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2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（每题3分，共36分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形
3. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
4. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A. 2海里 B. 2sin55°海里 C. 2cos55°海里 D. 2tan55°海里
6. 如图，半径为3的⊙A原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交AC，BC于D，E两点，若AB=4，∠BED=120°，点E是BD中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4 B. C. D.
8. 用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A. 15πcm2 B. 51πcm2 C. 66πcm2 D. 24πcm2
10. 已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，点A、B、C是⊙O上三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5°
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每题3分，共18分）
13. 若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α度数是_____．
14. 在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿BE折叠，使直角顶点C落在斜边上的点D处，则sin∠CBE的值为_____．
16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
17. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点P是△OAB边界上一动点，当以点P为圆心，以2为半径的⊙P与y轴相切时，点P的坐标是_____．
18. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
三．解 答 题（共7道题，满分66分）
19. 计算：tan45°﹣（sin60°）2﹣ +2cos30°．
20. 小明从家到学校上学，沿途需三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
21. 如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求此二次函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．
22. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
(2)若轮船没有改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈1.7)．
23. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车内至多只能出租，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x没有超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入至多？
24. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：EF=CF；
（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．
25. 如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A，B两点，其中点B坐标为（0，4），tan∠BAO=，一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=kx+b交于点C（m，8），点P为线段BC上一动点（没有与点B，点C重合），PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q.
（1）求直线和抛物线的函数关系式；
（2）设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d，求出d与t之间的函数关系式，并求出d的值；
（3）是否存在点P的位置，使得以点P，D，B为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（每题3分，共36分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：∵，
∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k，
所以．
故选D．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
解：A、没有在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并没有是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选B．
点评：本题考查了确定圆的条件，没有在同一直线上的三点确定一个圆．
3. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【正确答案】C
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线的解析式为：，∴绕原点旋转180°变为，，即，∴向下平移3个单位长度的解析式为 =．
故选A．
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A. 2海里 B. 2sin55°海里 C. 2cos55°海里 D. 2tan55°海里
【正确答案】C
【详解】试题分析：首先由方向角定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
6. 如图，半径为3的⊙A原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
7. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交AC，BC于D，E两点，若AB=4，∠BED=120°，点E是BD中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4 B. C. D.
【正确答案】D
【详解】连接OE、OD、AE．
∵∠BED=120°，
∴∠BAC=60°，
∵，
∴BE=ED，
∵OB=OE=OD，
∴△OEB≌△OED，
∴∠OEB=∠OED=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，BE=EC=BC=2，
∵OB=OE，∠ABC=∠BAC=60°，OA=OD，
∴△OBE、△AOD、△ODE、△CDE都是等边三角形，
∴OB=BE=OE=2，OA=OD=AD=2，∠AOD=∠BOE=60°，
∴∠EOD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴阴影部分的面积是=（扇形BOE的面积﹣三角形BOE面积）+（菱形OECD的面积﹣扇形OED的面积）=三角形CDE的面积=×22=.
故选D．
8. 用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】列表如下：
红
红
蓝
红
紫
蓝
紫
紫
共有9种情况，其中配成紫色的有3种，所以恰能配成紫色的概率=
故选B．
9. 如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A. 15πcm2 B. 51πcm2 C. 66πcm2 D. 24πcm2
【正确答案】D
【详解】解:观察几何体的三视图可得该几何体为圆锥，如图所示，OB=3cm，OA=4cm，
由勾股定理求得AB=5cm，
所以圆锥的侧面积为×6π×5=15πcm2，
圆锥的底面积为π×（）2=9πcm，
即可得圆锥的表面积15π+9π=24πcm2，
故答案选D.
考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．
10. 已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：观察二次函数图象可知，图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；抛物线的对称轴a＞0．
在反比例函数y=中可得ab＞0，所以反比例函数图象在、三象限；
在函数y=ax+b中，a＞0，b＞0，所以函数y=ax+b的图象过、二、三象限．
故答案选B．
考点：函数图像与系数的关系.
11. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5°
【正确答案】B
【详解】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°
故选:B
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】①∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ，
∴﹣＜0，
∴a、b同号，即ab＞0，①正确；
②∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∴﹣=﹣，
∴a=b．
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，③错误；
④∵当x=﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a﹣2b+4c＞0，即a+4c＞2b，④正确．
故选C．
点睛：本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的图象和性质进行判断推理是解题的关键.
二、填 空 题（每题3分，共18分）
13. 若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是_____．
【正确答案】37°
【详解】∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，
∴锐角α=37°．
故37°．
14. 在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____．
【正确答案】50°或130°
【详解】根据圆周角定理，得
弦AB所对的圆周角=100°÷2=50°或180°﹣50°=130°．
故答案为50°或130°.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿BE折叠，使直角顶点C落在斜边上的点D处，则sin∠CBE的值为_____．
【正确答案】
【详解】在直角△ABC中，AB==10．
BD=BC=6，AD=10﹣6=4，
设CE=x，则AE=8﹣x，
在直角ADE中，AE2=DE2+AD2，
即（8﹣x）2=x2+16，
解得：x=3．
则CE=3，
在直角△BCE中，BE==3 ，
则sin∠CBE===，
故．
16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【正确答案】2.9
【详解】试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.
