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2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若反比例函数的图象点，则该反比例函数的表达式为（）
A. B. C. D.
2. 已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A. B. π C. D.
3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
5. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A. b＜0，c＜0，△＞0 B. b＞0，c＞0，△＞0
C. b＞0，c＜0，△＞0 D. b＜0，c＞0，△＜0
6. 如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的顶点上.则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，.点为边上一点，以每秒1单位的速度从点出发，沿着的路径运动到点为止.连接，以点为圆心，长为半径作⊙，⊙与线段交于点.设扇形面积为，点的运动时间为.则在以下四个函数图象中，扇形面积关于运动时间的变化趋势的是（ ）
A. A B. B C. C D. D
二、填 空 题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 请你写出一个顶点在 x轴上二次函数表达式________.
10. 已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y= 上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是_____．
11. 如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=_____．
12. 如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=_____．
13. 如图，，是正六边形的两条对角线.在没有添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.
14. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
15. 已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB=，则∠C的度数为_____．
16. 阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角的角平分线．
已知：如图，已知.
求作： 的角平分线.
小霞的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交射线于点，交射线于点；
（3）连接，过点作射线垂直线段，交⊙于点；
（4）连接.
所以射线为所求.
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞的作图依据是___________________________________________．
三、解 答 题（共9小题，17-22题每小题5分，23,24题每小题7分，25题8分，共52分）
17. 计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．
18. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于点，．
（1）分别求出反比例函数和函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出没有等式解集．
19. 如图，内接于⊙.若⊙的半径为6，，求的长．
20. 如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果到0.1米）
21. 如图，李师傅想用长为80米栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米.
（1）请写出区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，区的面积？面积是多少？
22. 如图，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值．
23. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用没有同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b
又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．
∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML= S四边形ABCD．
24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a＞0）的对称轴为，点A（﹣2，m）在直线上．
（1）求m，b的值；
（2）若点D（3，2）在二次函数（a＞0）上，求a值；
（3）当二次函数（a＞0）与直线相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．
25. 点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0.
当⊙的半径为2时：
（1）若点，，则_________，_________；
（2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标；
（3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围.
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若反比例函数的图象点，则该反比例函数的表达式为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：设反比例函数为：．∵反比例函数的图象点(3，-2)，∴k=3×（-2）=－6．故反比例函数为：．故选B．
2. 已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A. B. π C. D.
【正确答案】D
【详解】解：==．
故选：D．
3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m
【正确答案】A
【详解】试题解析：如图；
AD=6m，AB=21m，DE=2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC=7m，
故树的高度为7m．
故选A．
考点：相似三角形的应用．
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【正确答案】C
【详解】解：连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
5. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A. b＜0，c＜0，△＞0 B. b＞0，c＞0，△＞0
C. b＞0，c＜0，△＞0 D. b＜0，c＞0，△＜0
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴在y轴右边，∴b＜0．∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0．∵抛物线与x轴有两个没有同的交点，∴△=b2-4ac＞0．故选A．
6. 如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
【正确答案】A
【分析】过点O作OC垂直于AB与D,连接OA，根据勾股定理得AD= ，由垂径定理得出AB= .
【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，
Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4，
根据勾股定理，得：AD＝ ，
由垂径定理得，AB＝2AD＝4，
故选A.
本题考查勾股定理及垂径定理，，作出辅助线是解题关键.
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的顶点上.则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：如图，连接BD．∵=10，，，∴，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，cosA=.故选C．
8. 如图，在中，，.点为边上一点，以每秒1单位的速度从点出发，沿着的路径运动到点为止.连接，以点为圆心，长为半径作⊙，⊙与线段交于点.设扇形面积为，点的运动时间为.则在以下四个函数图象中，扇形面积关于运动时间的变化趋势的是（ ）
A. A B. B C. C D. D
【正确答案】A
【详解】解：当0＜t≤4时，=，此时图象为抛物线的一部分；
当4＜t≤8时，，此时圆心角n随时间增大而减小，半径增大，整个面积减小，此时图象没有是抛物线．当t=8时，面积为0．故B、C、D错误．故选A．
二、填 空 题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 请你写出一个顶点在 x轴上的二次函数表达式________.
【正确答案】y=x2（答案没有）
【详解】解：答案没有，如：．故答案为（答案没有）．
10. 已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y= 上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是_____．
【正确答案】x1＞x2
【详解】解：∵2＞0，∴图形位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，又∵y1＜y2＜0，∴x1＞x2，故答案为x1＞x2．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
11. 如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=_____．
【正确答案】
【详解】解：过P作PA⊥x轴于点A．∵P（2，），∴OA=2，PA=，∴tanα=.故答案为．
点睛：本题考查了解直角三角形，正切的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．
12. 如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=_____．
【正确答案】．
【分析】由∠B=∠ACD、∠A=∠A，可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出=，代入数据即可求出AC的值．
【详解】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，即=，
∴AC=或AC=-（没有合题意，舍去）．
故答案为．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于AC的方程是解题的关键．
13. 如图，，是正六边形的两条对角线.在没有添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.
【正确答案】 ①. ∠F=∠E ②. ∠F=120°
【详解】试题解析：解：(1)∠F=∠E；(2)∠F=120°．答案没有．故答案为(1)∠F=∠E；(2)∠F=120°（答案没有）．
14. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
【正确答案】x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以没有等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
15. 已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB=，则∠C的度数为_____．
【正确答案】45°或135°
【详解】解：如图，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D．
在Rt△OAD中，AD=，OA=1，∴sin∠AOD=，∴∠AOD=45°，∠AOB=180°-2×45°=90°．
点C的位置有两种情况：
①当点C在如图位置时，∠C=∠AOB=45°；
②当点C在E点位置时，∠E=180°﹣∠C=145°．
故答案为45°或135°．
点睛：本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用．注意点C的位置有两种情况，没有要漏解．
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角角平分线．
已知：如图，已知.
求作： 的角平分线.
小霞的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交射线于点，交射线于点；
（3）连接，过点作射线垂直线段，交⊙于点；
（4）连接.
所以射线为所求.
