2022-2023学年甘肃省兰州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省兰州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共10题；共30分）
1. 一元二次方程x2+2x=0的根是（　　）
A. x=0或x=﹣2 B. x=0或x=2 C. x=0 D. x=﹣2
2. 直径分别为8和6的两圆相切，则这两圆的圆心距等于（ )
A. 14 B. 2 C. 14或2 D. 7或1
3. 关于x方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥﹣1 B. k≥﹣1且k≠0 C. k≤﹣1 D. k≤1且k≠0
4. 下列电视台的台标，是对称图形的是【 】
A. B. C. D.
5. 若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4,则这两圆的位置关系是（　　）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
6. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）

A. 3 B. 4
C. D.
7. 当时，函数的图象在【 】
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 象限
8. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为(　 　)
A B. C. D.
9. 方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 ( )
A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝4， x2＝－2
C. x1＝－1， x2 ＝3 D. x1＝－4， x2＝2
10. 某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的， 设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（　　）

A. （2﹣3x）（1﹣2x）=1 B. （2﹣3x）（1﹣2x）=1
C. （2﹣3x）（1﹣2x）=1 D. （2﹣3x）（1﹣2x）=2
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 在一个没有透明口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．
12. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1____y2 (填“>”“＝”或“<”)．
13. 如图，在RtAOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_____．

14. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略没有计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．

15. 如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为_____．

16. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
17. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
18. 边长为1的正三角形的内切圆半径为 ________
三、解 答 题：
19. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求证：D为BC的中点；
（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=，BC=2，求⊙O的直径．

20. 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
21. 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻没有超过6 kΩ？

22. 如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；（2） .

23. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是弧ACB的中点,DE//BC交AC的延长线于点E,若AE=10,∠ACB=60°,求BC的长．

24. 一对姐弟中只能有一人参加夏季夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．试用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平．
25. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O半径为2 ，求BC的长．











2022-2023学年甘肃省兰州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共10题；共30分）
1. 一元二次方程x2+2x=0的根是（　　）
A. x=0或x=﹣2 B. x=0或x=2 C. x=0 D. x=﹣2
【正确答案】A

【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先提公因式x，化为x（x+2）=0，转化为x=0或x+2=0，解方程即可．
【详解】解：∵x2+2x=0，
∴x（x+2）=0，
∴x=0或x+2=0，
∴x1=0或x2=﹣2，
故选A．
本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
2. 直径分别为8和6的两圆相切，则这两圆的圆心距等于（ )
A. 14 B. 2 C. 14或2 D. 7或1
【正确答案】D

【详解】当两圆外切时，则圆心距等于8÷2+6÷2=7；
当两圆内切时，则圆心距等于8÷2-6÷2=1．
故选D．
3. 关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥﹣1 B. k≥﹣1且k≠0 C. k≤﹣1 D. k≤1且k≠0
【正确答案】A

【分析】分两种情况讨论：
（1）当时，方程为一元方程，必有实数根；
（2）当时，方程为一元二次方程，当时，必有实数根.
【详解】（1）当时，方程为一元方程，必有实数根；
（2）当时，方程为一元二次方程，当时，必有实数根：
，
解得，
综上所述，.
故选.
本题考查了根的判别式，要注意，先进行分类讨论，当方程是一元方程时，总有实数根；当方程为一元二次方程时，根的情况要通过判别式来判定.
4. 下列电视台的台标，是对称图形的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形可得答案。
【详解】根据对称图形的概念，对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D符合．故选D．
本题考查了对称图形，掌握对称图形的概念：对称图形是要寻找对称，旋转后与原图重合是解题的关键。

5. 若两圆半径分别为5和2，圆心距是4,则这两圆的位置关系是（　　）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
【正确答案】C

【详解】∵两圆的半径分别为5和2，圆心距为4．
则5-2=3＜4＜5+2=7，
∴两圆相交．故选C
6. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）

A. 3 B. 4
C. D.
【正确答案】C

【详解】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点．

∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3，
∵AB，CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90°
∵，，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==，
选C
7. 当时，函数的图象在【 】
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 象限
【正确答案】A