考点：解直角三角形.
17. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点P是△OAB边界上一动点，当以点P为圆心，以2为半径的⊙P与y轴相切时，点P的坐标是_____．
【正确答案】（2，0）或（1，）
【详解】解：①当点P在线段OA上时，如果⊙P与y轴相切，则P（2，0）；
②当点P在线段OB上时，如果⊙P与y轴相切，则P（1，）；
故（2，0）或（1，）；
点睛：本题考查切线、等边三角形、勾股定理等知识.画出圆与两轴分别相切时的图形，并用勾股定理进行求解是解题的关键.
18. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
【正确答案】-1
【详解】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
“点睛”本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
三．解 答 题（共7道题，满分66分）
19. 计算：tan45°﹣（sin60°）2﹣ +2cos30°．
【正确答案】
【详解】先求出角的三角函数值，再按混合运算顺序进行计算即可.
解：原式=1﹣（）2﹣+2×，
=1﹣﹣（﹣1）+，
=+1，
=．
20. 小明从家到学校上学，沿途需三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
【正确答案】（1） 详见解析
（2）．
（3）．
【详解】试题分析：（1）分红灯、绿灯两种等可能情况画出树状图即可．
（2）根据树状图得到总情况数和两次绿灯的情况数，然后利用概率公式列式计算即可得解．
（3）根据红、绿色两种信号都遇到的情况数，利用概率公式列式计算即可得解．
解：（1）根据题意画出树状图如下：
一共有8种情况．
（2）∵两次绿色信号的情况数是3种，
∴P（两次绿色信号）=．
（3）∵红绿色两种信号的情况有6种，
∴P（红绿色两种信号）．
21. 如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
【详解】（1）把原点与A坐标代入解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；
（2）由A与O坐标求出AO的长，根据三角形AOP面积为10，利用面积公式求出P纵坐标的值为5，即P纵坐标为5或-5，把y=5或y=-5代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．
解：（1）把（0，0）与（﹣4，0）代入得：，
解得：a=﹣1，c=0，
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵AO=4，S△AOP=10，
∴|yP纵坐标|=5，即yP纵坐标=5或yP纵坐标=﹣5，
把y=5代入抛物线解析式得：x2+4x+5=0，方程无解；
把y=﹣5代入抛物线解析式得：x2+4x﹣5=0，解得x=﹣5或x=1，
此时P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
22. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
(2)若轮船没有改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈1.7)．
【正确答案】（1）11：00；（2）能，理由见解析.
【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．
（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．
【详解】解：(1)延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．
∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，
∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°.
∵BC＝12km，AB＝36×＝24(km)，
∴AB＝2BC，
∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°.
∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，
∴∠BDC＝∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝12，
∴所需时间t为＝ (小时)＝20(分钟)，
∴轮船照此速度与航向航行，上午11：00能到达海岸线；
(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴DE＝EC.
在Rt△BEC中，∵BC＝12km，∠BCE＝30°，
∴BE＝6km，EC＝6km，
∴CD＝2EC＝12≈204(km)．
∵20＜20.4＜21.5，
∴没有改变航向，轮船可以停靠在码头．
故答案为（1）11：00；（2）能
本题考查了方向角、解直角三角形等知识，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．
23. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车内至多只能出租，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x没有超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入至多？
【正确答案】（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入至多是5025元．
【详解】试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出没有等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数值，比较得出函数的值．
试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入至多是5025元．
考点：二次函数的应用．
24. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：EF=CF；
（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）连接AD，若要证明EF=CF，则可转化为证明∠C=∠DEC即可.
（2）将三角形函数值转化为边之比，再利用三角形的面积即可求解．
（1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=OB，
∴OD=AC，OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴AC⊥DF，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=DC，
∴EF=CF；
（2）Rt△ABD中，cos∠ABC==，
∵AB=10，
∴BD=6，AC=10，
∴DC=BD=6，
S△ACD=CD•AD=AC•DF，
10DF=6×8，
DF=，
由勾股定理得：AF=．
25. 如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A，B两点，其中点B坐标为（0，4），tan∠BAO=，一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=kx+b交于点C（m，8），点P为线段BC上一动点（没有与点B，点C重合），PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q.