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞的作图依据是___________________________________________．
【正确答案】（1）垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）角平分线的定义
【详解】解：小霞的作图依据是：（1）垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）角平分线的定义．故答案为（1）垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）角平分线的定义．
三、解 答 题（共9小题，17-22题每小题5分，23,24题每小题7分，25题8分，共52分）
17. 计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．
【正确答案】
【分析】代入角的三角函数值计算即可．
【详解】原式=
=
=．
18. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于点，．
（1）分别求出反比例函数和函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出没有等式的解集．
【正确答案】（1）y=2x+1（2）-1.5＜x＜0或x＞1
【详解】试题分析：（1）由点A可求得反比例函数的解析式，进而得到B的坐标，由A、B的坐标可求得函数的解析式；
（2）观察图象即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵点A（，-2）在函数（m≠0）上，∴m=（）×（-2）=3，∴．又∵点B（1，a）在函数上，∴a=3，B（1，3）．
∵直线y=kx+b（k≠0）过点A（，-2），B（1，3），∴ ，解得：，∴直线解析式为y=2x+1．
（2）由图象可知：没有等式的解集是-1.5＜x＜0或x＞1．
19. 如图，内接于⊙.若⊙的半径为6，，求的长．
【正确答案】
【详解】试题分析：过点A作射线AO交☉O于点D，连接CD．由圆周角定理及推论得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°．然后根据正弦的定义解答即可．
试题解析：解：过点A作射线AO交☉O于点D，连接CD．∵AD直径，∴AD=12，∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=60°．在Rt△ADC中，∵sin∠D=，∴AC=AD·sin60°=12× =．
20. 如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果到0.1米）
【正确答案】21.0m
【分析】在Rt△BCE中，由正切的定义可求出CE的长；在Rt△ACE中，由正切的定义可求出AE的长，由AB=AE+BE即可得出结论．
【详解】根据题意，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，∴CE= =≈10m．根据题意，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，∴AE=CE·tan20°≈10×0.364=3.64m，
∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0m．
答：旗杆的高约为21.0m．
21. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米.
（1）请写出区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，区的面积？面积是多少？
【正确答案】（1）S=-2x2+80x（15≤x＜40）（2）800
【详解】试题分析：（1）由AB=x，得到BC=80-2x，再由矩形的面积公式即可得出结论；
（2）求出对称轴，进而得到二次函数的最值．
试题解析：解：（1）根据题意得：AB=x，BC=80-2x，∴S=x（80-2x）=80x-2x2．又∵x＞0，0＜80-2x≤50，解得15≤x＜40，∴S=-2x2+80x（15≤x＜40）；
（2）∵x==20，∴当x=20时，S=20×（80-20×2）=800．
答：当x=20时，区的面积，区的面积为800平方米．
22. 如图，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD、AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形性质求出BD=DC，根据三角形的中位线求出OD∥AB，推出OD⊥DE，根据切线的判定求出即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．
【详解】（1）连接OD，AD，
∵AC是半圆的直径，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴，
解得FC=2，
∴AF=6，
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=.
本题考查了三角形的中位线，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
23. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用没有同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b
又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．
∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML= S四边形ABCD．
【正确答案】答案见解析.
【详解】试题分析：（1）由六个小长方形的面积相等，得到．设，．由相似三角形的性质得到：，．再由，，得到a=，=42b，=6b，即可得出结论；
（2）连接DN．设=a，=b，则S△EDN=b，S△NJC=4a，S△DNJ= S△NJC =2a．由S△ADJ=SABCD，S△CDE=SABCD，得到：b=1.5a，b=SABCD．由S△CFP=S△AEN， SAECF=SABCD， SANML=CPL即可得到结论．
试题解析：解：（1） ∵六个小长方形的面积相等，∴ ．
设，．∵EC∥AF，∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到 ．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到 ．又∵，，∴，
∴a=，=42b，=6b，∴，则；
（2）连接DN．设=a，=b，则S△EDN=b，S△NJC=4a，S△DNJ= S△NJC =2a．∵S△ADJ=SABCD，S△CDE=SABCD，∴2b+2a=SABCD，b+6a=SABCD， 解得：b=1.5a，b=SABCD．∵S△CFP=S△AEN， SAECF=SABCD，∴SANML=CPL=（SABCD－2×SABCD）×=．
点睛：本题考查了三角形和平行四边形的面积，解题的关键是找出图形面积之间的关系，并表示出来．
24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a＞0）对称轴为，点A（﹣2，m）在直线上．
（1）求m，b的值；
（2）若点D（3，2）在二次函数（a＞0）上，求a的值；
（3）当二次函数（a＞0）与直线相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．
【正确答案】（1）m=5；b=1．（2）a=；（3）＜a＜1
【分析】（1）由对称轴公式计算即可，把点A的坐标代入直线解析式即可；
（2）把点D的坐标代入抛物线解析式即可；
（3）把x=-3和x=-1分别代入直线的解析式得到两个点的坐标，再把这两个点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的取值范围．
【详解】（1）x==1，即b=1．
∵点A（-2，m）在直线y=-x+3上，
∴当x=-2时，m=-（-2）+3=5；
（2）∵点D（3，2）在上，
∴当x=3时，，
解得a=；
（3）∵当x=-3时，y=-x+3=6，
∴当（-3，6）在上时， ，
∴a=．
又∵当x=-1时，y=-x+3=4，
∴当（-1，4）在上时，，
∴a=1，
∴＜a＜1．
25. 点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0.
当⊙的半径为2时：
（1）若点，，则_________，_________；
（2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标；
（3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围.
【正确答案】（1）1；4（2）-1或-（3）
【详解】试题分析：（1）根据定义求解即可；
（2）根据定义知：满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上，设P（a，2a+2），由PO=1，建立方程求解即可；
（3）根据题意可知，满足2≤dP＜3点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内．
分别求出当线段与外环相切或内切时， b的值即可．
试题解析：解：（1）dC=1，dD=4；
（2）根据题意，满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上．
∵点P在直线y=2x+2上，∴设P（a，2a+2）．
∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=-1或a= ，∴xP=-1或．
（3）．解析如下：
根据题意，满足2≤dP＜3的点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内．
当线段与外环相切时，解得b=；
当线段与内环相切时，解得b=.
点睛：本题考查了新定义．解题的关键是弄懂新定义的概念，然后根据概念解答．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A. 4 B. .5 C. 6 D. 8
3. 下列各点在函数y=-x2+1图象上的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（ ）
A. B. C. D.
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则si的值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
7. 反比例函数的图象上有两点，，若，，则的的值是（ ）
A. 正数 B. 0 C. 负数 D. 非负数
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k形式，则h=______，k=______．
10. 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm
11. 请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式________________．
12. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD面积为_________．
13. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于没有可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是______（结果没有取近似值）．
14. 关于x的二次函数y=ax2-2ax+a-1（a＞0）的图象与x轴的交点情况是______．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：______．
16. 下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，
（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O没有与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是______．
三、解 答 题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：2sin30°+（）-1-+|-3|．
18. 如图，函数y=-x2+bx+c的图象点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
19. 如图，，，，，交于点．求值．
20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长.