【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
【详解】∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限．
∴当时，图象位于第四象限．故选A．
8. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为(　 　)
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 ( )
A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝4， x2＝－2
C. x1＝－1， x2 ＝3 D. x1＝－4， x2＝2
【正确答案】B

【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴x-4=0或x+2=0，
∴．
故选B．
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．
10. 某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的， 设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（　　）

A （2﹣3x）（1﹣2x）=1 B. （2﹣3x）（1﹣2x）=1
C. （2﹣3x）（1﹣2x）=1 D. （2﹣3x）（1﹣2x）=2
【正确答案】A

【详解】人行通道的宽度为x千米，则矩形绿地的长为：（2﹣3x）千米，宽为（1﹣2x）千米，
由题意可列方程：2×（2﹣3x）（1﹣2x）=×2×1，
即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，
故选A．
本题考查了一元二次方程的应用，正确分析，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 在一个没有透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．
【正确答案】

【分析】
【详解】根据题意，画出树形图如下：

∵从树形图可以看出，摸出两球出现的所有等可能结果共有9种，两个球号码之和为5的结果有2种，
∴两次摸取的小球标号之和为5的概率是．
12. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1____y2 (填“>”“＝”或“<”)．
【正确答案】>

【详解】分析：m＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
详解：因为m＜0，所以m－3＜m－1＜0，这两个点都在第二象限内，
所以y2＜y1，即y1＞y2.
故答案为＞.
点睛：对于反比例函数图象上的几个点，如果知道横坐标去比较纵坐标的大小或知道纵坐标去比较横坐标的大小，通常的做法是：(1)先判断这几个点是否在同一个象限内，如果没有在，则判断其正负，然后做出判断；(2)如果在同一个象限内，则可以根据反比例函数的性质来进行解答．
13. 如图，在RtAOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_____．

【正确答案】

【详解】连接OP、OQ，

∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ．
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．
∴OP=AB=3．
∴PQ=．
14. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略没有计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．

【正确答案】8

【详解】以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）,
设抛物线的解析式为y=ax2+k，
抛物线过点M和点B，
则k=5，a=﹣ ,
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+5；
∴当x=1时，y=；
当x=时，y= ,
∴P（1，），Q（， ）在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，≤m≤，
解得：7≤m≤12；
∵m为整数，
∴m的最小整数值为：8，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内,
故答案为8．

15. 如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为_____．

【正确答案】4

【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．
【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6，
设母线长为L，则有×6L＝15，
解得：L＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故填：4.
此题考查了圆锥体侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．
16. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【正确答案】

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的没有等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
17. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【正确答案】x≥3

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的没有等式，解没有等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为x≥3．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
18. 边长为1的正三角形的内切圆半径为 ________
【正确答案】

【详解】如图，
​
∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD=30°，BD=,
∴tan∠OBD==，
∴内切圆半径OD== ,
故答案为．
本题主要考查了三角形的内切圆，根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形是解决本题的关键．
三、解 答 题：
19. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求证：D为BC的中点；
（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=，BC=2，求⊙O的直径．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为4．

【详解】试题分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得；
（2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=​；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根据此关系列方程求解即可得⊙O的直径．
试题解析：（1）连接AD

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴点D是BC的中点；
（2）∵OF⊥AC于F，AF=，
∴AE=2AF=，
连接BE，
∵AB为直径 D、E在圆上，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，
∴△BEC、△ADC中，
∠BEC=∠ADC，∠C=∠C，
∴△BEC∽△ADC，
即CD：CE=AC：BC，
∵D为BC中点，
∴CD=BC，
又∵AC=AB，
∴BC2=CE•AB，
设AB=x，可得  x（x﹣）=2，解得x1=﹣（舍去），x2=4，
∴⊙O的直径为4.
20. 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）a的值为﹣2+ 或﹣2﹣．

【分析】（1）欲证明方程总有两个没有相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证；
（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.
【详解】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）
=a2+6a+9﹣4a﹣4
=a2+2a+5
=（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个没有相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，
∵x12+x22=10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，
整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣．
本题目是一道一元二次方程的题目，涉及到根的判别式与韦达定理.在证明一元二次方程根的情况时，通常通过证明根的判别式与0的大小关系解决问题.在涉及到两根的等量关系时，通常转化为两根之和与两根之积的形式，从而求出参数.
21. 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻没有超过6 kΩ？

