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2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题（AB卷）含解析，共61页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（A卷）
一、选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y=2x+1 B. y=（x﹣1）2﹣x2 C. y=2x2﹣7 D.
2. 已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 有五张正面分别写有数字﹣3，﹣2，1，2，3的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的四张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A. 2：1 B. 1：2 C. 1： D. ：1
5. 在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 根据电视台天气预报：某市明天降雨的概率为80%，对此信息，下列几种说法中正确的是（ ）
A. 该市明天一定会下雨 B. 该市明天有80%地区会降雨
C. 该市明天有80%的时间会降雨 D. 该市明天下雨的可能性很大
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A B. C. D.
8. 抛物线（是常数）的顶点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△，则点C的坐标为（ ）
A （1，） B. C. （，2） D. （，2）
10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 没有考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题：本小题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 将抛物线y=x2两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为_____．
12. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AC=3，BC=2，DE=1.5，则DF的长为_____．
13. 已知点A()、B()在二次函数图象上，若，则y1______y2．
14. 如图，AD是△ABC的高，EF∥BC分别交AB、AD、AC于点E、G、F，连结DF，若S△AEG=S四边形EBDG，则=_____．
15. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为__________．
16. 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ；
（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是 ．
三、解 答 题：本题共8小题，共80分.
17. （1）已知=≠0，求代数式的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个没有同黄金分割点，求C、D之间的距离．
18. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且点（﹣1，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
19. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
20. 在一没有透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?
（2）小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后 放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大 ,谁获胜.请你用树状图或列 表法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由.
21. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积，值是多少？
（3）若墙的可用长度为8米，则求围成花圃的面积．
22. 如图，函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有值？值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
23. 如图,已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值时，求点E的坐标．
24. 新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（A卷）
一、选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y=2x+1 B. y=（x﹣1）2﹣x2 C. y=2x2﹣7 D.
【正确答案】C
【详解】根据二次函数的概念，可知y=2x+1是函数，y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1是函数，y=2x2﹣7是二次函数，没有是整式函数.
故选C.
点睛：此题主要考查了二次函数的识别，关键是明确二次函数的二次项系数和指数，利用二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）判断.
2. 已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】解∶∵a=2＞0，
∴函数的开口向上，故①正确；
根据题意得∶顶点坐标为（3，-2），故②正确；
∵y=2（x﹣3）2﹣2=2x2-12x+18-2=2x2-12x+16，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故③没有正确；
当x≤3时，y随x的增大而减小，故④正确．
故选C．
3. 有五张正面分别写有数字﹣3，﹣2，1，2，3的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的四张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】根据题意画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点（a，b）在第二象限的结果数为6.
所以点（a，b）在第二象限的概率=.
故选C.
点睛：此题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合条件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率.
4. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A. 2：1 B. 1：2 C. 1： D. ：1
【正确答案】B
【详解】根据相似三角形的性质，可知其相似比为1：，然后根据面积比等于相似比的平方，求得面积比为：1：2.
故选B.
5. 在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＞0，b＜0，
所以b的范围没有同，故本选项错误；
B、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＜0，
所以b的范围没有同，故本选项错误；
C、根据反比例函数得出b＜0，根据二次函数得出a＞0，b＞0，
所以b的范围没有同，故本选项错误；
D、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＞0，
所以b的范围相同，故本选项正确；
故选D．
6. 根据电视台天气预报：某市明天降雨的概率为80%，对此信息，下列几种说法中正确的是（ ）
A. 该市明天一定会下雨 B. 该市明天有80%地区会降雨
C. 该市明天有80%的时间会降雨 D. 该市明天下雨的可能性很大
【正确答案】D
【详解】解：根据题意，可知明天降雨的可能性比较大，可知该市明天有可能下雨，且可能性比较大，与下雨的时间、区域没有关系．
故选D．
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【详解】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
8. 抛物线（是常数）的顶点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】A
【详解】∵，
∴顶点坐标为： ，
∵
∴顶点在象限．
故选：A．
9. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△，则点C的坐标为（ ）
A. （1，） B. C. （，2） D. （，2）
【正确答案】B
【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，写出点C的坐标为．
故选：B．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点．
10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 没有考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
二、填 空 题：本小题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 将抛物线y=x2两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为_____．
【正确答案】y=（x+3）2+2．
【详解】根据二次函数的平移规律：左加右减（x），上加下减（y），直接可得将抛物线y=x2两次平移后所得抛物线y=（x+3）2+2.
故答案为y=（x+3）2+2.
12. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AC=3，BC=2，DE=1.5，则DF的长为_____．
【正确答案】4.5
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算．
∵AD∥BE∥CF，∴，即，∴DF=4.5，
故答案为4.5．
考点：平行线分线段成比例．
13. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2．
【正确答案】>
【详解】由二次函数的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1
∵
∴y随x的增大而增大
∴ >
14. 如图，AD是△ABC的高，EF∥BC分别交AB、AD、AC于点E、G、F，连结DF，若S△AEG=S四边形EBDG，则=_____．
【正确答案】
【详解】根据题意，可由S△AEG=S四边形EBDG，根据三角形相似的性质可得S△AEG=S△ABD，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得AE：AB=1:2，同理可得AF：AC=1:2，AG：AD=1:2，因此可知AF=CF，然后根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可知DF=AC.
故答案为.
15. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为__________．
【正确答案】（5，0）．
【详解】试题分析：由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；
设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=5，解得：x=5，则E（5，0）．
考点：待定系数法求解析式；坐标与图形的性质．
16. 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是函数图象上点M“可控变点”，则点M的坐标为 ；
（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是 ．
【正确答案】（1） （﹣1，2）；（2） 0≤a≤．
【详解】试题分析：（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为（﹣1，2）；
（2）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，如图所示，∵，当y′=16时，或，∴x=0或x=，当y′=﹣16时， 或，∴x=或x=0，∴a的取值范围是0≤a≤．故答案为（1）（﹣1，2）；（2）0≤a≤．
考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．函数图象上点的坐标特征；3．新定义．
三、解 答 题：本题共8小题，共80分.
17. （1）已知=≠0，求代数式的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个没有同黄金分割点，求C、D之间的距离．
【正确答案】(1)(2) 10﹣20
【详解】试题分析：（1）根据比例的基本性质，利用设k法求解即可；
（2）根据黄金分割点的黄金比，直接根据比例关系求解.
试题解析：（1）设==k，可得：a=2k，b=3k，
把a=2k，b=3k代入．
（2）∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD=BC=AB=5﹣5，
∴CD=AD+BC﹣AB=10﹣20cm．
18. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且点（﹣1，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
【正确答案】(1) y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3(2)（0，﹣3）
【详解】试题分析：（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-2）2+1，然后把（-1，-8）代入求出a即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程-x2+4x-3=0即可．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a （x﹣2）2+1，
把（﹣1，﹣8）代入得a•（﹣1﹣2）2+1=﹣8，
解得a=﹣1
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；
（2）令y=0，则﹣x2+4x﹣3=0，
解得x1=3，x2=1
所以抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
令y=0，得到x=﹣3，
所以与y轴交于点（0，﹣3）．
19. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）1.
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．
【详解】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，
∵，∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴，
又∵，
∴，
∴
20. 在一没有透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?
（2）小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后 放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大 ,谁获胜.请你用树状图或列 表法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由.
【正确答案】（1）.（2）公平，理由见解析.
【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；
（2）首先利用列表法求出两人的获胜概率，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，即可得出答案．
【详解】（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是2球的概率是.
（2）游戏规则对双方公平.列表如下：
由表可知，P（小明获胜）=，P（小东获胜）=，
∵P（小明获胜）=P（小东获胜），
∴游戏规则对双方公平．
考点：1.游戏公平性；2.列表法与树状图法．
21. 如图，在一面靠墙空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积，值是多少？
（3）若墙的可用长度为8米，则求围成花圃的面积．
【正确答案】(1) S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）(2)36(3)32
【详解】试题分析：（1）求出S=AB×BC代入即可；
（2）利用0＜24-4x≤8进而解出即可；
（3）把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案．
试题解析：（1）∵AB=x米，
∴BC=（24﹣4x）米，
∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴当x=3时，S有值为36平方米；
（3）∵，
∴4≤x＜6，
∴当x=4时，花圃的面积为32平方米．
点睛：本题主要考查对二次函数的最值，二次函数的解析式，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．
22. 如图，函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有值？值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的值．
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，没有要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，
设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）× =2﹣t．
又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2．
∴．
∴当t=2时，MN有值4．
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．
（ii）当D没有在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；
由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=x﹣2．
由两方程联立解得D为（4，4）．
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
23. 如图,已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值时，求点E的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）;（3）E的坐标为（﹣，0）.
【详解】试题分析：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB=90°，根据待定系数法求出直线AH的解析式后，联立函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m=时，CN有值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），
把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），
∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）当△PBH与△AOC相似时，
∴△AOC是直角三角形，
∴△PBH也是直角三角形，
由题意知：H（0，2），
∴OH=2，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴
∵∠AOH=∠BOH，
∴△AOH∽△BOH，
∴∠AHO=∠HBO，
∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，
∴∠AHB=90°，
设直线AH的解析式为：y=kx+b，
把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，
∴，
∴解得k=2,b=2，
∴直线AH的解析式为：y=2x+2，
联立，
解得：x=1或x=﹣8，
当x=﹣1时，
y=0，
当x=8时，
y=18
∴P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）
（3）过点M作MF⊥x轴于点F，
设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，0），
∵∠BME=∠BDC，
∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，
∴∠EMC=∠MBD，
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为﹣2，
令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2，
∴x=0或x=3，
∴D（3，﹣2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理可求得：BD=，
∵M（m，0），
∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）
∴由抛物线的对称性可知：∠NCM=∠BDC，
∴△NCM∽△MDB，
∴，
∴，
∴CN=，
∴当m=时，CN可取得值，
∴此时M的坐标为（，﹣2），
∴MF=2，BF=，MD=
∴由勾股定理可求得：MB=，
∵E（n，0），
∴EB=4﹣n，
∵CD∥x轴，
∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，
∴△EMB∽△BDM，
∴，
∴MB2=MD•EB，
∴=×（4﹣n），
∴n=﹣，
∴E的坐标为（﹣，0）．
考点：二次函数综合题.
