2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析，共66页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，下列角中为俯角的是（　　）

A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4
2. 下列各线段的长度成比例的是（ ）
A 2cm，5cm，6cm，8cm
B. 1cm，2cm，3cm，4cm
C. 3cm，6cm，7cm，9cm
D. 3cm，6cm，9cm，18cm
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则co的值为（　　）
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列没有能判定DE//BC的条件是
A ； B. ；
C. ； D. ．
5. 已知抛物线:，将抛物线平移得到抛物线，如果两条抛物线，关于直线对称，那么下列说确的是
A. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线；
B. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线；
C. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线；
D. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线．
6. 下列命题中正确的个数是（　　）
①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为；
②如果两个直径为10厘米和6厘米圆，圆心距为16厘米，那么两圆外切；
③过三点可以确定一个圆；
④两圆的公共弦垂直平分连心线．
A 0个 B. 4个 C. 2个 D. 3个
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果，那么__________．
8. 已知两个相似三角形的相似比为2：5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为_______．
9. 抛物线的在对称轴的_____侧的部分上升．（填“左”或“右”）
10. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝______．
11. 如果沿一条斜坡向上前进20米，水平高度升高10米，那么这条斜坡的坡比为_____．
12. 抛物线y= ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
...
-3
-2
- 1
0
1
...
y
..
-6
0
4
6
6
...
容易看出，（-2，0）是抛物线与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为_____.
13. 如图，矩形ABCD中，点E在边DC上，且AD＝8，AB＝AE＝17，那么tan∠AEB＝_____．

14. 已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____．
15. 半径分别为20cm与15cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB的长为24cm，那么圆心距O1O2的长为___________cm．
16. 如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，，，那么向量关于、的分解式为_____________．

17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=，AC=4，那么BD=____.(用含的式子表示).

18. 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为____________．

三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（－1，2），点B在象限，且OB⊥OA，OB=2OA，求A、B、O三点的二次函数解析式．

20. 如图，已知向量、和，求作：
（1）向量．
（2）向量分别在、方向上的分向量．

21. 如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA = 6．
求：（1）⊙的半径；
（2）求弦CD的长．

22．
22. 歼-20（英文：Chengdu J-20，绰号：威龙，北约命名：Fire Fang）是我国自主研发的一款单座、双发动机并具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的第五代机．

歼-20在机腹部位有一个主弹仓，机身两侧的起落架前方各有一个侧弹仓．歼-20的侧弹舱门为一片式结构，这个弹舱舱门向上开启，弹舱内滑轨的前端向外探出，使头部伸出舱外，再直接点火发射．
如图是歼-20侧弹舱内部结构图，它的舱体横截面是等腰梯形ABCD，AD//BC，AB = CD，BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，舱底宽BC = 3.94米，舱顶与侧弹舱门的夹角∠A = 53º．
求（1）侧弹舱门AB的长；
（2）舱顶AD与对角线BD的夹角的正切值．（结果到0.01，参考数据：，，）．

23. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．

24. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，联结EF、DC交于点G．
（1）当∠EDF=90°时，求AE的长；
（2）CE = x，CF = y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3） 如果△CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值．














2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，下列角中为俯角的是（　　）

A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4
【正确答案】C

【详解】解：俯角是指向下看时，视线与水平线的夹角.
故是俯角.
故选C.
2. 下列各线段的长度成比例的是（ ）
A. 2cm，5cm，6cm，8cm
B. 1cm，2cm，3cm，4cm
C. 3cm，6cm，7cm，9cm
D. 3cm，6cm，9cm，18cm
【正确答案】D

【分析】根据成比例的线段的定义，即可判断．
【详解】解：∵，，，
∴选项A、B、C均没有符合题意，
，
∴选项D符合题意；
故选：D．
本题考查成比例线段的定义，属于基础题．
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则co的值为（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴BC== ，
则co== ，
故选：A
4. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列没有能判定DE//BC的条件是
A. ； B. ；
C. ； D. ．
【正确答案】B