21. 缆车，没有仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）图象与直线y=2x-2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x-2于点M，交函数y=的图象于点N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，图象，直接写出a的取值范围．
23. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6．求AF的长．
24. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
1
1.9
2.6
3
m
0
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）在（2）条件下，当函数图象与直线y=x相交时（原点除外），∠BAC的度数是______．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O，且A，D两点，交AB于点E·
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
26. 已知函数y=x2-2mx的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数y=x2-2mx的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数y=x2-2mx的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
28. 在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标没有相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P点M，N．
①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m-n的取值范围．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【正确答案】A
【详解】设a=k,b=2k,
则 .
故选A.
2. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A. 4 B. .5 C. 6 D. 8
【2题答案】
【正确答案】C
【详解】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得
,
即，
解得EF=6，
故选C.
3. 下列各点在函数y=-x2+1图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【正确答案】D
【详解】A. 把（0，0）代入得，左=0，右=1 ，故没有符合题意；
B. 把（1，1）代入得，左=1，右=-1+1=0 ，故没有符合题意；
C. 把（0，﹣1）代入得，左=-1，右=1 ，故没有符合题意；
D. 把（1，0）代入得，左=0，右=-1+0=0 ，故没有符合题意；
故选D.
4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】
【正确答案】D
【分析】
【详解】解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠BCD=∠A=30°，
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD，
∴△CBD与△ABC的相似比1：2，
∴△CBD与△ABC的周长之比等于相似比为1：2．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则si的值是( )
A. B. C. D.
【5题答案】
【正确答案】A
【详解】
如图，si= .
故选A.
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【正确答案】C
【分析】根据等边对等角得到，利用三角形内角和可得，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 反比例函数的图象上有两点，，若，，则的的值是（ ）
A. 正数 B. 0 C. 负数 D. 非负数
【7题答案】
【正确答案】C
【分析】由可知点A，B在同一象限，然后根据反比例函数的图像和性质可得的符号.
【详解】解：反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴，同号，即点A，B在同一象限，
∵，
∴，
∴，
故选C.
本题考查反比例函数的图像和性质，根据题意得到点A，B在同一象限是解题关键.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【8题答案】
【正确答案】B
【详解】∵2018÷4=504……2，
∴第2018个点所在的坐标是（﹣1，1）.
故选B.
点睛：本题考查了平面直角坐标系中点坐标的探索与规律，由题意知点的坐标按（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣2），（1，﹣2）四个为一循环，然后由2018÷4=504……2，可确定第2018个点所在的坐标.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，则h=______，k=______．
【9题答案】
【正确答案】 ①. 1 ②. 2
【详解】∵=(x-1)2+2,
∴h=1,k=2.
10. 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm
【10题答案】
【正确答案】4π
【分析】根据弧长公式即可求得．
【详解】解：由题意得，n=120°，R=6cm，
故可得：．
故4π．
本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握和运用弧长公式是解决本题的关键．
11. 请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式________________．
【11题答案】
【正确答案】答案没有，如：
【详解】试题分析：首先与x轴无交点，则考虑反比例函数和开口向上且顶点在一、二象限的二次函数．然后设出解析式，把（1,1）带入即可求得解析式.
考点：确定函数解析式.
12. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积为_________．
【12题答案】
【正确答案】2
【分析】
【详解】试题解析：如图，
∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=，
∴AC=2，
则S菱形ABCD=AC•BD=2，
故答案为2
考点：菱形的性质．
13. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于没有可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是______（结果没有取近似值）．
【13题答案】
【正确答案】
【分析】
【详解】解：由题意得
∠BOC=360°÷6÷2=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故
14. 关于x的二次函数y=ax2-2ax+a-1（a＞0）的图象与x轴的交点情况是______．
【14题答案】
【正确答案】有两个没有同交点
【详解】∵△=(-2a)2-4×a(a-1)=4a2-4a2+4a=4a>0,
∴方程有两个没有相等的实数根，
∴函数图像与x轴有两个没有同交点.
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：______．
【15题答案】
【正确答案】△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF
【详解】
由图可知，把△ABC绕点O逆时针旋转90°可得到△DEF.
16. 下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，
（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O没有与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作30°角．
请回答：该尺规作图的依据是______．
【16题答案】
【正确答案】答案没有，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
【详解】连接OC,BC,
由做法知，OB=OC=BC,
∴△OBC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）,
∴∠BOC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）,
∴∠DAC= （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）.
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质及圆周角定理，由做法可知△OBC是等边三角形，从而∠BOC=60°，再由圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半可求出∠DAC=30°.
三、解 答 题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：2sin30°+（）-1-+|-3|．
【17题答案】
【正确答案】
【详解】试题分析：项根据30°的正弦值解答，第二项负整数指数幂等于这个数正整数指数幂分之一，第三项根据二次根式的性质化简，第四项一个负数的值等于它的相反数.
解：原式=
=．
18. 如图，函数y=-x2+bx+c的图象点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
【18题答案】
【正确答案】（1）b=2，c=3；（2）答案见解析．
【详解】试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）代入函数解析式，得到关于b和c的方程组，解方程组求出b和c的值；
（2）把函数解析式化成顶点式，可知C是顶点，根据对称性找出点B的对称点D，点A的对称点E，画出图像.
解：（1）∵抛物线点A（﹣1，0），B（0，3），∴．
解得．
（2）由（1）知，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4．
∴C是顶点，根据对称性找出点B的对称点D，点A的对称点E，画出图像.
19. 如图，，，，，交于点．求的值．
【19题答案】
【正确答案】
【详解】试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形.由∠A=∠ACD，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，从而；再在Rt△ABC和Rt△BCD中分别求出AB和CD的长，代入即可.
解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，∴CD=，∴．
20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长.
【20题答案】
【正确答案】2
【分析】根据∠A＝15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
【详解】解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°．
∵AB=4，
∴OC=2．
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=CD．
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE=1，
∴CD=2．
本题考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，垂径定理.