24. 新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
【正确答案】(1) a＞1(2)是(3)0
【详解】试题分析：（1）由函数的性质可求得其值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的没有等式组，可求得a的取值范围；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其值和最小值，满足三角形函数的定义；
（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x2-2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的没有等式组，即可求得m所满足的没有等式，可求得m的取值范围．
试题解析：（1）∵当x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，
∵y=x+a为三角形函数，
∴，
∴a＞1；
（2）是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线，0≤x≤1，
∴当，
∴，
∴它是三角形函数；
（3）∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴，若a为最小，c为，则有，同理当b为最小，c为时也可得，
∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，
∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，ymin=1，
当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当，，当x=1，ymax=﹣2m+2，，
解得0＜m＜1，
∴；
③当，，当x=0，ymax=1，则，
解得，
∴；
④当m＞1，当x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为或．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及新概念、二次函数的性质、没有等式组、三角形的三边关系待知识．在（1）（2）中利用三角形函数的定义得到关于m的没有等式组是解题的关键，在（3）中判断函数为三角形函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（B卷）
考试
一、选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程解是（ ）
A. B. C. D.
5. 澳大利亚野兔泛滥成灾，某牧场为估计该地野兔的只数，先捕捉30只野兔给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的野兔完全混合于野兔群后，第二次捕捉100只野兔，发现其中2只有标志，从而估计该地区有野兔（ ）
A. 800只 B. 1000只 C. 1200只 D. 1500只
6. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则ta等于( )
A. B.
C. D.
7. 如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
8. 已知A，B（ ，）两点在双曲线上，且＞，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
10. 将一条长30的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于86，现设其中一个正方形的周长为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 某市防洪大堤的横截面如图所示，已知AE∥BC，背水坡AB的坡度，且AB=26米．身高1.8米的小明竖直站立于A点，眼睛在M点处测得竖立的高压电线杆顶端D点的仰角为24°，已知地面CB宽30米，则高压电线杆CD的高度约为（ ）（结果到整数，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A. 33米 B. 34米 C. 35米 D. 36米
12. 在下列，，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作，则使得分式方程有整数解，且使得函数的图象三四象限的所有的值有（ ）．
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 8个
二、填 空 题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3，c=2，d=6，那么a=____________．
14. 计算：＝____________．
15. 某校举行春季运动会，需要在初二年级选取一名志愿者．初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名，则被选中这名同学恰好来自初二（3）班的概率是___________．
16. 关于的一元二次方程有实数根，则a满足_______________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在象限内，AB=，对角线BD与轴平行，B，C两点的横坐标分别为、5，反比例函数的图象B，C两点，则的值为___________．
18. 如图，已知在正方形ABCD中，F是CD边上一点（没有与C、D重合），过点D作DG⊥BF交BF延长线于点G．连接AG，交BD于点E，交CD于点M，连接EF．若DG=4，AG=，则EF的长为____________．
三、解 答 题：（本大题2个小题，每小题 8分，共16分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=8，AC=，∠A=30°．
（1）请求出线段AD的长度；
（2）请求出sin∠C值．
20. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
四、解 答 题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21. 解方程与化简：
（1）； （2）．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A坐标为，点B坐标为，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）求函数与反比例函数的解析式；
（2）连接BD，求出∆BDC的周长．
23. 随着的发展，我们的生活越来越方便，越来越多的人在上购物，这个行业也悄然兴起，很多人通过平台商品．
（1）某水果今年九月购进榴莲和奇异果共1000千克，它们的进价均为每千克24 元，然后以榴莲售价每千克45元，奇异果售价每千克36元的价格很快完，若该水果九月获利没有低于17400元，求应购进榴莲至少多少千克？