【详解】试题解析：如图：

∵EA:AC=DA:AB，
∴DEBC，故A正确；
∵EA:EC=DA:DB，
∴DEBC，故C正确；
∵AC:EC=AB:DB，
∴DEBC，故D正确；
故没有能够判断DEBC的是B.
故选B.
5. 已知抛物线:，将抛物线平移得到抛物线，如果两条抛物线，关于直线对称，那么下列说确的是
A. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线；
B. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线；
C. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线；
D. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线．
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵抛物线C:
∴抛物线对称轴为
∴抛物线与y轴的交点为
则与A点以对称轴对称点是
若将抛物线C平移到C′,并且C,C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称.
则B点平移后坐标应为
因此将抛物线C向右平移4个单位.
故选B.
6. 下列命题中正确的个数是（　　）
①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为；
②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外切；
③过三点可以确定一个圆；
④两圆的公共弦垂直平分连心线．
A. 0个 B. 4个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】A

【详解】试题解析：① 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为5.故错误.
②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外离.故错误.
③过没有共线的三点可以确定一个圆；故错误.
④相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．故错误.
故选A.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果，那么__________．
【正确答案】

【分析】设a=2k，得到b=3k，代入化简即可求解．
【详解】解：设a=2k，
∵，
∴b=3k，
∴．
故
本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键．
8. 已知两个相似三角形的相似比为2：5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为_______．
【正确答案】25

【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为2:5，
∴面积的比是4:25，
∵小三角形面积为4，
∴大三角形的面积为25.
故答案为25．
9. 抛物线的在对称轴的_____侧的部分上升．（填“左”或“右”）
【正确答案】右

【详解】试题解析：
对称轴的右侧的部分上升.
故答案为右.
10. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝______．
【正确答案】17

【详解】试题解析：二次函数的顶点在x轴上，

解得：
故答案
点睛：二次函数的顶点在x轴上，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点.
11. 如果沿一条斜坡向上前进20米，水平高度升高10米，那么这条斜坡的坡比为_____．
【正确答案】

【详解】试题解析：

如图所示：AC=20米，BC=10米，
则米，
则坡比
故答案为
12. 抛物线y= ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
...
-3
-2
- 1
0
1
...
y
...
-6
0
4
6
6
...
容易看出，（-2，0）是抛物线与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为_____.
【正确答案】（3，0）．

【详解】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c（0，6）、（1，6）两点，
∴对称轴x=；
点（-2，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
“点睛”本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；函数图象上的每一个点都满足函数方程．
13. 如图，矩形ABCD中，点E在边DC上，且AD＝8，AB＝AE＝17，那么tan∠AEB＝_____．

【正确答案】4．

【详解】试题解析：过点作交于点

四边形ABCD是矩形，AD = 8，AB = AE = 17，
在中，

在中，
根据等腰三角形三线合一的性质可得：


故答案为
14. 已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____．
【正确答案】2或

【详解】试题解析：
∵以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切(如图1)或⊙P过原点(如图2)，

当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，
∴r=2或.
故答案为2或.
15. 半径分别为20cm与15cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB的长为24cm，那么圆心距O1O2的长为___________cm．
【正确答案】25或7

【详解】如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，
∴，且；
又∵厘米，
∴厘米，
∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知厘米；
在Rt△AO2D中，根据勾股定理知厘米，
∴厘米；
同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得厘米﹣9厘米＝7厘米．
故答案是：25或7；

16. 如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，，，那么向量关于、的分解式为_____________．

【正确答案】；

【详解】试题解析：


故答案为
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=，AC=4，那么BD=____.(用含的式子表示).

【正确答案】4sinαtanα

【详解】在中，


在中，根据同角的余角相等可得：


故
18. 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为____________．

【正确答案】

【详解】试题解析：分成两种情况进行讨论：
顺时针旋转时过点作，

分析可知是等腰三角形,
设
则
解可得：



逆时针旋转时：

分析可知是等腰三角形,
设
则


故答案为或
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（－1，2），点B在象限，且OB⊥OA，OB=2OA，求A、B、O三点的二次函数解析式．

【正确答案】

【详解】试题分析：过点作轴于，过点作轴于，根据三角形相似求出点的坐标，再由待定系数法求出二次函数的解析式.
试题解析：过点作轴于，过点作轴于，








解得：
点的坐标为：
设二次函数的解析式为： 把点的坐标代入可得：

解得：
二次函数的解析式为：
点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.
20. 如图，已知向量、和，求作：
（1）向量．
（2）向量分别在、方向上的分向量．

【正确答案】详见解析.

