2022-2023学年浙江省绍兴市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年浙江省绍兴市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，四象限B. y随x的增大而增大，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省绍兴市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
　一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 某地的气温是8℃，气温是-2℃，则该地这天的温差是( )
A. -10℃ B. 10℃ C. 6℃ D. -6℃
2. 下列图形中，是对称图形但没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法没有正确的是（　　）
A. 图象分布在第二、四象限 B. y随x的增大而增大
C. 图象点（1，﹣2） D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0
4. 如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=2，则S1+S2（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　）
A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6
6. 已知函数y=kx﹣k与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　）

A. B. C. D.
9. 如图△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=4，∠B=60°，则CD的长为（　　）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 2
10. 二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＜4ac⑥（a+c）2＜b2，其中正确的个数是（　　）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
二.填 空 题（每题3分，共30分）
11. 函数中，自变量的取值范围是 .
12. 把多项式3x2y﹣27y分解因式的结果是_____．
13. 抛物线y=x2﹣2x+4与y轴交点坐标为_____．
14. 已知点A（2m，﹣3）与B（6，1﹣n）关于原点对称，则m+n=_____．
15. 二次函数y＝﹣x2+bx+c部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．

16. 在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
17. 反比例函数y=（3m﹣1）的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则反比例函数的解析式是_____．
18. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．

19. 如图，在△ABC中，ta=，AB=10，AC=2，将线段AB绕点A旋转到AD，使AD∥BC，连接CD，则CD=_____．

20. 如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，ta=，BC=5，CD=3，∠BCA=90°﹣∠BCD，则AD=_____．

三、解 答 题（共7小题，满分60分）
21. 化简求值：，其中a=2cos30°+tan45°．
22. 如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是单位1，
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC以O为旋转顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）判断△CC1C2是什么三角形，并求出它的面积．

23. 如图函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（1，6），B（n，2）两点．
（1）求函数和反比例函数的解析式
（2）求△AOB的面积．

24. 如图，等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．
（1）求CE的长；
（2）求cos∠CDE的值．

25. 某玩具经销商用32000元购进了一批玩具，上市后恰好全部售完；该经销商又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该经销商第二次购进这种玩具多少套？
（2）由于第二批玩具进价上涨，经销商按批玩具售价200套后，准备调整售价，发现若每套涨价1元，则会少卖5套，已知批玩具售价为200元．设第二批玩具200套后每套涨价a元，第二批卖出的玩具总利润w元，问当a取多少时，才能使售出的玩具利润w？
26. △ABC和△CDE是以C为公共顶点的两个三角形．
（1）如图1，当△ABC和△CDE都是等边三角形时，连接BD、AE相交于点P．求∠DPE的度数；
（2）如图2，当△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°时，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．求证：QK⊥BE；
（3）在（1）的条件下，N是线段AE与CD的交点，PF是∠DPE的平分线，与DC交于点F，CN=2，∠PFN=45°，求FN的长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A（﹣2，0）和B（B在A右侧），交y轴于点C，直线y=点B，交y轴于点D，且D为OC中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是象限抛物线上一点，过P点作PH⊥BD于H，设P点的横坐标是t，线段PH的长度是d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d=时，将射线PH绕着点P顺时针方向旋转45°交抛物线于点Q，求点Q的坐标．














2022-2023学年浙江省绍兴市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）　
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 某地的气温是8℃，气温是-2℃，则该地这天的温差是( )
A. -10℃ B. 10℃ C. 6℃ D. -6℃
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据题意算式，计算即可得到结果．
根据题意得：8﹣（﹣2）=8+2=10，则该地这天的温差是10℃，
故选：B．
考点：有理数的减法
2. 下列图形中，是对称图形但没有是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】B

【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、没有是轴对称图形，是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、轴对称图形，也是对称图形，没有符合题意．
故选B．
3. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法没有正确的是（　　）
A. 图象分布在第二、四象限 B. y随x的增大而增大
C. 图象点（1，﹣2） D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0
【正确答案】B

【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B．k＝﹣2＜0，函数图象在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；
C．∵﹣＝﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D．若x＞1，则﹣2＜y＜0，故本选项正确．
故选：B．
本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），当k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4. 如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=2，则S1+S2（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】D