（2）为了增加量，获得更大的利润，在进价没有变的情况下，该水果十月决定调整售价，榴莲的售价在九月的基础上下调（降价后的售价没有低于进价），奇异果的售价在九月的基础上上涨，同时，与（1）中获得的利润时的量相比，榴莲的量下降了，而奇异果的量上升了，结果十月的额比九月增加了600元．求的值．
24. 如图，四边形ABCD矩形，连接BD，AB=2AD，点E在AB边上，连接ED．
（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面积；
（2）延长CB至点F使得BF=2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN=AN+BN．
五、解 答 题：（本大题2个小题，第25题10分，第26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 ．
②方程的解为 ．
（2）解关于方程：
① （）
②（）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（－3，0）、C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，2），抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，Q为线段AC的中点，当△EGF周长时，在 轴上找一点R，使得|RE－RQ|值，请求出R点的坐标及|RE－RQ|的值；
（3）在（2）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（B卷）
考试
一、选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论．
【详解】解：从上往下看该几何体的俯视图是D．
故选D．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题关键．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】抛物线为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k，则抛物线的对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
4. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
x＝0或x－3＝0，
所以x1＝0，x2＝3，
故选C．
点睛：本题主要考查了解一元二次方程，常见的解法有配方法，公式法和因式分解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．本题也可采用选项验证的方法．
5. 澳大利亚野兔泛滥成灾，某牧场为估计该地野兔的只数，先捕捉30只野兔给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的野兔完全混合于野兔群后，第二次捕捉100只野兔，发现其中2只有标志，从而估计该地区有野兔（ ）
A. 800只 B. 1000只 C. 1200只 D. 1500只
【正确答案】D
【详解】试题分析：捕捉100只野兔，发现其中2只有标志，说明有标志的占到，而有标志的共有30只，所以该地区有野兔：30÷＝1500（只）．
故选D．
点睛：本题考查了用样本估计总体的思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本百分比估计总体．
6. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则ta等于( )
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】解：设所对的边分别为，
，
没有妨设，由勾股定理得到
，
故选：B.
7. 如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故此选项没有符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠1，
∴AD＝CD，
∴平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
C、根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形；
D、∠1＝90°无法证明四边形ABCD是菱形，故此选项没有符合题意．
故选B．
定睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．．
8. 已知A，B（ ，）两点在双曲线上，且＞，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵点A（－2，y1），B（－3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，
∴3＋2m＜0，
∴m＜，
∴m的取值范围是m＜．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大．
9. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
【正确答案】B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B
10. 将一条长30的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于86，现设其中一个正方形的周长为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为(30－x)，
一个正方形的边长为，另一个正方形的周长为，
根据两个正方形的面积之和等于86可得：
．
故选D．
11. 某市防洪大堤的横截面如图所示，已知AE∥BC，背水坡AB的坡度，且AB=26米．身高1.8米的小明竖直站立于A点，眼睛在M点处测得竖立的高压电线杆顶端D点的仰角为24°，已知地面CB宽30米，则高压电线杆CD的高度约为（ ）（结果到整数，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A. 33米 B. 34米 C. 35米 D. 36米
【正确答案】D
【详解】试题分析：过A点作AF垂直于CB的延长线于点F．
∵i＝1：2.4，AB＝26米，
∴AF：BF＝1：2.4，
设AF＝x米，则BF＝2.4x米，
由勾股定理得：x2＋(2.4x)2＝262，
解得：x＝10，
则AF＝10米，BF＝24米，
∴CN＝FM＝AF＋AM＝10＋1.8＝11.8，
MN＝CF＝CB＋BF＝30＋24＝54米，
∵∠NMD＝24°，
∴DN＝MNtan24°＝54×0.45＝24.3米，
∴CD＝CN＋DN＝11.8＋24.3＝36.1≈36米．
故选D．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12. 在下列，，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作，则使得分式方程有整数解，且使得函数的图象三四象限的所有的值有（ ）．
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 8个