【详解】试题分析：（1）先作，再把平移到如图所示的位置，可求出
（2）将平移到如图所示的位置，利用平行四边形法则来表示分向量．
试题解析：（1）如下图：

（2）向量分别在方向上的分向量，如下图

21. 如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA = 6．
求：（1）⊙的半径；
（2）求弦CD的长．

【正确答案】（1）r=6；（2）.

【详解】试题分析：弦CD垂直平分半径AO, 则 推出 OC⊥PC，可以推出即可求出的半径.
根据垂径定理求出,即可求出的长.
试题解析：弦CD垂直平分半径AO,
则



OC⊥PC，



解得：
的半径为6.



点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
22．
22. 歼-20（英文：Chengdu J-20，绰号：威龙，北约命名：Fire Fang）是我国自主研发的一款单座、双发动机并具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的第五代机．

歼-20在机腹部位有一个主弹仓，机身两侧的起落架前方各有一个侧弹仓．歼-20的侧弹舱门为一片式结构，这个弹舱舱门向上开启，弹舱内滑轨的前端向外探出，使头部伸出舱外，再直接点火发射．
如图是歼-20侧弹舱内部结构图，它的舱体横截面是等腰梯形ABCD，AD//BC，AB = CD，BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，舱底宽BC = 3.94米，舱顶与侧弹舱门的夹角∠A = 53º．
求（1）侧弹舱门AB的长；
（2）舱顶AD与对角线BD的夹角的正切值．（结果到0.01，参考数据：，，）．

【正确答案】（1）3.82米；（2）0.49.

【详解】试题分析：在中，直接用余弦即可求出侧弹舱门AB的长.
舱顶AD与对角线BD夹角就是,在中，即可求出它的正切值.
试题解析： BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，∠A = 53º．
在中，
解得：米.
在中，
解得：
舱顶AD与对角线BD的夹角就是,
在中，
23. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．

【正确答案】详见解析.

【详解】试题分析：证明,对应边成比例，即可证明.
证明得出再证明≌ 得出即可证明.
试题解析： AD平分∠BAC，



DF//BE，


,







又
≌



24. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．

【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延长CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，联结EF、DC交于点G．
（1）当∠EDF=90°时，求AE的长；
（2）CE = x，CF = y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）如果△CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值．
【正确答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】试题分析：过点E作EH⊥AB于点H，设DH=EH=a，tan∠A=，
得出AH=.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出的值，进而求出.根据AH+HD=AD，
即可求得.
分别过点E、F作AB的垂线垂足为H、M，根据CE=x，CF=y，得出AE=4x，CF=3y．进而得到，．，． ，．根据tan∠EDA=tan∠FDB．即可得到函数关系式.
分三种情况进行讨论.
试题解析：（1）过点E作EH⊥AB于点H，
∵∠EDF=90°，∠EDA=∠FDB，∴∠EDA=∠FDB=45°．
在Rt△EHD中，设DH=EH=a，
在Rt△AEH中和Rt△ABC中，tan∠A=，
∴AH=.
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴．
∵CD是斜边上中线，∴CD=．
∵AH+HD=AD，∴，解得．
∴AE==．
（2）分别过点E、F作AB的垂线垂足为H、M，

∵CE=x，CF=y，∴AE=4x，CF=3y．
在Rt△AEH中，，．
同理Rt△BFM中，，．
∴，．
Rt△FHD和Rt△FMD中，
∵∠EDA=∠FDB，
∴tan∠EDA=tan∠FDB．
即：
化简得．
函数定义域为．
（3）（i）当CG=CF时，
过点G作GN⊥BC于点N，CF=CG =y，

Rt△HCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，
∴CN=，GN=．
∴FN=．
∵GN∥AC，
∴．
（ii）当CF=GF时，
过点G作GP⊥BC于点P，CF=y，

∵cos∠DCB=，∴
Rt△PCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，
∴CP=，GP=，
∴FP=，
∵GP∥AC，
∴．
（iii）CG=CF的情况没有存在．
∴综上所述，的值为或．






























2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选
1. -和（-）2的关系是（ ）
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 上述答案都没有正确
2. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）
A. B. C. D.
3. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个没有相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个没有相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个没有相等的实根．其中正确的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
4. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线右边任意一点（点E没有在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
5. 如图，直线l：y=x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3=B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（　　）

