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2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
19. 课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
22. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷
（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
【正确答案】B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【正确答案】D
【分析】旋转为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．
【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
∴∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
【正确答案】D
【详解】试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，
则,
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴,
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在上，而点O是圆心，
∴四边形OABC没有内接于O，故B错误；
故D正确；
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
【正确答案】B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B
【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．
【详解】解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x，
解得：x=4．
故选B．
此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【详解】①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确；
②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0，
故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；
④根据对称轴为x=1，可得，所以2a+b=0，故④正确；
⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图，分别延长AE、BF交于点H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴,.
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点，
∴G也PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12−2−2=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4.
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵G为EF的中点,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确.
∴①③正确.
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),易证 所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp=x,则四边形面积
∴AP没有断增大，
∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误.
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
当AP=AC=2时,即
S△PEF最小，故④错误；
故选B
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
【正确答案】且a≠0
【详解】∵方程有两个没有等的实数根，
∴ ，解得且.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，
∵AB=3，
∴由垂径定理可知：
∴由勾股定理可知：
∵AC=1，
∴由勾股定理可知：OC=1，
在△OCP中，由三角形三边关系可知：
PC>OP−OC，
∴当O、C. P三点共线时，PC可取得最小值，
此时
故答案为
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
【正确答案】0.55
【详解】试题分析：根据一组数据总的概率是1，可以得到第三组的概率是多少．
解：由题意可得，
第三组的概率是：1﹣0.2﹣0.25=0.55，
故答案为0.55．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
【正确答案】．
【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
∵分针60分钟，转过360°，
∴45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l=（cm）．
考点：弧长的计算．
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
【详解】试题解析：x=0时，y=c，
∴两函数图象的交点A为(0,c)，
如图，时，0
故答案为0
【正确答案】﹣2+2＜k≤或≤k≤﹣4+6或k≥15
【详解】试题解析：如图,由题意图象的解析式为 图象是图中两根红线之间的上的部分图象.
由,则A(2,4),B(−2,−16),D(2,0).
因为函数y=kx+k−1(k>0)的图象与图象有两个交点
当直线点A时,满足条件,4=2k+k−1,解得
②当直线与抛物线相切时,由 消去y得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
观察图象可知当时,直线与图象有两个交点.
当直线与抛物线相切时,由消去y,得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
④当直线点D(2,0)时,0=2k+k−1,解得
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
⑤当直线点B(−2,−16)时，−16=−2k+k−1，解得k=15，
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
综上所述,当或或时,直线与图象有两个交点．
故答案为:或或
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
【正确答案】，．
【详解】分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
详解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x1=0，x2=4．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）图见解析，面积为.
【分析】（1）根据网格图知：AB=4，BC=3，由勾股定理得，AC=5，作B1A⊥AB，且B1A=AB，作C1A⊥AC且C1A=AC；
（2）阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，而△ABC与△AB1C1的面积相等，可得阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积．
【详解】(1)作图如图：
(2)线段BC所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：AB=4，BC=3，所以AC=5，
阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，
故阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积，两个扇形的圆心角都90度,
∴线段BC所扫过的图形的面积.
19. 课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
【正确答案】（1）20、2、2；（2）25%，10%，（3）
【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，再求得A类总人数可得A类女生人数，由各类别人数之和为总人数可得D类人数；
（2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）本次的学生数=（6+4）÷50%=20（名），
则A类女生有：20×15%-1=2（名），D类学生有20-（3+10+5）=2（名），
故答案为20、2、2；
（2）C类百分比为×=25%，D类别百分比为×=10%，
补全图形如下：
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同学辅导一位男同学的结果共有2种．
所以P（一位女同学辅导一位男同学）=．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【正确答案】（1）m＜；（2）m=-3
【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据即可确定的值．
试题解析：(1)∵方程有两个没有相等的实数根，
解得：
∴当时，方程有两个没有相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：
∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长，
解得：m=−3或m=5.
∵a>0，b>0，
∴a+b=−2m+1>0，
∴m=−3
若边长为菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3.