【正确答案】C
详解】试题分析：－2＝，
去分母得：ax＋3－2x＋4＝－1，
(a＋2)x＝－8，
x＝，
当a＝－2时，x＝2，分式方程无意义；
当a＝0时，x＝4；
当a＝1时，x＝8；
当a＝3时，x＝－8．
当a＝0时，y＝bx，是正比例函数，只两个象限，没有符合题意；
当a＝1时，y＝－x2＋bx，当对称轴x＝＞0时图象才一三四象限，
所以b＝1，2，3；
当a＝3时，y＝－3x2＋bx，当对称轴x＝＞0时图象才一三四象限，
所以b＝1，2，3．
所以a＋b＝1＋1＝2或1＋2＝3或1＋3＝4或3＋1＝4或3＋2＝5或3＋3＝6，
故a＋b的值有5个．
故选C．
二、填 空 题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3，c=2，d=6，那么a=____________．
【正确答案】1
【详解】试题分析：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∵b＝3，c＝2，d＝6，
∴，
解得：a＝1．
故答案为1．
点睛：此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．
14. 计算：＝____________．
【正确答案】－1
【详解】试题分析：原式＝－8＋8×()2－(－3)
＝－8＋4＋3
＝1．
故答案为1．
15. 某校举行春季运动会，需要在初二年级选取一名志愿者．初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名，则被选中的这名同学恰好来自初二（3）班的概率是___________．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵在这6名同学中，有2人来自初二（3）班，
∴被选中的这名同学恰好是初二（3）班同学的概率是＝．
故答案为．
点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16. 关于的一元二次方程有实数根，则a满足_______________．
【正确答案】a≥－1且a≠3．
【详解】试题分析：∵方程为一元二次方程，
∴a－3≠0，即a≠3，
∵方程有实数根，
∴△＝(－4)2＋4(a－3)＝4a＋4≥0，
∴a≥－1，
综合得a≥－1且a≠3．
故答案为a≥－1且a≠3．
点睛：本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0，方程有两个没有相等的实数根；②△＝0，方程有两个相等的实数根；③△＜0，方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数没有为0．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在象限内，AB=，对角线BD与轴平行，B，C两点的横坐标分别为、5，反比例函数的图象B，C两点，则的值为___________．
【正确答案】
【详解】试题分析：连接AC与BC相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝，
∵对角线BD与轴平行，B，C两点横坐标分别为、5，
∴BO＝5－＝，
在Rt△BOC中，
OC＝＝＝5，
∵B、C在y＝图象上，
∴yB＝，yC＝，
∴OC＝ yB － yC ＝－＝5，
解得k＝．
故答案为．
18. 如图，已知在正方形ABCD中，F是CD边上一点（没有与C、D重合），过点D作DG⊥BF交BF延长线于点G．连接AG，交BD于点E，交CD于点M，连接EF．若DG=4，AG=，则EF的长为____________．
【正确答案】
【详解】试题分析：
如图作AH⊥BG于H交BC于T，AN⊥GD于N，取BD的中点O，连接OA、OG．
∴∠BAD＝∠BGD＝90°，
∴OA＝OD＝OB＝OG，
∴A、B、G、D四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝45°，∠AGD＝∠ABD＝45°，
∴AH＝GH，AN＝NG，
∵∠N＝∠AHG＝∠HGN＝90°，
∴四边形ANGH是矩形，∵AH＝HG，
∴四边形ANGH是正方形，
∵AG＝，
∴AH＝HG＝GN＝AN＝5，
易证△AND≌△AHB，
∴DN＝BH，
∴GD＋GB＝GN－DN＋GH＋BH＝2GN＝10，
∴4＋GB＝10，
∴GB＝6，BD＝＝＝，
∴BH＝1，
∵△BHT∽△AHB，
∴BH2＝AH•HT，
∴HT＝，
∴AT＝AH＋TH＝，
易证△ABT≌△BCF，
∴AT＝BF＝，
∵△BEF∽△BGD，
∴，
∴，
∴EF＝ ．
故答案为．
点睛：本题考查正方形的性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填 空 题中的压轴题．
三、解 答 题：（本大题2个小题，每小题 8分，共16分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，△ABC中，BD⊥AC，AB=8，AC=，∠A=30°．
（1）请求出线段AD的长度；
（2）请求出sin∠C的值．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD的长，然后根据勾股定理或锐角三角函数求出AD的长；
（2）根据CD＝AC－AD求出CD的长，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BC的长，再根据三角函数的定义即可求出sin∠C的值．
试题解析：
解：（1）在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，AB＝8，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝4，AD＝ABcos30°＝4；
（2）∵AC＝6，AD＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝2．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB＝90°，BD＝4，CD＝2，
∴BC＝＝，
∴sin∠C＝＝＝．
20. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【正确答案】（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1000人；（4）
【详解】分析：(1)根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数; （2）计算出短信与的人数即可补全统计图;（3）用样本中喜欢用进行沟通的百分比来估计1000名学生中喜欢用进行沟通的人数即可;（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
详解：（1）.
（2）使用短信的人数：100×5%=5；使用的人数：100-20-5-30-5=40,
条形统计图补充图如图：
（3）（人）
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为.