A. 24030 B. 24031 C. 24032 D. 24033
6. 如图⊙O中，∠BAC=35°，则∠BOC=（　　）

A. 35° B. 17.5° C. 70° D. 50°
7. 将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是（　　）
A B. 9 C. D.
8. 如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=在象限的图象小正方形右下顶点E．若OB2﹣BE2=10，则k的值是（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 4
9. P为⊙O内一点，且OP=2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（　　）
A. 1 B. 2 C. D. 2
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（　 　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题
11. 因式分解：3a3﹣6a2b+3ab2＝_____．
12. 如图，在△ABC中，BC=3，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是_____．
①∠C一定是钝角；
②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA=；
④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是．

13. 如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，一个△AnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=_____；如图3，正三角形的边长an=_____（用含n的代数式表示）．

14. 如图，点A、B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上（点A在点B的左侧），直线AB分别交x轴，y轴于点D，C，AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，连结AO，BE，已知AB=2BD，△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，则k的值是_____．

15. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是_____．

三、解 答 题
16. ﹣2sin45°．
17. 解方程：
①的解x=　 　．
②的解x=　 　．
③解x=　 　．
④的解x=　 　．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）用尺规作图作Rt△ABC的重心P．（保留作图痕迹，没有要求写作法和证明）；
（2）你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离？并请你说明理由．

19. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
20. 在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

21. 某太阳能热水器横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80cm，AC＝165cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB长．(结果保留根号)

22. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？

23. 为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中甲和护士A的概率．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为，ED=2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．

25. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
26. 摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的的中点P着地，地面NP与相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的角度．
（1）静止时靠背CD的点D离地面多高？
（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至角度时点D没有与墙壁MN相碰．
（到1cm，参考数据π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36，=1.41，=1.73）






















2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选
1. -和（-）2的关系是（ ）
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 上述答案都没有正确
【正确答案】B

【详解】根据乘方运算的性质，可知（-）2=，故它们互为相反数.
故选B.
2. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；
从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；
从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．
选项C左视图与俯视图都是如下图所示：
故选：C.

3. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个没有相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个没有相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个没有相等的实根．其中正确的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】C

【详解】试题解析：①当时，有若 即方程有实数根了，
故错误；
②把 代入方程得到：（1）
把代入方程得到： （2）
把（2）式减去（1）式×2得到：
即： 故正确；
③方程 有两个没有相等的实数根，
则它的
而方程的
∴必有两个没有相等的实数根．故正确；
④若则
故正确．
②③④都正确，
故选C．
4. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线右边任意一点（点E没有在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】A

【分析】根据点E有3种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．

（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．

（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．

综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故选A．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
5. 如图，直线l：y=x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3=B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（　　）

A. 24030 B. 24031 C. 24032 D. 24033
【正确答案】B

【详解】试题解析： 过点作轴，轴， …
是等腰直角三角形，
交轴于点



同理

故选B．
6. 如图⊙O中，∠BAC=35°，则∠BOC=（　　）

A. 35° B. 17.5° C. 70° D. 50°
【正确答案】C

【详解】∵⊙O中，∠BAC=35°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×35°=70°．
故选C．
7. 将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是（　　）
A. B. 9 C. D.
【正确答案】D

【分析】首先确定三面涂有颜色的小正方体所的个数在27个小正方体中占的比例，根据这个比例即可求出有3个面涂有颜色的概率．
【详解】将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的小正方体只能在大正方体的8个角上，共8个，故恰有3个面涂有颜色的概率是．
故选D．
本题将概率的求解设置于分割正方体的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=在象限的图象小正方形右下顶点E．若OB2﹣BE2=10，则k的值是（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 4
【正确答案】C

【详解】解：设E点坐标为（x，y），则AO+DE=x，AB-BD=y，
∵△ABO和△BED都是等腰直角三角形，
∴EB=BD，OB=AB，BD=DE，OA=AB，
∵OB2-EB2=10，
∴2AB2-2BD2=10，
即AB2-BD2=5，
∴（AB+BD）（AB-BD）=5，
∴（AO+DE）（AB-BD）=5，
∴xy=5，
∴k=5．
故选：C．
9. P为⊙O内一点，且OP=2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（　　）
A. 1 B. 2 C. D. 2
【正确答案】D

