河北省衡水桃城中学2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份河北省衡水桃城中学2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河北省衡水桃城中学2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知为的直径，在同一平面内，过上一点作的切线，最多能做（    ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
3．如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点A重合的点为（　　）

A．点C和点N B．点B和点M C．点C和点M D．点B和点N
4．下列事件是随机事件的是（    ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6 B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0
C．郑一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7 D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7
5．如图，一只蚂蚁从点出发到，，处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如岔路口可以向左下到达处，也可以向右下到达处，其中，，都是岔路口）．那么，蚂蚁从出发到达处的概率是（    ）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（        ）
A． B． C． D．
7．如图是由6个大小相同的小正方体拼成的几何体，当去掉某一个小正方体时，与原几何体比较，则下列说法正确的是 （    ）

A．去掉①，主视图不变 B．去掉②，俯视图不变
C．去掉③，左视图不变 D．去掉④, 俯视图不变
8．在平面直角坐标系中，抛物线与直线如图所示，则方程的解为（    ）

A．， B．，
C．， D．，
9．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ）

A．15 B． C． D．10
10．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长，表盘的半径长为（    ）

A．3 B． C． D．
11．一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．乙坐在②号座位的概率为；甲与乙不是相邻而坐的概率为，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．
12．如图，中，，，，I为的内心，，，则的周长为（　　）

A．6 B．5 C．4.8 D．4
13．如图一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O和；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转 得到 ，交x轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第8段抛物线上，则m的值为（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2
14．在直角坐标系中，点在二次函数的图象上，对于，当，，时，依次对应的函数值，，中最大的是（    ）
A． B． C． D．或（）
15．如图是二次函数（）图象的一部分，对称轴为且经过点，以下说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤，其中．其中结论正确的个数共有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．如图，已知 M（0，2），A（2，0），以点 M 为圆心，MA 为半径作⊙M，与 x 轴的另一个交点为 B， 点 C 是⊙M 上的一个动点，连接 BC，AC，点 D 是 AC 的中点，连接 OD．给出 4 个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③当线段 OD 取得最大值时，点 D 的坐标为（1，1＋）；④当点 C 在上运动时，点 D 的运动路径为．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二、填空题
17．已知二次函数的与的部分对应值如表：
x

0
2
3
4
y
5
0


0

当时，的取值范围为：________．
18．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是_________
（2）若踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从_________开始踢．
19．如图，在平面直角坐标系中，为轴上一点．已知点，，为的外接圆．则：

（1）点的横坐标为________；
（2）当最大时，点的坐标为________

三、解答题
20．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线与x轴的交点坐标．
21．某校组织开展运动会，小明和扎西两名同学准备从100米短跑（记为项目A）、800米中长跑（记为项目B）、跳远（记为项目C）、跳高（记为项目D），即从A，B，C，D四个项目中，分别选择一个项目参加比赛．
(1)小明选择“铅球”项目是___________事件，选择“跳远”项目是___________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；小明选择“跳远”项目的概率是___________；
(2)请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率．
22．如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的⊙交于点G．交于点F．恰为的直径．

(1)求证：与⊙相切．
(2)当，时，求⊙的半径．
23．一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．

(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为________米；
(3)若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
24．“五·一”假期，某公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图，

根据统计图回答下列问题：
（1）前往 A地的车票有_______ _张，前往C地的车票占全部车票的________%；
（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为_______；
（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
25．如图1，已知，点在射线上，且．以点为圆心，为半径作，交直线于点，．

(1)当与只有两个交点时，的取值范围是________；
(2)当时，将射线绕点按顺时针方向旋转．
①当为多少时，射线与相切；
②如图2，射线与交于，两点，若，求阴影部分的面积．
26．直线：与抛物线相交于点A，B，与y轴相交于点C，点在L上且位于点A，B之间，轴交l于点Q．