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
【正确答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
【详解】试题分析：（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得量为100﹣2（x﹣60），量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可；
（2）将（1）中的2250换成y即可解答．
试题解析：解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解得：x1=65，x2=85．
（2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；
y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有值为2450元．
答：当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优．
22. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）；（2）菱形
【分析】（1）由旋转的性质可得出，再由三角形的内角和可求出，因此可证出是等边三角形，得到，即可解决问题；
（2）根据题意，证明，再证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴是等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
试题解析：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴，
∴，
解得：FD=．
考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
【正确答案】（1）0＜t＜，M（2t，t）；（2）b=；（3）①t=1；②≤m≤2．
【详解】试题分析：
试题解析：(1)如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∵P为线段OB上−动点(没有与O,B重合)，
∵四边形PCDM为正方形，
∴△POC等腰直角三角形，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M(2t,t)；
(2)把M(2t,t)代入到中得：
1=4at+2b，
(3)①如图2,
∵
∴t=1；
②由(2)得： 即4a=1−2b，
顶点
i)当时,即时，
解得
ii)当时,即−
则
综上所述：a的取值为：
得：
∴
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）， （2）或 （3）存在使线段与互相平分
【详解】试题分析：（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．
（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．
试题解析：（1）如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵CH=1，半径CB=2
∴HB=，
故A（1-，0），B（1+，0）．
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），
设抛物线解析式y=a（x-1）2+3，
把点B（1+，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x2+2x+2．
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，
∴点D在抛物线上
∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
考点：圆的综合题．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷
（B卷）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列四个图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 没有可能发生概率是0 B. 打开电视机正在播放动画片，是必然
C. 随机发生的概率是 D. 对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用普查
3. 如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A 90° B. 100° C. 110° D. 120°
4. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≠0 C. x＞0 D. 全体实数
5. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A. 弧AB =弧CD B. 弧AB＞弧CD C. 弧AB＜弧CD D. 无法确定
6. 在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（ ）
A （2，3） B. （﹣2，3） C. （1，﹣5） D. （0，﹣2）
7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
9. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
10. 如下图，已知原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（ ）
A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在横线上）
11. 把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为_____．
12. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____．
14. 数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
步：如图1，将残缺的纸片对折，使弧AB的端点A与端点B重合，得到图2；
第二步：将图2继续对折，使弧CD端点C与端点B重合，得到图3；
第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是_____________________．
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
16. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 尺规作图：已知△ABC，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹即可）
18. 二次函数y=x2+（2m+1）x + m2﹣1与x轴交于A，B两个没有同的点．
（1）求：m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0的解集．
20. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
22. 如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，个月每套定价为52元时，可售出180套；应市场变化需上调个月的价，预计定价每增加1元，量将减少10套．
（1）若设第二个月的定价每套增加x元，填写表格：
时间
个月
第二个月
定价（元）
量（套）
（2）若商店预计要在第二个月的中获利2000元，则第二个月定价每套多少元？
（3）若要使第二个月利润达到，应定价为多少元？此时第二个月的利润是多少？
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷
（B卷）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列四个图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据对称图形的概念求解．
【详解】A、是对称图形．故错误；
B、是对称图形．故错误；
C、没有是对称图形．故正确；
D、是对称图形．故错误．
故选C．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 没有可能发生的概率是0 B. 打开电视机正在播放动画片，是必然
C. 随机发生的概率是 D. 对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用普查
【正确答案】A
【详解】试题解析A、没有可能发生的概率是0，故A符合题意；
B、打开电视机正在播放动画片，是随机，故B没有符合题意；
C、随机发生的概率是0＜P＜1，故C没有符合题意；
D、对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用抽样，故D没有符合题意；
故选A．
本题考查了随机，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机概念．必然指在一定条件下，一定发生的．没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的，没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
3. 如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
【正确答案】B
【详解】∵AB//CD，∠C=40°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC=40°，
∴∠D=180°-∠C-∠DBC=180°-40°-40°=100°.
故选B.
4. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≠0 C. x＞0 D. 全体实数
【正确答案】B
【详解】根据分式有意义，分母没有等于0可得：函数y=中自变量x的取值范围是x≠0.
故选B.
5. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A. 弧AB =弧CD B. 弧AB＞弧CD C. 弧AB＜弧CD D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A.
点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理.
