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2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共61页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(本题共16分，每小题2分)
1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.788×104 B. 1.788×105 C. 1.788×106 D. 1.788×107
2. 若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )
A. B.
C. D.
3. 已知在中，，，，则值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
6. 网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（ ）
A. 1.65米 B. 1.75米 C. 1.85米 D. 1.95米
7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；
③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；
④计算出橡胶棒CD的长度.
小明计算橡胶棒CD的长度为（ ）
A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米
8. 如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（ ）
A. 从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B. 从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C. 从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D. 从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
二、填 空 题(本题共16分，每小题2分)
9. 分解因式：3a3﹣6a2+3a＝_______．
10. 若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于_________.
11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是____.（写出一个即可）
12. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.
13. 将二次函数化成的形式为__________．
14. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°. 室外测量组测得BF的长度为5米.则旗杆AB=______米.
15. 在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为______________米2.
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：如图1，△OAB．
求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．
小明的作法如下：
如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．
请回答：这样做的依据是__．
三、解 答 题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)
17. 计算：4sin45°-+(-1)0+|-2|.
18. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.
19. 如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14. 求BC的长.
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于点A(m，2).
(1)求反比例函数表达式；
(2)画出直线和双曲线的示意图；
(3)若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA. 直接写出点P的坐标．
21. 一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数表达式；
(2)求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(4)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围.
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
(1)求证：AB=BN；
(2)若⊙O半径的长为3，co=，求MA的长．
23. 数学课上老师提出了下面的问题：
在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使.小明的做法如下：如图，
①应用尺规作图作出边AD中点M;
②应用尺规作图作出MD的中点E;
连接EC，交BD于点F.
所以F点就是所求作的点.
请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.
24. 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°.若DC=a，AB=b, 请写出求tan∠ADB的思路.（没有用写出计算结果）
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F.已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为x cm，CF的长为y cm.
小东根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)画出的函数图象，解决问题: 当BE=CF时，BE的长度约为 cm.
26. 在平面直角坐标系xOy中，直线: 与抛物线相交于点A（,7）.
(1)求m，n的值；
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，设抛物线与x轴交于点C、D(点C在点D左侧)，求△BCD的面积；
(3)点E（t,0）为x轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、Q.当点P在点Q上方时，求线段PQ的值.
27. 在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.
(1)依题意补全图形；
(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；
(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.
(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的为 ；
(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；
(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(本题共16分，每小题2分)
1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.788×104 B. 1.788×105 C. 1.788×106 D. 1.788×107
【正确答案】B
【详解】.
故选B
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
2. 若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴y=-（x+3）2-2.
故答案为A.
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
3. 已知在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故选：B．
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则tanA=．
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】B
【详解】∵在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，
∴，
又∵AD=4，BD=8，AE=2，
∴，
∴ 4EC=16，
∴EC=4.
故选B.
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【正确答案】B
【详解】∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
6. 网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（ ）
A. 1.65米 B. 1.75米 C. 1.85米 D. 1.95米
【正确答案】D
【分析】根据AB∥DE知△ABC∽△EDC，据此可得，将有关数据代入计算即可．
【详解】如图，由题意可知，AB∥DE，
∴△CBA∽△CDE，
∴，
∵AB=09，CB=12，CD=CB+BD=26，
∴，
∴12DE=0.9×26，
∴DE=1.95（米）.
故选D
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；
③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；
④计算出橡胶棒CD的长度.
小明计算橡胶棒CD的长度为（ ）
A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米
【正确答案】B
【详解】如下图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
∵⊙O的直径为4，
∴OC=2，
又∵由题意可知：OE=⊙O的半径，
∴OE=1，
又∵在Rt△OCE中，CE=，
∴CE=，
∴CD=2CE=（分米）.
故选B.
点睛：本题是一道利用“垂径定理”构造直角三角形求弦长的问题，解题的关键是中抓住“点B沿弦CD折叠后，刚好落在圆心O处”得到OE=⊙O的半径=1，这样即可由勾股定理在Rt△OCE中求得CE的长，从而得到CD的长了.
8. 如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（ ）
A. 从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B. 从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C. 从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D. 从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
【正确答案】C
【详解】两幅图形分析可知，图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动的情形，曲线部分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，在图2中函数图象的点分别对应着点P运动到了图1中的B、C两点， 由此可知与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：①点P是从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN：②点P是从D点出发，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段BM.
故选C.
二、填 空 题(本题共16分，每小题2分)
9. 分解因式：3a3﹣6a2+3a＝_______．
【正确答案】3a（a﹣1）2
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.
【详解】解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．
故3a（a﹣1）2．
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键.
10. 若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于_________.
【正确答案】1:9
【详解】∵△ABC∽△DEF，BC:EF=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1:9.
故答案为1:9.
11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是____.（写出一个即可）
【正确答案】答案没有，k<0即可
【详解】∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限，
∴在反比例函数中，，
∴这样的函数没有是的，只要即可，如.
12. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.
【正确答案】(﹣1，3)
【详解】解：抛物线的顶点坐标为.
故答案为.
13. 将二次函数化成的形式为__________．
【正确答案】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
14. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°. 室外测量组测得BF的长度为5米.则旗杆AB=______米.
【正确答案】5+5
【详解】如图，由题意可知ED⊥AB，四边形BDEF是矩形，
∴∠ADE=∠BDE=90°，DE=BF=5，
∵在Rt△ADE和Rt△BDF中，∠AED=α=45°，∠BED=β=60°，
∴AD=DE×tan45°=（米），BD=tan60°×DE=（米），
∴旗杆AB=AD+BD=（米）.
故答案为.
15. 在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为______________米2.
【正确答案】
【详解】∵正三角形的每个内角都是60°，
∴图中三个扇形的圆心角都为：360°-60°=300°，
∴S阴影=（m2）.
故答案为.
点睛：本题主要考查的扇形面积的计算问题，解题的关键有两点：（1）由正三角形的每个内角都是60°得到图中阴影部分扇形的圆心角为300°；（2）熟记扇形面积公式：S扇形=（其中，为扇形的圆心角度数，为扇形的半径）.
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：如图1，△OAB．
求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．
小明的作法如下：
如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．
请回答：这样做的依据是__．
【正确答案】圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【详解】∵要作出线段OB的中点M，
∴需作线段OB的垂直平分线，交OB于点M，
∴OM=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）；
∵以M为圆心，MO为半径作⊙M（圆的定义），
∴OB是⊙M的直径（直径定义），
∴∠OCB=90°（直径所对的圆周角是直角），
又∵是以O为圆心，OC为半径作的⊙O（圆的定义），
∴ABOC，且AB⊥OC，
∴AB是⊙O的切线（半径的外端，并垂直于这条半径的直线是圆的切线）.
综上可知：本题的作图依据是：圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、解 答 题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)
17. 计算：4sin45°-+(-1)0+|-2|.
【正确答案】解:原式=3
【详解】试题分析：
代入45°角的正弦函数值，“零指数幂的意义”，再按二次根式的加减法计算即可.
试题解析：
原式=.
点睛：本题是一道涉及角的三角形函数值和零指数幂的实数计算问题，解题的关键是：（1）熟记“30°、45°和60°角的三角形函数值”；（2）知道任何非零实数的0次幂都等于1，即.
18. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：
由BC＝4，AC＝8，CD=2可得：，∠DCB=∠BCA，即可证得△BCD∽△ACB.
试题解析：
∵BC＝4，AC＝8，CD=2
∴,,
∴,
又∵∠C=∠C
∴ △BCD∽△ACB.
19. 如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14. 求BC的长.
【正确答案】∴BC=6
【详解】试题分析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，得到Rt△ADC和Rt△BCD，由在Rt△ADC中tanA=，设CD=3x，AD=4x，则在Rt△BCD中，由∠B=45°，可得BD=CD=3x，AB=14由勾股定理列出方程解得x的值，再在Rt△BCD中，由勾股定理即可求得BC的值.
试题解析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵tanA=，
∴，
设CD=3x，则AD=4x，
∵∠B=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=3x，
∵AD+BD=AB=14，
∴4x+3x=14，解得x=2，
∴BD=CD=6，
∴BC=.
