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2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题（AB卷）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（A卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1. 7的相反数是( )
A. 7 B. －7 C. D. －
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 截至2016年底，国家开发银行对“”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
4. 在一个有15万人的小镇，随机了3000人，其中有300人看电视台的早间新闻．据此，估计该镇看电视台早间新闻的约有（ ）
A. 2.5万人 B. 2万人 C. 1.5万人 D. 1万人
5. 如图，已知直线AB∥CD，∠C＝100°，∠A＝30°，则∠E的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 70° D. 100°
6. 下列计算中，没有正确的是( )
A. －2x＋3x＝x B. a6÷a3＝a3 C. (－2x2y)3＝－6x6y3 D. －＝
7. 某校篮球队13名同学的身高如下表：
身高（cm）
175
180
182
185
188
人数（个）
1
5
4
2
1
则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ）
A. 182，180 B. 180，180 C. 180，182 D. 188，182
8. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 C. 9x2﹣6x+1＝0 D. 5x+2＝3x2
9. 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11 分解因式：2x2﹣8=_______
12. 把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为_____．
13. 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为____.
14. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
16. 如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为_____．
三、解 答 题(本大题共8题，共80分)
17. 计算：|－|＋(－1)0＋2sin45°－2cos30°＋()-1
18. 先化简，再求值：，其中a＝－1．
19. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
20. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行，并依据结果绘制了以下没有完整的统计图表8.
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)表中的a＝______，b＝______，中位数落在________组，将频数分布直方图补全；
(2)估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生大约有多少名？
(3)E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
23. 已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B没有重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
24. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写
出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的值．
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（A卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1. 7的相反数是( )
A. 7 B. －7 C. D. －
【正确答案】B
【分析】根据只有符号没有同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】7的相反数是−7，
故选B.
此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义.
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】A选项：没有是轴对称图形．是对称图形，故此选项没有符合题意；
B选项：是轴对称图形，又是对称图形，故此选项符合题意；
C选项：是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项没有符合题意；
D选项：没有是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项没有符合题意．
故选B．
考查了对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
3. 截至2016年底，国家开发银行对“”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据科学记数法直接写出即可.
【详解】1600亿=160000000000=，
故选C.
本题是对科学记数法知识的考查，熟练掌握科学记数法知识是解决本题的关键.
4. 在一个有15万人的小镇，随机了3000人，其中有300人看电视台的早间新闻．据此，估计该镇看电视台早间新闻的约有（ ）
A. 2.5万人 B. 2万人 C. 1.5万人 D. 1万人
【正确答案】C
【分析】求得样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．
【详解】解：该镇看电视台早间新闻的约有15×=1.5万，
故选C．
本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度没有大．
5. 如图，已知直线AB∥CD，∠C＝100°，∠A＝30°，则∠E的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 70° D. 100°
【正确答案】C
【详解】∵AB∥CD，∠C＝100°，
∴∠BFE=∠C＝100°
∵∠A＝30°，
∴∠E=∠BFE-∠A=100°-30°=70°.
故选C.
6. 下列计算中，没有正确的是( )
A. －2x＋3x＝x B. a6÷a3＝a3 C. (－2x2y)3＝－6x6y3 D. －＝
【正确答案】C
【详解】A. ∵－2x＋3x＝x ，故正确；
B. a6÷a3＝a3 ，故正确；
C. (－2x2y)3＝－8x6y3 ，故没有正确；
D. －=－＝，故正确；
故选C
7. 某校篮球队13名同学的身高如下表：
身高（cm）
175
180
182
185
188
人数（个）
1
5
4
2
1
则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ）
A. 182，180 B. 180，180 C. 180，182 D. 188，182
【正确答案】C
【详解】试题解析：由图表可得，众数是：180cm，
中位数是：182cm.
故选C.
点睛：众数是一组数据中出现次数至多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
8. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 C. 9x2﹣6x+1＝0 D. 5x+2＝3x2
【正确答案】C
【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的根的判别式，进而作出判断．
【详解】A、x2﹣8＝0，△＝32＞0，方程有两个没有相等的实数根，此选项错误；
B、2x2﹣4x+3＝0，△＝42﹣4×2×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，此选项错误；
C、9x2﹣6x+1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项正确；
D、5x+2＝3x2＝，△（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，方程有两个没有相等的实数根，此选项错误；
故选C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
9. 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S没有变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选B．
考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．
10. 如图，正方形ABCD边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【正确答案】A
【分析】如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF，证△GCF≌△ECF，得到GF=EF，再利用勾股定理计算即可.
【详解】解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF
∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE
∴∠GCF=45°
在△GCF与△ECF中
∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∴GF=EF
∵CE=，CB=6
∴BE===3
∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x
∴EF==
∴
∴x=4，即AF=4
∴GF=5
∴DF=2
∴CF===
故选A．
本题考查1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为_____．
【正确答案】y=-x
【详解】由题意得，平移后的解析式为：
y＝－(x-1)－1=-x+1-1=-x.
故答案为y=-x.
点睛：本题考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13. 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为____.
【正确答案】24
【详解】试题分析：因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，BD与AC互相垂直且平分，因为，AB=15,所以BD=9，根据勾股定理可求的AC=12，即AC=24
考点：三角函数、菱形的性质及勾股定理；
14. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
【正确答案】k＜2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个没有等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个没有相等的实数根，
∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故k＜2且k≠1．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个没有相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
【正确答案】（10，3）
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3.
∴点E的坐标为(10,3).
故(10,3).
16. 如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为_____．
【正确答案】
【详解】连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，
∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，
在Rt△BCE中，BE==2，
∴sinα===．
故答案为．
三、解 答 题(本大题共8题，共80分)
17. 计算：|－|＋(－1)0＋2sin45°－2cos30°＋()-1
【正确答案】2018
【详解】试题分析：项根据值的意义化简，第二项非零数的零次幂等于1，第三和第四项根据角的三角函数值计算，一项负整数指数幂等于这个数正整数次幂的倒数.
解：原式＝－＋1＋2×－2×＋2017
＝2018.
18. 先化简，再求值：，其中a＝－1．
【正确答案】；．
【分析】首先将括号里面分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，将a的值代入化简后的式子进行计算，得出答案．
【详解】解：原式=
当a=－1时，原式=
本题考查分式的化简；二次根式的计算．
19. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【正确答案】旗杆AB的高度为6.4米.