21. 缆车，没有仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
【21题答案】
【正确答案】700sin20°+700sin16°+126
【详解】试题分析：本题考查了解直角三角形的实际应用，在Rt△ABC中，根据可求出BC的长度；在Rt△BDE中，根据可求出DE的长度；从而可求出D点的海拔高度.
解：如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠=16°，AB=700，由sin，可求BC的长．
即BC=AB·sin=700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠β=16°，BD=AB=700，由sinβ，可求DE的长．
即DE=BD·sinβ=700sin20°，由矩形性质，可知EF=BC=700sin16°，FH=AG=126．
从而，可求得DH的长．
即DH=DE+EF+FH=700sin20°+700sin16°+126．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象与直线y=2x-2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x-2于点M，交函数y=的图象于点N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，图象，直接写出a的取值范围．
【22题答案】
【正确答案】（1）m=2，k=4；（2）①MN=5；②a＞2．
【详解】试题分析：（1）把Q（2，m）代入y=2x﹣2，求出m的值，再把求得的Q（2，2）代入y=，可求出k的值；
（2）①把a=4分别代入y=和y=2x﹣2中，求出点M和点N的纵坐标，从而可求出MN的长度；②由图像可知，当a>2时，PM>PN.
解：（1）∵直线y=2x﹣2点Q（2，m），∴m=2，∴Q（2，2）．
∵函数y=点Q（2，2），∴k=4．
（2）①当a=4时，P（4，0）．
∵y=2x﹣2，y=，∴M（4，6），N（4，1），∴MN=5．
②∵PM＞PN，∴a＞2．
23. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6．求AF的长．
【23题答案】
【正确答案】2
【详解】试题分析：方法一，由平行四边形的性质得OD=，解Rt△ODF，求出OF和FD的长. 过O作OG∥AB，交AD于点G，易证△AEF∽△GOF，从而得到AF=GF．然后根据 列方程求解.
方法二，由△ODF≌△OHB可知，OH=OF，从而得到，再由△EAF∽△EBH可得；解直角三角形Rt△BOH,求出BH的长，代入比例式求出AF的长.
解：方法一：
∵□ABCD，∴AD∥BC，OD=BD=．
∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．
∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．
Rt△ODF中，tan30°=，∴OF=3．∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G，∴△AEF∽△GOF，∴．
∵EF=OF，∴AF=GF．
∵O是BD中点，∴G是AD中点．
设AF=GF=x，则AD=6+x，∴AG=．
解得x=2，∴AF=2．
方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，OH=OF．
∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH，∴．
∵EF=OF，∴．
由方法一的方法，可求BH=6，∴AF=2．
24. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
1
1.9
2.6
3
m
0
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线y=x相交时（原点除外），∠BAC的度数是______．
【24题答案】
【正确答案】（1）m=2.76；（2）答案见解析；（3）答案见解析，30°．
【详解】试题分析：（1）根据当AC=5cm时，测量出m的值即可；（2）用描点法画出该函数的图像；（3）由图像可得BE=2.6，AC=5.2，根据∠BOC的正弦值求得∠BOC=60°，再由圆周角定理可得∠BAC =30°．
解：（1）m=2.76；
（2）如图；
（3）如图, 当函数图象与直线相交时,BE=2.6，AC=5.2．
,
∴∠BOC=60°
∴∠BAC =30°．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O，且A，D两点，交AB于点E·
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
【25题答案】
【正确答案】（1）证明见解析；（2）3．
【详解】试题分析：（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明OD∥AC，根据平行线的性质得到∠BOD=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）由OD∥AC可证△BDO∽△BCA，由相似三角形的性质得．设OD=r，则BO=6﹣r，代入比例式求出r，从而求出BE的值.
（1）证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°．
即OD⊥BC于D，∴BC是⊙O的切线．
（2）∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴．
∵AC=2，AB=6，∴设OD=r，则BO=6﹣r，∴．
解得r=，∴AE=3，∴BE=3．
点睛：本题考查了平行线的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
26. 已知函数y=x2-2mx的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数y=x2-2mx的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数y=x2-2mx的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
【26题答案】
【正确答案】（1）D（m，）；（2）与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）；（3）﹣1＜m＜0．
【详解】试题分析：（1）通过配方把一般式化成顶点式，可求出顶点坐标；（2）令y=0，解方程x2-2mx=0即可；（3）①由顶点D在直线y=m的上方得-m2>m，y=m2-m的图象可知﹣1＜m＜0；②解没有等式x2-2mx＞m，当x2-2mx=m时，抛物线和直线有交点，由△=0解得m1=0,m2=-1从而m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
解：（1）
∴D（m，）．
（2）令y=0，得．
解得，∴函数的图象与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）．
（3）方法一：∵函数的图象在直线y=m的上方，∴顶点D在直线y=m的上方，∴＞m．
即＜0．
由y=的图象可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
方法二：∵函数图象在直线y=m的上方，∴＞m，∴当=m时，抛物线和直线有交点，∴
=．
解得，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
【27题答案】
【正确答案】（1）答案见解析；（2）BD=CE,证明见解析；（3）PB的长是或．
【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE;（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠ACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加.
解：（1）如图
（2）BD和CE的数量是：BD=CE ；
∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．
∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（3）①CE= .
∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE,
∴△ACD∽△PBE,
,
∴ ;
②∵△ABD∽△PDC,
,
∴ ;
∴PB=PD+BD= .
∴PB长是或．
28. 在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标没有相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P点M，N．
①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m-n的取值范围．
【28题答案】
【正确答案】（1）答案没有，如：（4，3），（3，4）；（2）①y=x；②0＜m－n≤．
【详解】试题分析：根据“互换点”的定义，图形写出符合题意的点即可；（2）①因点M的坐标为（4，0），根据“互换点”的定义，点N的坐标为（0,4），由圆的对称性可知圆心P在直线OA上，从而可求圆心P所在直线的表达式；②由MN为⊙P直径时，求出m－n的值，由点M，N重合时，求出m－n的最小值.
解：（1）答案没有，如：（4，3），（3，4）；
（2）①连结MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．
过O作OA⊥MN于点A，∴点M，N关于直线OA对称．
由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上，∴圆心P所在直线的表达式为y=x．
②当MN为⊙P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m－n=；
当点M，N重合时，即点M，N横纵坐标相等，所以m－n=0；
∴m－n的取值范围是0＜m－n≤．
点睛：本题考查了信息迁移类题目，正确理解“互换点”定义，熟练掌握圆的对称性，等腰直角三角形的性质及勾股定理是解答本题的关键.