【详解】试题解析：
过作弦，则是过点的最短弦，连接，

由勾股定理得：
∵，过圆心，

故选D．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（　 　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【分析】根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，即可判定④.
【详解】由抛物线的对称轴为x=2可得=2，即4a+b=0，①正确；
观察图象可得，当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，所以，②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴x=-1时，a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，即5a+c=0，
∴c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，③正确；
观察图象可得，当x＞2时，值随值的增大而增大，④错误．
综上，正确的结论有2个.
故选B.
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题
11. 因式分解：3a3﹣6a2b+3ab2＝_____．
【正确答案】3a（a﹣b）2

分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】3a3﹣6a2b+3ab2，
＝3a（a2﹣2ab+b2），
＝3a（a﹣b）2．
故3a（a﹣b）2．
此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.
12. 如图，在△ABC中，BC=3，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是_____．
①∠C一定钝角；
②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA=；
④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是．

【正确答案】①③④

【详解】试题解析：如图1，过C作于D，过A作于E，

是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

所以③正确；
由

在中，


即一定是钝角；
所以①正确；
如图2，设的外接圆的圆心为O，连接




是等腰直角三角形，

则的外接圆半径为
所以②没有正确；
如图3，此正六边形是的外接圆的外切正六边形，

中，由②得：
由题意得：是等边三角形，




则外接圆的外切正六边形的边长是
所以④正确，
故本题正确的结论有：①③④；
故答案为①③④．
13. 如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，一个△AnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=_____；如图3，正三角形的边长an=_____（用含n的代数式表示）．

【正确答案】（1）
（2）
（3）

【分析】（1）设PQ与 交于点D，连接，得出OD=-O，用含的代数式表示OD，在△OD中，根据勾股定理求出正三角形的边长；（2）设PQ与交于点E，连接O，得出OE=E-O，用含的代数式表示OE，在△OE中，根据勾股定理求出正三角形的边长；（3）设PQ与交于点F，连接O，得出OF=F-O，用含an的代数式表示OF，在△OF中，根据勾股定理求出正三角形的边长an．
【详解】(1)易知△A1B1C1的高为，则边长为，
∴a1＝.
(2)设△A1B1C1的高为h，则A2O＝1－h，连结B2O，设B2C2与PQ交于点F，则有OF＝2h－1.
∵B2O2＝OF2＋B2F2，∴1＝(2h－1)2＋ .
∵h＝a2，∴1＝(a2－1)2＋a22，
解得a2＝ .
(3)同(2)，连结BnO，设BnCn与PQ交于点F，则有BnO2＝OF2＋BnF2，
即1＝(nh－1)2＋ .
∵h＝ an，∴1＝an2＋ ，
解得an＝ .
14. 如图，点A、B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上（点A在点B的左侧），直线AB分别交x轴，y轴于点D，C，AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，连结AO，BE，已知AB=2BD，△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，则k的值是_____．

【正确答案】

【详解】试题解析：设则




即

∴设则






故答案为 ．
15. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是_____．

【正确答案】

【详解】以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则轴，
∵四边形是平行四边形，

∵AB垂直平分线


当点E，A，F同一直线上时，（最短），
此时，∵中，

的最小值是
故答案为

三、解 答 题
16. ﹣2sin45°．
【正确答案】-

【详解】试题分析：把角的三角函数值代入进行运算即可.
试题解析：原式
17. 解方程：
①的解x=　 　．
②的解x=　 　．
③的解x=　 　．
④的解x=　 　．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【正确答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1

【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是，个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是．
（2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是
试题解析：①，②，③，④
（1）第⑤个方程：解为
第⑥个方程：解为
（2）第个方程：解为
方程两边都乘 得
解得
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）用尺规作图作Rt△ABC的重心P．（保留作图痕迹，没有要求写作法和证明）；
（2）你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离？并请你说明理由．

【正确答案】（1）图形见解析（2）PO=AB

【详解】试题分析：（1）分别作AC、BC的垂直平分线，两线分别交AC、BC于R、H，再连接AH、BR，AH和BR的交点就是P点；
（2）利用直角三角形的性质以及重心的定义得出 进而得出重心到外心的距离与AB的关系．
试题解析：（1）如图所示：