【详解】分析：（1）根据坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；
（2）根据余弦的概念求出CD，根据正切的概念求出AG、BG，计算即可．
本题解析：(1)∵斜坡BC的坡度i=1:，∴tan∠BCD= ，
∴∠BCD=30°；
(2)在Rt△BCD中,CD=BC×cos∠BCD=6×=9，
则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE为矩形，∴GE=DF=10(米)，
∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，
在Rt△BEG中,BG=GE×tan∠BEG=10×0.36=3.6(米)，
则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).
答：旗杆AB的高度为6.4米．
20. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行，并依据结果绘制了以下没有完整的统计图表8.
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)表中的a＝______，b＝______，中位数落在________组，将频数分布直方图补全；
(2)估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生大约有多少名？
(3)E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【正确答案】(1)12 0.2 C (2) 300人(3)
【详解】试题分析：（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；
（2）根据每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生数即可；
（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
试题解析：解：（1）∵抽取的学生数为6÷0.15=40人，∴a=0.3×40=12人，b=8÷40=0.2，频数分布直方图如下：
故答案为12，0.2，1≤t≤1.5；
（2）该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生大约有：0.15×2000=300人；
（3）树状图如图所示：
总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，∴抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率==．
21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
【正确答案】( 1）证明见解析；（2）30°．
【分析】（1）由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，DC=DE，∠BAE=150°，∠CDE=150°，可证ΔBAE≌ΔCDE，即可证出BE=CE；
（2）由（1）知：∠AEB=∠CED=15°，从而可求∠BEC的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ ADC=90°
∵△ADE为等边三角形
∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
∴ΔBAE≌ΔCDE
∴BE=CE
解：（2）∵AB=AD， AD=AE，
∴AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
又 ∵∠BAE=150°
∴∠ABE=∠AEB=15°
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=600－15°×2=30°
本题考查等边三角形及全等三角形的判定和性质，也考查了等腰三角形等边对等角的性质，熟记相关性质定理是本题的解题关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2） （3）
【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元方程组即可解决问题．
【详解】（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△BOF∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
23. 已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B没有重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
【正确答案】（1）y＝－x2－x＋8（2）
【详解】试题分析:(1)求出一元二次方程的两根即可求出两点坐标,把B、C两点坐标代入二次函数的解析式就可解答；
(2)过点F作FG⊥AB，垂足为G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，利用sin∠FEG=sin∠CAB求FG，根据S=S△BCE-S△BFE，求S与m之间的函数关系式.
解:(1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∴B（2，0）、C（0，8）
∴所求二次函数的表达式为y＝－x2－x＋8
（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.
∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.
∴＝. 即＝. ∴EF＝.
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG＝sin∠CAB＝.∴＝.
∴FG＝·＝8－m.
∴S＝S△BCE－S△BFE
＝
（0＜m＜8）
点睛:本题考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数关系系，相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义，割补法求图形的面积，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
24. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写
出S与h之间函数关系式，并求出面积S的值．
【正确答案】（1）∠BME=15°；（2）BC=；（3）①h＜2时，S=h2+4h+8(值为15-)；②2≤h＜6-2时，S=18-h2（值为15-）；③6-2≤h≤6时，S=（6-h）2（值为6）
【分析】（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6-2时，③6-2≤h≤6时，依此即可求解．
【详解】解：（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；
(2)如图3，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，
∵△CMN∽△CED，
∴，
∴，
解得FM=4﹣，
∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（4-4﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，
S=15-．
②当2≤h＜6-2时，
S=S△AOB-S△ACM=×6×6-h（h+）=18-h2，
S=15-．
③如图3，当6-2＜h≤6时，
S=S△OMC=OB×OC=（6-h）2，
S=6．
综上所述，①h＜2时，S=h2+4h+8(值为15-)；②2≤h＜6-2时，S=18-h2（值为15-）；③6-2≤h≤6时，S=（6-h）2（值为6）
本题考查了相似综合题．此题综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理，难度较大．对于第（3）题这类有关于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分。）
1. 在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A 0 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
2. 近两年，中国倡导的“”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.8×105 B. 1.8×104 C. 0.18×106 D. 18×104
3. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，则∠C度数为（ ）
A. 115° B. 75° C. 95° D. 无法求
4. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，AB ∥CD ，AD和 BC相交于点 O，∠A＝20°，∠COD ＝100°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
6. 在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，1）
7. 抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A. b=2，c=﹣6 B. b=2，c=0 C. b=﹣6，c=8 D. b=﹣6，c=2
8. 受季节影响，某种商品每件按原售价降价10%，又降价a元，现每件售价为b元，那么该商品每件的原售价为（ ）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水没有出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A. 5L B. 3.75L C. 2.5L D. 1.25L
10. 如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，…都在直线上，则的坐标是（ ）
A. （2017，2017） B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12. 若，，则________．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．
14. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
15. 如图，O为坐标原点，点B在轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，则点C的坐标为（_____，_____）.
16. 如图以直角三角形ABC斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________
三、解 答 题（本题有8小题，共80分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
19. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行，按做义工的时间（单位：小时），将学生分成五类： 类（ ），类（），类（），类（），类（），绘制成尚没有完整的条形统计图如图11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 类学生有 人，补全条形统计图；
（2）类学生人数占被总人数的 %；
（3）从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在 中的概率．
20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
21. 如图,在△ACB中,AB=AC=5,BC=6,点D在△ACB外接圆的弧AC上, AE⊥BC于点E,连结DA,DB．
(1)求tan∠D的值.
(2)作射线CD,过点A分别作AH⊥BD,AF⊥CD,垂足分别为H,F. 求证:DH=DF.