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若反比例函数的图象点，则该反比例函数的表达式为（）
A. B. C. D.
2. 已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A. B. π C. D.
3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
5. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A. b＜0，c＜0，△＞0 B. b＞0，c＞0，△＞0
C. b＞0，c＜0，△＞0 D. b＜0，c＞0，△＜0
6. 如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的顶点上.则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，.点为边上一点，以每秒1单位的速度从点出发，沿着的路径运动到点为止.连接，以点为圆心，长为半径作⊙，⊙与线段交于点.设扇形面积为，点的运动时间为.则在以下四个函数图象中，扇形面积关于运动时间的变化趋势的是（ ）
A. A B. B C. C D. D
二、填 空 题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 请你写出一个顶点在 x轴上二次函数表达式________.
10. 已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y= 上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是_____．
11. 如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=_____．
12. 如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=_____．
13. 如图，，是正六边形的两条对角线.在没有添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.
14. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
15. 已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB=，则∠C的度数为_____．
16. 阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角的角平分线．
已知：如图，已知.
求作： 的角平分线.
小霞的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交射线于点，交射线于点；
（3）连接，过点作射线垂直线段，交⊙于点；
（4）连接.
所以射线为所求.
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞的作图依据是___________________________________________．
三、解 答 题（共9小题，17-22题每小题5分，23,24题每小题7分，25题8分，共52分）
17. 计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．
18. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于点，．
（1）分别求出反比例函数和函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出没有等式解集．
19. 如图，内接于⊙.若⊙的半径为6，，求的长．
20. 如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果到0.1米）
21. 如图，李师傅想用长为80米栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米.
（1）请写出区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，区的面积？面积是多少？
22. 如图，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值．
23. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用没有同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b
又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．
∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML= S四边形ABCD．
24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a＞0）的对称轴为，点A（﹣2，m）在直线上．
（1）求m，b的值；
（2）若点D（3，2）在二次函数（a＞0）上，求a值；
（3）当二次函数（a＞0）与直线相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．
25. 点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0.
当⊙的半径为2时：
（1）若点，，则_________，_________；
（2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标；
（3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围.
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若反比例函数的图象点，则该反比例函数的表达式为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：设反比例函数为：．∵反比例函数的图象点(3，-2)，∴k=3×（-2）=－6．故反比例函数为：．故选B．
2. 已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A. B. π C. D.
【正确答案】D
【详解】解：==．
故选：D．
3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m
【正确答案】A
【详解】试题解析：如图；
AD=6m，AB=21m，DE=2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC=7m，
故树的高度为7m．
故选A．
考点：相似三角形的应用．
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【正确答案】C
【详解】解：连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
5. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A. b＜0，c＜0，△＞0 B. b＞0，c＞0，△＞0
C. b＞0，c＜0，△＞0 D. b＜0，c＞0，△＜0
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴在y轴右边，∴b＜0．∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0．∵抛物线与x轴有两个没有同的交点，∴△=b2-4ac＞0．故选A．
6. 如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
【正确答案】A
【分析】过点O作OC垂直于AB与D,连接OA，根据勾股定理得AD= ，由垂径定理得出AB= .
【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，
Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4，
根据勾股定理，得：AD＝ ，
由垂径定理得，AB＝2AD＝4，
故选A.
本题考查勾股定理及垂径定理，，作出辅助线是解题关键.
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的顶点上.则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：如图，连接BD．∵=10，，，∴，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，cosA=.故选C．
8. 如图，在中，，.点为边上一点，以每秒1单位的速度从点出发，沿着的路径运动到点为止.连接，以点为圆心，长为半径作⊙，⊙与线段交于点.设扇形面积为，点的运动时间为.则在以下四个函数图象中，扇形面积关于运动时间的变化趋势的是（ ）
A. A B. B C. C D. D
【正确答案】A
【详解】解：当0＜t≤4时，=，此时图象为抛物线的一部分；
当4＜t≤8时，，此时圆心角n随时间增大而减小，半径增大，整个面积减小，此时图象没有是抛物线．当t=8时，面积为0．故B、C、D错误．故选A．
二、填 空 题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 请你写出一个顶点在 x轴上的二次函数表达式________.
【正确答案】y=x2（答案没有）
【详解】解：答案没有，如：．故答案为（答案没有）．
10. 已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y= 上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是_____．
【正确答案】x1＞x2
【详解】解：∵2＞0，∴图形位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，又∵y1＜y2＜0，∴x1＞x2，故答案为x1＞x2．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
11. 如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=_____．
【正确答案】
【详解】解：过P作PA⊥x轴于点A．∵P（2，），∴OA=2，PA=，∴tanα=.故答案为．
点睛：本题考查了解直角三角形，正切的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．
12. 如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=_____．
【正确答案】．
【分析】由∠B=∠ACD、∠A=∠A，可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出=，代入数据即可求出AC的值．
【详解】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，即=，
∴AC=或AC=-（没有合题意，舍去）．
故答案为．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于AC的方程是解题的关键．
13. 如图，，是正六边形的两条对角线.在没有添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.
【正确答案】 ①. ∠F=∠E ②. ∠F=120°
【详解】试题解析：解：(1)∠F=∠E；(2)∠F=120°．答案没有．故答案为(1)∠F=∠E；(2)∠F=120°（答案没有）．
14. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
【正确答案】x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以没有等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
15. 已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB=，则∠C的度数为_____．
【正确答案】45°或135°
【详解】解：如图，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D．
在Rt△OAD中，AD=，OA=1，∴sin∠AOD=，∴∠AOD=45°，∠AOB=180°-2×45°=90°．
点C的位置有两种情况：
①当点C在如图位置时，∠C=∠AOB=45°；
②当点C在E点位置时，∠E=180°﹣∠C=145°．
故答案为45°或135°．
点睛：本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用．注意点C的位置有两种情况，没有要漏解．
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角角平分线．
已知：如图，已知.
求作： 的角平分线.
小霞的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交射线于点，交射线于点；
（3）连接，过点作射线垂直线段，交⊙于点；
（4）连接.
所以射线为所求.
