河南省许昌市魏都区第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

河南省许昌市魏都区第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列事件中，是随机事件的是（    ）

A．明天太阳从东方升起

B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数

C．任意画一个三角形，其内角和是

D．两个负数的和是正数

3．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(   )

A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50

C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50

4．如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（    ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

5．二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（   ）

A．先向左平移1个单位, 再向上平移4个单位

B．先向左平移1个单位, 再向下平移4个单位

C．先向右平移1个单位, 再向上平移4个单位

D．先向右平移1个单位, 再向下平移4个单位

6．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（    ）

A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2.2

7．如图，PA，PB分别与相切于点A，B、过圆上点C作的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若，则的周长是（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14

8．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，中，，点D，E分别在上，，则（　　）

A． B． C．3 D．2

10．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

则下列结论：①；②当函数值时，对应x的取值范围是；③顶点坐标为（1，-8）；④若点、在二次函数的图像上，则．其中，正确的结论有（    ）A．1个              B．2个              C．3个              D．4个

二、填空题

11．已知y是x的反比例函数，且当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可以是______．（答案不唯一）

12．若抛物线与x轴没有公共点，则m的取值范围是______．

13．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）

14．已知点，和都在反比例函数的图象上，则的大小关系为______．（用“”连接）

15．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．

16．已知：y是x的反比例函数，当时，，当时，y的取值范围是______．

17．如图，与相切，切点为A，交于点C，点B是优弧上一点，若，则的度数为______．

18．如图所示，在直角坐标系中，等腰直角的顶点是坐标原点，点的坐标是，直角顶点在第二象限，把绕点旋转到，点与对应，点与对应，那么点的坐标是_________．

三、解答题

19．解方程：

(1)；

(2)．

20．如图，直线与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

(1)求直线和反比例函数的表达式；

(2)连接，在x轴上找一点M，使，请求出点M的坐标．

21．已知：如图，在中，，D是的中点．以为直径作，交边于点P，连接，交于点E．

(1)求证：是的切线；

(2)若是的切线，，求的长．

22．某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件40元．

(1)若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）；

(2)若每周可获利y元，求y与x的函数关系式；

(3)售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润．

23．如图，，，P为AB上一点，，连接CD．

(1)若，求BD的长；

(2)若CP平分，求证：．

参考答案：

1．C

【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义

2．B

【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．

【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故该选项不符合题意；

B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故该选项符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故该选项不符合题意；

D、两个负数的和是正数，这是不可能事件，故该选项不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．

3．A

【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．

【详解】解：由题意可得，

，

故选：A．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．

4．D

【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】∵为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴=∠AOB =×60°=30°.

故选D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

5．A

【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况即可．

【详解】解：抛物线的顶点坐标为(0,0)，抛物线的顶点坐标为(−1,-4)，

而点(0,0)向左平移1个，再向下平移4个单位可得到(−1,-4)，

故把二次函数的图象，先向左平移1个单位, 再向下平移4个单位后，得到二次函数图象，

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．

6．B

【分析】根据旋转的性质得到，进而证明为等边三角形，得到，则．

【详解】解；由旋转的性质可知，，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．

7．C

【分析】由切线长定理知，，然后根据的周长公式即可求出其结果．

【详解】解：∵分别与相切于点，

的切线分别交于点，

∴，

∴的周长

故选：C．

【点睛】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长．

8．D

【分析】分别把7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．

【详解】如图，把①②③④⑤处任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，

∵共有7个空白处，把①②③④⑤处任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，共5处，

∴构成轴对称图形的概率是，

故选：D．

【点睛】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题关键．

9．A

【分析】通过为公共角，证明，然后利用相似三角形对应边成比例求出的长．

【详解】解∶，

故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．

10．B

【分析】由可得抛物线对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，进而求解即可．

【详解】解：由可得抛物线对称轴为直线，

由可得时y随x增大而减少，

拋物线开口向上，

，

①正确，符合题意；

抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，

抛物线与x轴另一交点坐标为，

时，y<0，

②错误，不符合题意；

抛物线对称轴为直线，

抛物线的顶点坐标的横坐标为2，

③错误，不符合题意；

抛物线开口向上，对称轴为直线，且，

，

④正确，符合题意．

∴①④正确

故选B．

【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质、二次函数与方程和不等式的关系等知识点，根据抛物线所经过的点判断抛物线开口方向、对称轴是解答本题的关键．

11．（答案不唯一）

【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数；因此只要，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．

【详解】解：∵y是x的反比例函数，当时，y随x的增大而增大，

∴比例系数，如．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了反比例函数（）的性质：①时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．