（1）求直线和抛物线的函数关系式；
（2）设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d，求出d与t之间的函数关系式，并求出d的值；
（3）是否存在点P的位置，使得以点P，D，B为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y=x+4，y=x2；（2）d=﹣t2+t+4,当t=2时，d有值；（3）存在，P点坐标为（2+2，5+）或，理由见解析
【详解】（1）利用三角形函数先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将点P、Q的坐标用含t的式子表示出来，利用两点间的距离公式即可求出d与t之间的函数关系式，利用顶点公式即可求出d的值；
（3）从PB=BD或PB=PD或BD=PD三种情况进行讨论即可.
解：（1）∵B（0，4），
∴OB=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，
∴OA=2OB=8，
∴A（﹣8，0），
把A（﹣8，0），B（0，4）代入y=kx+b得，解得，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
当y=8时，x+4=8，解得x=8，则C（8，8），
设抛物线解析式为y=ax2，
把C（8，8）代入得64a=8，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）设P（t，t+4）（0＜t＜8），则Q（t，t2），
∴d=t+4﹣t2
=﹣t2+t+4，
∵d=﹣（t﹣2）2+，
∴当t=2时，d有值；
（3）存在．
∵B（0，4），P（t，t+4），D（t，0），
∴PB2=t2+（t+4﹣4）2=t2，DB2=t2+42=t2+16，PD2=（t+4）2=t2+4t+16，
当PB=BD时，△PBD为等腰三角形，即t2=t2+16，解得t1=8（舍去），t2=﹣8（舍去）；
当PB=PD时，△PBD为等腰三角形，即t2=t2+4t+16，解得t1=2﹣2（舍去），t2=2+2，此时P点坐标为（2+2，5+）；
当BD=PD时，△PBD为等腰三角形，即t2+16=t2+4t+16，解得t1=0（舍去），t2=，此时P点坐标为；
综上所述，P点坐标为（2+2，5+）或．
点睛：本题主要考查二次函数相关知识.在探究点P坐标时利用分类讨论是解题的关键.
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（每题5分，共50分）
1. 函数y=-x2-3的图象顶点是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
3. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
4. 如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像点 （3，0），则a+c的值为（ ）
A 0 B. －1 C. 1 D. 2
5. 反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k可以为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 如图，两个反比例函数和在象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 若，相似比为2，且的面积为12，则的面积为 （ ）
A. 3 B. 6 C. 24 D. 48
8. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A. B. C. D.
9. 根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 ( )
A. 只有一个交点
B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧
D. 无交点
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（每题5分，共25分）
11. 如图,P是∠α边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
12. 若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点、的度数分别为、，则的大小为___________
14. 长为的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y.如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，则y与x之间的函数关系式为________________.
三、解 答 题
16. 求值：+2sin30°－tan60°- tan 45°
17. 已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）．
（1）求正比例函数、反比例函数表达式；
（2）求点B的坐标．
18. 如图，在某建筑物AC上，挂着一宣传条幅BC，站在点F处，测得条幅顶端B仰角为30°，往条幅方向前行20米到达点E处，测得条幅顶端B的仰角为60°，求宣传条幅BC的长.（，结果到0.1米）
19. 如图，函数y=kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和函数的解析式
（2）根据图像写出使函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
20. 如图，点E是四边形ABCD对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
21. 在篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈的水平距离为，球出手后水平距离为时达到高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的摸高为，那么他能否获得成功？
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（每题5分，共50分）
1. 函数y=-x2-3的图象顶点是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】函数y=-x2-3的图象顶点坐标是（0，-3）.
故选C.
2. 二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
【正确答案】C
【分析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将转化为顶点式，与原式对比，利用口诀左加右减，上加下减，即可得到答案
【详解】解：∵，∴ 的图形是由的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位
本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目
3. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的性质逐项分析可得解.
【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；
⑤对称轴x=-=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
故选C
4. 如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像点 （3，0），则a+c的值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的对称轴是直线，且图像点（3，0），
∴ ，解得： ，
∴.
故选B.
5. 反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k可以为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】A
【详解】试题分析：因为y=的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以k-1＜0，k＜1．
故选A．
考点：反比例函数的性质．
6. 如图，两个反比例函数和在象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B
【详解】∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=3．
故选B．
7. 若，相似比为2，且的面积为12，则的面积为 （ ）
A. 3 B. 6 C. 24 D. 48
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC与△DEF的面积比为4，
∵△ABC的面积为12，
∴△DEF的面积为：12×=3．
故选A．
考点：相似三角形的性质．
8. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
【详解】解：：①∵，∠A为公共角，∴；
②∵，∠A公共角，∴；
③虽然，但∠A没有是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形没有相似；
④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．
综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.
本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9. 根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 ( )
A. 只有一个交点
B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧
D. 无交点
【正确答案】B
【详解】由表中数据可得对称轴为x=1且最值为－2且由两边的数据可得x＜1时y随x的增大而减小x＞1时y随x的增大而减大所以开口向上且最小值在x轴下方故与x轴有两个交点．又因为当x=0时y=所以与y轴的交点在y轴的下方而对称轴在y轴的右侧故两个交点分别在y轴两侧．所以B正确．
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线，∴b=-a＜0.