(1)小静得出结论：l与L有一个公共点在x轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由．
(2)若，如图1．
①当时，求点Q的坐标；
②当m为何值时，的面积最大？并求出这个最大值．
(3)若n随m的增大而增大，直接写出a的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】根据切线的性质，可知切线经过半径的外端，据此即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴在同一平面内，过上一点作的切线，最多能做2条，即过点与垂直的直线，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
2．C
【分析】设交于点，连接、，由切线的性质得，则，由圆周角定理得，再根据直径所对的圆周角是直角得，则．
【详解】解：设交于点，连接、，

与相切于，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．A
【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察即可得到重合的点．
【详解】解：折叠成正方体时，与点A重合的点为C、N．
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，仔细观察图形，得到折叠的正方体的图形是解题的关键．
4．A
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6，是随机事件，故该选项符合题意；    
B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0，是必然事件，故该选项不符合题意；
C. 郑一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7，是必然事件，故该选项不符合题意；
D. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7，是不可能事件，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
5．B
【分析】列树状图解答即可．
【详解】解：列树状图：

共有4种等可能的情况，蚂蚁从出发到达处的有2种情况，
∴蚂蚁从出发到达处的概率是P=，
故选：B．
【点睛】此题是一道概率求解的题目，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
6．D
【分析】该题实际上是将抛物线 向下、向左平移5个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
把点向下、向左平移5个单位，
∴在新坐标系中此抛物线的解析式为．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．D
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：A.去掉①，左视图不变，主视图改变了，故此选项错误；
B. 去掉②，左视图不变，俯视图改变了，故此选项错误；
C. 去掉③，主视图不变，左视图改变了，故此选项错误；
D. 去掉④, 俯视图不变，说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
8．A
【分析】方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图像即得方程的解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴ 方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标
∵由图像可知，抛物线与直线相交于点（0，-3）和（3，0）
∴方程的解是，．
故选：A
【点睛】本题考查了利用函数图像法解方程，变形得到是关键．
9．A
【分析】由于太阳光线为平行光线，根据切线的性质得到AB为皮球的直径，CD=AB，，在Rt△CDE中，利用正弦的定义可计算出CD的长，从而得到皮球的直径．
【详解】为方便描述取点A、B、C、D、E，如图，点A与点B为太阳光线与球的切点，
即AB⊥BD，AB⊥AC，
根据太阳光的特点可知，即∠DEC=60°，
则有四边形ABCD是矩形，

则AB为皮球的直径，CD=AB，，
在Rt△CDE中，sin∠E=
即，
即皮球的直径为15，
故选：A．
【点睛】考查平行投影以及解直角三角形，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键．
10．B
【分析】设钟表的中心为点，连接，，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可详解．
【详解】解：设钟表的中心为点，连接，，

由题意得：
点在上，，
，
与相切于点，
，
，
表盘的半径长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．A
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，乙坐在②号座位的有2种结果，甲与乙不是相邻而坐的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下：

共有6种等可能的结果，乙坐在②号座位的有2种结果，甲与乙不是相邻而坐的有2种结果，
∴乙坐在②号座位的概率，
甲与乙不是相邻而坐的概率，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12．B
【分析】先解直角三角形得到，连接、，如图，利用三角形的内心的性质得到，再证明得到，同理可得，所以的周长．
【详解】解：，，，
，
连接、，如图，