12．##

【分析】抛物线与x轴没有公共点，则一元二次方程在实数范围内没有解，则只要计算判别式，根据判别式为负即可求得m的取值范围．

【详解】解：∵抛物线与x轴没有公共点，

∴关于x的一元二次方程在实数范围内没有解，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，实质是一元二次方程是否有实数解，考虑判别式的符号即可，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系．

13．②⑤

【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．

【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；

两个等边三角形一定相似；

两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；

两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；

两个正方形一定相似；

故答案为：②⑤．

【点睛】本题考查了图形相似的知识；解题的关键是熟练掌握相似图形的性质，从而完成求解．

14．

【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．

【详解】解：∵反比例函数解析式为，

∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

15．2

【详解】解：扇形的弧长==2πr，

∴圆锥的底面半径为r=2．

故答案为2．

16．##

【分析】首先设出函数解析式，再利用待定系数法把代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的取值范围，求得y的取值范围即可．

【详解】解：设函数解析式为：y=，

把代入，得，

∴反比例函数的解析式为：．

把代入中得， ；

把代入中得， ；

∵，

∴在每个象限内y随x增大而增大，

∴当时，，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，求反比例函数函数值的确定范围，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．

17．##38度

【分析】连接，则是直角三角形，根据圆周角定理即可求得的度数，进而根据直角三角形的性质求解．

【详解】解：连接，如图所示：

∵与相切，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得的度数是解题的关键．

18．或

【分析】根据△AOB绕点O旋转15°得到△A'OB'，分两种情况，过B'作B'C⊥y轴，依据Rt△B'OC中，B'C和CO的长，即可得到点B'的坐标．

【详解】解：如图所示：若△AOB绕点O顺时针旋转15°得到△A'OB'，过B'作B'C⊥y轴，则∠BOB'=15°，

又∵∠AOB=45°，

∴∠BOC=45°，

∴∠B'OC=30°，

∵点A的坐标是（-4，0），

∴AO=4，

∴B'O=BO=cos45°×4=2，

∴B'C=B'O=，CO=B'C=，

∴点B'的坐标是；

如图所示：若△AOB绕点O逆时针旋转15°得到△A'OB'，过B'作B'C⊥y轴，则∠BOB'=15°，

同理可得，∠AOB'=30°，B'O=2，

∴∠CB'O=30°，

∴CO=B'O=，B'C=CO=，

∴点B'的坐标是，

综上所述，点B'的坐标是或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

19．(1)

(2)

【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；

（2）利用配方法解方程即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，

解得；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

20．(1)直线解析式为，反比例函数解析式为

(2)或

【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求解即可；

（2）设点M的坐标为，根据可得，则，由此即可得到答案．

【详解】（1）解：把点代入中得：，

∴，

∴直线解析式为，

把点代入中得：，

∴点C的坐标为，

把点代入中得：，即，

∴反比例函数解析式为；

（2）解：设点M的坐标为，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴点M的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明是圆O的切线，只要证明即可；

（2）连接，根据等腰三角形的性质求得的长，再求的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出的长．

【详解】（1）证明：∵，D是的中点，

∴．

又∵是直径，

∴是的切线．

（2）

解：连接.

∵点D是边的中点，，

∴，

∴．

∴，

∵是的切线，O为圆心，

∴．

在中，由勾股定理，得，

∴．

【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．

22．(1)，

(2)

(3)售价为元时，最大利润为元

【分析】（1）根据题意，列出代数式即可求解；

（2）设每周所获利润为y，根据一周利润等于每件的利润×销售量得到与的关系式；

（3）把（2）中解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案．

【详解】（1）解：由题意得若每件降价x元，单件商品的利润为元，每星期的销售量为件，

故答案为：，；

（2）解：由题意得，；

（3）解：∵，，

∴当时，最大利润为元，

即售价为元时，最大利润为元，

【点睛】本题主要考查了列代数式，列函数关系式，二次函数的应用，正确列出对应的式子是解题的关键．

23．(1)BD的长为；

(2)见解析

【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答；

（2）利用角平分线的性质可得∠PCD=∠ACP，从而可得∠PCD=∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答．

【详解】（1）解：∵AB=9，AC=3，

∴BP=AB-AP=9-3=6，

∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD，

∴∠ACP=∠BPD，

∵∠A=∠B，

∴△ACP∽△BPD，

∴，即，

∴BD=，

∴BD的长为；

（2）证明：∵CP平分∠ACD，

∴∠PCD=∠ACP，

∵∠ACP=∠DPB，

∴∠PCD=∠DPB，

∵∠CPD=∠B，

∴△CPD∽△PBD，

∴，

∴PD2=CD•BD．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．