6. 在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（ ）
A. （2，3） B. （﹣2，3） C. （1，﹣5） D. （0，﹣2）
【正确答案】D
【详解】A. x=2时,y=−2(x−1)²=−2≠3,点(2,3)没有抛物线上，
B. x=−2时,y=−2(x−1)²=−18≠3,点(−2,3)没有在抛物线上，
C. x=1时,y=−2(x−1)²=0≠−5,点(1,−5)没有在抛物线上，
D. x=0时,y=−2(x−1)²=−2,点(0,−2)在抛物线上，
故选D.
7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上项系数一半的平方配成完全平方公式．
【详解】解：
移项得：
方程两边同时加上项系数一半的平方得：
配方得：．
故选：B．
此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方．
8. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【正确答案】C
【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数
【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选C．
9. 如图⊙O直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【正确答案】C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
10. 如下图，已知原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】 ， . ， ， ，故①正确；
∵当 时， ， ，故②正确；
∵对称轴是直线x=﹣1，x1=0, ∴x2=-2, ∴当﹣2＜x＜0时，y＜0,故③正确；
故选Ｄ．
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在横线上）
11. 把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为_____．
【正确答案】y=（x﹣1）2+2
【详解】y=x²−2x+3=x²−2x+1+2=(x−1)²+2，
所以,y=(x−1)²+2.
故答案为y=(x−1)²+2.
12. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________．
【正确答案】．
【详解】试题分析：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：，故答案为．
考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【分析】根据题目中的已知信息，可以推出AB=4，再根据余弦定义可以计算出，，通过即可作答．
【详解】解：根据题意可知，DA=2，∴AB=2DA=4，
又∵以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，
∴AE=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，在Rt△ADE中，
，
∴，，
∴，，
，
故．
本题主要考查了余弦的定义以及扇形的面积计算，其中根据矩形的性质以及余弦定义求出是解题的关键，本题属于基础题．
14. 数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
步：如图1，将残缺的纸片对折，使弧AB的端点A与端点B重合，得到图2；
第二步：将图2继续对折，使弧CD的端点C与端点B重合，得到图3；
第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是_____________________．
【正确答案】轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等 ．
【详解】因为成轴对称的对应点被对称轴垂直平分,图中折痕即为对称轴,是重合两点连线的垂直平分线,又因为垂直平分线的点到线段两端点距离相等,即两条折痕的交点到三点距离相等,即点O为圆心,故答案为: 轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等.
点睛:本题主要考查轴对称性质和三点共圆的条件,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和三点共圆的条件.
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【正确答案】a=；另一根为-．
【详解】试题分析：将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
试题解析：将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得，1+a+a-2=0，解得，a=；
方程为x2+x-=0，即2x2+x-3=0，设另一根为x1，则1•x1=-，x1=-．
考点：1、一元二次方程的解；2、根与系数的关系．
16. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
试题解析：（1）选择 A通道通过的概率=，
故答案为；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择没有同通道通过的有12种结果，∴选择没有同通道通过的概率==．
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 尺规作图：已知△ABC，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹即可）
【正确答案】见解析
【详解】试题分析:根据作角平分线的方法,先作角B的平分线,再作角C的平分线,三角形内角平分线的交点即为三角形内切圆圆心.
试题解析:
18. 二次函数y=x2+（2m+1）x + m2﹣1与x轴交于A，B两个没有同的点．
（1）求：m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．
【正确答案】（1）；（2）A、B两点的坐标为（﹣3，0）、（0，0）．
【详解】试题分析:(1)因为二次函数图象与x轴有两个没有同的交点,根据二次函数与一元二次方程的关系可得: △=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5＞0,即可求解.
(2)在(1)的结论下,取符合条件的m的值代入即可求解.
试题解析:（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A,B两个没有同的点,
∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个没有相等的实数根,
∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5＞0,
解得:m＞﹣.
（2）当m=1时,原二次函数解析式为y=x2+3x,
令y=x2+3x=0,
解得:x1=﹣3,x2=0,
∴当m=1时,A,B两点的坐标为（﹣3,0）,（0,0）.
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0的解集．
【正确答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得没有等式的解集．
【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，没有等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题：反比例函数与函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定函数的解析式．
20. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【正确答案】（1）10小时
（2）k=216
（3）13.5℃
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.