为的内心，
平分，
即，
，
，
，
，
同理可得，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
13．D
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
【详解】解：令，则，
解得，
∴，
由图可知，抛物线在x轴下方，
相当于抛物线向右平移个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线的解析式为，
∵在第8段抛物线上，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
14．A
【分析】由抛物线开口向下，表示出对称轴，画图即可得出答案．
【详解】与轴交点为．
将代入，得．
∴．
∴对称轴为直线．
∵，
∴大致图象如图1，或图2，或图3．
∵，
∴，，．
∴在抛物线这一段上，在第三象限抛物线上，
也在第三象限抛物线上．
∴，．
∴．
故选A．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
15．C
【分析】由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，由抛物线与y轴的交点在x轴上方可判断c，进而可判断①；由抛物线经过点可得，再结合即可判断②；由图像可得当时，，进而可判断③；由点离对称轴要比点离对称轴近，结合抛物线的性质即可判断④；由二次函数的性质结合即可判断⑤，进而可得答案.
【详解】解：由图像可知抛物线开口向下，可得，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
所以，
因为抛物线与y轴的交点在x轴上方，
所以，
所以，故①正确；
因为抛物线经过点，
所以，
因为，即，
所以，即，故②正确；
由图像可得当时，，
所以，故③正确；
因为点离对称轴要比点离对称轴近，所以，故④错误；
因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，
所以当时函数有最大值，
因为，
所以，
因为，
所以，即，故⑤正确；
综上，正确的结论为：①②③⑤；
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.注意数形结合．
16．B
【分析】根据三角形中位线定理、圆周角定理和等腰三角形的性质求解即可；
【详解】解：（1）由圆的对称性可知OB＝OA，
为的中点，
,故①正确；
（2）连接BM、AM，

M（0，2），A（2，0），以点 M 为圆心，MA 为半径作⊙M，

∴∠BCA＝45°，由OD//BC可得∠ODA＝45°，故②正确；
（3）
最大，即最大，
当为的直径时最大，




为的中点，
故③错误；
（4） 当点 C 在上运动时，点D在以为直径的⊙E上的上运动，
连接AE，如（2）中图，可得∠OEA＝90°，
由△ODA是等腰直角三角形及OA＝2可得OE＝，
则点D的运动路径长＝，故④正确
综上所述，正确的结论是①②④，
故选B
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理和等腰三角形的性质，准确分析判断是解题的关键．
17．或
【分析】根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边随着的增大而减小，在对称轴的右边随着的增大而增大，进一步得出时，，然后写出时，的取值范围即可．
【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
时，，
时，，
时，的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的性质，利用表格发现数据的对应计算规律得出对称点，求得对称轴是解决问题的关键．
18．          小强
【分析】（1）利用树状图列举出所有情况，根据足球踢到了小智处的情况数和所有情况数即可得到答案；
（2）分情况讨论：①从小强开始踢；②从小东开始踢；③从小智开始踢，列树状图得到对应概率，比较大小即可得到可能性最小的方案．
【详解】解：（1）树状图如下图：

共有4种情况，其中踢两次后，踢到小智处的情况有1种，
即从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是，
故答案为：；
（2）①从小强开始踢，情况如图，三次后足球踢到小强处的概率为；

②从小东开始踢，同理可得，三次后足球踢到小强处的概率为；
③从小智开始踢，同理可得，三次后足球踢到小强处的概率为，
，
踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从小强开始踢，
故答案为：小强．
【点睛】本题考查了概率问题，利用分类讨论的思想，熟练掌握用树状图的方法解决概率问题是解题关键．
19．     4     或
【分析】（1）根据点A、点B的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标；
（2）连接，过点M作轴于点N，根据垂径定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵点，，
∴AB的中点坐标为，
∵为的外接圆，
∴点M在的垂直平分线上，
∴点M的横坐标为4，
故答案为：4；
（2）由圆周角定理可知，当与y轴相切于点P时，最大，
连接，过点M作轴于点N，

∵与y轴相切于点P，
∴轴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，
∴点P的坐标为，
当点M在第四象限时，同理点P的坐标为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与y轴相切于点P时，最大是解题的关键．
20．(1)
(2)，

【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线经过，两点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：．
（2）由（1）知：抛物线的解析式为，
令得：，
即，
解得：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：，
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键．
21．(1)不可能，随机，
(2)

【分析】（1）根据不可能事件、随机事件的概念及概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）小明选择“铅球”项目是不可能事件；
选择“跳远”项目是随机事件；
小明选择“跳远”项目的概率是；
故答案为：不可能，随机，；
（2）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中两名同学选到相同项目的有4种结果，
所以两名同学选到相同项目的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，可得，进而推出，由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
（2）首先证得，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，

∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，是角平分线，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：在中，，E为的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
23．(1)
(2)
(3)能飞过这棵树，见解析