22. （11·贺州）
某生姜种植计划种植A、B两种生姜30亩．已知A、B两种生姜的年产量分别为2 000千克/亩、2 500千克/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克．
（1）若该收获两种生姜的年总产量为68 000千克，求A、B两种生姜各种多少亩？
（2）若要求种植A种生姜的亩数没有少于B种的一半，那么种植A、B两种生姜各多少亩时，
全部收购该生姜的年总收入至多？至多是多少元？
23. 如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
24. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，在同一直线上，，，.如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为1，与交于点，与BD交于点K；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1.过点作，垂足为，交于点，连接，当点停止运动时，也停止运动.设运动为.解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，
①当t为 秒时，以PQ为直径圆与PE相切，
②当t为 秒时，以PQ的中点为圆心，以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分。）
1. 在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A. 0 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
【正确答案】D
【详解】解：∵在0、2、-1、-2这四个数中-2＜-1＜0，0＜2，
∴在0、2、-1、-2这四个数中，最小的数是-2，
故选D．
2. 近两年，中国倡导的“”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.8×105 B. 1.8×104 C. 0.18×106 D. 18×104
【正确答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】180000=1.8×105，
故选A．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，则∠C的度数为（ ）
A. 115° B. 75° C. 95° D. 无法求
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A
＝180°－85°
＝95°．
故选C．
点睛：本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
4. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
5. 如图，AB ∥CD ，AD和 BC相交于点 O，∠A＝20°，∠COD ＝100°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据平行线性质求出∠D，根据三角形的内角和定理得出∠C=180°﹣∠D﹣∠COD，代入求出即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠D=∠A=20°，
∵∠COD=100°，
∴∠C=180°﹣∠D﹣∠COD=60°，
故选C．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
6. 在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，1）
【正确答案】A
【详解】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选A．
7. 抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A. b=2，c=﹣6 B. b=2，c=0 C. b=﹣6，c=8 D. b=﹣6，c=2
【正确答案】B
【详解】解∶函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=0．
故选B．
8. 受季节的影响，某种商品每件按原售价降价10%，又降价a元，现每件售价为b元，那么该商品每件的原售价为（ ）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
【正确答案】A
【详解】
9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水没有出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A. 5L B. 3.75L C. 2.5L D. 1.25L
【正确答案】B
【详解】每分钟的进水量为：20÷4=5（升），
每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升），
故选B．
10. 如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，…都在直线上，则的坐标是（ ）
A. （2017，2017） B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
【正确答案】D
【详解】试题分析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足C，
由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，
∴CO＝OB1cos30°＝，
∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y＝上，AO＝2，
∴直线AA1的解析式为：y＝＋2，
∴y＝＋2＝3，
∴A1（，3），
同理可得出：A2的横坐标为：，
∴y＝＋2＝4，
∴A2（，4），
∴A3（，5），
…
A2017（，2019）．
故选D．
点睛：本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【正确答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须.
故答案为
12. 若，，则________．
【正确答案】4或0
【详解】试题分析：∵a2＝4，
∴a＝±2，
当a＝2时，a＋b＝2＋2＝4；
当a＝－2时，a＋b＝－2＋2＝0．
所以a＋b＝4或0，
故答案为4或0．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．
【正确答案】2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
14. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
【正确答案】5
【详解】【分析】抓住平均数和中位数都7，可以列出（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，解方程得.
【详解】∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴这组数据的众数是5．
故正确5.
本题考核知识点：平均数、中位数. 解题关键：抓住题中涉及的数量关系，列出相关式子.
15. 如图，O为坐标原点，点B在轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，则点C的坐标为（_____，_____）.
【正确答案】
【详解】试题分析：设OA＝a（a＞0），过点A作AH⊥x轴，过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由平行四边形性质可证得OH＝BN，
∵sin∠AOB＝，
∴AH＝a，OH＝a，
∴S△AOH＝·a·a＝a2，
∵S△AOF＝12，
∴S平行四边形AOBC＝24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF＝6，
∵BF＝a，∠FBM＝∠AOB，
∴FM＝a，BM＝a，
∴S△BMF＝BM·FM＝·a·a ＝a2，
∴S△FOM＝S△OBF＋S△BMF＝6＋a2，
∵点A，F都在y＝的图象上，
∴S△AOH＝S△FOM＝k，
∴a2＝6＋a2，
∴a＝，
∴OA＝，
∴AH＝，OH＝，
∵S平行四边形AOBC＝OB•AH＝24，
∴OB＝AC＝，
∴ON＝OB＋OH＝，
∴C．
故答案为，．
点睛：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形的思想．
16. 如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________
【正确答案】16．
【详解】试题分析：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG．
∵∠ABO＝90°－∠AHB，∠OCG＝90°－∠OHC，∠OHC＝∠AHB，
∴∠ABO＝∠OCG．
∵OB＝OC，CG＝AB，
∴△OGC≌△OAB，
∴OG＝OA＝，∠BOA＝∠GOC．
∵∠GOC＋∠GOH＝90°，
∴∠GOH＋∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°．
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝＝12．
∴AC＝16．
故答案为16．
点睛：本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
三、解 答 题（本题有8小题，共80分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【正确答案】（1）-4；（2）
【详解】试题分析：（1）先计算乘方，0指数幂，代入角三角函数值，化简值，然后利用实数的运算法则计算即可；
（2）先计算单项式乘多项式，利用平方差公式计算，然后合并同类项即可．
试题解析：
解：（1）原式＝－4＋1－2×＋－1
＝－3－＋－1
＝－4；
（2）原式＝3a－2a2＋2a2－2
＝3a－2．
点睛：本题考查了实数的运算和整式的混合运算，解题的关键是熟知角的三角函数值、掌握相关的运算法则和运算公式．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
【正确答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF．
【详解】证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．
19. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行，按做义工的时间（单位：小时），将学生分成五类： 类（ ），类（），类（），类（），类（），绘制成尚没有完整的条形统计图如图11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 类学生有 人，补全条形统计图；
（2）类学生人数占被总人数的 %；
（3）从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在 中的概率．
【正确答案】（1）5；（2）36%；（3）.
【详解】试题分析：（1）根据：数据总数-已知的小组频数=所求的小组频数，进行求解，然后根据所求数据补全条形图即可；
（2）根据：小组频数= ，进行求解即可；
（3）利用列举法求概率即可.
试题解析：
（1）E类：50-2-3-22-18＝5（人），故答案为5；
补图如下：
（2）D类：1850×＝36%，故答案为36%；
（3）设这5人为
有以下10种情况：
其中，两人都在 的概率是： .
20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积＝＋－－＝－求解，再求出BO扫过的面积＝，然后计算即可得解．
试题解析：
解：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，OA＝＝，
∵AB所扫过的面积＝＋－－＝－，
BO扫过的面积＝，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和
＝－＋
＝
＝
＝．
点睛：本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（2）表示出两线段扫过的面积之和等于扇形的面积．
21. 如图,在△ACB中,AB=AC=5,BC=6,点D在△ACB外接圆的弧AC上, AE⊥BC于点E,连结DA,DB．
(1)求tan∠D的值.
(2)作射线CD,过点A分别作AH⊥BD,AF⊥CD,垂足分别为H,F. 求证:DH=DF.