点睛：本题是一道利用三角形函数解非直角三角形的问题，解题的关键是：通过过点C作CD⊥AB于点D，把原三角形分成Rt△ACD和等腰Rt△BCD，这样就可利用已知的tanA=、∠B=45°和AB=14在两个直角三角形中应用锐角三角形函数的知识勾股定理解出BC的长了.
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于点A(m，2).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)画出直线和双曲线的示意图；
(3)若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA. 直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）画图见解析；（3）P(0，4)或P(2，0).
【详解】试题分析：
（1）把点A的坐标代入函数的解析式求出m的值，得到点A的坐标，再把所得点A的坐标代入反比例函数的解析式解得的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据（1）中所得函数解析式，描点，连线，并利用反比例函数图象的两个分支关于原点对称即可画出两函数的图象了；
（3）先求出OA的长度，再分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况分析解答即可.
试题解析：
（1）把点A（m，2）代入得：，解得：，
∴点A的坐标为：（1，2）,
把点A（1，2）代入得：，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）列表如下：
1
2
2
2
2
2
如图，在坐标系中描点，然后过两点画直线可得函数的图象，过两点画平滑的曲线可得反比例函数在象限内的图象，再根据反比例函数图象的两个分支关于原点对称即可画出反比例函数在第三象限内的图象.
（3）如下图，∵点A坐标为（1，2），
∴OA=.
①当点P在y轴上时，可设其坐标为（0，y），
∵PA=OA，
∴，解得：（与原点重合，舍去），
∴此时点P的坐标为（0，4）；
②当点P在x轴上时，可设其坐标为（x，0），
∵PA=OA，
∴，解得：（与点O重合，舍去），
∴点P的坐标为（2，0）；
综上所述，点P的坐标为：P(0，4)或P(2，0).
21. 一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(4)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围.
【正确答案】（1）这个二次函数的表达式为；（2）；（3）画图见解析；（4）x<-3或x>1.
【详解】试题分析：
（1）观察表格中的数据可知，该抛物线的顶点坐标为（-1，2），因此可设其解析式为顶点式：，再代入表格除顶点外的一对对应值，求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的对称性，表格可知，当时的函数值是相等的，由此可得m=；
（3）根据表格中的数据可知，该抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为（-1，2），与相交于点（-3，0）和点（1，0），由此通过描点、连线即画出该抛物线的图象；
（4）观察图象找到抛物线在轴下方部分图象所对应的自变量的取值范围即可得到答案.
试题解析：
（1）观察表格中的数据可知，该抛物线的顶点坐标为（-1，2），
∴可设这个二次函数的表达式为，
又∵图象过点（1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵该抛物线对称轴为直线：，
∴当时的函数值是相等的，
∴由表格中的数据可知：m=；
（3）根据表格中的数据可知，该抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为（-1，2），与相交于点（-3，0）和点（1，0），由此通过描点、连线可得该抛物线的图象如下图所示：
（4）观察图象可得：当时，或.
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
(1)求证：AB=BN；
(2)若⊙O半径的长为3，co=，求MA的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）MA=4.5
【详解】试题分析：
（1）连接OD，可得OD⊥MD，BN⊥MD，可得OD∥BN，由此可得∠N=∠ADO；由OA=OD，可得∠OAD=∠ADO，进一步可得∠N=∠OAD，从而就可得到AB=BN；
（2）由（1）中所得的OD∥BN可得∠MOD=∠B，由此可得cos∠MOD=co=，OD=OA=3，OM=OA+AM，cos∠MOD=可得，由此即可解得AM的长.
试题解析：
（1）连接OD，
∵MD切⊙O于点D，
∴OD⊥MD，
∵BN⊥MC，
∴OD∥BN，
∴∠ADO=∠N，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠N，
∴AB=BN；
（2）∵OD∥BN，
∴∠MOD=∠B，
∴cos∠MOD=co=，
∴在Rt△MOD中，cos∠MOD===，
∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，
∴ ，解得：AM=4.5.
23. 数学课上老师提出了下面的问题：
在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使.小明的做法如下：如图，
①应用尺规作图作出边AD的中点M;
②应用尺规作图作出MD的中点E;
连接EC，交BD于点F.
所以F点就是所求作的点.
请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.
【正确答案】正确，理由见解析.
【详解】试题分析：
由作图易得，再证△DEF∽△BFC可得，由此即可得到，从而说明小明的做确.
试题解析：
小明的做确，理由如下：
由做法可知M为AD的中点，E为MD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，ED∥BC，
∴△DEF∽△BFC，
∴=，
∵AD=BC
∴==，
∴.
故小明的做确.
24. 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°.若DC=a，AB=b, 请写出求tan∠ADB的思路.（没有用写出计算结果）
【正确答案】思路见解析.
【详解】试题分析：
过D点作DE⊥BC于点E，构造出Rt△CDE和Rt△DEB，由∠C=70°和DC=a可求出DE的长；由DE的长∠DBC=30°可求出BD的长；过点A作AF⊥BD于点F，构造出Rt△ADF和Rt△ABF；在Rt△ABF由∠ABD=45°，AB=b可求出BF和AF；由求出的BD和BF的长，可求出DF的长；在Rt△ADF中，由AF和DF的长即可求出tan∠ADF的值.
试题解析：
（1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形；
（2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE的长； （3）在Rt△DEB中,由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长；
（4）过A点作AF⊥BD于点F， 可知△DFA和△AFB都是直角三角形；
（5）在Rt△AFB中,由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；
（6）由DB、BF的长，可知DF的长；
（7）在Rt△DFA中，由即可求tan∠ADB的值.
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F.已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为x cm，CF的长为y cm.
小东根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)画出的函数图象，解决问题: 当BE=CF时，BE的长度约为 cm.
【正确答案】（1）1.5；（2）画图见解析；（3）0.7(0.6～0.8均可以)
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可发现：x的取值从0到5是关于x=3对称出现的，对应的y的值的已知部分也是对应对称出现的，由此可推断x=4对应的y的值和x=2对应的y的值相等；
（2）根据补全的表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接各点即可得到该函数的图象；
（3）表格中的数据和所画图象可推断当BE=CF时，BE的值应在0.60.8之间，可取BE=0.7.
试题解析：
（1）观察、分析表格中的数据可发现：x的取值从0到5是关于x=3对称出现的，对应的y的值的已知部分也是对应对称出现的，
∴x=4时对应的y的值和x=2时对应的y的值相等，即x=4时，y=1.5；
（2）根据补全后的表格中的数据，描点，连线得到该函数的图象如下图所示：
（3）表格中的数据和所画图象可推断当BE=CF时，BE的值应在0.60.8之间，可取BE=0.7.
26. 在平面直角坐标系xOy中，直线: 与抛物线相交于点A（,7）.
(1)求m，n的值；
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，设抛物线与x轴交于点C、D(点C在点D的左侧)，求△BCD的面积；
(3)点E（t,0）为x轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、Q.当点P在点Q上方时，求线段PQ的值.
【正确答案】（1）m=1，n=3；（2）S△BCD=21；（3）PQ的值为9.
【详解】试题分析：
（1）把点A（-2，7）分别代入两个函数的解析式即可求得m=1，n=3；
（2）由（1）中所得m=1可得抛物线的解析式为，令，求出对应的的值即可求得C、D的坐标；根据点A的坐标和AB∥轴交抛物线于点B，可求得点B的坐标，由此即可求出△BCD的面积；
（3）由题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5)，可得PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9；由函数和二次函数的解析式组成方程组，解方程组可求得两函数图象的交点坐标，从而可得求得当点P在点Q上方时，t的取值范围，所得PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9即可求得PQ的值.
试题解析：
（1）把点A（-2，7）分别代入两个函数的解析式得：
，解得：m=1，n=3；
（2）由m=1可得抛物线表达式为y=x2-4x-5，
令y=0得，x2-4x-5=0. 解得x1=-1，x2=5，
∴抛物线y=x2-4x-5与x轴得两个交点C、D的坐标分别为C(-1，0)，D(5，0)，
∴CD=6，
∵A（-2,7），AB∥x轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可得B(6，7)，
∴S△BCD=21；
（3）由题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5)，
由 解得： ， ，
∴直线y=-2x+3与抛物线y= x2-4x-5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5)，
∵点P在点Q上方，
∴-2＜t＜4，
又∵在PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9中，a=-1<0，
∴PQ的值为9.