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞的作图依据是___________________________________________．
【正确答案】（1）垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）角平分线的定义
【详解】解：小霞的作图依据是：（1）垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）角平分线的定义．故答案为（1）垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）角平分线的定义．
三、解 答 题（共9小题，17-22题每小题5分，23,24题每小题7分，25题8分，共52分）
17. 计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．
【正确答案】
【分析】代入角的三角函数值计算即可．
【详解】原式=
=
=．
18. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于点，．
（1）分别求出反比例函数和函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出没有等式的解集．
【正确答案】（1）y=2x+1（2）-1.5＜x＜0或x＞1
【详解】试题分析：（1）由点A可求得反比例函数的解析式，进而得到B的坐标，由A、B的坐标可求得函数的解析式；
（2）观察图象即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵点A（，-2）在函数（m≠0）上，∴m=（）×（-2）=3，∴．又∵点B（1，a）在函数上，∴a=3，B（1，3）．
∵直线y=kx+b（k≠0）过点A（，-2），B（1，3），∴ ，解得：，∴直线解析式为y=2x+1．
（2）由图象可知：没有等式的解集是-1.5＜x＜0或x＞1．
19. 如图，内接于⊙.若⊙的半径为6，，求的长．
【正确答案】
【详解】试题分析：过点A作射线AO交☉O于点D，连接CD．由圆周角定理及推论得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°．然后根据正弦的定义解答即可．
试题解析：解：过点A作射线AO交☉O于点D，连接CD．∵AD直径，∴AD=12，∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=60°．在Rt△ADC中，∵sin∠D=，∴AC=AD·sin60°=12× =．
20. 如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果到0.1米）
【正确答案】21.0m
【分析】在Rt△BCE中，由正切的定义可求出CE的长；在Rt△ACE中，由正切的定义可求出AE的长，由AB=AE+BE即可得出结论．
【详解】根据题意，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，∴CE= =≈10m．根据题意，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，∴AE=CE·tan20°≈10×0.364=3.64m，
∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0m．
答：旗杆的高约为21.0m．
21. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米.
（1）请写出区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，区的面积？面积是多少？
【正确答案】（1）S=-2x2+80x（15≤x＜40）（2）800
【详解】试题分析：（1）由AB=x，得到BC=80-2x，再由矩形的面积公式即可得出结论；
（2）求出对称轴，进而得到二次函数的最值．
试题解析：解：（1）根据题意得：AB=x，BC=80-2x，∴S=x（80-2x）=80x-2x2．又∵x＞0，0＜80-2x≤50，解得15≤x＜40，∴S=-2x2+80x（15≤x＜40）；
（2）∵x==20，∴当x=20时，S=20×（80-20×2）=800．
答：当x=20时，区的面积，区的面积为800平方米．
22. 如图，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD、AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形性质求出BD=DC，根据三角形的中位线求出OD∥AB，推出OD⊥DE，根据切线的判定求出即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．
【详解】（1）连接OD，AD，
∵AC是半圆的直径，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴，
解得FC=2，
∴AF=6，
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=.
本题考查了三角形的中位线，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
23. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用没有同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b
又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．
∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML= S四边形ABCD．
【正确答案】答案见解析.
【详解】试题分析：（1）由六个小长方形的面积相等，得到．设，．由相似三角形的性质得到：，．再由，，得到a=，=42b，=6b，即可得出结论；
（2）连接DN．设=a，=b，则S△EDN=b，S△NJC=4a，S△DNJ= S△NJC =2a．由S△ADJ=SABCD，S△CDE=SABCD，得到：b=1.5a，b=SABCD．由S△CFP=S△AEN， SAECF=SABCD， SANML=CPL即可得到结论．
试题解析：解：（1） ∵六个小长方形的面积相等，∴ ．
设，．∵EC∥AF，∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到 ．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到 ．又∵，，∴，
∴a=，=42b，=6b，∴，则；
（2）连接DN．设=a，=b，则S△EDN=b，S△NJC=4a，S△DNJ= S△NJC =2a．∵S△ADJ=SABCD，S△CDE=SABCD，∴2b+2a=SABCD，b+6a=SABCD， 解得：b=1.5a，b=SABCD．∵S△CFP=S△AEN， SAECF=SABCD，∴SANML=CPL=（SABCD－2×SABCD）×=．
点睛：本题考查了三角形和平行四边形的面积，解题的关键是找出图形面积之间的关系，并表示出来．
24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a＞0）对称轴为，点A（﹣2，m）在直线上．
（1）求m，b的值；
（2）若点D（3，2）在二次函数（a＞0）上，求a的值；
（3）当二次函数（a＞0）与直线相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．
【正确答案】（1）m=5；b=1．（2）a=；（3）＜a＜1
【分析】（1）由对称轴公式计算即可，把点A的坐标代入直线解析式即可；
（2）把点D的坐标代入抛物线解析式即可；
（3）把x=-3和x=-1分别代入直线的解析式得到两个点的坐标，再把这两个点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的取值范围．
【详解】（1）x==1，即b=1．
∵点A（-2，m）在直线y=-x+3上，
∴当x=-2时，m=-（-2）+3=5；
（2）∵点D（3，2）在上，
∴当x=3时，，
解得a=；
（3）∵当x=-3时，y=-x+3=6，
∴当（-3，6）在上时， ，
∴a=．
又∵当x=-1时，y=-x+3=4，
∴当（-1，4）在上时，，
∴a=1，
∴＜a＜1．
25. 点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0.
当⊙的半径为2时：
（1）若点，，则_________，_________；
（2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标；
（3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围.
【正确答案】（1）1；4（2）-1或-（3）
【详解】试题分析：（1）根据定义求解即可；
（2）根据定义知：满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上，设P（a，2a+2），由PO=1，建立方程求解即可；
（3）根据题意可知，满足2≤dP＜3点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内．
分别求出当线段与外环相切或内切时， b的值即可．
试题解析：解：（1）dC=1，dD=4；
（2）根据题意，满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上．
∵点P在直线y=2x+2上，∴设P（a，2a+2）．
∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=-1或a= ，∴xP=-1或．
（3）．解析如下：
根据题意，满足2≤dP＜3的点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内．
当线段与外环相切时，解得b=；
当线段与内环相切时，解得b=.
点睛：本题考查了新定义．解题的关键是弄懂新定义的概念，然后根据概念解答．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A. 4 B. .5 C. 6 D. 8
3. 下列各点在函数y=-x2+1图象上的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（ ）
A. B. C. D.
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则si的值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
7. 反比例函数的图象上有两点，，若，，则的的值是（ ）
A. 正数 B. 0 C. 负数 D. 非负数
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k形式，则h=______，k=______．
10. 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm
11. 请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式________________．
12. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD面积为_________．
13. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于没有可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是______（结果没有取近似值）．
14. 关于x的二次函数y=ax2-2ax+a-1（a＞0）的图象与x轴的交点情况是______．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：______．
16. 下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，
（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O没有与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是______．
三、解 答 题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：2sin30°+（）-1-+|-3|．
18. 如图，函数y=-x2+bx+c的图象点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
19. 如图，，，，，交于点．求值．
20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长.