【详解】∵点A、B是双曲线y=上的点，
∴S1+S阴影=S2+S阴影=5，
∴S1+S2=10﹣2S阴影=10﹣4=6．
故选D．
点睛: 本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数 .
5. 把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　）
A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6
【正确答案】C

【详解】∵抛物线，
∴顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）
∴所得抛物线解析式是．
故选：C
6. 已知函数y=kx﹣k与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】（1）当k＞0时，函数y=kx﹣k 一、三、四象限，反比例函数一、三象限，如图所示：

（2）当k＜0时，函数y=kx﹣k一、二、四象限，反比例函数二、四象限．如图所示：

故选B．
7. 如图，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】先利用旋转的性质得到，，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，于是可得到，所以，然后计算即可．
【详解】解：绕点逆时针旋转后得到△（点的对应点是点，点的对应点是点，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
9. 如图△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=4，∠B=60°，则CD的长为（　　）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 2
【正确答案】B

【详解】在Rt△ABC中，AC=4，∠B=60°，
∴AB=4，BC=8，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，
∴BD=AB=4，
∴CD=BC﹣BD=8﹣4=4，
故选B．
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＜4ac⑥（a+c）2＜b2，其中正确的个数是（　　）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【正确答案】B

【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①正确，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，故②正确，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∵x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故③错误，
∵﹣=1，
∴2a+b=0，故④正确，
∵抛物线与x轴有交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故⑤错误，
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵a＜0，c＜0，
∴|b|＞|a+c|，
∴（a+c）2＜b2，故⑥正确，
故选B．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴求2a与b的关系,函数与坐标轴的交点判断一元二次方程根的情况，判断图像上的点对应函数值的正负是解答本题的关键.
二.填 空 题（每题3分，共30分）
11. 函数中，自变量的取值范围是 .
【正确答案】．

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 把多项式3x2y﹣27y分解因式的结果是_____．
【正确答案】3y（x+3）（x﹣3）

【详解】原式=3y（x2﹣9）=3y（x+3）（x﹣3）.
13. 抛物线y=x2﹣2x+4与y轴交点坐标为_____．
【正确答案】（0，4）

【详解】当x=0时，y=x2﹣2x+4=02﹣2×0+4=4，
∴抛物线y=x2﹣2x+4与y轴交点坐标为（0，4）．
14. 已知点A（2m，﹣3）与B（6，1﹣n）关于原点对称，则m+n=_____．
【正确答案】-5

【详解】∵点A（2m，﹣3）与B（6，1﹣n）关于原点对称，
∴2m=﹣6，1﹣n=3，
解得m=﹣3，n=﹣2，
∴m+n=﹣3+（﹣2）=﹣5．
故-5
关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
15. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．

【正确答案】x<−1或x>5.

【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以没有等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
16. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＞﹣

【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴1+2m＞0，
故m的取值范围是：m＞﹣，
故m＞﹣.
本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
17. 反比例函数y=（3m﹣1）的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则反比例函数的解析式是_____．
【正确答案】y=﹣

【详解】根据题意得，解得m=1或﹣1，
∵反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，
∴3m﹣1＜0，
∴m=﹣1，
∴y=（﹣3﹣1）x﹣1=﹣．
点睛：本题考查了反比例函数的定义及性质，一般地，形如（k的常数，k≠0）的函数叫做反比例函数. 当k＞0,反比例函数图象的两个分支在、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
18. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．

【正确答案】10

【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．
【详解】函数式中，令，得
，解得，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为10．
本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离．
19. 如图，在△ABC中，ta=，AB=10，AC=2，将线段AB绕点A旋转到AD，使AD∥BC，连接CD，则CD=_____．

【正确答案】4或8

【详解】分两种情况：
如图，当线段AB绕点A顺时针旋转到AD∥BC时，

过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则CE=AF，CF=AE，
由旋转可得AD=AB=10，
∵ta=，
∴Rt△ABE中，AE=8，BE=6，
∵AC=2，
∴Rt△ACE中，CE=2，
∴CF=8，AF=2，DF=10+2=12，
∴Rt△DCF中，CD==4；
如图，当线段AB绕点A逆时针旋转到AD∥BC时，