【正确答案】（1）tanD=；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质求出EC，根据勾股定理求出AE，根据圆周角定理得到∠D＝∠C，根据正切的概念计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质定理证明即可．
试题解析：
（1）解：∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴EC＝BC＝3，
∴AE＝＝4，
∴tan∠C＝＝，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴tan∠D＝；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，又∠ACB＝∠ADH，∠ADF＝∠ABC，
∴∠ADH＝∠ADF，
又AH⊥BD，AF⊥CD，
∴∠DAH＝∠DAF，
∴DH＝DF．
点睛：本题考查的是三角形的外接圆的概念和性质，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质是解题的关键．
22. （11·贺州）
某生姜种植计划种植A、B两种生姜30亩．已知A、B两种生姜的年产量分别为2 000千克/亩、2 500千克/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克．
（1）若该收获两种生姜的年总产量为68 000千克，求A、B两种生姜各种多少亩？
（2）若要求种植A种生姜的亩数没有少于B种的一半，那么种植A、B两种生姜各多少亩时，
全部收购该生姜的年总收入至多？至多是多少元？
【正确答案】解：（1）设该种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30－x)亩，
根据题意，2 000x＋2 500(30－x)＝68 000
解得x＝14
∴30－x＝16
答：种植A种生姜14亩，那么种植B种生姜16亩.
解得x≥10 ………………5分
设全部收购该生姜的年总收入为y元，则
y＝8×2 000x＋7×2 500(30－x)
＝－1 500 x＋525 000 ………………7分
∵y随x增大而减小，当x＝10时，y有值
此时，30－x＝20，y的值为510 000元 ………………8分
答：种植A种生姜10亩，那么种植B种生姜20亩，全部收购该生姜的年总收入至多为510 000元. ………………9分
【详解】试题分析：（1）设该种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B种生姜的产量=总产量，列方程求解；
（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数没有少于B种的一半，列没有等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的值．
试题解析：(1)设该种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，
根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，
解得x=14，
∴30-x=16，
答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；
(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，
设全部收购该生姜的年总收入为y元，则
y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，
∵y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有值，
此时，30-x=20，y的值为510000元，
答：种植A种生姜10亩，种植B种生姜20亩时，全部收购该生姜的年总收入至多，至多为510000元.
本题考查了函数的应用．关键是根据总产量=A种生姜的产量+B种生姜的产量，列方程或函数关系式．
23. 如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
【正确答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .
【详解】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：
解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2＋x＋4；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，t2＋t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，
当∠PBE＝∠OCD时，
则△PBE∽△OCD，
∴，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（没有合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
当∠PBE＝∠CDO时，
则△PBE∽△ODC，
∴，即BP•OC＝DO•PE，
∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均没有合题意，舍去）
综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠P＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴，即OQ•AQ＝CO•AB，
设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，
∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，
∴PM＝PC•sin∠PCQ＝t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（10﹣t），
∴t ＝（10﹣t），解得t＝，
②当m＝8时，同理可求得t＝，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
24. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，在同一直线上，，，.如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为1，与交于点，与BD交于点K；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1.过点作，垂足为，交于点，连接，当点停止运动时，也停止运动.设运动为.解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，
①当t为 秒时，以PQ为直径的圆与PE相切，
②当t为 秒时，以PQ的中点为圆心，以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.
【正确答案】（1）；（2）t=2；（3）①t=，②t=4，r=2 .
【详解】试题分析：（1）如图1中，当PQ∥BD时，，可得，解方程即可；
（2）假设存在，如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ，由此计算出五边形AFPQM的面积．根据题意列出方程即可解决问题；
（3）①当以PQ为直径的圆与PE相切时，PQ⊥PE，可证得△PFE∽△QCP，得到，然后代入含t的式子，列出方程即可求出t的值；
②设PQ的中点为O，连接BO并延长，交CD与点J，过O作OI⊥BC，过J作JK⊥BD．由过点O的圆与BC、BD都相切可证得BJ平分∠DBC，根据角平分线的性质可得JC＝JK，BK＝BC＝8，DK＝BD－BK＝2，JC＝JK＝x，在Rt△JKD中，由勾股定理求出JC的值，由O是PQ的中点，根据三角形中位线的性质用t表示OI，PI，进而表示出BI，然后由△BOI∽△BJC得，代入数据即可求出t的值，进而求出圆的半径．
试题解析：
解：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，
∴，即，
解得：t＝；
（2）由∠MQD＋∠CDB＝∠CBD＋∠CDB＝90°，
可得∠MQD＝∠CBD.
又∠MDQ＝∠C＝90°，
∴△MDQ∽△DCB，
∴，
即，
∴MD＝，
则S五边形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ
＝AB×BF＋AB×BC－PC×CQ－MD×DQ
＝×6×(8－t)＋6×8－(8－t)×t－××(6－t)
＝（0＜t＜6）．
假使存在t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8，
则S五边形AFPQM＝S矩形ABCD＝54，
即＝54，
整理得t2－20t＋36＝0，
解得t1＝2，t2＝18＞6（舍去），
答：当t＝2，S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8；
（3）①当以PQ为直径的圆与PE相切时，PQ⊥PE，
∴∠EPF＋∠QPC＝90°，
又∵∠E＋∠EPF＝90°，
∴∠E＝∠QPC，
∵∠EFP＝∠C＝90°，
∴△PFE∽△QCP，
∴，
∴，
解得t＝，
即t＝秒时，以PQ为直径的圆与PE相切；
②设PQ的中点为O，连接BO并延长，交CD与点J，过O作OI⊥BC，过J作JK⊥BD，
∵过点O的圆与BC、BD都相切，
∴BJ平分∠DBC，
∵∠C＝90°，JK⊥BD，
∴JC＝JK，BK＝BC＝8，
DK＝BD－BK＝10－8＝2，
设JC＝JK＝x，则JD＝6－x，
在Rt△JKD中，由勾股定理得：x2＋22＝(6－x)2，
解得x＝，
CP＝BC－BP＝8－t，
∵O是PQ的中点，OI⊥BC，
∴OI＝CQ＝t，PI＝CI＝(8－t)＝4－t，
∴BI＝BP＋PI＝t＋4－t＝4＋t，
∵OI⊥BC，∠C＝90°，
∴OI∥JC，
∴△BOI∽△BJC，
∴，
即，
解得t＝4，
此时圆的半径为OI＝t＝2．
故答案为4，2．
点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求多边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（A卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1. 7的相反数是( )
A. 7 B. －7 C. D. －
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 截至2016年底，国家开发银行对“”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
4. 在一个有15万人的小镇，随机了3000人，其中有300人看电视台的早间新闻．据此，估计该镇看电视台早间新闻的约有（ ）
A. 2.5万人 B. 2万人 C. 1.5万人 D. 1万人
5. 如图，已知直线AB∥CD，∠C＝100°，∠A＝30°，则∠E的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 70° D. 100°
6. 下列计算中，没有正确的是( )
A. －2x＋3x＝x B. a6÷a3＝a3 C. (－2x2y)3＝－6x6y3 D. －＝
7. 某校篮球队13名同学的身高如下表：
身高（cm）
175
180
182
185
188
人数（个）
1
5
4
2
1
则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ）
A. 182，180 B. 180，180 C. 180，182 D. 188，182
8. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 C. 9x2﹣6x+1＝0 D. 5x+2＝3x2
9. 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11 分解因式：2x2﹣8=_______
12. 把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为_____．
13. 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为____.
14. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
16. 如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为_____．
三、解 答 题(本大题共8题，共80分)
17. 计算：|－|＋(－1)0＋2sin45°－2cos30°＋()-1
18. 先化简，再求值：，其中a＝－1．
19. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
20. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行，并依据结果绘制了以下没有完整的统计图表8.
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)表中的a＝______，b＝______，中位数落在________组，将频数分布直方图补全；
(2)估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生大约有多少名？
(3)E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
23. 已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B没有重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
24. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写
出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的值．
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（A卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1. 7的相反数是( )
A. 7 B. －7 C. D. －
【正确答案】B
【分析】根据只有符号没有同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】7的相反数是−7，
故选B.
此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义.
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】A选项：没有是轴对称图形．是对称图形，故此选项没有符合题意；
B选项：是轴对称图形，又是对称图形，故此选项符合题意；
C选项：是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项没有符合题意；
D选项：没有是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项没有符合题意．
故选B．
考查了对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
3. 截至2016年底，国家开发银行对“”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据科学记数法直接写出即可.
【详解】1600亿=160000000000=，
故选C.
本题是对科学记数法知识的考查，熟练掌握科学记数法知识是解决本题的关键.
4. 在一个有15万人的小镇，随机了3000人，其中有300人看电视台的早间新闻．据此，估计该镇看电视台早间新闻的约有（ ）
A. 2.5万人 B. 2万人 C. 1.5万人 D. 1万人
【正确答案】C
【分析】求得样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．
【详解】解：该镇看电视台早间新闻的约有15×=1.5万，
故选C．
本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度没有大．
5. 如图，已知直线AB∥CD，∠C＝100°，∠A＝30°，则∠E的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 70° D. 100°
【正确答案】C
【详解】∵AB∥CD，∠C＝100°，
∴∠BFE=∠C＝100°
∵∠A＝30°，
∴∠E=∠BFE-∠A=100°-30°=70°.
故选C.
6. 下列计算中，没有正确的是( )
A. －2x＋3x＝x B. a6÷a3＝a3 C. (－2x2y)3＝－6x6y3 D. －＝
【正确答案】C
【详解】A. ∵－2x＋3x＝x ，故正确；
B. a6÷a3＝a3 ，故正确；
C. (－2x2y)3＝－8x6y3 ，故没有正确；
D. －=－＝，故正确；
故选C
7. 某校篮球队13名同学的身高如下表：
身高（cm）
175
180
182
185
188
人数（个）
1
5
4
2
1
则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ）
A. 182，180 B. 180，180 C. 180，182 D. 188，182
【正确答案】C
【详解】试题解析：由图表可得，众数是：180cm，
中位数是：182cm.
故选C.
点睛：众数是一组数据中出现次数至多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
8. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 C. 9x2﹣6x+1＝0 D. 5x+2＝3x2
【正确答案】C
【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的根的判别式，进而作出判断．
【详解】A、x2﹣8＝0，△＝32＞0，方程有两个没有相等的实数根，此选项错误；
B、2x2﹣4x+3＝0，△＝42﹣4×2×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，此选项错误；
C、9x2﹣6x+1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项正确；
D、5x+2＝3x2＝，△（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，方程有两个没有相等的实数根，此选项错误；
故选C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
9. 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S没有变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选B．
考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．
10. 如图，正方形ABCD边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【正确答案】A
【分析】如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF，证△GCF≌△ECF，得到GF=EF，再利用勾股定理计算即可.
【详解】解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF
∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE
∴∠GCF=45°
在△GCF与△ECF中
∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∴GF=EF
∵CE=，CB=6
∴BE===3
∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x
∴EF==
∴
∴x=4，即AF=4
∴GF=5
∴DF=2
∴CF===
故选A．
本题考查1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为_____．
【正确答案】y=-x
【详解】由题意得，平移后的解析式为：
y＝－(x-1)－1=-x+1-1=-x.
故答案为y=-x.
点睛：本题考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13. 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为____.
【正确答案】24
【详解】试题分析：因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，BD与AC互相垂直且平分，因为，AB=15,所以BD=9，根据勾股定理可求的AC=12，即AC=24
考点：三角函数、菱形的性质及勾股定理；
14. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
【正确答案】k＜2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个没有等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个没有相等的实数根，
∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故k＜2且k≠1．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个没有相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
【正确答案】（10，3）
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3.
∴点E的坐标为(10,3).
故(10,3).
16. 如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为_____．
【正确答案】
【详解】连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，
∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，
在Rt△BCE中，BE==2，
∴sinα===．
故答案为．
三、解 答 题(本大题共8题，共80分)
17. 计算：|－|＋(－1)0＋2sin45°－2cos30°＋()-1
【正确答案】2018
【详解】试题分析：项根据值的意义化简，第二项非零数的零次幂等于1，第三和第四项根据角的三角函数值计算，一项负整数指数幂等于这个数正整数次幂的倒数.
解：原式＝－＋1＋2×－2×＋2017
＝2018.
18. 先化简，再求值：，其中a＝－1．
【正确答案】；．
【分析】首先将括号里面分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，将a的值代入化简后的式子进行计算，得出答案．
【详解】解：原式=
当a=－1时，原式=
本题考查分式的化简；二次根式的计算．
19. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【正确答案】旗杆AB的高度为6.4米.