当x=1时，a+b+c<0，
∴函数图象、二、四象限，反比例函数图象第二、四象限．
故选D
考点：1.函数、反比例函数和二次函数图象；2.数形思想的应用.
二、填 空 题（每题5分，共25分）
11. 如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
【正确答案】
【详解】∵点P的坐标为（3，4），
∴OP=，
∴.
故答案.
12. 若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
【正确答案】16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故16.
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点、的度数分别为、，则的大小为___________
【正确答案】
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝∠AOB，
而∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝×56°＝28°．
故28°．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
14. 长为的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______.
【正确答案】2－2
【详解】由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．
平滑后高为4•sin60°=4•=．
∴升高了m．
故答案为.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y.如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，则y与x之间的函数关系式为________________.
【正确答案】
【详解】∵∠BAC=30°， AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=，
∴∠ACE=∠ABD=180°-75°=105°，
∵∠DAE=105°，∠BAC=30°，
∴∠DAB+∠CAE=105°-30°=75°，
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠ADB=∠CAE.
∴△ADB∽△EAC，
∴，即，
∴.
故答案为.
三、解 答 题
16. 求值：+2sin30°－tan60°- tan 45°
【正确答案】
【详解】先得出式子中的角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.
解：原式＝
17. 已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）．
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标．
【正确答案】（1）正比例函数、反比例函数的表达式为：，；（2）B点坐标是（-2，-1）
【详解】试题分析：
（1）把点A、B的坐标分别代入函数y=k1x(k1≠0)与函数中求出k1和k2的值，即可得到两个函数的解析式；
（2）把（1）中所得两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到点B的坐标.
试题解析：
解：（1）把点A（2，1）分别代入y=k1x与 可得：，k2=2 ，
∴正比例函数、反比例函数的表达式分别为：，；
（2）由题意得方程组： ，解得： ， ，
∴点B的坐标是（-2，-1）.
18. 如图，在某建筑物AC上，挂着一宣传条幅BC，站在点F处，测得条幅顶端B的仰角为30°，往条幅方向前行20米到达点E处，测得条幅顶端B的仰角为60°，求宣传条幅BC的长.（，结果到0.1米）
【正确答案】宣传条幅BC的长为17.3米.
【详解】试题分析：
先由∠F=30°，∠BEC=60°解得∠EBF=30°=∠F，从而可得BE=FE=20米，再在Rt△BEC中由sin∠BEC=即可解得BC的值.
试题解析：
∵∠BEC=∠F+∠EBF，∠F=30°，∠BEC=60°，
∴∠EBF=60°-30°=30°=∠F，
∴BE=FE=20（米）.
∵在Rt△BEC中，sin∠BEC=，
∴BC=BE×≈10×1732=17.32≈17.3（米）.
19. 如图，函数y=kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和函数的解析式
（2）根据图像写出使函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【正确答案】（1），y=-x-1；（2）x＜-2或0＜x＜1
【分析】（1）利用已知求出反比例函数的解析式，再利用两函数交点求出函数解析式；
（2）利用函数图象求出使函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【详解】（1）据题意，反比例函数的图象点A（−2，1），
∴有m＝xy＝−2，
∴反比例函数解析式，
又反比例函数的图象点B（1，n），
∴n＝−2，
∴B（1，−2），
将A、B两点代入y＝kx＋b，有，
解得，
∴函数的解析式为y＝−x−1，
（2）函数的值大于反比例函数的值时，
x取相同值，函数图象在反比例函数上方即函数大于反比例函数，
∴x＜−2或0＜x＜1.
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点，同学们应掌握．
20. 如图，点E是四边形ABCD的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）猜想=或（理由见解析
【详解】试题分析：
（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，从而可得△AEB∽△ADC，由此可得，这样就可得到BE·AD=DC·AE；
（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得= ，∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：=或（）.
试题解析：
①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE，
∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC，
又∵∠DAE=∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA，
∴=，
即BE·AD=CD·AE；
②猜想=或（），
由△BEA∽△CDA可知，=，即=，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△BAC∽△EAD，
∴=或（）.
21. 在篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈的水平距离为，球出手后水平距离为时达到高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的摸高为，那么他能否获得成功？
【正确答案】（1）；（2）能投中；（3）能拦截成功，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令x=7，求出y值，与3m比较即可作出判断；
（3）将x=1代入进而得出答案．
【详解】（1）
如图，球出手点、点（顶点）坐标分别为：，
设二次函数解析式为，将点代入可得：，
解得：，抛物线解析式为：；
（2）将点横坐标代入抛物线解析式得：
即点在抛物线上，此球一定能投中；
（3）能拦截成功．理由：将代入得
，他能拦截成功．
本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（每题3分，共36分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形
3. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
4. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A. 2海里 B. 2sin55°海里 C. 2cos55°海里 D. 2tan55°海里
6. 如图，半径为3的⊙A原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交AC，BC于D，E两点，若AB=4，∠BED=120°，点E是BD中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4 B. C. D.