过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则CE=AF，CF=AE，
同理可得，AF=CE=2，CF=AE=8，
∴DF=10﹣2=8，
∴Rt△CDF中，CD==8；
故答案为4或8．
20. 如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，ta=，BC=5，CD=3，∠BCA=90°﹣∠BCD，则AD=_____．

【正确答案】

【详解】解：在BC上取一点F，使BF=CD=3，连接AF，
∴CF=BC﹣BF=5﹣3=2，
过F作FG⊥AB于G，
∵ta== ，
设FG=x，BG=2x，则BF=x，
∴x=3，
x=，
即FG=，
延长AC至E，连接BD，
∵∠BCA=90°﹣∠BCD，
∴2∠BCA+∠BCD=180°，
∵∠BCA+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCA=∠DCE，
∵∠ABC=∠ADC，
∴A、B、D、C四点共圆，
∴∠DCE=∠ABD，∠BCA=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△ABF和△ADC中，
∵ ,
∴△ABF≌△ADC（SAS），
∴AF=AC，
过A作AH⊥BC于H，
∴FH=HC=FC=1，
由勾股定理得：AB2=BH2+AH2=42+AH2①，
S△ABF=AB•GF=BF•AH，
∴AB•=3AH，
∴AH=，
∴AH2=②，
把②代入①得：AB2=16+，
解得：AB=，
∵AB＞0，
∴AD=AB=2，
故

三、解 答 题（共7小题，满分60分）
21. 化简求值：，其中a=2cos30°+tan45°．
【正确答案】，

【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法，约分化简，根据角的三角函数值求出a的值，代入计算．
【详解】解：原式=÷
=
=，
当a=2cos30°+tan45°=2×+1=+1时，
原式=．
22. 如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是单位1，
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC以O为旋转顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）判断△CC1C2是什么三角形，并求出它的面积．

【正确答案】（1）（2）解析
（3）8

【详解】试题分析： （1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可；
 （2）让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；
（3）利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，并计算面积．
解：（1）如图：
（2）如图：
（3）从图中可看出CC1=CC2=4，
∴△CC1C2是等腰直角三角形，
面积=4×4÷2=8．

点睛：本题主要考查了轴对称图形和旋转变换作图的方法，找出对应点是解答本题的关键．
23. 如图函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）图象交于A（1，6），B（n，2）两点．
（1）求函数和反比例函数的解析式
（2）求△AOB的面积．

【正确答案】（1），y=﹣2x+8；（2）8

【详解】试题分析：，对于（1），先把A（1，6）坐标代入y=求出m的值，进而得到两点的坐标，再将其代入函数表达式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值，从而求出函数的解析式；
对于（2），根据图形可知S△AOB=S△AOC-S△BOC，至此，再三角形的面积公式计算即可.
解：（1）∵A（1，6），B（n，2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式是y=．
∴2n=6，
解得n=3，
∴B（3，2），
∵函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点．
∴，
解得，
∴函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）设直线y=﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．
S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=OC|yA|﹣OC|yB）=8．

24. 如图，在等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．
（1）求CE的长；
（2）求cos∠CDE的值．

【正确答案】（1）6；（2）

【详解】试题分析：(1)先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，
(2)判断△ADE为等边三角形,得到DE=AD=5过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，计算得出 ，然后根据余弦的定义求解.
解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，
（2）∵AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，
在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，
∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，
∴DH=，
在Rt△EDH中，cos∠HDE=，
即∠CDE余弦值为．
25. 某玩具经销商用32000元购进了一批玩具，上市后恰好全部售完；该经销商又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该经销商第二次购进这种玩具多少套？
（2）由于第二批玩具进价上涨，经销商按批玩具售价200套后，准备调整售价，发现若每套涨价1元，则会少卖5套，已知批玩具售价为200元．设第二批玩具200套后每套涨价a元，第二批卖出的玩具总利润w元，问当a取多少时，才能使售出的玩具利润w？
【正确答案】（1）该经销商第二次购进这种玩具400套；（2）当a取15时，才能使售出的玩具利润w．