【正确答案】（1）当10≤t≤30时，R=；（2）当t≥30时，R=t﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻没有超过6kΩ．

【分析】（1）设关系为R=，将（10，6）代入求k；
（2）将t=30℃代入关系式中求R’，由题意得R=R’+（t-30）；
（3）将R=6代入R=R’+（t-30）求出t．
【详解】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴可设R和t之间的关系式为R=，
将（10，6）代入上式中得：6=，
k=60．
故当10≤t≤30时，R=；
（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．
∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ）．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，
∴当t≥30时，
R=2+（t-30）=t-6；
（3）把R=6（kΩ），代入R=t-6得，t=45（℃），
所以，当t≥30时，
R=2+（t-30）=t-6；
温度10℃～45℃时，电阻没有超过6kΩ．
考点：反比例函数的应用．
22. 如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；（2） .

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】试题分析：（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；
（2）欲证​，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．
试题解析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA，
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，
∴△BAM∽△CBM，
∴ ，即BM2=AM•CM ,①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
则 ，即DM2=AM•CM ,②
由式①、②得：BM=DM，
即M为BD的中点；
（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP，
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，
∵PC∥BD，
∴, ③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP,
而∠ABC=∠APC，
则∠APC=∠MCP，
有MP=CM,④
由式③、④得： ．

23. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是弧ACB的中点,DE//BC交AC的延长线于点E,若AE=10,∠ACB=60°,求BC的长．

【正确答案】BC= 10．

【详解】试题分析：由D是弧ACB的中点,DE∥BC,∠ACB=60°,易得△ADB与△ECD是等边三角形,进而证得△EAD≌△CBD,即可证得结论．
试题解析：∵D是的中点,
∴ DA＝DB．
∵∠ACB=60°,∴∠ADB=60°
∴△ADB是等边三角形．
∴∠DAB=∠DBA=60°．
∴∠DCB=∠DAB=60°．
∵DE∥BC,
∴∠E=∠ACB=60°．
∴∠DCB=∠E．
∵∠ECD=∠DBA=60°,
∴△ECD是等边三角形．
∴ED=CD．
∵ ,
∴∠EAD=∠DBC．
∴△EAD≌△CBD．
∴BC=EA=10．
考点：1.圆周角定理,2.全等三角形的判定与性质．
24. 一对姐弟中只能有一人参加夏季夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．试用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平．
【正确答案】没有公平，理由见解析．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数的情况与抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这种方法对姐弟俩是否公平．
【详解】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数有4种情况，抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数有5中情况，
∴P（姐姐参加）==，
P（弟弟参加）=，
∴没有公平．
本题考查的是游戏公平性的判断及利用列表法或树状图法求概率，理解题意，利用列表法或树状图法求解是解题关键．
25. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）BC=2.

【详解】试题分析：（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
试题解析：（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．

考点：切线的判定

























2022-2023学年甘肃省兰州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（ ）.
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的 D. 没有变化
2. 若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（　　）
A. 3 B. 9 C. 2 D. 3
3. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A. B. C. D.
4. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
5. 有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中弦是过圆心的弦；
④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧没有可能是等弧．
其中真命题是（ ）
A ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ①
6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）

A. 6m B. 12m C. 8m D. 10m
7. 已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )
A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜2 C. 5＜y＜10 D. y＞10
8. 当时，与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9. 一个布袋里装有只有颜色没有同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出1个球，摸出的2个球都是红球的概率是 （ ）
A. B. C. D.
10. 如图左右并排的两颗大树的高度分别是AB=8米，CD=12米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，且E、B、D在一条直线上，当观测者的视线FAC恰好两棵树的顶端时，四边形ABDC的区域是观测者的盲区，则此时观测者与树AB的距离EB等于（　　）

A. 8米 B. 7米 C. 6米 D. 5米
二、填空能手——看谁填得既快又准确 （每小题4分，共32分）
11. 正六边形角等于______度．
12. 已知，则=______．
13. 如图，中，，，，则的内切圆半径为________．

14. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________．
15. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 _________ ．

16. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡的长为______米.