（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
【详解】（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，∴解得：k=216
（3）由（2），
当x=16时，，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【正确答案】（1）当1≤≤5时；＞5时；（2）8个月；（3）5个月
【详解】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即；②当时，，所以当＞5时，；
⑵当y=200时，20x-60=200，x=13，
所以治污改造工程顺利完工后13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；
⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为3、4、5、6、7共5个月
22. 如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．
【正确答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）连接，先证明，，可得∥，由可得，即可得证；
（2）连接，先证明是等边三角形，由BC=4可得DC=OC=2，进而得到，再利用面积公式求解即可．
【详解】（1）连接．
∵
∴
∵等腰三角形的底角为30°,即
∴
∴∥
∵
∴，即为⊙的切线．
（2）连接．
∵，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查圆的切线判定、含30度角的直角三角形的性质以及等腰三角形和等边三角形的性质，此题难度适中，主要掌握辅助线的作法．
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，个月每套定价为52元时，可售出180套；应市场变化需上调个月的价，预计定价每增加1元，量将减少10套．
（1）若设第二个月的定价每套增加x元，填写表格：
时间
个月
第二个月
定价（元）
量（套）
（2）若商店预计要在第二个月的中获利2000元，则第二个月定价每套多少元？
（3）若要使第二个月利润达到，应定价为多少元？此时第二个月的利润是多少？
【正确答案】(1)52；52+x；180；180－10x；(2)60元；(3)55元；2250元.
【分析】(1)、根据题意进行填表；
(2)、根据利润列出一元二次方程，从而求出x的值得出答案；
(3)、设利润为y，然后列出y与x的函数关系式，将二次函数进行配方从而得出最值.
【详解】解：(1)若设第二个月的定价每套增加x元，由题意可得，
时间
个月
第二个月
定价（元）
52
52+x
量（套）
180
180﹣10x
(2)若设第二个月的定价每套增加x元，根据题意得：（52+x﹣40）（180﹣10x）=2000，
解得：x1=﹣2（舍去），x2=8， 当x=8时，52+x=52+8=60．
答：第二个月定价每套应为60元．
(3)设第二个月利润为y元．
由题意得到：y=（52+x﹣40）（180﹣10x）=﹣10x2+60x+2160=﹣10（x﹣3）2+2250
∴当x=3时，y取得值，此时y=2250，
∴52+x=52+3=55，
即要使第二个月利润达到，应定价为55元，此时第二个月的利润是2250元．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
19. 课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
22. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷
（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
【正确答案】B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【正确答案】D
【分析】旋转为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．
【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
∴∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
【正确答案】D
【详解】试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，
则,
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴,
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在上，而点O是圆心，
∴四边形OABC没有内接于O，故B错误；
故D正确；
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
【正确答案】B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B
【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．
【详解】解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x，
解得：x=4．
故选B．
此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【详解】①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确；
②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0，
故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；
④根据对称轴为x=1，可得，所以2a+b=0，故④正确；
⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图，分别延长AE、BF交于点H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴,.
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点，
∴G也PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12−2−2=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4.
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵G为EF的中点,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确.
∴①③正确.
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),易证 所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp=x,则四边形面积
∴AP没有断增大，
∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误.
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
当AP=AC=2时,即
S△PEF最小，故④错误；
故选B
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
【正确答案】且a≠0
【详解】∵方程有两个没有等的实数根，
∴ ，解得且.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，
∵AB=3，
∴由垂径定理可知：
∴由勾股定理可知：
∵AC=1，
∴由勾股定理可知：OC=1，
在△OCP中，由三角形三边关系可知：
PC>OP−OC，
∴当O、C. P三点共线时，PC可取得最小值，
此时
故答案为
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
【正确答案】0.55
【详解】试题分析：根据一组数据总的概率是1，可以得到第三组的概率是多少．
解：由题意可得，
第三组的概率是：1﹣0.2﹣0.25=0.55，
故答案为0.55．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
【正确答案】．
【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
∵分针60分钟，转过360°，
∴45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l=（cm）．
考点：弧长的计算．
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
【详解】试题解析：x=0时，y=c，
∴两函数图象的交点A为(0,c)，
如图，时，0
故答案为0
【正确答案】﹣2+2＜k≤或≤k≤﹣4+6或k≥15
【详解】试题解析：如图,由题意图象的解析式为 图象是图中两根红线之间的上的部分图象.
由,则A(2,4),B(−2,−16),D(2,0).
因为函数y=kx+k−1(k>0)的图象与图象有两个交点
当直线点A时,满足条件,4=2k+k−1,解得
②当直线与抛物线相切时,由 消去y得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
观察图象可知当时,直线与图象有两个交点.