【详解】试题分析：(1)根据两次购进的单价差为10元列出分式方程求解即可; 
(2)根据总利润=前200件的总利润+调价后单件利润×量列出有关的二次函数,求得二次函数的最值即可.
解：（1）设此经销商次购进x套玩具，
由题意，得﹣=10，
解得x=200，
经检验，x=200是所列方程的根；
2x=2×200=400．
所以该经销商第二次购进这种玩具400套．
（2）由（1）知第二批玩具每套的售价为=170元，
根据题意知，w=200×（200﹣170）+（200+a﹣170）（200﹣5a）
=﹣5a2+150a+12000
=﹣5（a﹣15）2+13125，
所有当a=15时，w取得值，值为13125元，
答：当a取15时，才能使售出的玩具利润w．
26. △ABC和△CDE是以C为公共顶点的两个三角形．
（1）如图1，当△ABC和△CDE都是等边三角形时，连接BD、AE相交于点P．求∠DPE的度数；
（2）如图2，当△ABC和△CDE都等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°时，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．求证：QK⊥BE；
（3）在（1）的条件下，N是线段AE与CD的交点，PF是∠DPE的平分线，与DC交于点F，CN=2，∠PFN=45°，求FN的长．

【正确答案】（1）60°；（2）见解析；（3）

【详解】试题分析：(1)只要证明△BCD≌△ACE,可得∠BDC=∠AEC,利用“8字型”证明∠DPJ=∠JCE=60°即可；
·(2)如图2中,延长CQ到R,使得CQ=QR,连接AR、DR.只要证明△ACR≌△BCE，可得∠ACR=∠CBE，由∠ACR+∠BCK=90°，推出∠CBE+∠BCK=90°，,可得∠CKB=90°，即CK⊥BE．
(3)如图3中,作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得KN=KE.提供解直角三角形求出CE、DE、NE,再利用相似三角形的性质可得DE2=NE·PE，求出PE、PN,由此即可解决问题;
解：（1）如图1中，设AE交CD于J．

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE，
∴BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠PJD=∠CJE，
∴∠DPJ=∠JCE=60°，
∴∠DPE=60°．
（2）如图2中，延长CQ到R，使得CQ=QR，连接AR、DR．

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∵AQ=DQ，CQ=QR，
∴四边形ACDR是平行四边形，
∴AR=CD=CE，AR∥CD，
∴∠CAR+∠ACD=180°，
∴∠BCE=∠CAR，∵CA=CB，AR=CE，
∴△ACR≌△BCE，
∴∠ACR=∠CBE，
∵∠ACR+∠BCK=90°，
∴∠CBE+∠BCK=90°，
∴∠CKB=90°，即CK⊥BE．
（3）如图3中，作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得NK=EK．

∵∠DPE=60°，PF平分∠DPE，
∴∠NPPF=30°，
∵∠PFN=45°，∠NGF=90°，
∴GF=GN=PN，FN=GN，
∴∠PNF=∠CNE=105°，∠CEN=15°，
∵KN=KE，
∴∠KNE=∠KEN=15°，
∴∠NKH=30°，
在Rt△CNH中，∵CN=2，∠CNH=30°，
∴CH=CN=，NH=CH=，
在Rt△NKH中，NK=KE=2NH=2，HK=NH=3，
∴EN===6+2，CE=DE=4+2
∵∠DEN=∠PED，∠EDN=∠EPD，
∴△DEN∽△PED，
∴DE2=NE•PE，
∴可得PE=，PN=PE﹣EN=，
∴FN=××=．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A（﹣2，0）和B（B在A右侧），交y轴于点C，直线y=点B，交y轴于点D，且D为OC中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是象限抛物线上的一点，过P点作PH⊥BD于H，设P点的横坐标是t，线段PH的长度是d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d=时，将射线PH绕着点P顺时针方向旋转45°交抛物线于点Q，求点Q的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣x2+x+4（2）P（3）Q（0，4）