8. 用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A. 15πcm2 B. 51πcm2 C. 66πcm2 D. 24πcm2
10. 已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，点A、B、C是⊙O上三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5°
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每题3分，共18分）
13. 若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α度数是_____．
14. 在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿BE折叠，使直角顶点C落在斜边上的点D处，则sin∠CBE的值为_____．
16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
17. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点P是△OAB边界上一动点，当以点P为圆心，以2为半径的⊙P与y轴相切时，点P的坐标是_____．
18. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
三．解 答 题（共7道题，满分66分）
19. 计算：tan45°﹣（sin60°）2﹣ +2cos30°．
20. 小明从家到学校上学，沿途需三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
21. 如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求此二次函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．
22. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
(2)若轮船没有改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈1.7)．
23. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车内至多只能出租，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x没有超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入至多？
24. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：EF=CF；
（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．
25. 如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A，B两点，其中点B坐标为（0，4），tan∠BAO=，一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=kx+b交于点C（m，8），点P为线段BC上一动点（没有与点B，点C重合），PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q.
（1）求直线和抛物线的函数关系式；
（2）设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d，求出d与t之间的函数关系式，并求出d的值；
（3）是否存在点P的位置，使得以点P，D，B为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（每题3分，共36分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：∵，
∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k，
所以．
故选D．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
解：A、没有在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并没有是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选B．
点评：本题考查了确定圆的条件，没有在同一直线上的三点确定一个圆．
3. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【正确答案】C
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线的解析式为：，∴绕原点旋转180°变为，，即，∴向下平移3个单位长度的解析式为 =．
故选A．
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A. 2海里 B. 2sin55°海里 C. 2cos55°海里 D. 2tan55°海里
【正确答案】C
【详解】试题分析：首先由方向角定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
6. 如图，半径为3的⊙A原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
7. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交AC，BC于D，E两点，若AB=4，∠BED=120°，点E是BD中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4 B. C. D.
【正确答案】D
【详解】连接OE、OD、AE．
∵∠BED=120°，
∴∠BAC=60°，
∵，
∴BE=ED，
∵OB=OE=OD，
∴△OEB≌△OED，
∴∠OEB=∠OED=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，BE=EC=BC=2，
∵OB=OE，∠ABC=∠BAC=60°，OA=OD，
∴△OBE、△AOD、△ODE、△CDE都是等边三角形，
∴OB=BE=OE=2，OA=OD=AD=2，∠AOD=∠BOE=60°，
∴∠EOD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴阴影部分的面积是=（扇形BOE的面积﹣三角形BOE面积）+（菱形OECD的面积﹣扇形OED的面积）=三角形CDE的面积=×22=.
故选D．
8. 用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】列表如下：
红
红
蓝
红
紫
蓝
紫
紫
共有9种情况，其中配成紫色的有3种，所以恰能配成紫色的概率=
故选B．
9. 如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A. 15πcm2 B. 51πcm2 C. 66πcm2 D. 24πcm2
【正确答案】D
【详解】解:观察几何体的三视图可得该几何体为圆锥，如图所示，OB=3cm，OA=4cm，
由勾股定理求得AB=5cm，
所以圆锥的侧面积为×6π×5=15πcm2，
圆锥的底面积为π×（）2=9πcm，
即可得圆锥的表面积15π+9π=24πcm2，
故答案选D.
考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．
10. 已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：观察二次函数图象可知，图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；抛物线的对称轴a＞0．
在反比例函数y=中可得ab＞0，所以反比例函数图象在、三象限；
在函数y=ax+b中，a＞0，b＞0，所以函数y=ax+b的图象过、二、三象限．
故答案选B．
考点：函数图像与系数的关系.
11. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5°
【正确答案】B
【详解】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°
故选:B
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】①∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ，
∴﹣＜0，
∴a、b同号，即ab＞0，①正确；
②∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∴﹣=﹣，
∴a=b．
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，③错误；
④∵当x=﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a﹣2b+4c＞0，即a+4c＞2b，④正确．
故选C．
点睛：本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的图象和性质进行判断推理是解题的关键.
二、填 空 题（每题3分，共18分）
13. 若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是_____．
【正确答案】37°
【详解】∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，
∴锐角α=37°．
故37°．
14. 在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____．
【正确答案】50°或130°
【详解】根据圆周角定理，得
弦AB所对的圆周角=100°÷2=50°或180°﹣50°=130°．
故答案为50°或130°.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿BE折叠，使直角顶点C落在斜边上的点D处，则sin∠CBE的值为_____．
【正确答案】
【详解】在直角△ABC中，AB==10．
BD=BC=6，AD=10﹣6=4，
设CE=x，则AE=8﹣x，
在直角ADE中，AE2=DE2+AD2，
即（8﹣x）2=x2+16，
解得：x=3．
则CE=3，
在直角△BCE中，BE==3 ，
则sin∠CBE===，
故．
16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【正确答案】2.9
【详解】试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.