27. 在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.
(1)依题意补全图形；
(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；
(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.
【正确答案】（1）补图见解析；（2）∠BDA=45°+α；（3）证明见解析.
【详解】试题分析：
（1）按要求在图中画出相应图形即可；
（2）由∠BAC=2αBD⊥AC于点H，可得∠ABH=90°-2α，再BD=AB即可求得∠BDA；
（3）首先按要求补充完整图形，由点D和点E关于BP对称，可得BE=BD=AC，DE=2DG，DE⊥BP，∠DBP=∠EBP，（2）中结论，可证得∠DBE=2α=∠BAC，从而可证得△ABC≌△BDE，由此可得BC=DE；由∠P=∠ADB-∠DBP可得∠P=45°，DE⊥BP可得，BC=DE=2DG即可得到DG与DP间的数量关系了.
试题解析：
（1）将图形按要求补充完整如下：
（2）∵BD⊥AC于点H，
∴∠AHB=90°，
又∵∠BAC=2α，
∴∠ABH=90°-2α，
∵BA=BD
∴∠BDA=∠BAD=；
（3）补全图形，如下图所示：
证明过程如下：
∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，
∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，
∵AB=AC，∠BAC=2α
∴∠ABC=∠ACB=，
由（2）知∠ABH=90°-2α，
∴∠DBP=90°-α-（90°-2α）=α
∴∠DBP=∠EBP=α
∴∠BDE=2α
∵AB=BD=AC=BE，
∴△ABC≌△BDE，
∴BC=DE，
∵∠DPB=∠ADB-∠DBP=45°+α-α=45°，∠DGP=90°，
∴，
∴，
∴，
∴BC=DP.
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.
(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的为 ；
(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；
(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．
【正确答案】（1）A、M；（2）或；（3）或.
【详解】试题分析：
（1）由“关系点”的定义可知，关系点的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中A点和M点是“关系点”；
（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，根据关系点的定义设点P的坐标为（x，2x），过点P作PG⊥x轴于点G，在Rt△OPG中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点P的坐标；
（3）“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，故图2分以下两种情况讨论可得本题答案：①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2
（1）由“关系点”的定义可知，“关系点”的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中点A、M是“关系点”；.
（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，过点P作PG⊥x轴于点G，由题意可设P（x，2x），
∵在Rt△OPG中，OG2+PG2=OP2 ，
∴x2+4x2=1，
∴5x2=1，
∴x2=，
∴x=，
∴P或P；
（3）由“关系点”的定义可知，所有的关系点都在直线上；
∵“关系点”P横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，
∴①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2
过点P1作P1D⊥x轴于点D，则OD=x，P1D=2x，OP1=，
∴sin∠P1OD=，
∴此时⊙C的半径=OC×sin∠P1OD=；
②如图2，当x=2时，点P2的坐标为（2，4），连接CP2，在Rt△CEP2中，由勾股定理可得CP2=；
当x=-2时，点P3的坐标为（-2，-4），连接CP3，在Rt△CFP3中，由勾股定理可得CP3=；
∴当时，在的范围内，⊙C与直线只有一个交点.
综上所述，点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2时，⊙C的半径的取值为：或.
点睛：（1）弄清“关系点”本质上就是坐标系中纵坐标是横坐标的2倍的点，即“关系点”都在直线上是解决本题的基础；（2）第3问的本质是：“要求⊙C与直线在-2≤x≤2的范围内只有1个公共点”，而这有两种情形：①⊙C和直线相切时；②⊙C和直线相交，但两个交点中只有1个在-2≤x≤2的范围内，即只有1个交点在图2中线段P2P3上（包括P3，没有包括P2），这样两者即可解得第3问的答案.
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选:(本题共10个小题，每个小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A. x2-3x+2=0 B. x2+3x+2=0 C. x2+3x-2=0 D. x2-2x+3=0
3. 抛物线y=﹣3（x﹣1）2+2的对称轴是直线( )
A. x=1 B. x=﹣1 C. x=2 D. x=﹣2
4. 如图，AB是⊙O直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( )
A. 90° B. 45° C. 180° D. 60°
5. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A 3 B. -2 C. -3 D. 2
6. 甲、乙两位同学在用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B. 一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
7. 若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（ ）
A -2＜a＜4 B. a＜4 C. a＞-2 D. a＞4或a＜-2
8. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，
9. 如图，在中，，，，把以点为按逆时针方向旋转，使点旋转到边的延长线上的点处，那么边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 （ ）
A. B. C. D.
10. 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；④b<1.其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、填 空 题:(本题共6个小题，每个小题3分，共18分）
11. 点P（6，3）关于原点的对称点Q的坐标为__________.
12. 一个没有透明的袋子中装有仅颜色没有同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球没有放回，则个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是________．
13. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
14. 如图，的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为______．
15. 在学校组织的实践中，小明同学用纸板制作了一个如图所示的圆锥模型，它的底面积半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为_______.（结果保留π）
16. 已知二次函数，当，有值为，则的值为_____________________.
三、解 答 题（共72分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
18. 如图，A点坐标为（3，3），将△ABC 先向下平移4个单位得△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°得△A''B''C''．
(1)请你画出△A'B'C'和△A''B''C''；
(2)点A''的坐标为 ；
(3)△ABC和△A''B''C''关于某个点对称，这个点的坐标为 ．
19. 如图①所示，可以转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
(1)现随机转动转盘，停止后，指针指向1的概率为________；
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
21. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
22 已知抛物线点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
23.
某公司一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月销量x（件）函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 额－成本－广告费）．
若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内的月利润？若在国外月利润的值与在国内月利润的值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
24. 如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1） 观察：
①如图2、图3，当∠CDF="0°" 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF="30°" 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．
25. 已知抛物线原点O及点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线lB点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：
①直线至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？
②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是多少？
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选:(本题共10个小题，每个小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A. x2-3x+2=0 B. x2+3x+2=0 C. x2+3x-2=0 D. x2-2x+3=0
【正确答案】A
【分析】先计算出x1+x2=3，x1x2=2，然后根据根与系数关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．
【详解】解：∵x1=1，x2=2，
∴x1+x2=3，x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
故选A．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
3. 抛物线y=﹣3（x﹣1）2+2的对称轴是直线( )
A. x=1 B. x=﹣1 C. x=2 D. x=﹣2
【正确答案】A
【详解】抛物线顶点式为，对称轴为，由此可知本题中的对称轴为.
故选A.
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( )
A. 90° B. 45° C. 180° D. 60°
【正确答案】A
【详解】试题解析：如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵由圆周角定理得：∠1+∠2=∠AOB=90°，
故选A．
5. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 3 B. -2 C. -3 D. 2
【正确答案】B
【详解】解：∵一元二次方程x2-3x-2=0的项系数是1，二次项系数-2，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得
x1∙x2=-2．
故选B．
6. 甲、乙两位同学在用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B. 一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
【正确答案】B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项没有符合题意；
B、一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率≈0.33，故此选项符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项没有符合题意；
D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项没有符合题意．
故选：B．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7. 若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（ ）
A. -2＜a＜4 B. a＜4 C. a＞-2 D. a＞4或a＜-2
【正确答案】A
【详解】试题解析：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径圆内，
∴|a-1|＜3，
∴-2＜a＜4．
故选A．
点睛：点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
8. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，
【正确答案】B
【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度：
如图，
∵正方形的边长为6，∴AB=3．
又∵∠AOB=45°，∴OB=3．
∴AO=．
故选B．
9. 如图，在中，，，，把以点为按逆时针方向旋转，使点旋转到边的延长线上的点处，那么边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：AC边扫过的图形图中阴影部分的面积是一个环形的面积，即=20πcm2．
故选A．
10. 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；④b<1.其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【正确答案】B
【详解】由图可知抛物线开口向上∴a>0，对称轴在y轴左侧，故b,>0,抛物线与y轴交于负半轴，则c<0所以①abc>0错误，由图知当x=1时y=2∴②a+b+c=2；正确,当x=-1时，函数值＜0，即a-b+c＜0，（1），又∵a+b+c=2，将a+c=2-b代入（1），2-2b＜0，∴b＞1所以④b<1.错误，
因为，对称轴又因为b＞1∴故③a>正确 所以选B
二、填 空 题:(本题共6个小题，每个小题3分，共18分）
11. 点P（6，3）关于原点的对称点Q的坐标为__________.