【详解】试题分析：(1)首先求出点B坐标,利用待定系数法即可解决问题.
(2)设P（t，﹣t2+t+4），,由cos∠HPM=cos∠DBO，可得,由此构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题. 
(3) 过点P作PF⊥x轴于点F，过点H作HG⊥PF于点G，BD与PQ交于点N,过N作NE⊥HG于E.由全等三角形△PHG≌△HNE，的性质,(2)中函数解析式求得点P、N的坐标,然后由直线与抛物线的解析式求得交点Q的坐标.
解：（1）∵y=2kx﹣12k B点，
∴当y=0，x=6，
∴B（6，0），又∵A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴y=﹣x2+x+4．
（2）如图，过点P作PM∥y轴交BD于点M，设P（t，﹣t2+t+4），

∵CD=OD，
当x=0时y=4，
∴C（0，4）
∴OD=2，
∴D（0，2），
∴BD=2，
设直线BD解析式为y=mx+n，
∴6m+n=0，n=2，
∴yBD=﹣x+2，
∴M（t，﹣t+2），
∴PM=﹣t2+t+2，
∵∠HPM=∠DBO，
∴cos∠HPM=cos∠DBO，
∴=，
∴=，
∴d=﹣t2+t+，
∴d=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，PH值，
∴P．
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，过点H作HG⊥PF于点G，BD与PQ交于点N，过N作NE⊥HG于E．

∵∠HPN=45°，PH⊥BD，
∴PH=HN，
∴△PHG≌△HNE，
∴HG=NE，PG=EH，
∵由（2）知，d=﹣t2+t+，即：d=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，PH=，
∴P．
当PH=时，HG=PG=，
∴EH=，EN=，
∴N（﹣，），P，
∴yPN=x+4，
由，
解得或，
∴Q（0，4）．
点睛：本题考查二次函数综合题、函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．

2022-2023学年浙江省绍兴市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(本大题共8小题，每小题3分,共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把你认为正确的选项代号填写在括号里．)
1. 一元二次方程x2－4=0的根为（　　）
A. x = 2 B. x =－2 C. x1= 2，x2 =－2 D. x = 16
2. 用配方法解方程x2＋4x＋3=0时，配方后得到的方程为（　　）
A. (x＋2)2 = 1 B. ( x＋2)2 =3 C. (x－2)2 = 3 D. ( x－2)2 = 1
3. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠A =40º，则∠BOC的度数是（　　）

A. 100º B. 80º C. 60º D. 40º
4. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A. x2 ＋1=0 B. x2＋x－1= 0 C. 2x2 －2x＋1= 0 D. 2x2 －3x＋4= 0
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．以B为圆心作圆与AC相切，则该圆的半径为（ ）

A. 5 B. 4 C. 10 D. 8
6. 已知t是方程x2－2x－1=0的一个根，则代数式2t2－4t的值等于（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. ⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，4），则点P与⊙O的位置关系是 （　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P的⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定
8. 如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是（　　）

A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
二、填 空 题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.将结果直接填写在横线上）
9. 方程x2＝3x解为：_____．
10. 已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ .
11. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________．
12. 用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半轻是_____．
13. 若一元二次方程ax2+c=0（ac<0）的一根x1为4，则另一根x2=_________．
14. 正六边形ABCDEF的半径为4，则此正六边形的面积为_________．
15. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率为____．
16. 如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H．若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于_____cm2．

三、解 答 题（本大题共11小题，满分102分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程（1）(x－1)2－5＝0 ；（2） x2 －4x＝2．
18. 用指定方法解下列方程 (1) 2x2 ＋5x－2＝0（用配方法）；(2) 9x2－(x－1)2＝0（用因式分解法）．
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2－x＋a2－2a－2＝0有一根是1，求a的值．
20. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋a－2＝0．
（1）如果该方程有实数根，求实数a的取值范围；
（2）如果该方程有两个相等的实数根，求出这两个根．
21. 如图，已知AB是⊙O直径，弦AC∥OD.
（1）求证：．
（2）若的度数为58 º，求∠AOD的度数．

22. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求的长．

23. 如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O切线．

24. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？

25. 已知等腰三角形的两条边a,b是方程x2－kx＋12=0的两根，另一边c是方程x2－16=0的一个根, 求k的值.
26. 如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=1，求四边形ACDE面积．