考点：解直角三角形.
17. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点P是△OAB边界上一动点，当以点P为圆心，以2为半径的⊙P与y轴相切时，点P的坐标是_____．
【正确答案】（2，0）或（1，）
【详解】解：①当点P在线段OA上时，如果⊙P与y轴相切，则P（2，0）；
②当点P在线段OB上时，如果⊙P与y轴相切，则P（1，）；
故（2，0）或（1，）；
点睛：本题考查切线、等边三角形、勾股定理等知识.画出圆与两轴分别相切时的图形，并用勾股定理进行求解是解题的关键.
18. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
【正确答案】-1
【详解】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
“点睛”本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
三．解 答 题（共7道题，满分66分）
19. 计算：tan45°﹣（sin60°）2﹣ +2cos30°．
【正确答案】
【详解】先求出角的三角函数值，再按混合运算顺序进行计算即可.
解：原式=1﹣（）2﹣+2×，
=1﹣﹣（﹣1）+，
=+1，
=．
20. 小明从家到学校上学，沿途需三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
【正确答案】（1） 详见解析
（2）．
（3）．
【详解】试题分析：（1）分红灯、绿灯两种等可能情况画出树状图即可．
（2）根据树状图得到总情况数和两次绿灯的情况数，然后利用概率公式列式计算即可得解．
（3）根据红、绿色两种信号都遇到的情况数，利用概率公式列式计算即可得解．
解：（1）根据题意画出树状图如下：
一共有8种情况．
（2）∵两次绿色信号的情况数是3种，
∴P（两次绿色信号）=．
（3）∵红绿色两种信号的情况有6种，
∴P（红绿色两种信号）．
21. 如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
【详解】（1）把原点与A坐标代入解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；
（2）由A与O坐标求出AO的长，根据三角形AOP面积为10，利用面积公式求出P纵坐标的值为5，即P纵坐标为5或-5，把y=5或y=-5代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．
解：（1）把（0，0）与（﹣4，0）代入得：，
解得：a=﹣1，c=0，
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵AO=4，S△AOP=10，
∴|yP纵坐标|=5，即yP纵坐标=5或yP纵坐标=﹣5，
把y=5代入抛物线解析式得：x2+4x+5=0，方程无解；
把y=﹣5代入抛物线解析式得：x2+4x﹣5=0，解得x=﹣5或x=1，
此时P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
22. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
(2)若轮船没有改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈1.7)．
【正确答案】（1）11：00；（2）能，理由见解析.
【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．
（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．
【详解】解：(1)延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．
∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，
∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°.
∵BC＝12km，AB＝36×＝24(km)，
∴AB＝2BC，
∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°.
∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，
∴∠BDC＝∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝12，
∴所需时间t为＝ (小时)＝20(分钟)，
∴轮船照此速度与航向航行，上午11：00能到达海岸线；
(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴DE＝EC.
在Rt△BEC中，∵BC＝12km，∠BCE＝30°，
∴BE＝6km，EC＝6km，
∴CD＝2EC＝12≈204(km)．
∵20＜20.4＜21.5，
∴没有改变航向，轮船可以停靠在码头．
故答案为（1）11：00；（2）能
本题考查了方向角、解直角三角形等知识，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．
23. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车内至多只能出租，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x没有超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入至多？
【正确答案】（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入至多是5025元．
【详解】试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出没有等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数值，比较得出函数的值．
试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入至多是5025元．
考点：二次函数的应用．
24. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：EF=CF；
（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）连接AD，若要证明EF=CF，则可转化为证明∠C=∠DEC即可.
（2）将三角形函数值转化为边之比，再利用三角形的面积即可求解．
（1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=OB，
∴OD=AC，OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴AC⊥DF，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=DC，
∴EF=CF；
（2）Rt△ABD中，cos∠ABC==，
∵AB=10，
∴BD=6，AC=10，
∴DC=BD=6，
S△ACD=CD•AD=AC•DF，
10DF=6×8，
DF=，
由勾股定理得：AF=．
25. 如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A，B两点，其中点B坐标为（0，4），tan∠BAO=，一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=kx+b交于点C（m，8），点P为线段BC上一动点（没有与点B，点C重合），PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q.