【详解】分析：（1）根据坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；
（2）根据余弦的概念求出CD，根据正切的概念求出AG、BG，计算即可．
本题解析：(1)∵斜坡BC的坡度i=1:，∴tan∠BCD= ，
∴∠BCD=30°；
(2)在Rt△BCD中,CD=BC×cos∠BCD=6×=9，
则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE为矩形，∴GE=DF=10(米)，
∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，
在Rt△BEG中,BG=GE×tan∠BEG=10×0.36=3.6(米)，
则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).
答：旗杆AB的高度为6.4米．
20. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行，并依据结果绘制了以下没有完整的统计图表8.
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)表中的a＝______，b＝______，中位数落在________组，将频数分布直方图补全；
(2)估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生大约有多少名？
(3)E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【正确答案】(1)12 0.2 C (2) 300人(3)
【详解】试题分析：（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；
（2）根据每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生数即可；
（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
试题解析：解：（1）∵抽取的学生数为6÷0.15=40人，∴a=0.3×40=12人，b=8÷40=0.2，频数分布直方图如下：
故答案为12，0.2，1≤t≤1.5；
（2）该校2000名学生中，每周课余阅读时间没有足0.5小时的学生大约有：0.15×2000=300人；
（3）树状图如图所示：
总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，∴抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率==．
21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
【正确答案】( 1）证明见解析；（2）30°．
【分析】（1）由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，DC=DE，∠BAE=150°，∠CDE=150°，可证ΔBAE≌ΔCDE，即可证出BE=CE；
（2）由（1）知：∠AEB=∠CED=15°，从而可求∠BEC的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ ADC=90°
∵△ADE为等边三角形
∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
∴ΔBAE≌ΔCDE
∴BE=CE
解：（2）∵AB=AD， AD=AE，
∴AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
又 ∵∠BAE=150°
∴∠ABE=∠AEB=15°
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=600－15°×2=30°
本题考查等边三角形及全等三角形的判定和性质，也考查了等腰三角形等边对等角的性质，熟记相关性质定理是本题的解题关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2） （3）
【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元方程组即可解决问题．
【详解】（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△BOF∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
23. 已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B没有重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
【正确答案】（1）y＝－x2－x＋8（2）
【详解】试题分析:(1)求出一元二次方程的两根即可求出两点坐标,把B、C两点坐标代入二次函数的解析式就可解答；
(2)过点F作FG⊥AB，垂足为G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，利用sin∠FEG=sin∠CAB求FG，根据S=S△BCE-S△BFE，求S与m之间的函数关系式.
解:(1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∴B（2，0）、C（0，8）
∴所求二次函数的表达式为y＝－x2－x＋8
（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.
∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.
∴＝. 即＝. ∴EF＝.
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG＝sin∠CAB＝.∴＝.
∴FG＝·＝8－m.
∴S＝S△BCE－S△BFE
＝
（0＜m＜8）
点睛:本题考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数关系系，相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义，割补法求图形的面积，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
24. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写
出S与h之间函数关系式，并求出面积S的值．
【正确答案】（1）∠BME=15°；（2）BC=；（3）①h＜2时，S=h2+4h+8(值为15-)；②2≤h＜6-2时，S=18-h2（值为15-）；③6-2≤h≤6时，S=（6-h）2（值为6）
【分析】（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6-2时，③6-2≤h≤6时，依此即可求解．
【详解】解：（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；
(2)如图3，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，
∵△CMN∽△CED，
∴，
∴，
解得FM=4﹣，
∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（4-4﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，
S=15-．
②当2≤h＜6-2时，
S=S△AOB-S△ACM=×6×6-h（h+）=18-h2，
S=15-．
③如图3，当6-2＜h≤6时，
S=S△OMC=OB×OC=（6-h）2，
S=6．
综上所述，①h＜2时，S=h2+4h+8(值为15-)；②2≤h＜6-2时，S=18-h2（值为15-）；③6-2≤h≤6时，S=（6-h）2（值为6）
本题考查了相似综合题．此题综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理，难度较大．对于第（3）题这类有关于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分。）
1. 在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A 0 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
2. 近两年，中国倡导的“”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.8×105 B. 1.8×104 C. 0.18×106 D. 18×104
3. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，则∠C度数为（ ）
A. 115° B. 75° C. 95° D. 无法求
4. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，AB ∥CD ，AD和 BC相交于点 O，∠A＝20°，∠COD ＝100°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
6. 在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，1）
7. 抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A. b=2，c=﹣6 B. b=2，c=0 C. b=﹣6，c=8 D. b=﹣6，c=2
8. 受季节影响，某种商品每件按原售价降价10%，又降价a元，现每件售价为b元，那么该商品每件的原售价为（ ）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水没有出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A. 5L B. 3.75L C. 2.5L D. 1.25L
10. 如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，…都在直线上，则的坐标是（ ）
A. （2017，2017） B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12. 若，，则________．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．
14. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
15. 如图，O为坐标原点，点B在轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，则点C的坐标为（_____，_____）.
16. 如图以直角三角形ABC斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________
三、解 答 题（本题有8小题，共80分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
19. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行，按做义工的时间（单位：小时），将学生分成五类： 类（ ），类（），类（），类（），类（），绘制成尚没有完整的条形统计图如图11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 类学生有 人，补全条形统计图；
（2）类学生人数占被总人数的 %；
（3）从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在 中的概率．
20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
21. 如图,在△ACB中,AB=AC=5,BC=6,点D在△ACB外接圆的弧AC上, AE⊥BC于点E,连结DA,DB．
(1)求tan∠D的值.
(2)作射线CD,过点A分别作AH⊥BD,AF⊥CD,垂足分别为H,F. 求证:DH=DF.
22. （11·贺州）
某生姜种植计划种植A、B两种生姜30亩．已知A、B两种生姜的年产量分别为2 000千克/亩、2 500千克/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克．
（1）若该收获两种生姜的年总产量为68 000千克，求A、B两种生姜各种多少亩？
（2）若要求种植A种生姜的亩数没有少于B种的一半，那么种植A、B两种生姜各多少亩时，
全部收购该生姜的年总收入至多？至多是多少元？
23. 如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
24. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，在同一直线上，，，.如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为1，与交于点，与BD交于点K；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1.过点作，垂足为，交于点，连接，当点停止运动时，也停止运动.设运动为.解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，
①当t为 秒时，以PQ为直径圆与PE相切，
②当t为 秒时，以PQ的中点为圆心，以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.
