2023新乡高三下学期入学测试多校联考试题数学（理）含答案

2022~2023学年新乡市高三年级入学测试

数学（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ）

A．       B．           C．            D．

2．已知，且为实数，则实数（    ）

A．             B．             C．1             D．2

3．在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：（单位：万元）．统计后制成的频率分布直方图如图所示．在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（    ）

A．800           B．600         C．700           D．750

4．已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ）

A．        B．            C．3          D．

5．已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（    ）

A．             B．          C．                  D．

6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为．记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数    

正方形数    

五边形数    

六边形数    

可以推测的表达式，由此计算（    ）

A．4020        B．4010           C．4210            D．4120

7．如图，程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”执行该程序框图，若输入，，则输出m的值为（    ）

A．6          B．12            C．18           D．24

8．若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）

A．         B．            C．1792         D．1120

9．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若图象相邻对称轴间的距离为，对任意x，都有，且，则（    ）

A．的最大值为                   B．的图象关于点中心对称

C．的图象关于直线对称         D．在上单调递增

10．已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（    ）

A．         B．           C．          D．

l1．设函数在上的导函数为， ，对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A．         B．         C．          D．

12．已知是数列的前n项和，， ，则（    ）

A．          B．         C．           D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知向量， ，若，则________．

14．方程的实数解为________．

15．在长方体中，，，，M是棱上一点，且，则异面直线CD与BM所成角的余弦值为________．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则和的内切圆面积之和的取值范围是________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》．

17．（12分）

在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．

（1）求角A；

（2）若D为AB的中点，且，求的面积．

18．（12分）

在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式、认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考．某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：

设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为已知．

（1）求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关；

（2）从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出10人，再从抽出的10人中用简单随机抽样的方法抽取3人，若其中经常电子阅读的人数为X，求X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：

，其中．

19．（12分）

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M．

（1）证明：M为PD的中点．

（2）若二面角B-AM-C的余弦值为，求AB．

20．（12分）

已知椭圆，的三个顶点都在椭圆C上，且P为椭圆C的左顶点，直线AB经过点．

（1）求面积的最大值．

（2）若三边所在的直线斜率都存在，且分别记为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）判断极值点的个数；

（2）当时，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）设，曲线与曲线的交点为A，B，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式．

（2）若对任意，成立，求a的取值范围．

2022~2023学年新乡市高三年级入学测试

数学参考答案（理科）

1．B  因为，所以．当时，，得；若，则．故实数x的取值集合为．

2．A  因为为实数，所以．

3．C  由频率分布直方图知，，所以，所以销售价格在内的频率为，故销售价格在内的车辆台数为．

4．C  易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，

则两式相减得，整理得．因为MN的中点为，所以，即直线l的斜率为3．

5．D  设内切球O的半径为r，球的半径为R．因为正三棱锥P-ABC的体积为3，底面边长为，所以可求得侧棱长为，进而可得三棱锥P-ABC的表面积为．由，得．用一平行于底面ABC的平面去截此三棱锥，得到一个高为的棱台，那么截下去的棱锥的高是原棱锥的，根据相似关系，截下去的棱锥的体积为，根据等体积法，，解得．

6．B  由题可归纳，所以．

7．A  题中程序框图为用转相除法求2022和1314的最大公约数．因为，，，，，，所以2022和1314的最大公约数为6．

8．D  因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以．通项为，令，得，所以展开式中项的系数为C24（-1）4=1120．

9．D  因为，所以为奇函数．因为图象相邻对称轴间的距离为，所以的周期为π．因为，所以，．因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以A错误．令，得，所以图象的对称中心为，故B错误．令，得．所以图象的对称轴为，故C错误．令，得，所以的单调递增区间为，故D正确．

10．C  因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以当时，，当时，的最小值大于或等于6．当时，在上单调递减，则．由得．当时，．由得．综合可得．

11．B  因为，所以为奇函数．令，则，所以在上单调递增．因为为偶函数，所以在上单调递减．不等式等价于，因为，所以，所以不等式等价于，所以，即．

12．A  因为，所以当时，．因为，所以．当时，

，两式相减得．因为，所以．因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，所以，所以所以，，所以．

13．  因为，所以，得．

14．  令，则，整理得，解得（舍去）或，所以，故．

15．  因为，所以即异面直线CD与BM所成角．连接AM（图略），因为，，，所以，．在中，，，所以，故异面直线CD与BM所成角的余弦值为．

16．  设直线l的倾斜角为，则．设与圆的切点分别为M，N，E，因为，所以．设和的内切圆圆心分别为，半径分别为，因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，又，，所以，所以所求面积之和的取值范围是．

17．解：（1）因为，所以，          1分

所以，              2分

所以，             3分

即．                         4分

因为，所以，所以．                5分

因为，所以．                        6分

（2）在中，由余弦定理得，             8分

所以解得或．                  10分

当时．；当时，．                  12分

18．解：（1）因为，所以，              2分

解得．                   4分

因为，            5分

所以有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关．              6分

（2）由题意可知，抽出的10人中，经常电子阅读的有5人，经常纸质阅读的有5人，从中取3人，则X的可能取值为0，1，2，3．                      7分

因为；；

；．                    9分

所以X的分布列为

．                          12分

19．（1）证明：因为AC是所作球面的直径，所以．           2分

因为平面ABCD，所以．                 3分

因为，所以平面PAD，所以，

所以平面PCD，所以．                       4分

因为，所以M为PD的中点．                               5分

（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则．            6分

设平面ABM的法向量为，因为，，

所以令，则．          8分

设平面ACM的法向量为，因为， ，

所以令，得．             10分

设二面角B-AM-C为α，

则，

解得，即．                       12分

20．解：（1）因为椭圆C的方程为，所以椭圆C的左顶点．        1分

设直线AB的方程为， ，

联立方程组得，

则，                     3分

所以．             4分

因为点P到直线AB的距离，               5分

所以．

因为，所以当，即时，面积取得最大值，最大值为．        6分

（2）由（1）可知，，，               8分

所以

，

所以为定值，且．                  12分

21．（1）解：因为，所以．       1分

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以．          2分

当时，，若，则，若，则，

所以只有一个极值点．                         4分

当时，存在，，使．

当时，；当时，．

所以，；，；，；，．

所以有三个极值点．                5分

综上，当时，只有一个极值点；当时，有三个极值点．              6分

（2）证明：．             8分

令，则，所以当时，h'（x）<0，单调递减，

当时，，单调递增，所以．          9分

令，则等价于．

因为，所以等价于．               10分

令，，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以．             11分

因为，所以，故．                     12分

22．解：（1）曲线的极坐标方程为，

因为，，所以，                 2分

即曲线的直角坐标方程为．

因为曲线的极坐标方程为，

且，，

所以曲线的直角坐标方程为，

即．                        5分

（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为            6分

将曲线的参数方程代入中，得，

设A，B对应的参数分别为，则，，

所以．            8分

因为，

所以．                         10分

23．解：（1）由题知，当时，，

所以                   2分

因为，所以或或            4分

解得或或，

所以不等式的解集为．                        5分

（2）因为，所以，              7分

所以，所以，即，

所以，解得，

所以a的取值范围为．               10分