【正确答案】（-6，-3）
【详解】试题解析：由题意，得：
P（6，3）关于原点的对称点Q的坐标为（-6，-3），
点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 一个没有透明的袋子中装有仅颜色没有同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球没有放回，则个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是________．
【正确答案】
【分析】用树状图或列表法表示出所有的情况数，然后找出个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】列表如下：
共有12种等可能的情况，其中个人摸到红球且第二个人摸到白球共有4种情况，所以个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率为 ，
故．
本题主要考查随机的概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
13. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
【正确答案】y=x2-8x+20
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数没有变可得新抛物线的解析式．
【详解】∵= +2，其顶点坐标为(1，2).
∴向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4，4)，
∴得到的抛物线的解析式是y=+4.
故．
本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出新抛物线的顶点坐标是解题关键．
14. 如图，的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为______．
【正确答案】
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于C．根据30°所对的直角边是斜边的一半求出OC的长度，根据勾股定理求出BC的长度，再垂径定理求出AC的长度，即可求出AB的长度．
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于C．
∵OP=4，OC⊥AB，∠APO=30°，
∴，AC=BC．
∵的半径是3，
∴OB=3．
∴．
∴．
∴．
故．
本题考查含30°的直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
15. 在学校组织的实践中，小明同学用纸板制作了一个如图所示的圆锥模型，它的底面积半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为_______.（结果保留π）
【正确答案】
【详解】试题分析：∵底面半径为1，高为，∴母线长l=．
∴圆锥的侧面积为： .
考点：1圆锥的计算;2.勾股定理.
16. 已知二次函数，当，有值为，则的值为_____________________.
【正确答案】或
【详解】试题解析：（1）若−≤−≤，即-1≤a≤1，抛物线开口向下，当x＝−时，y值=2a，
∵二次函数值-3，即a＝−与-1≤a≤1矛盾，舍去．
（2）若−＜−，即a＞1
当−≤x≤时，y随x增大而减小，当x＝−时，y值=-a2+4a-1，
由−a2+4a−1＝−3，解得a＝2±
又a＞1，
∴a＝2+
（3）若−＞，即a＜−1
当−≤x≤时，y随x增大而增大，当x＝时，y值=-a2-1，
由−a2−1＝−3，解得a＝±
又a＜-1，∴a＝−
综上所述，a＝2+或a＝−
三、解 答 题（共72分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）运用直接开平方法即可求解；
（2）运用公式法求解即可.
试题解析：（1）
x-2=±4
∴x-2=4，x-2=-4
解得：
（2）
这里a=1，b=6，c=-5
△=b2-4ac=62-4×1×(-5)=56
∴x=
即：
18. 如图，A点坐标为（3，3），将△ABC 先向下平移4个单位得△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°得△A''B''C''．
(1)请你画出△A'B'C'和△A''B''C''；
(2)点A''的坐标为 ；
(3)△ABC和△A''B''C''关于某个点对称，这个点的坐标为 ．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）（-31）；（3）（0,2）.
【详解】试题分析：（1）根据平移的性质三角形各顶点都向下平移4个单位得到新点，顺次连接画图，旋转也是三点绕点O逆时针旋转180°，顺次连接画图；
（2）、（3）根据坐标系找坐标即可．
试题解析：（1）如图所所示，
(2)点A''的坐标为（-3,1）；
(3)△ABC和△A''B''C''关于某个点对称，这个点的坐标为（0，2）．
19. 如图①所示，可以转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
(1)现随机转动转盘，停止后，指针指向1的概率为________；
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【正确答案】（1）；（2）该游戏没有公平．
【分析】(1)、根据概率的计算法则得出概率；(2)、根据题意进行列表，然后分别得出小明获胜和小华获胜的概率，从而得出答案.
【详解】(1)、根据题意得：随机转动转盘，停止后，指针指向1的概率为；
(2)、列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，
∵＞，
∴该游戏没有公平．
考点：概率的计算
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
【正确答案】（1）见解析；（2），，．
【分析】（1）要证明方程有两个没有相等的实数根，只要证明判别式△的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6，即可求得方程的两个实根，进而可求的值．
【详解】（1）证明：
因此方程有两个没有相等的实数根．
（2）解：，
又，
解方程组解得：，．
将代入原方程得：，
解得．
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的关系，与联立即可把求方程的解的问题转化为解方程组的问题．
21. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【正确答案】解：（1）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l．
∵AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°－∠B．
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°．
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°．∴∠B=180°－108°=72°．
∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°．
【详解】试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
22. 已知抛物线点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【正确答案】（1）（2）（1，4）
【详解】解：（1）∵抛物线点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为；，即，
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
23.
某公司一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 额－成本－广告费）．
若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内的月利润？若在国外月利润的值与在国内月利润的值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
【正确答案】（1）140 57500；（2）w外 = x2＋（150-a）x；（3）a = 30；（4）见解析
【分析】（1）将x=1000代入函数关系式求得y，根据等量关系“利润=额-成本-广告费”求得w内；
（2）根据等量关系“利润=额-成本-广告费”，“利润=额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）对w内函数的函数关系式求得值，再求出w外的值并令二者相等求得a值；
（4）根据x=5000，即可求得w内的值和w外关于a的函数式，即可解题．
【详解】解：（1））∵价格y（元/件）与月销量x（件）函数关系式为y =x＋150，
∴当x=1000时，y=-10+150=140，w内=x（y-20）-62500=1000×120-62500=57500，
故140，57500．
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，
w外 = x2＋（150）x．
（3）当x = = 6500时，w内；分
由题意得，
解得a1 = 30，a2 = 270（没有合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 =．
若w内＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外；
当a = 32.5时，在国外和国内都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内．
24. 如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1） 观察：
①如图2、图3，当∠CDF="0°" 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF="30°" 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．
【正确答案】（1）① =" " ② ＞
（2）略
（3）
【详解】（12分）
（1）① = ………………………………………………………………………2分
② ＞ …………………………………………………………………………………2分
（2）＞………………………………………………………………………………………2分
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD="GD" ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．
∵30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，………………………………………………………………………3分
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．……………………………………………………1分
（3）∠CDF=15°，．…………………………………………………………2分
25. 已知抛物线原点O及点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线lB点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：
①直线至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？
②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是多少？
【正确答案】（1）；（2）点P的坐标为或；（3）①8；②.
【详解】试题分析：（1）首先由抛物线y=ax2+bx+c原点O，得出c=0，那么抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点A（4，0）和点B（-2，3）代入y=ax2+bx，得到关于a、b的方程组，解方程组即可；
（2）先由“上加下减”的平移规律得出直线l的解析式为y=-2x-n，将点B（-2，3）代入，求出n=1，那么直线l的解析式为y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到点D（0，-1）是线段BE的中点．由CE=CB=5，PB=PE，得出点P是直线CD与该抛物线的交点．再用待定系数法求出CD的解析式为y=x-1，将它与抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）由“上加下减”的平移规律得出新抛物线的解析式为y=x2-x+9．
①设直线y=-2x向上平移t个单位能与新抛物线有交点，将y=-2x+t代入y=x2-x+9，得x2+x+9-t=0，由△=12-4×（9-t）≥0，求出t≥8，那么t的最小值即为所求；
②先求出新抛物线与直线y=-2x+8的交点坐标，根据题意得出点Q的坐标，到直线y=-2x的距离最短．过点Q作QR⊥直线y=-2x于点R，则RQ为所求．
试题解析：（1）依题意得 解得：，．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线l的解析式为，∵直线l过点B，∴．
∴直线l的解析式为，∴D．
∵抛物线的对称轴为，∴C，E．
∴点D是线段BE的中点．
又∵CE=CB=5，∴CD垂直平分BE．
∵PB=PE，∴点P是抛物线与直线CD的交点．
易求CD的解析式为，
由解得
∴点P的坐标为或．
（3）①直线至少向上平移8个单位才能与新抛物线有交点；
②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是 .