点睛：本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
四、解 答 题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21. 解方程与化简：
（1）； （2）．
【正确答案】（1），；（2）．
【详解】试题分析：（1）分别找出二次项系数、项系数和常数项，直接代入公式求解即可；
（2）先将括号内通分，相减，然后把除法转化为乘法，分子、分母分解因式后约分即可．
试题解析：
（1）解：∵a＝2，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝8＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）解：原式＝＝＝．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A坐标为，点B坐标为，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）求函数与反比例函数的解析式；
（2）连接BD，求出∆BDC的周长．
【正确答案】（1）y=x-2，；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据正切值，可得OE的长，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据点的坐标满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据坐标系内两点间的距离公式分别求出CD、BD、BC的长，即可得出△BDC的周长．
试题解析：
解：（1）如图：过A做AE⊥x轴于E，
∵tan∠AOE＝＝＝，
∴OE＝4，
∴A（4，2），
∵y＝的图象过A（4，2），
∴2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 y＝，
B（－2，n）在 y＝的图象上，
解得n＝－4，
∴B（－2，－4），
函数y＝kx＋b过A、B点，
∴，
解得，
函数解析式为y＝x－2；
（2）当x＝0时，y＝－2，
∴C（0，－2），
当y＝－2时，－2＝，
x＝－4，
∴D（－4，－2），
∴CD＝4，BD＝＝，
BC＝＝，
∴△BDC的周长＝＋＋4
＝＋4．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，根据OA与x轴正半轴夹角的正切值求出A点的坐标，然后利用待定系数法求出解析式是解题的关键．
23. 随着的发展，我们的生活越来越方便，越来越多的人在上购物，这个行业也悄然兴起，很多人通过平台商品．
（1）某水果今年九月购进榴莲和奇异果共1000千克，它们的进价均为每千克24 元，然后以榴莲售价每千克45元，奇异果售价每千克36元的价格很快完，若该水果九月获利没有低于17400元，求应购进榴莲至少多少千克？
（2）为了增加量，获得更大的利润，在进价没有变的情况下，该水果十月决定调整售价，榴莲的售价在九月的基础上下调（降价后的售价没有低于进价），奇异果的售价在九月的基础上上涨，同时，与（1）中获得的利润时的量相比，榴莲的量下降了，而奇异果的量上升了，结果十月的额比九月增加了600元．求的值．
【正确答案】（1）600；（2）20．
【详解】试题分析：（1）设应购进榴莲x千克，则购进奇异果(1000－x)千克，根据该水果九月获利没有低于17400元列出没有等式求解即可；
（2）分别表示出十月和九月的额，然后根据十月的额比九月增加了600元列出含a的方程求解即可．
试题解析：
解：（1）设应购进榴莲x千克，由题意得：
（45－24）x＋（1000－x）（36－24）≥17400，
解得：x≥600，
答：应购进榴莲至少600千克．
（2）由题意得：
45(1－a%)×600(1－a%)＋36(1＋a%)(1000－600)(1＋25%)＝17400＋1000×24＋600，
令a%＝t，则方程可以化简为：15t2－13t＋2＝0，
解得：t1＝，t2＝，
∴a＝20或a＝，
当a＝20时45(1－a%)＝36＞24，
当a＝时45(1－a%)＝15＜24，
∵降价后的售价没有低于进价，
∴a＝20．
点睛：此题主要考查了一元没有等式和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的没有等关系或等量关系，列出没有等式或方程，再求解．
24. 如图，四边形ABCD为矩形，连接BD，AB=2AD，点E在AB边上，连接ED．
（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面积；
（2）延长CB至点F使得BF=2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN=AN+BN．
【正确答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）在Rt△ADE中，解直角三角形求出EA，DA的值，然后根据AB＝2AD求出AB的长，进而求出BE的长，利用三角形的面积公式即可求出面积；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△FHB≌△A，得BH＝BN，HF＝AN，则△HBN是等腰直角三角形，有NH＝，根据线段的和代入得结论．
【详解】解：（1）在Rt△ADE中，
∵∠EDA＝30°，∴EA＝ED＝×6＝3，
DA＝ED•cos30°＝6×＝3，
∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，∴S△BED＝ ×BE×DA＝(6﹣3）×3＝ ；
（2）如图，过B作BH⊥BN，交FM于H，
∴∠H＝∠A＋∠EBH＝90°，
又∵∠ABF＝∠HBF＋∠EBH＝90°，
∴∠A＝∠HBF，
∵CF∥AD，
∴∠AMN＝∠F，
∵AN⊥EM，
∴∠AMN＋∠MAN＝90°，
∠MAN＋∠NAB＝90°，
∴∠NAB＝∠AMN，
∴∠NAB＝∠F，
又∵BF＝2AD，AB＝2AD，
∴AB＝BF，
∴△A≌△FHB，
∴BN＝BH，AN＝FH，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴NH＝，
∵FN＝FH＋NH
＝AN＋．
本题是四边形的综合题，考查了矩形性质、全等三角形判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，考查了等腰直角三角形直角边和斜边的关系，添加辅助线，构造出全等三角形是解决此题的关键．
五、解 答 题：（本大题2个小题，第25题10分，第26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 ．
②方程的解为 ．
（2）解关于方程：
① （）
②（）
【正确答案】（1）①，；②，；（2）①，；②，．
【详解】试题分析：（1）①令个方程中的a＝2即可得到答案；
②把(x－1)看成一个整体，利用个方程的规律即可得出答案；