27. 在数学兴趣小组中，小明利用“同弧所对的圆周角及圆心角的性质”探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．
问题情境：
（1）如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为　 　．
操作实践：
（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
迁移应用：
（3）如图3，在平面直角坐标系的象限内有一点B，坐标为（2，m）．过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为　 　．





2022-2023学年浙江省绍兴市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(本大题共8小题，每小题3分,共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把你认为正确的选项代号填写在括号里．)
1. 一元二次方程x2－4=0的根为（　　）
A. x = 2 B. x =－2 C. x1= 2，x2 =－2 D. x = 16
【正确答案】C

【详解】∵x2－4=0，
∴x2=4，
∴x1= 2，x2 =－2.
故选C.
2. 用配方法解方程x2＋4x＋3=0时，配方后得到的方程为（　　）
A. (x＋2)2 = 1 B. ( x＋2)2 =3 C. (x－2)2 = 3 D. ( x－2)2 = 1
【正确答案】A

【详解】∵x2＋4x＋3=0，
∴x2＋4x+4＋3=4，
∴(x+2)2=1.
选选A.
3. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠A =40º，则∠BOC的度数是（　　）

A. 100º B. 80º C. 60º D. 40º
【正确答案】B

【分析】根据圆周角定理进行解答即可得.
【详解】∵∠A =40º，
∴∠BOC=2∠A =40º×2=80°.
故选B.
4. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A. x2 ＋1=0 B. x2＋x－1= 0 C. 2x2 －2x＋1= 0 D. 2x2 －3x＋4= 0
【正确答案】B

【详解】A. ∵△=02-4×1×1=-4<0，∴ x2 ＋1=0没有实数根；
B. ∵△=12-4×1×（-1）=5>0，∴ x2＋x－1= 0有实数根；
C. ∵△=(-2)2-4×2×1=-4<0，∴2x2 －2x＋1= 0没有实数根；
D ∵△=(-3)2-4×2×4=-23<0，∴2x2 －3x＋4= 0没有实数根；
故选B.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．以B为圆心作圆与AC相切，则该圆的半径为（ ）

A. 5 B. 4 C. 10 D. 8
【正确答案】D

【详解】∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴ .
∵∠ACB＝90°，
∴以B为圆心与AC相切的圆的半径等于线段BC的长，
∴该圆的半径为：8.
故选D.
6. 已知t是方程x2－2x－1=0的一个根，则代数式2t2－4t的值等于（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B

【详解】∵t是方程x2－2x－1=0的一个根，
∴t2－2t－1=0,
∴t2－2t=1,
∴2t2－4t=2(t2－2t)=2×1=2.
故选B.
7. ⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，4），则点P与⊙O的位置关系是 （　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P的⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定
【正确答案】C

【详解】∵ ,
∴点P在⊙O的外部.
点睛:当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外.
8. 如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是（　　）

A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
【正确答案】A

【详解】∵DC=OE，OE=OD,
∴DC=OD，
∴∠COD=∠C=20°,
∴∠OED=∠ODE=∠COD+∠C =20°+20°=40°，
∴∠BOE=∠OED+∠C=20°+40°=60°.
故选A.
点睛：本题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，利用等边对等角即可证得∠C=∠DOC=20°，然后根据三角形的外角等于没有相邻的两个内角的和即可求解．
二、填 空 题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.将结果直接填写在横线上）
9. 方程x2＝3x的解为：_____．
【正确答案】x1＝0，x2＝3

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可；
【详解】解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案是：x1＝0，x2＝3．
本题主要考查了利用因式分解法求一元二次方程，准确计算是解题的关键．
10. 已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ .
【正确答案】3π

【详解】 ,
∴ .
11. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________．
【正确答案】4

【分析】由题意可利用判别式的意义得到Δ=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：因为有两个相等的实数根，
所以Δ，解得.
故4.
本题考查根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个没有相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12. 用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半轻是_____．
【正确答案】10

【分析】设该圆锥底面圆的半径为，则可根据圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为r，则可以得到下列方程：

解得，
即该圆锥底面圆的半径为10．
故10．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13. 若一元二次方程ax2+c=0（ac<0）的一根x1为4，则另一根x2=_________．
【正确答案】－4