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(本题共16分，每小题2分)
1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.788×104 B. 1.788×105 C. 1.788×106 D. 1.788×107
2. 若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )
A. B.
C. D.
3. 已知在中，，，，则值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
6. 网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（ ）
A. 1.65米 B. 1.75米 C. 1.85米 D. 1.95米
7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；
③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；
④计算出橡胶棒CD的长度.
小明计算橡胶棒CD的长度为（ ）
A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米
8. 如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（ ）
A. 从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B. 从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C. 从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D. 从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
二、填 空 题(本题共16分，每小题2分)
9. 分解因式：3a3﹣6a2+3a＝_______．
10. 若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于_________.
11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是____.（写出一个即可）
12. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.
13. 将二次函数化成的形式为__________．
14. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°. 室外测量组测得BF的长度为5米.则旗杆AB=______米.
15. 在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为______________米2.
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：如图1，△OAB．
求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．
小明的作法如下：
如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．
请回答：这样做的依据是__．
三、解 答 题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)
17. 计算：4sin45°-+(-1)0+|-2|.
18. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.
19. 如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14. 求BC的长.
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于点A(m，2).
(1)求反比例函数表达式；
(2)画出直线和双曲线的示意图；
(3)若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA. 直接写出点P的坐标．
21. 一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数表达式；
(2)求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(4)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围.
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
(1)求证：AB=BN；
(2)若⊙O半径的长为3，co=，求MA的长．
23. 数学课上老师提出了下面的问题：
在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使.小明的做法如下：如图，
①应用尺规作图作出边AD中点M;
②应用尺规作图作出MD的中点E;
连接EC，交BD于点F.
所以F点就是所求作的点.
请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.
24. 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°.若DC=a，AB=b, 请写出求tan∠ADB的思路.（没有用写出计算结果）
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F.已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为x cm，CF的长为y cm.
小东根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)画出的函数图象，解决问题: 当BE=CF时，BE的长度约为 cm.
26. 在平面直角坐标系xOy中，直线: 与抛物线相交于点A（,7）.
(1)求m，n的值；
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，设抛物线与x轴交于点C、D(点C在点D左侧)，求△BCD的面积；
(3)点E（t,0）为x轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、Q.当点P在点Q上方时，求线段PQ的值.
27. 在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.
(1)依题意补全图形；
(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；
(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.
(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的为 ；
(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；
(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(本题共16分，每小题2分)
1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.788×104 B. 1.788×105 C. 1.788×106 D. 1.788×107
【正确答案】B
【详解】.
故选B
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
2. 若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴y=-（x+3）2-2.
故答案为A.
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
3. 已知在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故选：B．
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则tanA=．
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】B
【详解】∵在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，
∴，
又∵AD=4，BD=8，AE=2，
∴，
∴ 4EC=16，
∴EC=4.
故选B.
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【正确答案】B
【详解】∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
6. 网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（ ）
A. 1.65米 B. 1.75米 C. 1.85米 D. 1.95米
【正确答案】D
【分析】根据AB∥DE知△ABC∽△EDC，据此可得，将有关数据代入计算即可．
【详解】如图，由题意可知，AB∥DE，
∴△CBA∽△CDE，
∴，
∵AB=09，CB=12，CD=CB+BD=26，
∴，
∴12DE=0.9×26，
∴DE=1.95（米）.
故选D
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；
③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；
④计算出橡胶棒CD的长度.
小明计算橡胶棒CD的长度为（ ）
A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米
【正确答案】B
【详解】如下图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
∵⊙O的直径为4，
∴OC=2，
又∵由题意可知：OE=⊙O的半径，
∴OE=1，
又∵在Rt△OCE中，CE=，
∴CE=，
∴CD=2CE=（分米）.
故选B.
点睛：本题是一道利用“垂径定理”构造直角三角形求弦长的问题，解题的关键是中抓住“点B沿弦CD折叠后，刚好落在圆心O处”得到OE=⊙O的半径=1，这样即可由勾股定理在Rt△OCE中求得CE的长，从而得到CD的长了.
8. 如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（ ）
A. 从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B. 从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C. 从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D. 从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
【正确答案】C
【详解】两幅图形分析可知，图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动的情形，曲线部分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，在图2中函数图象的点分别对应着点P运动到了图1中的B、C两点， 由此可知与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：①点P是从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN：②点P是从D点出发，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段BM.
故选C.
二、填 空 题(本题共16分，每小题2分)
9. 分解因式：3a3﹣6a2+3a＝_______．
【正确答案】3a（a﹣1）2
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.
【详解】解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．
故3a（a﹣1）2．
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键.
10. 若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于_________.
【正确答案】1:9
【详解】∵△ABC∽△DEF，BC:EF=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1:9.
故答案为1:9.
11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是____.（写出一个即可）
【正确答案】答案没有，k<0即可
【详解】∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限，
∴在反比例函数中，，
∴这样的函数没有是的，只要即可，如.
12. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.
【正确答案】(﹣1，3)
【详解】解：抛物线的顶点坐标为.
故答案为.
13. 将二次函数化成的形式为__________．
【正确答案】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
14. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°. 室外测量组测得BF的长度为5米.则旗杆AB=______米.
【正确答案】5+5
【详解】如图，由题意可知ED⊥AB，四边形BDEF是矩形，
∴∠ADE=∠BDE=90°，DE=BF=5，
∵在Rt△ADE和Rt△BDF中，∠AED=α=45°，∠BED=β=60°，
∴AD=DE×tan45°=（米），BD=tan60°×DE=（米），
∴旗杆AB=AD+BD=（米）.
故答案为.
15. 在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为______________米2.
【正确答案】
【详解】∵正三角形的每个内角都是60°，
∴图中三个扇形的圆心角都为：360°-60°=300°，
∴S阴影=（m2）.
故答案为.
点睛：本题主要考查的扇形面积的计算问题，解题的关键有两点：（1）由正三角形的每个内角都是60°得到图中阴影部分扇形的圆心角为300°；（2）熟记扇形面积公式：S扇形=（其中，为扇形的圆心角度数，为扇形的半径）.
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：如图1，△OAB．
求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．
小明的作法如下：
如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．
请回答：这样做的依据是__．
【正确答案】圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【详解】∵要作出线段OB的中点M，
∴需作线段OB的垂直平分线，交OB于点M，
∴OM=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）；
∵以M为圆心，MO为半径作⊙M（圆的定义），
∴OB是⊙M的直径（直径定义），
∴∠OCB=90°（直径所对的圆周角是直角），
又∵是以O为圆心，OC为半径作的⊙O（圆的定义），
∴ABOC，且AB⊥OC，
∴AB是⊙O的切线（半径的外端，并垂直于这条半径的直线是圆的切线）.
综上可知：本题的作图依据是：圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、解 答 题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)
17. 计算：4sin45°-+(-1)0+|-2|.
【正确答案】解:原式=3
【详解】试题分析：
代入45°角的正弦函数值，“零指数幂的意义”，再按二次根式的加减法计算即可.
试题解析：
原式=.
点睛：本题是一道涉及角的三角形函数值和零指数幂的实数计算问题，解题的关键是：（1）熟记“30°、45°和60°角的三角形函数值”；（2）知道任何非零实数的0次幂都等于1，即.
18. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：
由BC＝4，AC＝8，CD=2可得：，∠DCB=∠BCA，即可证得△BCD∽△ACB.
试题解析：
∵BC＝4，AC＝8，CD=2
∴,,
∴,
又∵∠C=∠C
∴ △BCD∽△ACB.
19. 如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14. 求BC的长.
【正确答案】∴BC=6
【详解】试题分析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，得到Rt△ADC和Rt△BCD，由在Rt△ADC中tanA=，设CD=3x，AD=4x，则在Rt△BCD中，由∠B=45°，可得BD=CD=3x，AB=14由勾股定理列出方程解得x的值，再在Rt△BCD中，由勾股定理即可求得BC的值.
试题解析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵tanA=，
∴，
设CD=3x，则AD=4x，
∵∠B=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=3x，
∵AD+BD=AB=14，
∴4x+3x=14，解得x=2，
∴BD=CD=6，
∴BC=.