（1）求直线和抛物线的函数关系式；
（2）设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d，求出d与t之间的函数关系式，并求出d的值；
（3）是否存在点P的位置，使得以点P，D，B为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y=x+4，y=x2；（2）d=﹣t2+t+4,当t=2时，d有值；（3）存在，P点坐标为（2+2，5+）或，理由见解析
【详解】（1）利用三角形函数先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将点P、Q的坐标用含t的式子表示出来，利用两点间的距离公式即可求出d与t之间的函数关系式，利用顶点公式即可求出d的值；
（3）从PB=BD或PB=PD或BD=PD三种情况进行讨论即可.
解：（1）∵B（0，4），
∴OB=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，
∴OA=2OB=8，
∴A（﹣8，0），
把A（﹣8，0），B（0，4）代入y=kx+b得，解得，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
当y=8时，x+4=8，解得x=8，则C（8，8），
设抛物线解析式为y=ax2，
把C（8，8）代入得64a=8，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）设P（t，t+4）（0＜t＜8），则Q（t，t2），
∴d=t+4﹣t2
=﹣t2+t+4，
∵d=﹣（t﹣2）2+，
∴当t=2时，d有值；
（3）存在．
∵B（0，4），P（t，t+4），D（t，0），
∴PB2=t2+（t+4﹣4）2=t2，DB2=t2+42=t2+16，PD2=（t+4）2=t2+4t+16，
当PB=BD时，△PBD为等腰三角形，即t2=t2+16，解得t1=8（舍去），t2=﹣8（舍去）；
当PB=PD时，△PBD为等腰三角形，即t2=t2+4t+16，解得t1=2﹣2（舍去），t2=2+2，此时P点坐标为（2+2，5+）；
当BD=PD时，△PBD为等腰三角形，即t2+16=t2+4t+16，解得t1=0（舍去），t2=，此时P点坐标为；
综上所述，P点坐标为（2+2，5+）或．
点睛：本题主要考查二次函数相关知识.在探究点P坐标时利用分类讨论是解题的关键.
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（每题5分，共50分）
1. 函数y=-x2-3的图象顶点是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
3. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
4. 如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像点 （3，0），则a+c的值为（ ）
A 0 B. －1 C. 1 D. 2
5. 反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k可以为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 如图，两个反比例函数和在象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 若，相似比为2，且的面积为12，则的面积为 （ ）
A. 3 B. 6 C. 24 D. 48
8. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A. B. C. D.
9. 根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 ( )
A. 只有一个交点
B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧
D. 无交点
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（每题5分，共25分）
11. 如图,P是∠α边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
12. 若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点、的度数分别为、，则的大小为___________
14. 长为的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y.如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，则y与x之间的函数关系式为________________.
三、解 答 题
16. 求值：+2sin30°－tan60°- tan 45°
17. 已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）．
（1）求正比例函数、反比例函数表达式；
（2）求点B的坐标．
18. 如图，在某建筑物AC上，挂着一宣传条幅BC，站在点F处，测得条幅顶端B仰角为30°，往条幅方向前行20米到达点E处，测得条幅顶端B的仰角为60°，求宣传条幅BC的长.（，结果到0.1米）
19. 如图，函数y=kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和函数的解析式
（2）根据图像写出使函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
20. 如图，点E是四边形ABCD对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
21. 在篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈的水平距离为，球出手后水平距离为时达到高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的摸高为，那么他能否获得成功？
2022-2023学年广东省汕头市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（每题5分，共50分）
1. 函数y=-x2-3的图象顶点是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】函数y=-x2-3的图象顶点坐标是（0，-3）.
故选C.
2. 二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
【正确答案】C
【分析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将转化为顶点式，与原式对比，利用口诀左加右减，上加下减，即可得到答案
【详解】解：∵，∴ 的图形是由的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位
本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目
3. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的性质逐项分析可得解.
【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；
⑤对称轴x=-=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
故选C
4. 如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像点 （3，0），则a+c的值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的对称轴是直线，且图像点（3，0），
∴ ，解得： ，
∴.
故选B.
5. 反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k可以为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】A
【详解】试题分析：因为y=的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以k-1＜0，k＜1．
故选A．
考点：反比例函数的性质．
6. 如图，两个反比例函数和在象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B
【详解】∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=3．
故选B．
7. 若，相似比为2，且的面积为12，则的面积为 （ ）
A. 3 B. 6 C. 24 D. 48
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC与△DEF的面积比为4，
∵△ABC的面积为12，
∴△DEF的面积为：12×=3．
故选A．
考点：相似三角形的性质．
8. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
【详解】解：：①∵，∠A为公共角，∴；
②∵，∠A公共角，∴；
③虽然，但∠A没有是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形没有相似；
④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．
综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.
本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9. 根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 ( )
A. 只有一个交点
B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧
D. 无交点
【正确答案】B
【详解】由表中数据可得对称轴为x=1且最值为－2且由两边的数据可得x＜1时y随x的增大而减小x＞1时y随x的增大而减大所以开口向上且最小值在x轴下方故与x轴有两个交点．又因为当x=0时y=所以与y轴的交点在y轴的下方而对称轴在y轴的右侧故两个交点分别在y轴两侧．所以B正确．
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线，∴b=-a＜0.