【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，把代入即可确定抛物线解析式；
（2）联立两个函数求解确定，即可得出结果；
（3）将分别代入两个函数求解，比较即可．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：联立方程组，
解得或，
∴，
∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米，
故答案为：；
（3）解：当时，，，
∵，
∴小球M能飞过这个广告牌．
【点睛】本题目主要考查二次函数的应用及待定系数法确定函数解析式，理解题意，确定函数解析式是解题关键．
24．（1）30；20．（2）50÷100=（3）不公平．
【分析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图；
（2）让去B地车票数除以车票总数即为所求的概率；
（3）此题考查了游戏公平性问题，解题的关键是求得小张得到车票的概率与小李得到车票的概率，只要相同就公平，否则就不公平．
【详解】（1）30；20．
（2）50÷100=
（3）不公平．
可能出现的所有结果列表如下：

或画树状图如下：

共有16种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
∴小张获得车票的概率为P=；则小李获得车票的概率为1-．
∴这个规则对小张、小李双方不公平．
【点睛】本题考查列表法与树状图法；条形统计图；游戏公平性．熟练掌握定义是解题的关键.
25．(1)）0＜r＜2或r＞4
(2)①当α为15°或105°时，射线BA与⊙O相切；②S阴影=2π-4

【分析】（1）画出图形分： 当时，当时，时，时，时，五种情况讨论，即可得出答案；
（2）①分当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时和当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，进行求解即可得出答案；
② 如图3，连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，由垂径定理可得出MQ=NQ=MN=，即可推得：∠MOQ=，故圆心角，由即可得出答案．
【详解】（1）若与相切时，设切点为F，连接，如图：
则，

在中，，，
∴，
∴，
当时，与刚好有个交点，
∴当时, 如图：与只有两个交点；

当，即时，如图，与有个交点；

当即时，如图与有个交点；

当即时，如图，与有两个交点；

综上所述，当与只有两个交点时，的取值范围是或，
故答案为：或；
（2）①如图1，当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP.
∵OB=，OP=，
∴sinB==，
∴，
.
如图2，当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP，
∵OB=，OP=，
∴sinB==，
∴，
∴.
综上所述，当α为或时，射线BA与⊙O相切；
②如图3，连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，
∴MQ=NQ=MN=.
∵OM=，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数、求弓形面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用特殊位置解决问题．
26．(1)正确，理由见解析
(2)①或；②当时，取得最大值
(3)或

【分析】（1）求得l与L有一个公共点（4，0）在x轴上，即可得出结论；
（2）①把，人攻二次函数解析式，求出点P横坐标，再把点P横坐标代入一次函数解析式，求得出Q纵坐标，即可求解；
②由，则，利用二次函数最值求解即可；
（3）由题意，得L经过原点，对称轴为直线，与l的一个公共点在对称轴右侧．分两种情况，1）若，L开口向下；2）若，L开口向上；分别求解即可．
【详解】（1）解：正确
理由：令y=0，对于函数，则x=4，
∴函数经过点（4，0）；
令y=0，对于函数，则x=0或x=4，
∴函数经过点（4，0）；
∴l与L有一个公共点（4，0）在x轴上，
∴小静的结论是正确的；
（2）解：若，则．
①当时，即，解得．
当时，；
当时，．
∴点Q的坐标为或．
②∵，
∴

．
∴当时，取得最大值．
（3）解：由题意，得L经过原点，对称轴为直线，与l的一个公共点在对称轴右侧．
1）若，L开口向下，点A，B在对称轴两侧，不能使n随m的增大而增大．
2）若，L开口向上，当点A，B重合时，有两个相等的实数根．
化为，由，解得．
当L的顶点在l上时，，解得．
若，则点A，B都在对称轴两侧，n随m的增大而增大；
若，则点A，B都在对称轴右侧（或左侧点在对称轴上），n随m的增大而增大．
∴a的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象交点问题，二次函数与面积综合题目，熟练掌握二次函数与一次函数图象与性质是解题的关键．