∴原没有等式组的整数解为：1，2.
22. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（c≠4a），其图象L点A（－2，0）.
（1）求证：b2－4ac＞0；
（2）若点B（－，b＋3）在图象L上，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若图象L的对称轴为直线x＝3，且点C（6，－8），点D（0，n）在y轴负半轴上，直线BD与OC相交于点E，当△ODE为等腰三角形时，求n的值.
【正确答案】(1)证明见解析；（2）-3；（3）或.

【详解】试题分析：（1）将点A坐标代入函数解析式中，得b＝2a＋ c，再代入b2－4ac中得，b2－4ac＝(2a－c)2，由c≠4a得2a－c≠0，所以(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0． （2）将点B的坐标代入函数解析式中得：，由4a－2b＋c＝0，所以b＋3＝0，解得b＝－3；（3）由题意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．所以图象L的解析式为y＝x2－3x－8． 设OC与对称轴交于点Q，图象L与y轴相交于点P，则Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．分两种情况：①当OD=OE时，②当EO=ED时，讨论求值即可；
试题解析：
（1）证明：
由题意，得4a－2b＋c＝0，
∴b＝2a＋c．
∴b2－4ac＝(2a＋c)2－4ac＝(2a－c)2．
∵c≠4a，
∴2a－c≠0，
∴(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0．
（2）解：∵点B（－，b＋3）在图象L上，
∴，整理，得．
∵4a－2b＋c＝0，
∴b＋3＝0，解得b＝－3．
（3）解：由题意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．
∴图象L的解析式为y＝x2－3x－8．
设OC与对称轴交于点Q，图象L与y轴相交于点P，
则Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．
分两种情况：
①当OD=OE时，如图1，
过点Q作直线MQ∥DB，交y轴于点M，交x轴于点H，
则，
∴OM=OQ=5
∴点M的坐标为（0，－5）.
设直线MQ的解析式为.
∴，解得.
∴MQ的解析式为.易得点H（15，0）.
又∵MH∥DB，.
即，
∴.
②当EO=ED时，如图2，
∵OQ=PQ，
∴1=2，又EO=ED，
∴1=3.
∴2=3，
∴PQ∥DB.
设直线PQ交于点N，其函数表达式为
∴，解得.
∴PQ的解析式为.
∴点N的坐标为（6，0）.
∵PN∥DB，
∴，
∴，解得.

综上所述，当△ODE是等腰三角形时，n的值为或.
23. 问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE= ，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．

（1）小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF，由已知条件易得∠EBF=90°，∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEF≌ ，得EF=ED．
在Rt△FBE中，由 定理，可得，由BF=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 ．
（2）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（3）在（2）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．
【正确答案】（1）；勾股；
（2）
（3）

【分析】（1）由旋转可知，可得AD=BF，连接EF，可得为直角三角形，由勾股定理可求三边关系，再由可得，DE=EF，再转化成线段AD、DE、BE的关系即可；
（2）由正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明和，由全等三角形的性质即可求出∠EAF的度数；
（3）由（2）知，，，设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3．因为，得到．解这个方程，求出x的值，即可得到AG=6，在图（2）中，，设MN=a，求出a的值．即可求出MN的长．
【小问1详解】
根据“边角边”，可证，得EF=ED，在Rt△FBE中，由勾股定理，可得，由BF=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是；
故△CDE；勾股；；
【小问2详解】
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
∵AB=AG，AE=AE，
∴（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理，
，∴∠GAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠BAD=；
【小问3详解】
由（2）知，，，
∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5，
设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3，
∵，
∴，解这个方程，得x=6或x=﹣1（舍去），
∴AG=6，
∴BD===，
∴AB=6，
∵，设MN=a，则，所以a=，即MN=．
本题以等腰直角三角形和正方形为背景，考查了三角形的全等的判断和性质、正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，综合性较强．利用全等和旋转的性质转化线段是解决本题的关键．