点睛：本题是一道利用三角形函数解非直角三角形的问题，解题的关键是：通过过点C作CD⊥AB于点D，把原三角形分成Rt△ACD和等腰Rt△BCD，这样就可利用已知的tanA=、∠B=45°和AB=14在两个直角三角形中应用锐角三角形函数的知识勾股定理解出BC的长了.
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于点A(m，2).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)画出直线和双曲线的示意图；
(3)若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA. 直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）画图见解析；（3）P(0，4)或P(2，0).
【详解】试题分析：
（1）把点A的坐标代入函数的解析式求出m的值，得到点A的坐标，再把所得点A的坐标代入反比例函数的解析式解得的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据（1）中所得函数解析式，描点，连线，并利用反比例函数图象的两个分支关于原点对称即可画出两函数的图象了；
（3）先求出OA的长度，再分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况分析解答即可.
试题解析：
（1）把点A（m，2）代入得：，解得：，
∴点A的坐标为：（1，2）,
把点A（1，2）代入得：，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）列表如下：
1
2
2
2
2
2
如图，在坐标系中描点，然后过两点画直线可得函数的图象，过两点画平滑的曲线可得反比例函数在象限内的图象，再根据反比例函数图象的两个分支关于原点对称即可画出反比例函数在第三象限内的图象.
（3）如下图，∵点A坐标为（1，2），
∴OA=.
①当点P在y轴上时，可设其坐标为（0，y），
∵PA=OA，
∴，解得：（与原点重合，舍去），
∴此时点P的坐标为（0，4）；
②当点P在x轴上时，可设其坐标为（x，0），
∵PA=OA，
∴，解得：（与点O重合，舍去），
∴点P的坐标为（2，0）；
综上所述，点P的坐标为：P(0，4)或P(2，0).
21. 一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(4)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围.
【正确答案】（1）这个二次函数的表达式为；（2）；（3）画图见解析；（4）x<-3或x>1.
【详解】试题分析：
（1）观察表格中的数据可知，该抛物线的顶点坐标为（-1，2），因此可设其解析式为顶点式：，再代入表格除顶点外的一对对应值，求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的对称性，表格可知，当时的函数值是相等的，由此可得m=；
（3）根据表格中的数据可知，该抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为（-1，2），与相交于点（-3，0）和点（1，0），由此通过描点、连线即画出该抛物线的图象；
（4）观察图象找到抛物线在轴下方部分图象所对应的自变量的取值范围即可得到答案.
试题解析：
（1）观察表格中的数据可知，该抛物线的顶点坐标为（-1，2），
∴可设这个二次函数的表达式为，
又∵图象过点（1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵该抛物线对称轴为直线：，
∴当时的函数值是相等的，
∴由表格中的数据可知：m=；
（3）根据表格中的数据可知，该抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为（-1，2），与相交于点（-3，0）和点（1，0），由此通过描点、连线可得该抛物线的图象如下图所示：
（4）观察图象可得：当时，或.
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
(1)求证：AB=BN；
(2)若⊙O半径的长为3，co=，求MA的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）MA=4.5
【详解】试题分析：
（1）连接OD，可得OD⊥MD，BN⊥MD，可得OD∥BN，由此可得∠N=∠ADO；由OA=OD，可得∠OAD=∠ADO，进一步可得∠N=∠OAD，从而就可得到AB=BN；
（2）由（1）中所得的OD∥BN可得∠MOD=∠B，由此可得cos∠MOD=co=，OD=OA=3，OM=OA+AM，cos∠MOD=可得，由此即可解得AM的长.
试题解析：
（1）连接OD，
∵MD切⊙O于点D，
∴OD⊥MD，
∵BN⊥MC，
∴OD∥BN，
∴∠ADO=∠N，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠N，
∴AB=BN；
（2）∵OD∥BN，
∴∠MOD=∠B，
∴cos∠MOD=co=，
∴在Rt△MOD中，cos∠MOD===，
∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，
∴ ，解得：AM=4.5.
23. 数学课上老师提出了下面的问题：
在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使.小明的做法如下：如图，
①应用尺规作图作出边AD的中点M;
②应用尺规作图作出MD的中点E;
连接EC，交BD于点F.
所以F点就是所求作的点.
请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.
【正确答案】正确，理由见解析.
【详解】试题分析：
由作图易得，再证△DEF∽△BFC可得，由此即可得到，从而说明小明的做确.
试题解析：
小明的做确，理由如下：
由做法可知M为AD的中点，E为MD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，ED∥BC，
∴△DEF∽△BFC，
∴=，
∵AD=BC
∴==，
∴.
故小明的做确.
24. 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°.若DC=a，AB=b, 请写出求tan∠ADB的思路.（没有用写出计算结果）
【正确答案】思路见解析.
【详解】试题分析：
过D点作DE⊥BC于点E，构造出Rt△CDE和Rt△DEB，由∠C=70°和DC=a可求出DE的长；由DE的长∠DBC=30°可求出BD的长；过点A作AF⊥BD于点F，构造出Rt△ADF和Rt△ABF；在Rt△ABF由∠ABD=45°，AB=b可求出BF和AF；由求出的BD和BF的长，可求出DF的长；在Rt△ADF中，由AF和DF的长即可求出tan∠ADF的值.
试题解析：
（1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形；
（2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE的长； （3）在Rt△DEB中,由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长；
（4）过A点作AF⊥BD于点F， 可知△DFA和△AFB都是直角三角形；
（5）在Rt△AFB中,由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；
（6）由DB、BF的长，可知DF的长；
（7）在Rt△DFA中，由即可求tan∠ADB的值.
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F.已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为x cm，CF的长为y cm.
小东根据学习函数的，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)画出的函数图象，解决问题: 当BE=CF时，BE的长度约为 cm.
【正确答案】（1）1.5；（2）画图见解析；（3）0.7(0.6～0.8均可以)
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可发现：x的取值从0到5是关于x=3对称出现的，对应的y的值的已知部分也是对应对称出现的，由此可推断x=4对应的y的值和x=2对应的y的值相等；
（2）根据补全的表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接各点即可得到该函数的图象；
（3）表格中的数据和所画图象可推断当BE=CF时，BE的值应在0.60.8之间，可取BE=0.7.
试题解析：
（1）观察、分析表格中的数据可发现：x的取值从0到5是关于x=3对称出现的，对应的y的值的已知部分也是对应对称出现的，
∴x=4时对应的y的值和x=2时对应的y的值相等，即x=4时，y=1.5；
（2）根据补全后的表格中的数据，描点，连线得到该函数的图象如下图所示：
（3）表格中的数据和所画图象可推断当BE=CF时，BE的值应在0.60.8之间，可取BE=0.7.
26. 在平面直角坐标系xOy中，直线: 与抛物线相交于点A（,7）.
(1)求m，n的值；
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，设抛物线与x轴交于点C、D(点C在点D的左侧)，求△BCD的面积；
(3)点E（t,0）为x轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、Q.当点P在点Q上方时，求线段PQ的值.
【正确答案】（1）m=1，n=3；（2）S△BCD=21；（3）PQ的值为9.
【详解】试题分析：
（1）把点A（-2，7）分别代入两个函数的解析式即可求得m=1，n=3；
（2）由（1）中所得m=1可得抛物线的解析式为，令，求出对应的的值即可求得C、D的坐标；根据点A的坐标和AB∥轴交抛物线于点B，可求得点B的坐标，由此即可求出△BCD的面积；
（3）由题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5)，可得PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9；由函数和二次函数的解析式组成方程组，解方程组可求得两函数图象的交点坐标，从而可得求得当点P在点Q上方时，t的取值范围，所得PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9即可求得PQ的值.
试题解析：
（1）把点A（-2，7）分别代入两个函数的解析式得：
，解得：m=1，n=3；
（2）由m=1可得抛物线表达式为y=x2-4x-5，
令y=0得，x2-4x-5=0. 解得x1=-1，x2=5，
∴抛物线y=x2-4x-5与x轴得两个交点C、D的坐标分别为C(-1，0)，D(5，0)，
∴CD=6，
∵A（-2,7），AB∥x轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可得B(6，7)，
∴S△BCD=21；
（3）由题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5)，
由 解得： ， ，
∴直线y=-2x+3与抛物线y= x2-4x-5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5)，
∵点P在点Q上方，
∴-2＜t＜4，
又∵在PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9中，a=-1<0，
∴PQ的值为9.