当直线与抛物线相切时,由消去y,得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
④当直线点D(2,0)时,0=2k+k−1,解得
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
⑤当直线点B(−2,−16)时，−16=−2k+k−1，解得k=15，
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
综上所述,当或或时,直线与图象有两个交点．
故答案为:或或
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
【正确答案】，．
【详解】分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
详解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x1=0，x2=4．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）图见解析，面积为.
【分析】（1）根据网格图知：AB=4，BC=3，由勾股定理得，AC=5，作B1A⊥AB，且B1A=AB，作C1A⊥AC且C1A=AC；
（2）阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，而△ABC与△AB1C1的面积相等，可得阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积．
【详解】(1)作图如图：
(2)线段BC所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：AB=4，BC=3，所以AC=5，
阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，
故阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积，两个扇形的圆心角都90度,
∴线段BC所扫过的图形的面积.
19. 课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
【正确答案】（1）20、2、2；（2）25%，10%，（3）
【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，再求得A类总人数可得A类女生人数，由各类别人数之和为总人数可得D类人数；
（2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）本次的学生数=（6+4）÷50%=20（名），
则A类女生有：20×15%-1=2（名），D类学生有20-（3+10+5）=2（名），
故答案为20、2、2；
（2）C类百分比为×=25%，D类别百分比为×=10%，
补全图形如下：
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同学辅导一位男同学的结果共有2种．
所以P（一位女同学辅导一位男同学）=．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【正确答案】（1）m＜；（2）m=-3
【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据即可确定的值．
试题解析：(1)∵方程有两个没有相等的实数根，
解得：
∴当时，方程有两个没有相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：
∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长，
解得：m=−3或m=5.
∵a>0，b>0，
∴a+b=−2m+1>0，
∴m=−3
若边长为菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3.
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
【正确答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
【详解】试题分析：（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得量为100﹣2（x﹣60），量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可；
（2）将（1）中的2250换成y即可解答．
试题解析：解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解得：x1=65，x2=85．
（2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；
y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有值为2450元．
答：当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优．
22. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）；（2）菱形
【分析】（1）由旋转的性质可得出，再由三角形的内角和可求出，因此可证出是等边三角形，得到，即可解决问题；
（2）根据题意，证明，再证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴是等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
试题解析：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴，
∴，
解得：FD=．
考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
【正确答案】（1）0＜t＜，M（2t，t）；（2）b=；（3）①t=1；②≤m≤2．
【详解】试题分析：
试题解析：(1)如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∵P为线段OB上−动点(没有与O,B重合)，
∵四边形PCDM为正方形，
∴△POC等腰直角三角形，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M(2t,t)；
(2)把M(2t,t)代入到中得：
1=4at+2b，
(3)①如图2,
∵
∴t=1；
②由(2)得： 即4a=1−2b，
顶点
i)当时,即时，
解得
ii)当时,即−
则
综上所述：a的取值为：
得：
∴
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）， （2）或 （3）存在使线段与互相平分
【详解】试题分析：（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．
（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．
试题解析：（1）如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵CH=1，半径CB=2
∴HB=，
故A（1-，0），B（1+，0）．
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），
设抛物线解析式y=a（x-1）2+3，
把点B（1+，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x2+2x+2．
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，
∴点D在抛物线上
∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
考点：圆的综合题．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷
（B卷）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列四个图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 没有可能发生概率是0 B. 打开电视机正在播放动画片，是必然
C. 随机发生的概率是 D. 对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用普查
3. 如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A 90° B. 100° C. 110° D. 120°
4. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≠0 C. x＞0 D. 全体实数
5. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A. 弧AB =弧CD B. 弧AB＞弧CD C. 弧AB＜弧CD D. 无法确定
6. 在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（ ）
A （2，3） B. （﹣2，3） C. （1，﹣5） D. （0，﹣2）
7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
9. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
