四川省成都市武侯区2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案)

这是一份四川省成都市武侯区2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了下列方程中是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学模拟试卷
一.选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y2＝2 B．2x2＝3 C．xy＝﹣3 D．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝﹣2x的图象是过原点的射线
B．直线y＝﹣x+3经过第一、二、三象限
C．函数，y随x增大而增大
D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小
4．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的中线之比为（　　）
A．4：9 B．9：4 C．3：2 D．2：3
5．（4分）下列命题中，错误的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．菱形的一条对角线平分一组对角
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
6．（4分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
7．（4分）一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则估计红球的个数约为（　　）
A．35个 B．60个 C．70个 D．130个
8．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知菱形ABCD的两条对角线AC＝6，BD＝8，则菱形的边长BC＝　 　．
10．（4分）如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：DB＝2：3，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC于点F，则BF：FC＝　 　．

11．（4分）若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝　 　．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是直线BC上一点，且BE＝BO，连接AE，若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数是　 　．

13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象上有A，B两点，从点A作AD⊥y轴于点D，从点B作BC⊥x轴于点C．已知△OAB的面积为，△OCD的面积为3，则k＝　 　．

三、解答题（本大题共5个小题.共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0
（2）x（x﹣2）＝x﹣2
15．（8分）某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）

16．（8分）“五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同．
（1）求小明去通海秀山公园的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率．
17．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB＝8，AD＝2CD，求CE的长．

18．（10分）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．

B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）在比例尺为1：4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为　 　km．
20．（4分）如图，在△ABC中，点M为BC中点，以M为圆心MB为半径所作的圆弧交边AB于点D，若AD＝3BD＝3，则CA2﹣CB2＝　 　．

21．（4分）若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选一个数，记为c，则关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0没有实数根的概率为　 　．
22．（4分）如图，已知直线y＝﹣4x与双曲线y＝交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为　 　．

23．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，若E，F分别是AD，DC边上的动点，AE＝DF，AF与BE交于点P，连接DP．则DP的最小值为 　 　．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中平行于y轴的直线m经过A（a，b），其中a，b，c满足（a+3）+|b﹣4|+＝0，在直线m上存在一点B使得OA⊥OB，C的坐标为（c，0），直线AC交y轴于点Q．
（1）直接写出A，C两点的坐标；
（2）求Q点的坐标：
（3）在y轴上找一点M，使得S△AOC＝2S△ACM，求M的坐标：
（4）点E从C点出发以每秒1个单位长度向左移动，点F从Q点出发以每秒2个单位长度向下移动，当t为多少时，S△AOE＝2S△BOF（直接写出答案）．

25．（10分）（问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：
（1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
（2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，其中∠APE＝90°，AP＝PE．
①如图2，当点P在对角线BD上时，小组发现点E恰好在射线CD上，求BP与CE之间的数量关系（过程只用说明点E在线段CD上的情况即可）；
②如图3，当P是对角线BD的延长线上一动点时，小组发现点E恰好在射线CD上，连接BE，若BE＝6，AB＝2，求△BPE的面积．


26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，4），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
初步探究
（1）写出点B的坐标　 　；
（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．
深入探究
（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论：并求出这个图形所对应的函数表达式．
拓展应用
（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．


2022-2023学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分28分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y2＝2 B．2x2＝3 C．xy＝﹣3 D．
解：A．x2﹣y2＝2是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B．2x2＝3是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．xy＝﹣3是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D． 是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
解：从正面看，如图：

故选：A．
3．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝﹣2x的图象是过原点的射线
B．直线y＝﹣x+3经过第一、二、三象限
C．函数，y随x增大而增大
D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小
解：A、函数y＝﹣2x的图象是过原点的直线，故本选项错误，不符合题意；
B、因为﹣1＜0，3＞0，所以直线y＝﹣x+3经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、因为﹣3＜0，所以函数，y随x增大而增大，故本选项正确，符合题意；
D、因为2＞0函数y＝2x﹣3，y随x增大而增大，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的中线之比为（　　）
A．4：9 B．9：4 C．3：2 D．2：3
解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴对应边上的中线的比为2：3，
故选：D．
5．（4分）下列命题中，错误的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．菱形的一条对角线平分一组对角
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故此选项错误，符合题意；
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，根据矩形性质得出，故此选项正确，不符合题意；
C．菱形的一条对角线平分一组对角；根据菱形性质得出，故此选项正确，不符合题意；
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据正方形判定得出，故此选项正确，不符合题意；
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
解：∵△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴AC∥FD，△ABC∽△DEF，
∵△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴＝，
∵AC∥FD，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝，
故选：A．
7．（4分）一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则估计红球的个数约为（　　）
A．35个 B．60个 C．70个 D．130个
解：∵摸到红球的频率依次是35%，
∴估计口袋中红色球的个数＝30%×200＝60（个）．
故选：B．
8．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠ABF，DE＝BF，
∵∠DEG＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEG，
∴∠BEG＝∠ADE，
∴∠BEG＝∠ABF，
∴EG∥BF，
∵DE＝BF，DE＝GE，
∴EG＝BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积＝2△BEF的面积＝2×BE•AF，
设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y＝（1﹣x）•x＝﹣x2+x；
当x＞1时，y＝（x﹣1）•x＝x2﹣x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知菱形ABCD的两条对角线AC＝6，BD＝8，则菱形的边长BC＝　5　．
解：如图所示：
∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5；
故答案为：5．