（2）知道中AB的长即可求出它的重心与外心之间的距离．
理由：设AB的中点为O，则O为的外心，且
∵点P为的重心，

∴重心到外心的距离
19. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
【正确答案】（1）10，36°．补全条形图见解析；（2）5天，6天；（3）800．

【分析】（1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数，求出8天的人数，补全条形统计图即可．
（2）众数是在一组数据中，出现次数至多的数据．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
（3）用总人数乘以“时间没有少于7天”的百分比，计算即可得解．
【详解】（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%．
用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：360°×10%=36°．
240÷40=600，
8天的人数，600×10%=60，
故答案为10，36°．
补全条形图如下：

（2）∵参加社会实践5天的至多，∴众数是5天．
∵600人中，按照参加社会实践的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，
∴中位数是6天．
（3）∵2000×（25%+10%+5%）=2000×40%=800．
∴估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有800人．
20. 在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）EG=2AGsin+BG ；（3）EG=AG-BG，证明见解析. 

【详解】试题分析：（1）首先作交于点H，易证得≌，又由，可证得是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作交于点H，作于点，易证得
≌，又由 易得，继而证得结论；
（3）首先作交于点H，易证得≌，继而可得是等腰直角三角形，则可求得答案．
试题解析：(1)证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
在△ABG和△AEH中，

∴≌ (ASA).
∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等边三角形，
∴AG=HG.
∴EG=AG+BG.


(2)如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.作AM⊥EG于点M，
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
在△ABG和△AEH中，

∴≌ (ASA).
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=α，

∴EG=GH+BG.


(3)
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.

∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等腰直角三角形.



21. 某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80cm，AC＝165cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)

【正确答案】（1）40；（2）95

【详解】试题分析：（1）在中，根据 求出支架的长是多少即可．
（2）首先在中，根据 求出的长是多少，进而求出的长是多少；然后求出的长是多少，即可求出真空热水管的长是多少．
试题解析：（1）在中，

（2）在中，



22. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？

【正确答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B的速度是1.5千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330，s2=t；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇．

【详解】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）由L1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；
（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；
（4）（3）中函数图象求得时s的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L1为 把点（0，330），（60，240）代入得
所以
设L2为 把点（60，60）代入得

所以
（4）当时，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当时，
解得
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
23. 为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中甲和护士A的概率．
【正确答案】（1）树状图见解析（2）

【分析】（1）根据题意画出树状图；
（2）由树状图列举出等可能的情况数是3，护士可能的情况数是2的所有情况，看恰好选中甲和护士A的情况数占所有情况数的多少即可．
详解】解：（1）用列表法表示所有可能结果如下：

（2）P（恰好选中甲和护士A）
∴恰好选中甲和护士A的概率是
本题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到恰好选中甲和护士A的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为，ED=2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）首先连接OD，由OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得≌ 即可得，则可证得为的切线；
（2）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，即可得 利用勾股定理即可求得的长，又由OE∥AB，证得根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，然后利用三角函数的知识，求得与的长，然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．
试题解析：(1)证明：连接OD，

∵OE∥AB，
∴∠COE=∠CAD，∠EOD=∠ODA，
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，
∴△COE≌△DOE(SAS)，

∴ED⊥OD，
∴ED是的切线；
(2)连接CD，交OE于M，
在Rt△ODE中，
∵OD=32，DE=2，

∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴AB=5，
∵AC是直径，



∵EF∥AB，


∴S△ADF=S梯形ABEF−S梯形DBEF

∴△ADF的面积为

25. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
26. 摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的的中点P着地，地面NP与相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的角度．
（1）静止时靠背CD的点D离地面多高？
（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至角度时点D没有与墙壁MN相碰．
（到1cm，参考数据π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36，=1.41，=1.73）

【正确答案】（1）107.6cm（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时，才能使摇椅向后至角度时点D没有与墙壁MN相碰

【分析】（1）如图，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．求出DH、JP即可解决问题；
（2）如图．当OA⊥PN时，作DH⊥AC于H．求出DH、PA即可解决问题；
【详解】（1）如图，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．

在 中，
在 中，

∴静止时靠背CD的点D离地面的高为73.6+34.0≈107.6（cm）．
（2）如图．当时，作于H．

在中，


∴静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时，才能使摇椅向后至角度时点D没有与墙壁MN相碰.