27. 在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.
(1)依题意补全图形；
(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；
(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.
【正确答案】（1）补图见解析；（2）∠BDA=45°+α；（3）证明见解析.
【详解】试题分析：
（1）按要求在图中画出相应图形即可；
（2）由∠BAC=2αBD⊥AC于点H，可得∠ABH=90°-2α，再BD=AB即可求得∠BDA；
（3）首先按要求补充完整图形，由点D和点E关于BP对称，可得BE=BD=AC，DE=2DG，DE⊥BP，∠DBP=∠EBP，（2）中结论，可证得∠DBE=2α=∠BAC，从而可证得△ABC≌△BDE，由此可得BC=DE；由∠P=∠ADB-∠DBP可得∠P=45°，DE⊥BP可得，BC=DE=2DG即可得到DG与DP间的数量关系了.
试题解析：
（1）将图形按要求补充完整如下：
（2）∵BD⊥AC于点H，
∴∠AHB=90°，
又∵∠BAC=2α，
∴∠ABH=90°-2α，
∵BA=BD
∴∠BDA=∠BAD=；
（3）补全图形，如下图所示：
证明过程如下：
∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，
∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，
∵AB=AC，∠BAC=2α
∴∠ABC=∠ACB=，
由（2）知∠ABH=90°-2α，
∴∠DBP=90°-α-（90°-2α）=α
∴∠DBP=∠EBP=α
∴∠BDE=2α
∵AB=BD=AC=BE，
∴△ABC≌△BDE，
∴BC=DE，
∵∠DPB=∠ADB-∠DBP=45°+α-α=45°，∠DGP=90°，
∴，
∴，
∴，
∴BC=DP.
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.
(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的为 ；
(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；
(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．
【正确答案】（1）A、M；（2）或；（3）或.
【详解】试题分析：
（1）由“关系点”的定义可知，关系点的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中A点和M点是“关系点”；
（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，根据关系点的定义设点P的坐标为（x，2x），过点P作PG⊥x轴于点G，在Rt△OPG中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点P的坐标；
（3）“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，故图2分以下两种情况讨论可得本题答案：①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2
（1）由“关系点”的定义可知，“关系点”的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中点A、M是“关系点”；.
（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，过点P作PG⊥x轴于点G，由题意可设P（x，2x），
∵在Rt△OPG中，OG2+PG2=OP2 ，
∴x2+4x2=1，
∴5x2=1，
∴x2=，
∴x=，
∴P或P；
（3）由“关系点”的定义可知，所有的关系点都在直线上；
∵“关系点”P横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，
∴①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2
过点P1作P1D⊥x轴于点D，则OD=x，P1D=2x，OP1=，
∴sin∠P1OD=，
∴此时⊙C的半径=OC×sin∠P1OD=；
②如图2，当x=2时，点P2的坐标为（2，4），连接CP2，在Rt△CEP2中，由勾股定理可得CP2=；
当x=-2时，点P3的坐标为（-2，-4），连接CP3，在Rt△CFP3中，由勾股定理可得CP3=；
∴当时，在的范围内，⊙C与直线只有一个交点.
综上所述，点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2时，⊙C的半径的取值为：或.
点睛：（1）弄清“关系点”本质上就是坐标系中纵坐标是横坐标的2倍的点，即“关系点”都在直线上是解决本题的基础；（2）第3问的本质是：“要求⊙C与直线在-2≤x≤2的范围内只有1个公共点”，而这有两种情形：①⊙C和直线相切时；②⊙C和直线相交，但两个交点中只有1个在-2≤x≤2的范围内，即只有1个交点在图2中线段P2P3上（包括P3，没有包括P2），这样两者即可解得第3问的答案.
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选:(本题共10个小题，每个小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A. x2-3x+2=0 B. x2+3x+2=0 C. x2+3x-2=0 D. x2-2x+3=0
3. 抛物线y=﹣3（x﹣1）2+2的对称轴是直线( )
A. x=1 B. x=﹣1 C. x=2 D. x=﹣2
4. 如图，AB是⊙O直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( )
A. 90° B. 45° C. 180° D. 60°
5. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A 3 B. -2 C. -3 D. 2
6. 甲、乙两位同学在用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B. 一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
7. 若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（ ）
A -2＜a＜4 B. a＜4 C. a＞-2 D. a＞4或a＜-2
8. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，
9. 如图，在中，，，，把以点为按逆时针方向旋转，使点旋转到边的延长线上的点处，那么边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 （ ）
A. B. C. D.
10. 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；④b<1.其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、填 空 题:(本题共6个小题，每个小题3分，共18分）
11. 点P（6，3）关于原点的对称点Q的坐标为__________.
12. 一个没有透明的袋子中装有仅颜色没有同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球没有放回，则个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是________．
13. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
14. 如图，的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为______．
15. 在学校组织的实践中，小明同学用纸板制作了一个如图所示的圆锥模型，它的底面积半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为_______.（结果保留π）
16. 已知二次函数，当，有值为，则的值为_____________________.
三、解 答 题（共72分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
18. 如图，A点坐标为（3，3），将△ABC 先向下平移4个单位得△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°得△A''B''C''．
(1)请你画出△A'B'C'和△A''B''C''；
(2)点A''的坐标为 ；
(3)△ABC和△A''B''C''关于某个点对称，这个点的坐标为 ．
19. 如图①所示，可以转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
(1)现随机转动转盘，停止后，指针指向1的概率为________；
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
21. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
22 已知抛物线点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
23.
某公司一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月销量x（件）函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 额－成本－广告费）．
若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内的月利润？若在国外月利润的值与在国内月利润的值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
24. 如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1） 观察：
①如图2、图3，当∠CDF="0°" 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF="30°" 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．
25. 已知抛物线原点O及点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线lB点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：
①直线至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？
②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是多少？
2022-2023学年湖北省荆门市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选:(本题共10个小题，每个小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A. x2-3x+2=0 B. x2+3x+2=0 C. x2+3x-2=0 D. x2-2x+3=0
【正确答案】A
【分析】先计算出x1+x2=3，x1x2=2，然后根据根与系数关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．
【详解】解：∵x1=1，x2=2，
∴x1+x2=3，x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
故选A．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
3. 抛物线y=﹣3（x﹣1）2+2的对称轴是直线( )
A. x=1 B. x=﹣1 C. x=2 D. x=﹣2
【正确答案】A
【详解】抛物线顶点式为，对称轴为，由此可知本题中的对称轴为.
故选A.
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( )
A. 90° B. 45° C. 180° D. 60°
【正确答案】A
【详解】试题解析：如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵由圆周角定理得：∠1+∠2=∠AOB=90°，
故选A．
5. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 3 B. -2 C. -3 D. 2
【正确答案】B
【详解】解：∵一元二次方程x2-3x-2=0的项系数是1，二次项系数-2，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得
x1∙x2=-2．
故选B．
6. 甲、乙两位同学在用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B. 一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
【正确答案】B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项没有符合题意；
B、一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率≈0.33，故此选项符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项没有符合题意；
D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项没有符合题意．
故选：B．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7. 若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（ ）
A. -2＜a＜4 B. a＜4 C. a＞-2 D. a＞4或a＜-2
【正确答案】A
【详解】试题解析：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径圆内，
∴|a-1|＜3，
∴-2＜a＜4．
故选A．
点睛：点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
8. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，
【正确答案】B
【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度：
如图，
∵正方形的边长为6，∴AB=3．
又∵∠AOB=45°，∴OB=3．
∴AO=．
故选B．
9. 如图，在中，，，，把以点为按逆时针方向旋转，使点旋转到边的延长线上的点处，那么边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：AC边扫过的图形图中阴影部分的面积是一个环形的面积，即=20πcm2．
故选A．
10. 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；④b<1.其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【正确答案】B
【详解】由图可知抛物线开口向上∴a>0，对称轴在y轴左侧，故b,>0,抛物线与y轴交于负半轴，则c<0所以①abc>0错误，由图知当x=1时y=2∴②a+b+c=2；正确,当x=-1时，函数值＜0，即a-b+c＜0，（1），又∵a+b+c=2，将a+c=2-b代入（1），2-2b＜0，∴b＞1所以④b<1.错误，
因为，对称轴又因为b＞1∴故③a>正确 所以选B
二、填 空 题:(本题共6个小题，每个小题3分，共18分）
11. 点P（6，3）关于原点的对称点Q的坐标为__________.