（2）①等式两边减去1，把(x－1)和(a－1)分别看成是整体，利用第三个方程的规律即可得出答案；
②等式两边减去2，把(x－2)和(a－2)分别看成是整体，利用第二个方程和第四个方程的规律即可得出答案．
试题解析：
解：（1）①由个方程规律可得：x1＝2，x2＝；
②根据个方程规律可得：x－1＝3或x－1＝，
∴x1＝4，x2＝；
（2）①方程两边减1得：(x－1)＋＝(a－1)＋ ，
∴x－1＝a－1或x－1＝，
∴：x1＝a，x2＝；
②方程两边减2得：(x－2)＋＝(a－2)＋ ，
∴∴x－2＝a－2或x－2＝，
∴：x1＝a，x2＝．
点睛：此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（－3，0）、C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，2），抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，Q为线段AC的中点，当△EGF周长时，在 轴上找一点R，使得|RE－RQ|值，请求出R点的坐标及|RE－RQ|的值；
（3）在（2）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．
【正确答案】（1）；（2）E，R（，0），值；（3）P′或或．
【详解】试题分析：（1）把A、B、C的坐标代入抛物线解析式，求出a、b、c的值即可得出解析式；
（2）先证△EFG∽△BAO，得，所以当EF时△EFG周长，求出AB的解析式，设出点E、F的坐标，表示出EF的长，求出EF时E点坐标，根据中点坐标求法求出点Q坐标，表示出EQ的解析式，当E、Q、R在同一直线上时|RE－RQ|，求出此时R点坐标和EQ的长即为答案；
（3）用待定系数法求出PA的解析式为y＝，
①当∠P’PA＝90°时，根据相互垂直的两条直线比例系数互为负倒数求出PP’的解析式为y＝，设P’（x，），由EP’＝EP列方程求出x的值，即可得出点P’的坐标；
②当∠PAP’＝90°时，同理求出AP’的解析式，利用前面的方法即可得出点P’的坐标．
试题解析：
解：（1）∵抛物线点A（0，2）、B（－3，0）、C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝；
（2）∵EG⊥AB，EP⊥OB，
∴∠EGF＝∠FPB＝90°，
∴∠E＋∠EFG＝90°，∠PBF＋∠BFP＝90°，
∵∠EFG＝∠BFP，
∴∠E＝∠PBF，
又∠EGF＝∠AOB，
∴△EFG∽△BAO，
∴，
∵AB是定值，
∴当EF时△EFG周长，
设AB的解析式为y＝kx＋b，
则有，
解得，
∴AB的解析式为y＝x＋2，
设E（x，），则F（x，x＋2）．
∴EF＝()－(x＋2)＝ ＝，
当x＝时EF有值，
此时E．
∵Q是AC中点，A（0，2），C（1，0），
∴Q（，1），
EQ的解析式为：y＝，
当E、Q、R在同一直线上时|RE－RQ|，
令y＝0，则＝0，
x＝，
∴R（，0），
此时|RE－RQ|值＝EQ＝＝；
（3）∵EP⊥x轴，E，
∴P（，0），
∵A（0，2），
∴PA的解析式为y＝，
①当∠P’PA＝90°时，
设PP’的解析式为y＝，
把P（，0）代入得b＝，
∴PP’的解析式为y＝，
设P’（x，），
∵EP’＝EP，
∴，
解得：x1＝，x2＝（没有符合题意，舍去），
＝，
∴P’（ ，）；
②当∠PAP’＝90°时，
同理可得AP’的解析式为：y＝，
设P’（x，），
∵EP’＝EP，
∴，
解得：x1＝，x2＝，
当x＝时，＝，
当x＝时，＝，
∴P’（ ，）或．
综上P’ （ ，）或（ ，）或．
点睛：本题是一道二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数和函数的解析式，二次函数的最值，中点坐标的求法，两点间的距离公式，互相垂直的直线解析式的关系，以及相似三角形的判定和性质，旋转的性质，得出EF时△EFG周长是解决（2）的关键，分类讨论是解决（3）的关键．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（A卷）
一、选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y=2x+1 B. y=（x﹣1）2﹣x2 C. y=2x2﹣7 D.
2. 已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 有五张正面分别写有数字﹣3，﹣2，1，2，3的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的四张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A. 2：1 B. 1：2 C. 1： D. ：1
5. 在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 根据电视台天气预报：某市明天降雨的概率为80%，对此信息，下列几种说法中正确的是（ ）
A. 该市明天一定会下雨 B. 该市明天有80%地区会降雨
C. 该市明天有80%的时间会降雨 D. 该市明天下雨的可能性很大
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A B. C. D.
8. 抛物线（是常数）的顶点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△，则点C的坐标为（ ）
A （1，） B. C. （，2） D. （，2）
10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 没有考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题：本小题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 将抛物线y=x2两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为_____．
12. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AC=3，BC=2，DE=1.5，则DF的长为_____．
13. 已知点A()、B()在二次函数图象上，若，则y1______y2．
14. 如图，AD是△ABC的高，EF∥BC分别交AB、AD、AC于点E、G、F，连结DF，若S△AEG=S四边形EBDG，则=_____．
15. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为__________．
16. 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ；
（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是 ．
三、解 答 题：本题共8小题，共80分.