17. 如图，PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．

18. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米，请根据题意列出方程：__________________．

三、解答能手——看谁写得既全面又整洁（共88分）
19. 计算题

20. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．

21. 如图，AB为⊙O的直径，劣弧BC=劣弧BE，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D．
求证：（1）AC=AE；
（2）AB2=AC•AD．

22. 小美有红色、白色、蓝色上衣各一件，黄色、黑色长裤各一条．（1）请用画树状图或列表的方法分析小美上衣和长裤有多少种没有同的搭配情况；（2）其中小美穿蓝色上衣的概率是多少?
23. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在圆（没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．

24. 如图，直线和抛物线都点，．
求m的值和抛物线的解析式；
求没有等式的解集直接写出答案

25. 如图，已知A（－4，n）、B（2，－6）是函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求两函数解析式；（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：y1＜y2时，自变量x的取值范围．

26. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60º方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正向航行，去往位于灯塔P的北偏东45º方向上的B处.（参考数据）

（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险.请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由.
27. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
28. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB于点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求点C的坐标和线段EF的长；
（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线上的两个动点（点P在点Q的右侧，且没有与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．






























2022-2023学年甘肃省兰州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（ ）.
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的 D. 没有变化
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值没有变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值没有变． ∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的，∴锐角A的对边与邻边的比值没有变，∴锐角A的正切值没有变．
故选D．
考点：锐角三角函数的定义.
2. 若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（　　）
A 3 B. 9 C. 2 D. 3
【正确答案】D

【详解】解：扇形的面积=，
解得：r=．
故选D．
本题考查扇形面积计算．

3. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
∴，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是：12．
故选A．
此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键．

4. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

5. 有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中的弦是过圆心的弦；
④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧没有可能是等弧．
其中真命题是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ①
【正确答案】A

【分析】

【详解】①直径相等的两个圆是等圆，正确，是真命题；
②长度相等的两段弧是等弧，错误，是假命题；
③圆中最长的弦是过圆心的弦，正确，是真命题；
④一条弦把圆分成两条弧，这两段弧可能是等弧，错误，是假命题，
故选A
6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）

A. 6m B. 12m C. 8m D. 10m
【正确答案】D

【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【详解】解：令＝0，
整理得：x2−8x−20＝0，
（x−10）（x＋2）＝0，
解得x1＝10，x2＝−2（舍去），
故该运动员此次掷铅球的成绩是10m，
故选：D．
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要题意，取函数或自变量的值列方程求解是解题关键．
7. 已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )
A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜2 C. 5＜y＜10 D. y＞10
【正确答案】C

【详解】∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1 故选C.

8. 当时，与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据选项中的二次函数图象和函数图象，判断a和b的正负，选出正确的选项．
【详解】A选项，抛物线开口向上，，函数过一、三、四象限，，，没有满足，故错误；
B选项，抛物线开口向上，，函数过一、二、四象限，，，没有满足ab>0，故错误；
C选项，抛物线开口向下，，函数过一、三、四象限，，，没有满足ab>0，故错误；
D选项，抛物线开口向下，，函数过二、三、四象限，，，满足ab>0，正确
故选：D．
本题考查二次函数图象和函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．
9. 一个布袋里装有只有颜色没有同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出1个球，摸出的2个球都是红球的概率是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】列表得：

红1
红2
红3
白1
白2
红1
红1，红1
红2，红1
红3，红1
白1，红1
白2，红1
红2
红1，红2
红2，红2
红3，红2
白1，红2
白2，红2
红3
红1，红3
红2，红3
红3，红3
白1，红3
白2，红3
白1
红1，白1
红2，白1
红3，白1
白1，白1
白2，白1
白2
红1，白2
红2，白2
红3，白2
白1，白2
白2，白2
共有25种可能，其中都是红球的有9种，所以概率为：，
故选D.
本题考查了列表法或画树形图法求概率，可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10. 如图左右并排的两颗大树的高度分别是AB=8米，CD=12米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，且E、B、D在一条直线上，当观测者的视线FAC恰好两棵树的顶端时，四边形ABDC的区域是观测者的盲区，则此时观测者与树AB的距离EB等于（　　）