21. 缆车，没有仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）图象与直线y=2x-2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x-2于点M，交函数y=的图象于点N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，图象，直接写出a的取值范围．
23. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6．求AF的长．
24. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
1
1.9
2.6
3
m
0
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）在（2）条件下，当函数图象与直线y=x相交时（原点除外），∠BAC的度数是______．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O，且A，D两点，交AB于点E·
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
26. 已知函数y=x2-2mx的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数y=x2-2mx的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数y=x2-2mx的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
28. 在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标没有相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P点M，N．
①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m-n的取值范围．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【正确答案】A
【详解】设a=k,b=2k,
则 .
故选A.
2. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A. 4 B. .5 C. 6 D. 8
【2题答案】
【正确答案】C
【详解】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得
,
即，
解得EF=6，
故选C.
3. 下列各点在函数y=-x2+1图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【正确答案】D
【详解】A. 把（0，0）代入得，左=0，右=1 ，故没有符合题意；
B. 把（1，1）代入得，左=1，右=-1+1=0 ，故没有符合题意；
C. 把（0，﹣1）代入得，左=-1，右=1 ，故没有符合题意；
D. 把（1，0）代入得，左=0，右=-1+0=0 ，故没有符合题意；
故选D.
4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】
【正确答案】D
【分析】
【详解】解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠BCD=∠A=30°，
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD，
∴△CBD与△ABC的相似比1：2，
∴△CBD与△ABC的周长之比等于相似比为1：2．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则si的值是( )
A. B. C. D.
【5题答案】
【正确答案】A
【详解】
如图，si= .
故选A.
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【正确答案】C
【分析】根据等边对等角得到，利用三角形内角和可得，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 反比例函数的图象上有两点，，若，，则的的值是（ ）
A. 正数 B. 0 C. 负数 D. 非负数
【7题答案】
【正确答案】C
【分析】由可知点A，B在同一象限，然后根据反比例函数的图像和性质可得的符号.
【详解】解：反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴，同号，即点A，B在同一象限，
∵，
∴，
∴，
故选C.
本题考查反比例函数的图像和性质，根据题意得到点A，B在同一象限是解题关键.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【8题答案】
【正确答案】B
【详解】∵2018÷4=504……2，
∴第2018个点所在的坐标是（﹣1，1）.
故选B.
点睛：本题考查了平面直角坐标系中点坐标的探索与规律，由题意知点的坐标按（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣2），（1，﹣2）四个为一循环，然后由2018÷4=504……2，可确定第2018个点所在的坐标.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，则h=______，k=______．
【9题答案】
【正确答案】 ①. 1 ②. 2
【详解】∵=(x-1)2+2,
∴h=1,k=2.
10. 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm
【10题答案】
【正确答案】4π
【分析】根据弧长公式即可求得．
【详解】解：由题意得，n=120°，R=6cm，
故可得：．
故4π．
本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握和运用弧长公式是解决本题的关键．
11. 请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式________________．
【11题答案】
【正确答案】答案没有，如：
【详解】试题分析：首先与x轴无交点，则考虑反比例函数和开口向上且顶点在一、二象限的二次函数．然后设出解析式，把（1,1）带入即可求得解析式.
考点：确定函数解析式.
12. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积为_________．
【12题答案】
【正确答案】2
【分析】
【详解】试题解析：如图，
∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=，
∴AC=2，
则S菱形ABCD=AC•BD=2，
故答案为2
考点：菱形的性质．
13. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于没有可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是______（结果没有取近似值）．
【13题答案】
【正确答案】
【分析】
【详解】解：由题意得
∠BOC=360°÷6÷2=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故
14. 关于x的二次函数y=ax2-2ax+a-1（a＞0）的图象与x轴的交点情况是______．
【14题答案】
【正确答案】有两个没有同交点
【详解】∵△=(-2a)2-4×a(a-1)=4a2-4a2+4a=4a>0,
∴方程有两个没有相等的实数根，
∴函数图像与x轴有两个没有同交点.
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：______．
【15题答案】
【正确答案】△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF
【详解】
由图可知，把△ABC绕点O逆时针旋转90°可得到△DEF.
16. 下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，
（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O没有与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作30°角．
请回答：该尺规作图的依据是______．
【16题答案】
【正确答案】答案没有，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
【详解】连接OC,BC,
由做法知，OB=OC=BC,
∴△OBC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）,
∴∠BOC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）,
∴∠DAC= （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）.
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质及圆周角定理，由做法可知△OBC是等边三角形，从而∠BOC=60°，再由圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半可求出∠DAC=30°.
三、解 答 题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：2sin30°+（）-1-+|-3|．
【17题答案】
【正确答案】
【详解】试题分析：项根据30°的正弦值解答，第二项负整数指数幂等于这个数正整数指数幂分之一，第三项根据二次根式的性质化简，第四项一个负数的值等于它的相反数.
解：原式=
=．
18. 如图，函数y=-x2+bx+c的图象点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
【18题答案】
【正确答案】（1）b=2，c=3；（2）答案见解析．
【详解】试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）代入函数解析式，得到关于b和c的方程组，解方程组求出b和c的值；
（2）把函数解析式化成顶点式，可知C是顶点，根据对称性找出点B的对称点D，点A的对称点E，画出图像.
解：（1）∵抛物线点A（﹣1，0），B（0，3），∴．
解得．
（2）由（1）知，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4．
∴C是顶点，根据对称性找出点B的对称点D，点A的对称点E，画出图像.
19. 如图，，，，，交于点．求的值．
【19题答案】
【正确答案】
【详解】试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形.由∠A=∠ACD，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，从而；再在Rt△ABC和Rt△BCD中分别求出AB和CD的长，代入即可.
解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，∴CD=，∴．
20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长.
【20题答案】
【正确答案】2
【分析】根据∠A＝15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
【详解】解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°．
∵AB=4，
∴OC=2．
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=CD．
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE=1，
∴CD=2．
本题考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，垂径定理.