当x=1时，a+b+c<0，
∴函数图象、二、四象限，反比例函数图象第二、四象限．
故选D
考点：1.函数、反比例函数和二次函数图象；2.数形思想的应用.
二、填 空 题（每题5分，共25分）
11. 如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
【正确答案】
【详解】∵点P的坐标为（3，4），
∴OP=，
∴.
故答案.
12. 若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
【正确答案】16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故16.
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点、的度数分别为、，则的大小为___________
【正确答案】
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝∠AOB，
而∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝×56°＝28°．
故28°．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
14. 长为的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______.
【正确答案】2－2
【详解】由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．
平滑后高为4•sin60°=4•=．
∴升高了m．
故答案为.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y.如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，则y与x之间的函数关系式为________________.
【正确答案】
【详解】∵∠BAC=30°， AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=，
∴∠ACE=∠ABD=180°-75°=105°，
∵∠DAE=105°，∠BAC=30°，
∴∠DAB+∠CAE=105°-30°=75°，
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠ADB=∠CAE.
∴△ADB∽△EAC，
∴，即，
∴.
故答案为.
三、解 答 题
16. 求值：+2sin30°－tan60°- tan 45°
【正确答案】
【详解】先得出式子中的角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.
解：原式＝
17. 已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）．
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标．
【正确答案】（1）正比例函数、反比例函数的表达式为：，；（2）B点坐标是（-2，-1）
【详解】试题分析：
（1）把点A、B的坐标分别代入函数y=k1x(k1≠0)与函数中求出k1和k2的值，即可得到两个函数的解析式；
（2）把（1）中所得两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到点B的坐标.
试题解析：
解：（1）把点A（2，1）分别代入y=k1x与 可得：，k2=2 ，
∴正比例函数、反比例函数的表达式分别为：，；
（2）由题意得方程组： ，解得： ， ，
∴点B的坐标是（-2，-1）.
18. 如图，在某建筑物AC上，挂着一宣传条幅BC，站在点F处，测得条幅顶端B的仰角为30°，往条幅方向前行20米到达点E处，测得条幅顶端B的仰角为60°，求宣传条幅BC的长.（，结果到0.1米）
【正确答案】宣传条幅BC的长为17.3米.
【详解】试题分析：
先由∠F=30°，∠BEC=60°解得∠EBF=30°=∠F，从而可得BE=FE=20米，再在Rt△BEC中由sin∠BEC=即可解得BC的值.
试题解析：
∵∠BEC=∠F+∠EBF，∠F=30°，∠BEC=60°，
∴∠EBF=60°-30°=30°=∠F，
∴BE=FE=20（米）.
∵在Rt△BEC中，sin∠BEC=，
∴BC=BE×≈10×1732=17.32≈17.3（米）.
19. 如图，函数y=kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和函数的解析式
（2）根据图像写出使函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【正确答案】（1），y=-x-1；（2）x＜-2或0＜x＜1
【分析】（1）利用已知求出反比例函数的解析式，再利用两函数交点求出函数解析式；
（2）利用函数图象求出使函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【详解】（1）据题意，反比例函数的图象点A（−2，1），
∴有m＝xy＝−2，
∴反比例函数解析式，
又反比例函数的图象点B（1，n），
∴n＝−2，
∴B（1，−2），
将A、B两点代入y＝kx＋b，有，
解得，
∴函数的解析式为y＝−x−1，
（2）函数的值大于反比例函数的值时，
x取相同值，函数图象在反比例函数上方即函数大于反比例函数，
∴x＜−2或0＜x＜1.
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点，同学们应掌握．
20. 如图，点E是四边形ABCD的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）猜想=或（理由见解析
【详解】试题分析：
（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，从而可得△AEB∽△ADC，由此可得，这样就可得到BE·AD=DC·AE；
（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得= ，∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：=或（）.
试题解析：
①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE，
∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC，
又∵∠DAE=∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA，
∴=，
即BE·AD=CD·AE；
②猜想=或（），
由△BEA∽△CDA可知，=，即=，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△BAC∽△EAD，
∴=或（）.
21. 在篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈的水平距离为，球出手后水平距离为时达到高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的摸高为，那么他能否获得成功？
【正确答案】（1）；（2）能投中；（3）能拦截成功，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令x=7，求出y值，与3m比较即可作出判断；
（3）将x=1代入进而得出答案．
【详解】（1）
如图，球出手点、点（顶点）坐标分别为：，
设二次函数解析式为，将点代入可得：，
解得：，抛物线解析式为：；
（2）将点横坐标代入抛物线解析式得：
即点在抛物线上，此球一定能投中；
（3）能拦截成功．理由：将代入得
，他能拦截成功．
本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
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