A. 8米 B. 7米 C. 6米 D. 5米
【正确答案】A

【详解】先设FH=x，则FK=FH+FK=x+5，再根据AH∥CD，可得出△AFH∽△CFK，由相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，进而得出EB的长．
解：∵AB=8米，CD=12米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，
∴EB=FH，BD=HK=5米，HB=KD=EF=1.6米，
设FH=x，则FK=FH+FK=x+5，AH=AB﹣BH=8﹣1.6=6.4米，CK=CD﹣KD=12﹣1.6=10.4米，
∵AH∥CD，
∴△AFH∽△CFK，
∴，即，
解得x=8米，
即EB=8米．
故选A．
二、填空能手——看谁填得既快又准确 （每小题4分，共32分）
11. 正六边形的角等于______度．
【正确答案】60°

【分析】根据正n边形角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个角，所以每个角=
故60°
本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的角的概念
12. 已知，则=______．
【正确答案】．

【详解】试题分析：∵，∴，，∴===．故答案为．
考点：比例的性质．
13. 如图，中，，，，则的内切圆半径为________．

【正确答案】

【分析】先由勾股定理求出AB的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF是正方形，然后利用切线长定理求得半径r即可．
【详解】如图，

∵在，，，
∴由勾股定理得：，
∵圆O为的内切圆，
∴，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
，
即：，
故2．
本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．
14. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________．
【正确答案】-1．

【分析】根据反比例函数的定义解答．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴m2-2=-1且m-1≠0，
解得m=-1．
故-1．
本题考查了反比例函数的定义，熟悉y=kx-1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键．
15. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 _________ ．

【正确答案】80°

【详解】∵所对的圆周角是∠ABC，所对的圆心角是∠AOC，
∴∠AOC=2∠ABC=2×40°=80°，
故答案为80°.
16. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡的长为______米.

【正确答案】6

【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∵i=，AC=12米，∴BC=6米，
根据勾股定理得：AB=米，故答案为.
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
17. 如图，PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．

【正确答案】4．

【详解】考点：切线的性质．
分析：由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故填空答案：4．
18. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米，请根据题意列出方程：__________________．

【正确答案】．

【详解】试题解析：设金色纸边的宽为x分米，则矩形挂图的长为（2x+8）分米，宽为（2x+6）分米，根据等量关系：矩形挂图的长×宽=80，列出方程：（2x+6）（2x+8）=80．
三、解答能手——看谁写得既全面又整洁（共88分）
19. 计算题

【正确答案】-4

【详解】试题分析：先分别进行平方、算术平方根的计算，值的化简，三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
试题解析：原式=-4×.
20. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）10m

【分析】（1）根据平行投影作图即可；
（2）根据同一时刻，没有同物体的物高和影长成比例计算即可；
【详解】（1）如图所示：EF即为所求；

（2）∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝6m，∴＝，则＝，
解得：DE＝10，
答：DE的长为10m．
本题主要考查了平行投影，相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
21. 如图，AB为⊙O的直径，劣弧BC=劣弧BE，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D．
求证：（1）AC=AE；
（2）AB2=AC•AD．

【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【详解】试题分析：（1）由垂径定理的推论得出AB是CE的中垂线，所以AC=AE；
（2）连接BC，证明△ACB∽△ABD，再利用相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1）∵，AB为⊙O的直径，
∴AB垂直平分CE，
∴AE=AC；
（2）连接BC，
∵ AB为⊙O的直径 ，∴∠ACB=90º，
∵ BD//CE，AB⊥CE ，∴AB⊥BD ，∴∠ABD=90º ，∴∠ABD=∠ACB=90º，
∵，∴∠1=∠2，∴△ACB∽△ABD，∴AB:AC=AD:AB ，∴AB2=AC•AD．

22. 小美有红色、白色、蓝色上衣各一件，黄色、黑色长裤各一条．（1）请用画树状图或列表的方法分析小美上衣和长裤有多少种没有同的搭配情况；（2）其中小美穿蓝色上衣的概率是多少?
【正确答案】（1）小美上衣和长裤有6种没有同的搭配情况（2）

【详解】试题分析：（1）列出表格即可得小美上衣和长裤没有同搭配的所有情况．（2）利用概率公式直接求解即可．
试题解析：（1）列表得，


红色

白色

蓝色

黄色

（红色，黄色）

（白色，黄色）

（蓝色，黄色）

黑色

（红色，黑色）

（白色，黑色）

（蓝色，黑色）

由表格可知，小美上衣和长裤有6种没有同的搭配情况．
（2）小美穿蓝色上衣的概率是．
考点：用列举法求概率．
23. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在的圆（没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）圆的半径为13 cm．