10．（4分）如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：DB＝2：3，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC于点F，则BF：FC＝　5：2　．

解：过D作DG∥AF交BC于G，
∴，
∵AD：DB＝2：3，
∴＝，
∵DG∥EF，
∴＝，
∵点E是CD的中点，
∴＝1，
∴CF＝GF，
∴BF：FC＝5：2，
故答案为：5：2．

11．（4分）若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝　10　．
解：根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣3）＝10．
故答案为：10．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是直线BC上一点，且BE＝BO，连接AE，若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数是　15°　．

解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵BE＝BO，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象上有A，B两点，从点A作AD⊥y轴于点D，从点B作BC⊥x轴于点C．已知△OAB的面积为，△OCD的面积为3，则k＝　4　．

解：设B（m，），
∵S△OCD＝3，
∴OD•OC＝3，即m•OD＝3，
∴OD＝，
∴A（，），
∵S△OAB＝，
∴S梯形AECB＝S△OAB﹣S△AOE+S△BOC＝S△OAB＝，
∴（+）（m﹣）＝，
解得k＝±4，
∵反比例函数y＝位于第一象限．
∴k＝4，
故答案为4．

三、解答题（本大题共5个小题.共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0
（2）x（x﹣2）＝x﹣2
解：（1）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±．
（2）∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝2
15．（8分）某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）

解：∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，
∴∠ECD＝∠BCA，
又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，
∴△ECD∽△BCA，
∴＝，
∵DE＝1.5m，CD＝3m，AC＝32m，
∴＝，
解得：AB＝16，
答：旗杆AB的高度为16m．
16．（8分）“五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同．
（1）求小明去通海秀山公园的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率．
解：（1）P（小明去通海秀山公园）＝；
（2）用表格表示所有可能的情况如下：

其中：玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、
磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）
∴P（都去玉溪汇龙生态园）＝
17．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB＝8，AD＝2CD，求CE的长．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°；
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝60°；
∴∠BAC＝∠ACE；
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）解：∵△ABD∽△CED，
∴，
∵AD＝2DC，AB＝8；
∴CE＝AB＝4．
18．（10分）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．

解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴，即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴，
∴．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝nx+5，将AB两点代入得：
则．
解得，
当m＝2时，OE＝2，，，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）在比例尺为1：4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为　120　km．
解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得：
1：4000000＝3：x，
解得：x＝12000000，
12000000厘米＝120km．
故答案为：120．
20．（4分）如图，在△ABC中，点M为BC中点，以M为圆心MB为半径所作的圆弧交边AB于点D，若AD＝3BD＝3，则CA2﹣CB2＝　8　．

解：如图，连接CD，DM，

∵点M为BC中点，
∴CM＝BM，
∵以M为圆心，MB为半径所作的圆弧交边AB于点D，
∴DM＝MB，
∴CM＝DM＝MB，
∴∠CDB＝90°＝∠ADC，
∵AD＝3BD＝3，
∴DB＝1，
∵AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2，
∴CA2﹣CB2＝AD2﹣CD2＝9﹣1＝8，
故答案为：8．
21．（4分）若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选一个数，记为c，则关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0没有实数根的概率为　　．
解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，
因为关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0没有实数根的条件为Δ＝22﹣4ac＜0，即ac＞1，
所以满足ac＞1的结果数为15，
所以关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0没有实数根的概率＝．
故答案为．
22．（4分）如图，已知直线y＝﹣4x与双曲线y＝交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为　（1，﹣4）　．

解：将y＝4代入y＝﹣4x得，4＝﹣4x，
解得x＝﹣1，即A（﹣1，4），
∵直线y＝﹣4x与双曲线y＝关于原点对称，
∴B（1，﹣4），
故答案为（1，﹣4）．
23．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，若E，F分别是AD，DC边上的动点，AE＝DF，AF与BE交于点P，连接DP．则DP的最小值为 　3﹣3　．

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∴∠BAP+∠ABP＝∠BAP+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠APB＝90°，
取AB的中点O，连接OP，DP，则OP＝＝，