2022-2023学年浙江省台州市九年级上册数学第一次月考模拟题
（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分。）
1. 在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A. 0 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
【正确答案】D
【详解】解：∵在0、2、-1、-2这四个数中-2＜-1＜0，0＜2，
∴在0、2、-1、-2这四个数中，最小的数是-2，
故选D．
2. 近两年，中国倡导的“”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.8×105 B. 1.8×104 C. 0.18×106 D. 18×104
【正确答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】180000=1.8×105，
故选A．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，则∠C的度数为（ ）
A. 115° B. 75° C. 95° D. 无法求
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A
＝180°－85°
＝95°．
故选C．
点睛：本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
4. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
5. 如图，AB ∥CD ，AD和 BC相交于点 O，∠A＝20°，∠COD ＝100°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据平行线性质求出∠D，根据三角形的内角和定理得出∠C=180°﹣∠D﹣∠COD，代入求出即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠D=∠A=20°，
∵∠COD=100°，
∴∠C=180°﹣∠D﹣∠COD=60°，
故选C．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
6. 在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，1）
【正确答案】A
【详解】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选A．
7. 抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A. b=2，c=﹣6 B. b=2，c=0 C. b=﹣6，c=8 D. b=﹣6，c=2
【正确答案】B
【详解】解∶函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=0．
故选B．
8. 受季节的影响，某种商品每件按原售价降价10%，又降价a元，现每件售价为b元，那么该商品每件的原售价为（ ）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
【正确答案】A
【详解】
9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水没有出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A. 5L B. 3.75L C. 2.5L D. 1.25L
【正确答案】B
【详解】每分钟的进水量为：20÷4=5（升），
每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升），
故选B．
10. 如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，…都在直线上，则的坐标是（ ）
A. （2017，2017） B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
【正确答案】D
【详解】试题分析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足C，
由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，
∴CO＝OB1cos30°＝，
∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y＝上，AO＝2，
∴直线AA1的解析式为：y＝＋2，
∴y＝＋2＝3，
∴A1（，3），
同理可得出：A2的横坐标为：，
∴y＝＋2＝4，
∴A2（，4），
∴A3（，5），
…
A2017（，2019）．
故选D．
点睛：本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【正确答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须.
故答案为
12. 若，，则________．
【正确答案】4或0
【详解】试题分析：∵a2＝4，
∴a＝±2，
当a＝2时，a＋b＝2＋2＝4；
当a＝－2时，a＋b＝－2＋2＝0．
所以a＋b＝4或0，
故答案为4或0．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．
【正确答案】2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
14. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
【正确答案】5
【详解】【分析】抓住平均数和中位数都7，可以列出（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，解方程得.
【详解】∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴这组数据的众数是5．
故正确5.
本题考核知识点：平均数、中位数. 解题关键：抓住题中涉及的数量关系，列出相关式子.
15. 如图，O为坐标原点，点B在轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，则点C的坐标为（_____，_____）.
【正确答案】
【详解】试题分析：设OA＝a（a＞0），过点A作AH⊥x轴，过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由平行四边形性质可证得OH＝BN，
∵sin∠AOB＝，
∴AH＝a，OH＝a，
∴S△AOH＝·a·a＝a2，
∵S△AOF＝12，
∴S平行四边形AOBC＝24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF＝6，
∵BF＝a，∠FBM＝∠AOB，
∴FM＝a，BM＝a，
∴S△BMF＝BM·FM＝·a·a ＝a2，
∴S△FOM＝S△OBF＋S△BMF＝6＋a2，
∵点A，F都在y＝的图象上，
∴S△AOH＝S△FOM＝k，
∴a2＝6＋a2，
∴a＝，
∴OA＝，
∴AH＝，OH＝，
∵S平行四边形AOBC＝OB•AH＝24，
∴OB＝AC＝，
∴ON＝OB＋OH＝，
∴C．
故答案为，．
点睛：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形的思想．
16. 如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________
【正确答案】16．
【详解】试题分析：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG．
∵∠ABO＝90°－∠AHB，∠OCG＝90°－∠OHC，∠OHC＝∠AHB，
∴∠ABO＝∠OCG．
∵OB＝OC，CG＝AB，
∴△OGC≌△OAB，
∴OG＝OA＝，∠BOA＝∠GOC．
∵∠GOC＋∠GOH＝90°，
∴∠GOH＋∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°．
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝＝12．
∴AC＝16．
故答案为16．
点睛：本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
三、解 答 题（本题有8小题，共80分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【正确答案】（1）-4；（2）
【详解】试题分析：（1）先计算乘方，0指数幂，代入角三角函数值，化简值，然后利用实数的运算法则计算即可；
（2）先计算单项式乘多项式，利用平方差公式计算，然后合并同类项即可．
试题解析：
解：（1）原式＝－4＋1－2×＋－1
＝－3－＋－1
＝－4；
（2）原式＝3a－2a2＋2a2－2
＝3a－2．
点睛：本题考查了实数的运算和整式的混合运算，解题的关键是熟知角的三角函数值、掌握相关的运算法则和运算公式．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
【正确答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF．
【详解】证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．
19. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行，按做义工的时间（单位：小时），将学生分成五类： 类（ ），类（），类（），类（），类（），绘制成尚没有完整的条形统计图如图11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 类学生有 人，补全条形统计图；
（2）类学生人数占被总人数的 %；
（3）从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在 中的概率．
【正确答案】（1）5；（2）36%；（3）.
【详解】试题分析：（1）根据：数据总数-已知的小组频数=所求的小组频数，进行求解，然后根据所求数据补全条形图即可；
（2）根据：小组频数= ，进行求解即可；
（3）利用列举法求概率即可.
试题解析：
（1）E类：50-2-3-22-18＝5（人），故答案为5；
补图如下：
（2）D类：1850×＝36%，故答案为36%；
（3）设这5人为
有以下10种情况：
其中，两人都在 的概率是： .
20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积＝＋－－＝－求解，再求出BO扫过的面积＝，然后计算即可得解．
试题解析：
解：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，OA＝＝，
∵AB所扫过的面积＝＋－－＝－，
BO扫过的面积＝，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和
＝－＋
＝
＝
＝．
点睛：本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（2）表示出两线段扫过的面积之和等于扇形的面积．
21. 如图,在△ACB中,AB=AC=5,BC=6,点D在△ACB外接圆的弧AC上, AE⊥BC于点E,连结DA,DB．
(1)求tan∠D的值.
(2)作射线CD,过点A分别作AH⊥BD,AF⊥CD,垂足分别为H,F. 求证:DH=DF.