【正确答案】（-6，-3）
【详解】试题解析：由题意，得：
P（6，3）关于原点的对称点Q的坐标为（-6，-3），
点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 一个没有透明的袋子中装有仅颜色没有同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球没有放回，则个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是________．
【正确答案】
【分析】用树状图或列表法表示出所有的情况数，然后找出个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】列表如下：
共有12种等可能的情况，其中个人摸到红球且第二个人摸到白球共有4种情况，所以个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率为 ，
故．
本题主要考查随机的概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
13. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
【正确答案】y=x2-8x+20
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数没有变可得新抛物线的解析式．
【详解】∵= +2，其顶点坐标为(1，2).
∴向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4，4)，
∴得到的抛物线的解析式是y=+4.
故．
本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出新抛物线的顶点坐标是解题关键．
14. 如图，的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为______．
【正确答案】
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于C．根据30°所对的直角边是斜边的一半求出OC的长度，根据勾股定理求出BC的长度，再垂径定理求出AC的长度，即可求出AB的长度．
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于C．
∵OP=4，OC⊥AB，∠APO=30°，
∴，AC=BC．
∵的半径是3，
∴OB=3．
∴．
∴．
∴．
故．
本题考查含30°的直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
15. 在学校组织的实践中，小明同学用纸板制作了一个如图所示的圆锥模型，它的底面积半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为_______.（结果保留π）
【正确答案】
【详解】试题分析：∵底面半径为1，高为，∴母线长l=．
∴圆锥的侧面积为： .
考点：1圆锥的计算;2.勾股定理.
16. 已知二次函数，当，有值为，则的值为_____________________.
【正确答案】或
【详解】试题解析：（1）若−≤−≤，即-1≤a≤1，抛物线开口向下，当x＝−时，y值=2a，
∵二次函数值-3，即a＝−与-1≤a≤1矛盾，舍去．
（2）若−＜−，即a＞1
当−≤x≤时，y随x增大而减小，当x＝−时，y值=-a2+4a-1，
由−a2+4a−1＝−3，解得a＝2±
又a＞1，
∴a＝2+
（3）若−＞，即a＜−1
当−≤x≤时，y随x增大而增大，当x＝时，y值=-a2-1，
由−a2−1＝−3，解得a＝±
又a＜-1，∴a＝−
综上所述，a＝2+或a＝−
三、解 答 题（共72分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）运用直接开平方法即可求解；
（2）运用公式法求解即可.
试题解析：（1）
x-2=±4
∴x-2=4，x-2=-4
解得：
（2）
这里a=1，b=6，c=-5
△=b2-4ac=62-4×1×(-5)=56
∴x=
即：
18. 如图，A点坐标为（3，3），将△ABC 先向下平移4个单位得△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°得△A''B''C''．
(1)请你画出△A'B'C'和△A''B''C''；
(2)点A''的坐标为 ；
(3)△ABC和△A''B''C''关于某个点对称，这个点的坐标为 ．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）（-31）；（3）（0,2）.
【详解】试题分析：（1）根据平移的性质三角形各顶点都向下平移4个单位得到新点，顺次连接画图，旋转也是三点绕点O逆时针旋转180°，顺次连接画图；
（2）、（3）根据坐标系找坐标即可．
试题解析：（1）如图所所示，
(2)点A''的坐标为（-3,1）；
(3)△ABC和△A''B''C''关于某个点对称，这个点的坐标为（0，2）．
19. 如图①所示，可以转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
(1)现随机转动转盘，停止后，指针指向1的概率为________；
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【正确答案】（1）；（2）该游戏没有公平．
【分析】(1)、根据概率的计算法则得出概率；(2)、根据题意进行列表，然后分别得出小明获胜和小华获胜的概率，从而得出答案.
【详解】(1)、根据题意得：随机转动转盘，停止后，指针指向1的概率为；
(2)、列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，
∵＞，
∴该游戏没有公平．
考点：概率的计算
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
【正确答案】（1）见解析；（2），，．
【分析】（1）要证明方程有两个没有相等的实数根，只要证明判别式△的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6，即可求得方程的两个实根，进而可求的值．
【详解】（1）证明：
因此方程有两个没有相等的实数根．
（2）解：，
又，
解方程组解得：，．
将代入原方程得：，
解得．
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的关系，与联立即可把求方程的解的问题转化为解方程组的问题．
21. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【正确答案】解：（1）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l．
∵AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°－∠B．
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°．
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°．∴∠B=180°－108°=72°．
∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°．
【详解】试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
22. 已知抛物线点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【正确答案】（1）（2）（1，4）
【详解】解：（1）∵抛物线点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为；，即，
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
23.
某公司一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 额－成本－广告费）．
若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内的月利润？若在国外月利润的值与在国内月利润的值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
【正确答案】（1）140 57500；（2）w外 = x2＋（150-a）x；（3）a = 30；（4）见解析
【分析】（1）将x=1000代入函数关系式求得y，根据等量关系“利润=额-成本-广告费”求得w内；
（2）根据等量关系“利润=额-成本-广告费”，“利润=额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）对w内函数的函数关系式求得值，再求出w外的值并令二者相等求得a值；
（4）根据x=5000，即可求得w内的值和w外关于a的函数式，即可解题．
【详解】解：（1））∵价格y（元/件）与月销量x（件）函数关系式为y =x＋150，
∴当x=1000时，y=-10+150=140，w内=x（y-20）-62500=1000×120-62500=57500，
故140，57500．
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，
w外 = x2＋（150）x．
（3）当x = = 6500时，w内；分
由题意得，
解得a1 = 30，a2 = 270（没有合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 =．
若w内＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外；
当a = 32.5时，在国外和国内都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内．
24. 如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1） 观察：
①如图2、图3，当∠CDF="0°" 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF="30°" 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．
【正确答案】（1）① =" " ② ＞
（2）略
（3）
【详解】（12分）
（1）① = ………………………………………………………………………2分
② ＞ …………………………………………………………………………………2分
（2）＞………………………………………………………………………………………2分
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD="GD" ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．
∵30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，………………………………………………………………………3分
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．……………………………………………………1分
（3）∠CDF=15°，．…………………………………………………………2分
25. 已知抛物线原点O及点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线lB点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：
①直线至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？
②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是多少？
【正确答案】（1）；（2）点P的坐标为或；（3）①8；②.
【详解】试题分析：（1）首先由抛物线y=ax2+bx+c原点O，得出c=0，那么抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点A（4，0）和点B（-2，3）代入y=ax2+bx，得到关于a、b的方程组，解方程组即可；
（2）先由“上加下减”的平移规律得出直线l的解析式为y=-2x-n，将点B（-2，3）代入，求出n=1，那么直线l的解析式为y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到点D（0，-1）是线段BE的中点．由CE=CB=5，PB=PE，得出点P是直线CD与该抛物线的交点．再用待定系数法求出CD的解析式为y=x-1，将它与抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）由“上加下减”的平移规律得出新抛物线的解析式为y=x2-x+9．
①设直线y=-2x向上平移t个单位能与新抛物线有交点，将y=-2x+t代入y=x2-x+9，得x2+x+9-t=0，由△=12-4×（9-t）≥0，求出t≥8，那么t的最小值即为所求；
②先求出新抛物线与直线y=-2x+8的交点坐标，根据题意得出点Q的坐标，到直线y=-2x的距离最短．过点Q作QR⊥直线y=-2x于点R，则RQ为所求．
试题解析：（1）依题意得 解得：，．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线l的解析式为，∵直线l过点B，∴．
∴直线l的解析式为，∴D．
∵抛物线的对称轴为，∴C，E．
∴点D是线段BE的中点．
又∵CE=CB=5，∴CD垂直平分BE．
∵PB=PE，∴点P是抛物线与直线CD的交点．
易求CD的解析式为，
由解得
∴点P的坐标为或．
（3）①直线至少向上平移8个单位才能与新抛物线有交点；
②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是 .
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