2023新乡高三下学期入学测试多校联考试题数学（文）含答案

2022~2023学年新乡市高三年级入学测试

数学（文科）

考生注意：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A．   B．   C．   D．

2．已知复数x满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

3．在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：（单位：万元）．统计后制成的频率分布直方图如图所示．在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（    ）

A．800        B．600        C．700       D．750

4．已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ）

A．        B．       C．3       D．

5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（    ）

A．        B．       C．       D．

6．已知体积为3的正三棱锥，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（    ）

A．        B．       C．       D．

7．如图，程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出m的值为（    ）

A．6        B．12         C．18         D．24

8．在中，，设点P，Q满足．若，则（    ）

A．       B．         C．         D．

9．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若图象相邻对称轴间的距离为，对任意x，都有，且，则（    ）

A．的最大值为             B．的图象关于点中心对称

C．的图象关于直线对称    D．在上单调递增

10．已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（    ）

A．       B．        C．        D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则和的内切圆面积之和的取值可能是（    ）

A．         B．         C．         D．

12．设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A．    B．    C．    D．

第Ⅱ卷

二、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

13．设x，y满足约束条件，则的最小值为___________．

l4．若．则___________．

15．在长方体中，，M是棱上一点，且，则异面直线CD与BM所成角的余弦值为___________．

16．已知函数满足：，，则___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．（12分）

已知数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）

在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式、认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考．某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：

设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为．已知．

（1）求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有的把握认为阅读习惯与年龄有关；

（2）从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出6人，再从抽出的6人中用简单随机抽样的方法抽取4人，若其中经常电子阅读的人数为X，求．

参考公式及参考数据：

，其中．

19．（12分）

在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．以AC的中点为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（异于C）．

（1）证明：M为PD的中点．

（2）若四棱锥的体积为，求N到平面ACM的距离．

20．（12分）

已知函数和有相同的最大值．

（1）证明：函数在上有且仅有一个零点．

（2）若对任意，存在，使得，求mn的最小值．

21．（12分）

已知椭圆，的三个顶点都在椭圆C上，且P为椭圆C的左顶点，直线AB经过点．

（1）求面积的最大值．

（2）若三边所在的直线斜率都存在，且分别记为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）设，曲线与曲线的交点为A，B，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意，恒成立，求a的取值范围．

2022~2023学年新乡市高三年级入学测试

数学参考答案（文科）

1．B因为，所以．

2．D因为，所以z在复平面内对应的点位于第四象限

3．C由频率分布直方图知，，所以，所以销售价格在内的频率为，故销售价格在内的车辆台数为．

4．C易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，则两式相减得，整理得．因为MN的中点为，所以，即直线l的斜率为3．

5．B因为，所以．因为，所以.

6．D设内切球O的半径为r，球的半径为R．因为正三棱锥的体积为3，底面边长为，所以可求得侧棱长为，进而可得三棱锥的表面积为．由，得．用一平行于底面ABC的平面去截此三棱锥，得到一个高为的棱台，那么截下去的棱锥的高是原棱锥的，根据相似关系，截下去的棱锥的体积为，根据等体积法，，解得．

7．A题中程序框图为用辗转相除法求2022和1314的最大公约数．因为，，，，，，所以2022和1314的最大公约数为6．

8．C设，则，，，，由，

得，即．

9．D因为，所以为奇函数．因为图象相邻对称轴间的距离为，所以的周期为．因为，所以．因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以A错误．令，得，所以图象的对称中心为，故B错误．令，得，所以图象的对称轴为，故C错误．令，得，所以的单调递增区间为，故D正确．

10．C因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以当时，，当时，的最小值大于或等于6．当时，在上单调递减，则．由得．当时，．由得．综合可得．

11．A

设直线l的倾斜角为，则．设与圆的切点分别为M，N，E，因为，所以．设和的内切圆圆心分别为，半径分别为，因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，又所以，所以所求面积之和的取值范围是．

12．B因为，所以为奇函数．令，则，所以在上单调递增．因为为偶函数，所以在上单调递减．不等式等价于，因为，所以，所以不等式等价于，所以，即．

13． 作出可行域（图略），当直线经过点时，z有最小值，．

14．  因为，所以.

15．  因为，所以即异面直线CD与BM所成角．连接AM（图略），因为，，所以．在中，，所以，故异面直线CD与BM所成角的余弦值为．

16．  令，得，取，得，同理，联立得，所以的周期为6，故．

17．解：（1）因为，所以数列是首项为，公差为2的等差数列．      2分

所以，                         4分

所以，即的通项公式为．                6分

（2）由（1）可得，                                7分

所以，                                 10分

所以．         12分

18．解：（1）因为，所以，              2分

解得．                             4分

因为，             5分

所以有的把握认为阅读习惯与年龄有关．                                6分

（2）由题意可知，抽出的6人中，经常电子阅读的有3人，分别记为A，B，C，经常纸质阅读的有3人，分别记为a，b，c，                                              8分

从中抽取4人，则基本事件有

，共15种，                      10分

其中的基本事件有，共9种

                                                                           11分

所以．                                                12分

19．（1）证明：因为AC是所作球面的直径，所以．                      2分

因为平面ABCD，所以．                            3分

因为，所以平面PAD，所以，

所以平面PCD，所以．                                  4分

因为，所以M为PD的中点．                      5分

（2）解：因为四棱锥的体积为，

所以，所以．                           6分

因为底面ABCD是矩形，所以．

因为，所以．

因为，所以，得．                          7分

因为，所以N到平面ACM的距离等于P到平面ACM距离的．             8分

因为M是PD的中点，所以P，D到平面ACM的距离相等．

因为，

所以的面积为．                     9分

因为四棱锥的体积为，

所以三棱锥的体积为．                           10分

记D到平面ACM的距离为d，

因为三棱锥与三棱锥的体积相等，

所以，得，                                  11分

故N到平面ACM的距离为．                           12分

20．（1）证明：，令，得．

当时，若，则，

若，则，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以；                             2分

当时，为常数函数，显然不合题意；

当时，若，

若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以有最小值，无最大值，不合题意．                              3分

因为，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，           4分

则，得．                                             5分

因为．

所以，

当时，，

所以，所以在上单调递增，                      6分

又，

故在上有且仅有一个零点．                                      7分

（2）解：由（1）知，所以等价于．            8分

又因为，所以，所以．

由（1）知函数在上单调递增，所以由，得，              9分

所以．                                                      10分

令，则，显然当时，，

当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即当时，mn的最小值为.                            12分

21．解：（1）因为椭圆C的方程为，所以椭圆C的左顶点．            1分

设直线AB的方程为，

联立方程组得，

则，                                   3分

所以．                 4分

因为点P到直线AB的距离，                          5分

所以．

因为，所以当，即时，面积取得最大值，最大值为．          6分

（2）由（1）可知，            8分

所以

，

所以为定值，且．                               12分

22．解：（1）曲线的极坐标方程为，

因为，所以，                         2分

即曲线的直角坐标方程为．

因为曲线的极坐标方程为，

且，

所以曲线的直角坐标方程为

即．                                                       5分

（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为              6分

将曲线的参数方程代入中，得，

设A，B对应的参数分别为，则，

所以．                             8分

因为，

所以．                                     10分

23．解：（1）由题知，当时，，

所以                                       2分

因为，所以或或           4分

解得或或，

所以不等式的解集为．                           5分

（2）因为，所以，          7分

所以，所以，即，

所以，解得，

所以a的取值范围为．