10. 如下图，已知原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（ ）
A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在横线上）
11. 把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为_____．
12. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____．
14. 数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
步：如图1，将残缺的纸片对折，使弧AB的端点A与端点B重合，得到图2；
第二步：将图2继续对折，使弧CD端点C与端点B重合，得到图3；
第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是_____________________．
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
16. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 尺规作图：已知△ABC，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹即可）
18. 二次函数y=x2+（2m+1）x + m2﹣1与x轴交于A，B两个没有同的点．
（1）求：m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0的解集．
20. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
22. 如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，个月每套定价为52元时，可售出180套；应市场变化需上调个月的价，预计定价每增加1元，量将减少10套．
（1）若设第二个月的定价每套增加x元，填写表格：
时间
个月
第二个月
定价（元）
量（套）
（2）若商店预计要在第二个月的中获利2000元，则第二个月定价每套多少元？
（3）若要使第二个月利润达到，应定价为多少元？此时第二个月的利润是多少？
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷
（B卷）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列四个图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据对称图形的概念求解．
【详解】A、是对称图形．故错误；
B、是对称图形．故错误；
C、没有是对称图形．故正确；
D、是对称图形．故错误．
故选C．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 没有可能发生的概率是0 B. 打开电视机正在播放动画片，是必然
C. 随机发生的概率是 D. 对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用普查
【正确答案】A
【详解】试题解析A、没有可能发生的概率是0，故A符合题意；
B、打开电视机正在播放动画片，是随机，故B没有符合题意；
C、随机发生的概率是0＜P＜1，故C没有符合题意；
D、对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用抽样，故D没有符合题意；
故选A．
本题考查了随机，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机概念．必然指在一定条件下，一定发生的．没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的，没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
3. 如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
【正确答案】B
【详解】∵AB//CD，∠C=40°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC=40°，
∴∠D=180°-∠C-∠DBC=180°-40°-40°=100°.
故选B.
4. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≠0 C. x＞0 D. 全体实数
【正确答案】B
【详解】根据分式有意义，分母没有等于0可得：函数y=中自变量x的取值范围是x≠0.
故选B.
5. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A. 弧AB =弧CD B. 弧AB＞弧CD C. 弧AB＜弧CD D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A.
点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理.
6. 在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（ ）
A. （2，3） B. （﹣2，3） C. （1，﹣5） D. （0，﹣2）
【正确答案】D
【详解】A. x=2时,y=−2(x−1)²=−2≠3,点(2,3)没有抛物线上，
B. x=−2时,y=−2(x−1)²=−18≠3,点(−2,3)没有在抛物线上，
C. x=1时,y=−2(x−1)²=0≠−5,点(1,−5)没有在抛物线上，
D. x=0时,y=−2(x−1)²=−2,点(0,−2)在抛物线上，
故选D.
7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上项系数一半的平方配成完全平方公式．
【详解】解：
移项得：
方程两边同时加上项系数一半的平方得：
配方得：．
故选：B．
此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方．
8. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【正确答案】C
【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数
【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选C．
9. 如图⊙O直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【正确答案】C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
10. 如下图，已知原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】 ， . ， ， ，故①正确；
∵当 时， ， ，故②正确；
∵对称轴是直线x=﹣1，x1=0, ∴x2=-2, ∴当﹣2＜x＜0时，y＜0,故③正确；
故选Ｄ．
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在横线上）
11. 把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为_____．
【正确答案】y=（x﹣1）2+2
【详解】y=x²−2x+3=x²−2x+1+2=(x−1)²+2，
所以,y=(x−1)²+2.
故答案为y=(x−1)²+2.
12. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________．
【正确答案】．
【详解】试题分析：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：，故答案为．
考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【分析】根据题目中的已知信息，可以推出AB=4，再根据余弦定义可以计算出，，通过即可作答．
【详解】解：根据题意可知，DA=2，∴AB=2DA=4，
又∵以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，
∴AE=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，在Rt△ADE中，
，
∴，，
∴，，
，
故．
本题主要考查了余弦的定义以及扇形的面积计算，其中根据矩形的性质以及余弦定义求出是解题的关键，本题属于基础题．
14. 数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
步：如图1，将残缺的纸片对折，使弧AB的端点A与端点B重合，得到图2；
第二步：将图2继续对折，使弧CD的端点C与端点B重合，得到图3；
第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是_____________________．
【正确答案】轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等 ．
【详解】因为成轴对称的对应点被对称轴垂直平分,图中折痕即为对称轴,是重合两点连线的垂直平分线,又因为垂直平分线的点到线段两端点距离相等,即两条折痕的交点到三点距离相等,即点O为圆心,故答案为: 轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等.