【详解】∵ax2+c=0，
∴ax2=-c，
∴ .
∵ac<0，
∴ ，
∴ ，
∴x1与x2互为相反数.
∵x1=4，
∴x2=-4
14. 正六边形ABCDEF的半径为4，则此正六边形的面积为_________．
【正确答案】

【详解】如图，

由题意得
∠COD=360°÷ 6=60°，
又∵OC=OD，
∴ ∠GOD=30°，
∴Rt △DOG中：OD=4，GD= 4÷2 =2，
∴ ，CD=2GD=2×2=4，
∴△DOC的面积= ,
∴正六边形ABCDEF的面积= .
点睛：本题考查圆的正多边形的计算．先由正多边形的性质求出∠COD=60°，利用等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理求出OG、CD的长，从而求出△DOC的面积，根据正六边形ABCDEF的面积等于△DOC的面积的6倍可求出正六边形的面积.
15. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率为____．
【正确答案】20%

【分析】设平均每月增长的百分率是，那么10月份的利润是元，11月份的利润是元，而此时利润是3600元，进而可列出方程．
【详解】解：设平均每月增长的百分率是，由题意得：
，
解得：，（没有合题意，舍去）．
答：平均每月增长的百分率应该是．
故答案是：．
本题主要考查了一元二次方程的应用，是平均增长率问题．解题的关键是掌握等量关系一般是：增长前的量平均增长率）增长的次数=增长后的量．
16. 如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H．若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于_____cm2．

【正确答案】##

【分析】作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，证明△GCM≌△HCN，根据扇形面积公式计算．
【详解】解：作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，

∵点C是的中点，
∴CM＝CN＝，
∵∠MCN＝90°，∠FCD＝90°，
∴∠GCM＝∠HCN，
在△GCM和△HCN中，
，
∴△GCM≌△HCN，
∴阴影部分的面积＝2×＝2π−4（cm2），
故2π−4．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共11小题，满分102分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程（1）(x－1)2－5＝0 ；（2） x2 －4x＝2．
【正确答案】(1) ； (2)

【详解】试题分析：本题考查了一元二次方程的解法.（1）移项后直接开平方即可；（2）先配方，即方程两边都加4，左边化为完全平方式，再开平方.
解：（1）∵(x－1)2－5＝0 ；
∴(x－1)2=5，
∴x－1=±，
∴x=1±；
（2）∵ x2 －4x＝2，
∴x2 －4x+4＝6，
∴(x－2)2=6，
∴x－2=±，
∴x=2±；
18. 用指定方法解下列方程 (1) 2x2 ＋5x－2＝0（用配方法）；(2) 9x2－(x－1)2＝0（用因式分解法）．
【正确答案】(1) ；(2) ；

【详解】试题分析：(1)方程两边除以2，将二次项系数化为1,常数项移到方程右边,然后左右两边都加上项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并为一个非负常数,开方转化为两个一元方程,求出方程的解即可得到原方程的解;（2）把方程的左边利用平方差公式分解因式求解即可.
解：(1) ∵2x2 ＋5x－2＝0，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴
∴ ，
∴.
(2) ∵9x2－(x－1)2＝0，
∴(3x)2－(x－1)2＝0，
∴(3x+x-1)(3x-x+1)=0，
∴(4x-1)(2x+1)=0，
∴4x-1=0或2x+1=0，
∴， .
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2－x＋a2－2a－2＝0有一根是1，求a的值．
【正确答案】a＝2．

【详解】解：将x=1代入，
得：（a+1）﹣1+a2﹣2a﹣2=0，
解得：a1=﹣1，a2=2．
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a=2．
20. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋a－2＝0．
（1）如果该方程有实数根，求实数a的取值范围；
（2）如果该方程有两个相等的实数根，求出这两个根．
【正确答案】(1) ；(2)

【详解】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（a-2）≥0，然后解没有等式即可；
（2）根据判别式的意义得到△=（-3）2-4（2a+1）=0，然后解关于a的方程得到a=5，则原方程变形为x2-4x+4=0，然后利用配方法解此一元二次方程．
(1)根据题意得△=(−6)2−4(2a+1) ≥0，
解得a≤11；
(2)根据题意得△=(−6)2−4(a-2)=0，
解得a=11，
原方程变形为x2−6x+9=0，
(x−3)2=0，
所以x1=x2=2.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD.
（1）求证：．
（2）若的度数为58 º，求∠AOD的度数．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）119°.