【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图．

（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．

答：圆的半径为13cm．
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
24. 如图，直线和抛物线都点，．
求m的值和抛物线的解析式；
求没有等式的解集直接写出答案

【正确答案】（1）m=-1，y=x2-3x+2；（2）x＜1或x＞3．

【详解】试题分析：（1）把（1,0）代入y=x+m中得：
1+m=0
解得：m=-1
把（1,0）、（3,2）代入y=x2+bx+c中得：

解得：
抛物线的解析式为y=x-3x+2
（2）
考点：抛物线的函数和图象
25. 如图，已知A（－4，n）、B（2，－6）是函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求两函数解析式；（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：y1＜y2时，自变量x的取值范围．

【正确答案】（1），（2）9（3）当－4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2

【详解】试题分析：（1）把A（-4，n），B（2，-6）分别代入函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝，运用待定系数法分别求其解析式即可；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；
（3）根据AB两点的坐标利用数形的方法比较y1与y2的大小关系即可．
试题解析：（1）把B（2，－6）代入y2＝得k2=-12， 则反比例函数解析式为，
把A（－4，3）、B（2，－6）代入y1＝k1x＋b得 ，解得 ，
则函数解析式为；
（2）在中，当y=0时，x=-2，
∴OC=2，
∵A（-4，3），B（2，-6），
∴ =9；
（3）由图可得，当－4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2.
本题考查的是反比例函数与函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数及函数的解析式，在解答此题时要注意利用数形的思想方法．
26. 如图，一艘海轮位于灯塔P南偏东60º方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正向航行，去往位于灯塔P的北偏东45º方向上的B处.（参考数据）

（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险.请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由.
【正确答案】（1）B处距离P有122.5海里（2）没有危险

【详解】试题分析：（1）首先根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，以及∠PDB=∠PBD=45°，再利用解直角三角形求出即可．（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．
试题解析：
(1)作PC⊥AB于点C
在Rt△PAC中，∠PCA=90º，∠CPA=90º-60º=30º
∴PC=PA·cos30=
在Rt△PCB中，∠PCB=90º，∠PBC=90º-45º=45º
∴PB=PC= ≈122.5
∴B处距离P有122.5海里.
（2）没有危险.
理由如下：
OB=OP-PB=
=，
即OB>50，∴无危险
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
27. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，
由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
28. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB于点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求点C的坐标和线段EF的长；
（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线上的两个动点（点P在点Q的右侧，且没有与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-x+4．（2）2．（3）2+2+2．

【详解】试题分析：（1）根据点A的坐标和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，从而求得点B的坐标为（0，4），利用待定系数法求得二次函数的解析式即可．
（2）首先根据抛物线对称轴求得点A的对称点C的坐标，然后求得点B的对称点E的坐标为（-1，4），从而求得BE的长，得到EF的长即可；
（3）作点D关于直线l的对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（-1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．
试题解析：（1）∵点A（2，0），tan∠BAO=2，
∴AO=2，BO=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点A，B，
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=-x2-x+4．
（2）∵抛物线对称轴为直线x=-，
∴点A关于对称轴的对称点C的坐标为（-3，0），
点B的对称点E的坐标为（-1，4），
∵BC是⊙M的直径，
∴点M的坐标为（-，2），
如图1，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，

∵M（-，2），
∴BG=，
∴BF=2BG=3，
∵点E的坐标为（-1，4），
∴BE=1，
∴EF=BF-BE=3-1=2．
（3）四边形CDPQ的周长有最小值．
理由如下：∵BC===5，
AC=CO+OA=3+2=5，
∴AC=BC，
∵BC为⊙M直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴D为AB中点，
∴点D的坐标为（1，2）．
如图2，作点D关于直线l对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（-1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移2个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．

设直线C1D1的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
∴，，
∴直线C1D1的表达式为y=3x+3，
∵yp=4，
∴xp=，
∴点P的坐标为（，4）；
C四边形CDPQ最小=2+2+2．
考点：二次函数综合题．