【正确答案】（1）tanD=；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质求出EC，根据勾股定理求出AE，根据圆周角定理得到∠D＝∠C，根据正切的概念计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质定理证明即可．
试题解析：
（1）解：∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴EC＝BC＝3，
∴AE＝＝4，
∴tan∠C＝＝，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴tan∠D＝；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，又∠ACB＝∠ADH，∠ADF＝∠ABC，
∴∠ADH＝∠ADF，
又AH⊥BD，AF⊥CD，
∴∠DAH＝∠DAF，
∴DH＝DF．
点睛：本题考查的是三角形的外接圆的概念和性质，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质是解题的关键．
22. （11·贺州）
某生姜种植计划种植A、B两种生姜30亩．已知A、B两种生姜的年产量分别为2 000千克/亩、2 500千克/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克．
（1）若该收获两种生姜的年总产量为68 000千克，求A、B两种生姜各种多少亩？
（2）若要求种植A种生姜的亩数没有少于B种的一半，那么种植A、B两种生姜各多少亩时，
全部收购该生姜的年总收入至多？至多是多少元？
【正确答案】解：（1）设该种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30－x)亩，
根据题意，2 000x＋2 500(30－x)＝68 000
解得x＝14
∴30－x＝16
答：种植A种生姜14亩，那么种植B种生姜16亩.
解得x≥10 ………………5分
设全部收购该生姜的年总收入为y元，则
y＝8×2 000x＋7×2 500(30－x)
＝－1 500 x＋525 000 ………………7分
∵y随x增大而减小，当x＝10时，y有值
此时，30－x＝20，y的值为510 000元 ………………8分
答：种植A种生姜10亩，那么种植B种生姜20亩，全部收购该生姜的年总收入至多为510 000元. ………………9分
【详解】试题分析：（1）设该种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B种生姜的产量=总产量，列方程求解；
（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数没有少于B种的一半，列没有等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的值．
试题解析：(1)设该种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，
根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，
解得x=14，
∴30-x=16，
答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；
(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，
设全部收购该生姜的年总收入为y元，则
y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，
∵y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有值，
此时，30-x=20，y的值为510000元，
答：种植A种生姜10亩，种植B种生姜20亩时，全部收购该生姜的年总收入至多，至多为510000元.
本题考查了函数的应用．关键是根据总产量=A种生姜的产量+B种生姜的产量，列方程或函数关系式．
23. 如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
【正确答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .
【详解】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：
解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2＋x＋4；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，t2＋t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，
当∠PBE＝∠OCD时，
则△PBE∽△OCD，
∴，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（没有合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
当∠PBE＝∠CDO时，
则△PBE∽△ODC，
∴，即BP•OC＝DO•PE，
∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均没有合题意，舍去）
综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠P＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴，即OQ•AQ＝CO•AB，
设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，
∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，
∴PM＝PC•sin∠PCQ＝t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（10﹣t），
∴t ＝（10﹣t），解得t＝，
②当m＝8时，同理可求得t＝，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
24. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，在同一直线上，，，.如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为1，与交于点，与BD交于点K；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1.过点作，垂足为，交于点，连接，当点停止运动时，也停止运动.设运动为.解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，
①当t为 秒时，以PQ为直径的圆与PE相切，
②当t为 秒时，以PQ的中点为圆心，以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.
【正确答案】（1）；（2）t=2；（3）①t=，②t=4，r=2 .
【详解】试题分析：（1）如图1中，当PQ∥BD时，，可得，解方程即可；
（2）假设存在，如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ，由此计算出五边形AFPQM的面积．根据题意列出方程即可解决问题；
（3）①当以PQ为直径的圆与PE相切时，PQ⊥PE，可证得△PFE∽△QCP，得到，然后代入含t的式子，列出方程即可求出t的值；
②设PQ的中点为O，连接BO并延长，交CD与点J，过O作OI⊥BC，过J作JK⊥BD．由过点O的圆与BC、BD都相切可证得BJ平分∠DBC，根据角平分线的性质可得JC＝JK，BK＝BC＝8，DK＝BD－BK＝2，JC＝JK＝x，在Rt△JKD中，由勾股定理求出JC的值，由O是PQ的中点，根据三角形中位线的性质用t表示OI，PI，进而表示出BI，然后由△BOI∽△BJC得，代入数据即可求出t的值，进而求出圆的半径．
试题解析：
解：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，
∴，即，
解得：t＝；
（2）由∠MQD＋∠CDB＝∠CBD＋∠CDB＝90°，
可得∠MQD＝∠CBD.
又∠MDQ＝∠C＝90°，
∴△MDQ∽△DCB，
∴，
即，
∴MD＝，
则S五边形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ
＝AB×BF＋AB×BC－PC×CQ－MD×DQ
＝×6×(8－t)＋6×8－(8－t)×t－××(6－t)
＝（0＜t＜6）．
假使存在t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8，
则S五边形AFPQM＝S矩形ABCD＝54，
即＝54，
整理得t2－20t＋36＝0，
解得t1＝2，t2＝18＞6（舍去），
答：当t＝2，S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8；
（3）①当以PQ为直径的圆与PE相切时，PQ⊥PE，
∴∠EPF＋∠QPC＝90°，
又∵∠E＋∠EPF＝90°，
∴∠E＝∠QPC，
∵∠EFP＝∠C＝90°，
∴△PFE∽△QCP，
∴，
∴，
解得t＝，
即t＝秒时，以PQ为直径的圆与PE相切；
②设PQ的中点为O，连接BO并延长，交CD与点J，过O作OI⊥BC，过J作JK⊥BD，
∵过点O的圆与BC、BD都相切，
∴BJ平分∠DBC，
∵∠C＝90°，JK⊥BD，
∴JC＝JK，BK＝BC＝8，
DK＝BD－BK＝10－8＝2，
设JC＝JK＝x，则JD＝6－x，
在Rt△JKD中，由勾股定理得：x2＋22＝(6－x)2，
解得x＝，
CP＝BC－BP＝8－t，
∵O是PQ的中点，OI⊥BC，
∴OI＝CQ＝t，PI＝CI＝(8－t)＝4－t，
∴BI＝BP＋PI＝t＋4－t＝4＋t，
∵OI⊥BC，∠C＝90°，
∴OI∥JC，
∴△BOI∽△BJC，
∴，
即，
解得t＝4，
此时圆的半径为OI＝t＝2．
故答案为4，2．
点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求多边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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