点睛:本题主要考查轴对称性质和三点共圆的条件,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和三点共圆的条件.
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【正确答案】a=；另一根为-．
【详解】试题分析：将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
试题解析：将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得，1+a+a-2=0，解得，a=；
方程为x2+x-=0，即2x2+x-3=0，设另一根为x1，则1•x1=-，x1=-．
考点：1、一元二次方程的解；2、根与系数的关系．
16. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
试题解析：（1）选择 A通道通过的概率=，
故答案为；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择没有同通道通过的有12种结果，∴选择没有同通道通过的概率==．
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 尺规作图：已知△ABC，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹即可）
【正确答案】见解析
【详解】试题分析:根据作角平分线的方法,先作角B的平分线,再作角C的平分线,三角形内角平分线的交点即为三角形内切圆圆心.
试题解析:
18. 二次函数y=x2+（2m+1）x + m2﹣1与x轴交于A，B两个没有同的点．
（1）求：m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．
【正确答案】（1）；（2）A、B两点的坐标为（﹣3，0）、（0，0）．
【详解】试题分析:(1)因为二次函数图象与x轴有两个没有同的交点,根据二次函数与一元二次方程的关系可得: △=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5＞0,即可求解.
(2)在(1)的结论下,取符合条件的m的值代入即可求解.
试题解析:（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A,B两个没有同的点,
∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个没有相等的实数根,
∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5＞0,
解得:m＞﹣.
（2）当m=1时,原二次函数解析式为y=x2+3x,
令y=x2+3x=0,
解得:x1=﹣3,x2=0,
∴当m=1时,A,B两点的坐标为（﹣3,0）,（0,0）.
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0的解集．
【正确答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得没有等式的解集．
【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，没有等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题：反比例函数与函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定函数的解析式．
20. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【正确答案】（1）10小时
（2）k=216
（3）13.5℃
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.
（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
【详解】（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，∴解得：k=216
（3）由（2），
当x=16时，，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【正确答案】（1）当1≤≤5时；＞5时；（2）8个月；（3）5个月
【详解】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即；②当时，，所以当＞5时，；
⑵当y=200时，20x-60=200，x=13，
所以治污改造工程顺利完工后13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；
⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为3、4、5、6、7共5个月
22. 如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．
【正确答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）连接，先证明，，可得∥，由可得，即可得证；
（2）连接，先证明是等边三角形，由BC=4可得DC=OC=2，进而得到，再利用面积公式求解即可．
【详解】（1）连接．
∵
∴
∵等腰三角形的底角为30°,即
∴
∴∥
∵
∴，即为⊙的切线．
（2）连接．
∵，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查圆的切线判定、含30度角的直角三角形的性质以及等腰三角形和等边三角形的性质，此题难度适中，主要掌握辅助线的作法．
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，个月每套定价为52元时，可售出180套；应市场变化需上调个月的价，预计定价每增加1元，量将减少10套．
（1）若设第二个月的定价每套增加x元，填写表格：
时间
个月
第二个月
定价（元）
量（套）
（2）若商店预计要在第二个月的中获利2000元，则第二个月定价每套多少元？
（3）若要使第二个月利润达到，应定价为多少元？此时第二个月的利润是多少？
【正确答案】(1)52；52+x；180；180－10x；(2)60元；(3)55元；2250元.
【分析】(1)、根据题意进行填表；
(2)、根据利润列出一元二次方程，从而求出x的值得出答案；
(3)、设利润为y，然后列出y与x的函数关系式，将二次函数进行配方从而得出最值.
【详解】解：(1)若设第二个月的定价每套增加x元，由题意可得，
时间
个月
第二个月
定价（元）
52
52+x
量（套）
180
180﹣10x
(2)若设第二个月的定价每套增加x元，根据题意得：（52+x﹣40）（180﹣10x）=2000，
解得：x1=﹣2（舍去），x2=8， 当x=8时，52+x=52+8=60．
答：第二个月定价每套应为60元．
(3)设第二个月利润为y元．
由题意得到：y=（52+x﹣40）（180﹣10x）=﹣10x2+60x+2160=﹣10（x﹣3）2+2250
∴当x=3时，y取得值，此时y=2250，
∴52+x=52+3=55，
即要使第二个月利润达到，应定价为55元，此时第二个月的利润是2250元．
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