21. 缆车，没有仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
【21题答案】
【正确答案】700sin20°+700sin16°+126
【详解】试题分析：本题考查了解直角三角形的实际应用，在Rt△ABC中，根据可求出BC的长度；在Rt△BDE中，根据可求出DE的长度；从而可求出D点的海拔高度.
解：如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠=16°，AB=700，由sin，可求BC的长．
即BC=AB·sin=700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠β=16°，BD=AB=700，由sinβ，可求DE的长．
即DE=BD·sinβ=700sin20°，由矩形性质，可知EF=BC=700sin16°，FH=AG=126．
从而，可求得DH的长．
即DH=DE+EF+FH=700sin20°+700sin16°+126．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象与直线y=2x-2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x-2于点M，交函数y=的图象于点N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，图象，直接写出a的取值范围．
【22题答案】
【正确答案】（1）m=2，k=4；（2）①MN=5；②a＞2．
【详解】试题分析：（1）把Q（2，m）代入y=2x﹣2，求出m的值，再把求得的Q（2，2）代入y=，可求出k的值；
（2）①把a=4分别代入y=和y=2x﹣2中，求出点M和点N的纵坐标，从而可求出MN的长度；②由图像可知，当a>2时，PM>PN.
解：（1）∵直线y=2x﹣2点Q（2，m），∴m=2，∴Q（2，2）．
∵函数y=点Q（2，2），∴k=4．
（2）①当a=4时，P（4，0）．
∵y=2x﹣2，y=，∴M（4，6），N（4，1），∴MN=5．
②∵PM＞PN，∴a＞2．
23. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6．求AF的长．
【23题答案】
【正确答案】2
【详解】试题分析：方法一，由平行四边形的性质得OD=，解Rt△ODF，求出OF和FD的长. 过O作OG∥AB，交AD于点G，易证△AEF∽△GOF，从而得到AF=GF．然后根据 列方程求解.
方法二，由△ODF≌△OHB可知，OH=OF，从而得到，再由△EAF∽△EBH可得；解直角三角形Rt△BOH,求出BH的长，代入比例式求出AF的长.
解：方法一：
∵□ABCD，∴AD∥BC，OD=BD=．
∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．
∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．
Rt△ODF中，tan30°=，∴OF=3．∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G，∴△AEF∽△GOF，∴．
∵EF=OF，∴AF=GF．
∵O是BD中点，∴G是AD中点．
设AF=GF=x，则AD=6+x，∴AG=．
解得x=2，∴AF=2．
方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，OH=OF．
∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH，∴．
∵EF=OF，∴．
由方法一的方法，可求BH=6，∴AF=2．
24. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
1
1.9
2.6
3
m
0
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线y=x相交时（原点除外），∠BAC的度数是______．
【24题答案】
【正确答案】（1）m=2.76；（2）答案见解析；（3）答案见解析，30°．
【详解】试题分析：（1）根据当AC=5cm时，测量出m的值即可；（2）用描点法画出该函数的图像；（3）由图像可得BE=2.6，AC=5.2，根据∠BOC的正弦值求得∠BOC=60°，再由圆周角定理可得∠BAC =30°．
解：（1）m=2.76；
（2）如图；
（3）如图, 当函数图象与直线相交时,BE=2.6，AC=5.2．
,
∴∠BOC=60°
∴∠BAC =30°．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O，且A，D两点，交AB于点E·
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
【25题答案】
【正确答案】（1）证明见解析；（2）3．
【详解】试题分析：（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明OD∥AC，根据平行线的性质得到∠BOD=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）由OD∥AC可证△BDO∽△BCA，由相似三角形的性质得．设OD=r，则BO=6﹣r，代入比例式求出r，从而求出BE的值.
（1）证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°．
即OD⊥BC于D，∴BC是⊙O的切线．
（2）∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴．
∵AC=2，AB=6，∴设OD=r，则BO=6﹣r，∴．
解得r=，∴AE=3，∴BE=3．
点睛：本题考查了平行线的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
26. 已知函数y=x2-2mx的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数y=x2-2mx的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数y=x2-2mx的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
【26题答案】
【正确答案】（1）D（m，）；（2）与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）；（3）﹣1＜m＜0．
【详解】试题分析：（1）通过配方把一般式化成顶点式，可求出顶点坐标；（2）令y=0，解方程x2-2mx=0即可；（3）①由顶点D在直线y=m的上方得-m2>m，y=m2-m的图象可知﹣1＜m＜0；②解没有等式x2-2mx＞m，当x2-2mx=m时，抛物线和直线有交点，由△=0解得m1=0,m2=-1从而m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
解：（1）
∴D（m，）．
（2）令y=0，得．
解得，∴函数的图象与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）．
（3）方法一：∵函数的图象在直线y=m的上方，∴顶点D在直线y=m的上方，∴＞m．
即＜0．
由y=的图象可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
方法二：∵函数图象在直线y=m的上方，∴＞m，∴当=m时，抛物线和直线有交点，∴
=．
解得，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
【27题答案】
【正确答案】（1）答案见解析；（2）BD=CE,证明见解析；（3）PB的长是或．
【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE;（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠ACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加.
解：（1）如图
（2）BD和CE的数量是：BD=CE ；
∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．
∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（3）①CE= .
∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE,
∴△ACD∽△PBE,
,
∴ ;
②∵△ABD∽△PDC,
,
∴ ;
∴PB=PD+BD= .
∴PB长是或．
28. 在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标没有相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P点M，N．
①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m-n的取值范围．
【28题答案】
【正确答案】（1）答案没有，如：（4，3），（3，4）；（2）①y=x；②0＜m－n≤．
【详解】试题分析：根据“互换点”的定义，图形写出符合题意的点即可；（2）①因点M的坐标为（4，0），根据“互换点”的定义，点N的坐标为（0,4），由圆的对称性可知圆心P在直线OA上，从而可求圆心P所在直线的表达式；②由MN为⊙P直径时，求出m－n的值，由点M，N重合时，求出m－n的最小值.
解：（1）答案没有，如：（4，3），（3，4）；
（2）①连结MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．
过O作OA⊥MN于点A，∴点M，N关于直线OA对称．
由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上，∴圆心P所在直线的表达式为y=x．
②当MN为⊙P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m－n=；
当点M，N重合时，即点M，N横纵坐标相等，所以m－n=0；
∴m－n的取值范围是0＜m－n≤．
点睛：本题考查了信息迁移类题目，正确理解“互换点”定义，熟练掌握圆的对称性，等腰直角三角形的性质及勾股定理是解答本题的关键.
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