【分析】(1)、连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠OAC=∠ACO，根据平行线的性质得出∠OAC=∠BOD，∠DOC=∠ACO，从而得出∠BOD=∠COD，然后得出答案；(2)、根据弧AC的度数以及题的结论得出弧CD的度数，然后得出弧ACD的度数，从而求出圆心角的度数.
【详解】(1)、连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO．
∵AC∥OD，∴∠OAC=∠BOD．∴∠DOC=∠ACO．∴∠BOD=∠COD．∴．
(2)、∵，∴=,
, ∠AOD=119°
本题考查圆的基本性质，利用圆周角、弧、弦的关系求圆心角的度数
22. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求的长．

【正确答案】（1）75°；（2）π．

【详解】试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；
（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得的长．
解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠A=105°，
∴∠C=180°﹣105°=75°，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠C=75°；

（2）连接BO、CO，
∵∠C=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，∴∠BOC=60°，
故的长l==π．
点睛：本题是一道有关圆内接四边形的题目，题意，熟练运用圆周角定理，圆内接四边形的性质以及弧长公式是解决问题的关键.
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理没有难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【详解】（1）连接AD；

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB=AC．
（2）连接OD；
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定
24. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？

【正确答案】围成矩形的长为8m、宽为6m

【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．
由题意，得 x•（20﹣2x）=48，
解得 x1=4，x2=6．
当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去），
当x=6时，20﹣2×6=8．
答：围成矩形的长为8m、宽为6m．
考点：一元二次方程的应用．
25. 已知等腰三角形的两条边a,b是方程x2－kx＋12=0的两根，另一边c是方程x2－16=0的一个根, 求k的值.
【正确答案】或

【详解】试题分析：先解方程x2-16=0，得到c=4，再分两种情况进行讨论：①c=4是底边，那么a=b，由方程x2-kx+12=0的判别式△=0列出方程；②c=4是腰，那么将x=4代入x2-kx+12=0求出k的值.
解：∵c是方程x2−16=0的一个根，
∴c=4.
分两种情况：
①c=4是底边，
方程x2−kx+12=0的判别式△=k2−4×12=0，
解得k1=，k2=- (舍去)，
，，4满足三角形三边关系定理，符合题意；
②c=4是腰，
将x=4代入x2−kx+12=0，
得42−4k+12=0，
解得k=7，
∴x2−7x+12=0，
∴x1=3,x2=4，
4，4，3满足三角形三边关系定理，符合题意．
故k的值为或7.
26. 如图，AB为⊙O直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=1，求四边形ACDE面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．
（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，
∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．
（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．

∵AC∥DE，AE=AO，∴OF=DF，
∵AF⊥DO，∴AD=AO，∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=1，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=，
∴平行四边形ACDE面积=．
27. 在数学兴趣小组中，小明利用“同弧所对的圆周角及圆心角的性质”探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．
问题情境：
（1）如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为　 　．
操作实践：
（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
迁移应用：
（3）如图3，在平面直角坐标系象限内有一点B，坐标为（2，m）．过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为　 　．

【正确答案】（1）2；（2）作图见解析；（3）2≤m＜1+

【详解】试题分析：（1）连接OB、OC，只要证明△OBC是等边三角形即可．
（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．
（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．当EK=KC=时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+，在AB上只有一个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，当BK=时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，此时m=BC=2，由此没有难得出结论．
解：（1）如图1中，连接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
故答案为2；
（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O；
以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，
则点P为所求．

（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，
∴OK=KC=，
当EK=KC=时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+，在AB上只有一个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，
当BK=时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，此时m=BC=2，
综上所述，满足条件m的值的范围为2≤m＜1+．
故答案为2≤m＜1+．
点睛：本题是圆的综合题，熟练掌握圆周角定理及其推论，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质及勾股定理是解答本题的关键.