∴OD＝，
∵DP≥OD﹣OP，
∴当D、P、O三点共线时，DP取最小值为：DP＝OD﹣OP＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中平行于y轴的直线m经过A（a，b），其中a，b，c满足（a+3）+|b﹣4|+＝0，在直线m上存在一点B使得OA⊥OB，C的坐标为（c，0），直线AC交y轴于点Q．
（1）直接写出A，C两点的坐标；
（2）求Q点的坐标：
（3）在y轴上找一点M，使得S△AOC＝2S△ACM，求M的坐标：
（4）点E从C点出发以每秒1个单位长度向左移动，点F从Q点出发以每秒2个单位长度向下移动，当t为多少时，S△AOE＝2S△BOF（直接写出答案）．

解：（1）∵（a+3）+|b﹣4|+＝0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，c﹣2＝0，
∴a＝﹣3，b＝4，c＝2，
∴A（﹣3，4），C（2，0）．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
∴Q点的坐标为（0，）；
（3）∵A（﹣3，4），C（2，0）．
∴S△AOC＝＝4，
∵S△AOC＝2S△ACM，
∴S△ACM＝2，
∵S△ACM＝S△AQM+S△BQM＝•（3+2）＝2，
∴QM＝，
∵Q点的坐标为（0，），
∴M（0，）或（0，）；
（4）当t＜时，S△AOE＝（2﹣t）×4，S△BOF＝（﹣2t）×3，
∵S△AOE＝2S△BOF，
∴4﹣2t＝﹣6t，解得t＝；
当＜t＜2时，S△AOE＝（2﹣t）×4，S△BOF＝（2t﹣）×3，
∵S△AOE＝2S△BOF，
∴（2﹣t）×4＝2×（2t﹣）×3，解得t＝1.1；
当t＞2时，S△AOE＝（t﹣2）×4，S△BOF＝（2t﹣）×3，
∵S△AOE＝2S△BOF，
∴（t﹣2）×4＝2×（2t﹣）×3，解得t＝（舍去），
综上，t为或1.1时，S△AOE＝2S△BOF．
25．（10分）（问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：
（1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
（2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，其中∠APE＝90°，AP＝PE．
①如图2，当点P在对角线BD上时，小组发现点E恰好在射线CD上，求BP与CE之间的数量关系（过程只用说明点E在线段CD上的情况即可）；
②如图3，当P是对角线BD的延长线上一动点时，小组发现点E恰好在射线CD上，连接BE，若BE＝6，AB＝2，求△BPE的面积．


解：（1）BP＝CE．
理由如下：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；

（2）①CE＝BP．
理由：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝DA，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACE＝∠BAC＝45°，
∴cos∠BAC＝＝，
∵Rt△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠BAC﹣∠CAP＝∠PAE﹣∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP∽△ACE，
∴，
∴＝．
即CE＝BP；

②如图3，连接AC交BD于点F，过点E作EG⊥BP交直线BP于点G，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴BC＝AB＝2，∠BAD＝90°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝45°，∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAC＝45°，∠FAP+∠APF＝90°，
∴AF＝BF，
∴BF＝AF＝AB•sin45°＝，
在Rt△APE中，∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠APF+∠EPG＝90°，
∴∠FAP＝∠EPG，
∵EG⊥BG，
∴∠AFP＝∠PGE＝90°，
∴△FAP≌△GPE（AAS），
∴FP＝EG，PG＝AF＝，
在Rt△EGB中，由勾股定理得，BE2＝BG2+EG2，
设FP＝EG＝x，
∴62＝（2+x）2+x2，
解得，x1＝4﹣，x2＝﹣4﹣（舍去），
∴S△BPE＝BP•EG＝×（4−）×4＝8﹣2．



26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，4），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
初步探究
（1）写出点B的坐标　（2，2）　；
（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．
深入探究
（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论：并求出这个图形所对应的函数表达式．
拓展应用
（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．

解：（1）如图1中，作BH⊥OA于H．

∵△AOB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝4，∠BOH＝60°
在Rt△OBH中，BH＝OB•sin60°＝2，OH＝AH＝2，
∴B（2，2）．

（2）如图2中

∵△AOB与△ACP都是等边三角形，
∴AO＝AB，AC＝AP，∠CAP＝∠OAB＝60°，
∴∠CAP+∠PAO＝∠OAB+∠PAO，
即∠CAO＝∠PAB，
在△AOC与△ABP中，
∵，
∴△AOC≌△ABP（SAS）．

（3）如图2中，∵△AOC≌△ABP（SAS）．
∴∠ABP＝∠AOC＝90°，
∴PB⊥AB，
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上．
当点P在y轴上时，得P（0，﹣4）．
∵B（2，2）．
设点P所在直线的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，
得
所以点P所在直线的函数表达式为：y＝x﹣4．

（4）如图3中，

①当OB＝BP1＝4时，OC1＝BP1＝4，此时C1（4，0）．
②当P2O＝P2B时，OC2＝BP2＝，此时C2（﹣，0）．
③当OB＝BP3＝4时，OC3＝4，此时C3（﹣4，0）．
④当OB＝OP4时，OC4＝BP4＝4，此时C4（﹣4，0），
故答案为（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣4，0）或（4，0）．