17. （1）已知=≠0，求代数式的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个没有同黄金分割点，求C、D之间的距离．
18. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且点（﹣1，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
19. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
20. 在一没有透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?
（2）小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后 放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大 ,谁获胜.请你用树状图或列 表法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由.
21. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积，值是多少？
（3）若墙的可用长度为8米，则求围成花圃的面积．
22. 如图，函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有值？值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
23. 如图,已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值时，求点E的坐标．
24. 新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（A卷）
一、选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y=2x+1 B. y=（x﹣1）2﹣x2 C. y=2x2﹣7 D.
【正确答案】C
【详解】根据二次函数的概念，可知y=2x+1是函数，y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1是函数，y=2x2﹣7是二次函数，没有是整式函数.
故选C.
点睛：此题主要考查了二次函数的识别，关键是明确二次函数的二次项系数和指数，利用二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）判断.
2. 已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】解∶∵a=2＞0，
∴函数的开口向上，故①正确；
根据题意得∶顶点坐标为（3，-2），故②正确；
∵y=2（x﹣3）2﹣2=2x2-12x+18-2=2x2-12x+16，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故③没有正确；
当x≤3时，y随x的增大而减小，故④正确．
故选C．
3. 有五张正面分别写有数字﹣3，﹣2，1，2，3的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的四张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】根据题意画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点（a，b）在第二象限的结果数为6.
所以点（a，b）在第二象限的概率=.
故选C.
点睛：此题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合条件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率.
4. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A. 2：1 B. 1：2 C. 1： D. ：1
【正确答案】B
【详解】根据相似三角形的性质，可知其相似比为1：，然后根据面积比等于相似比的平方，求得面积比为：1：2.
故选B.
5. 在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＞0，b＜0，
所以b的范围没有同，故本选项错误；
B、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＜0，
所以b的范围没有同，故本选项错误；
C、根据反比例函数得出b＜0，根据二次函数得出a＞0，b＞0，
所以b的范围没有同，故本选项错误；
D、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＞0，
所以b的范围相同，故本选项正确；
故选D．
6. 根据电视台天气预报：某市明天降雨的概率为80%，对此信息，下列几种说法中正确的是（ ）
A. 该市明天一定会下雨 B. 该市明天有80%地区会降雨
C. 该市明天有80%的时间会降雨 D. 该市明天下雨的可能性很大
【正确答案】D
【详解】解：根据题意，可知明天降雨的可能性比较大，可知该市明天有可能下雨，且可能性比较大，与下雨的时间、区域没有关系．
故选D．
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【详解】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
8. 抛物线（是常数）的顶点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】A
【详解】∵，
∴顶点坐标为： ，
∵
∴顶点在象限．
故选：A．
9. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△，则点C的坐标为（ ）
A. （1，） B. C. （，2） D. （，2）
【正确答案】B
【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，写出点C的坐标为．
故选：B．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点．
10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 没有考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
二、填 空 题：本小题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 将抛物线y=x2两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为_____．
【正确答案】y=（x+3）2+2．
【详解】根据二次函数的平移规律：左加右减（x），上加下减（y），直接可得将抛物线y=x2两次平移后所得抛物线y=（x+3）2+2.
故答案为y=（x+3）2+2.
12. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AC=3，BC=2，DE=1.5，则DF的长为_____．
【正确答案】4.5
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算．
∵AD∥BE∥CF，∴，即，∴DF=4.5，
故答案为4.5．
考点：平行线分线段成比例．
13. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2．
【正确答案】>
【详解】由二次函数的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1
∵
∴y随x的增大而增大
∴ >
14. 如图，AD是△ABC的高，EF∥BC分别交AB、AD、AC于点E、G、F，连结DF，若S△AEG=S四边形EBDG，则=_____．
【正确答案】
【详解】根据题意，可由S△AEG=S四边形EBDG，根据三角形相似的性质可得S△AEG=S△ABD，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得AE：AB=1:2，同理可得AF：AC=1:2，AG：AD=1:2，因此可知AF=CF，然后根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可知DF=AC.
故答案为.
15. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为__________．
【正确答案】（5，0）．
【详解】试题分析：由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；
设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=5，解得：x=5，则E（5，0）．
考点：待定系数法求解析式；坐标与图形的性质．
16. 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是函数图象上点M“可控变点”，则点M的坐标为 ；
（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是 ．
【正确答案】（1） （﹣1，2）；（2） 0≤a≤．
【详解】试题分析：（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为（﹣1，2）；
（2）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，如图所示，∵，当y′=16时，或，∴x=0或x=，当y′=﹣16时， 或，∴x=或x=0，∴a的取值范围是0≤a≤．故答案为（1）（﹣1，2）；（2）0≤a≤．
考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．函数图象上点的坐标特征；3．新定义．
三、解 答 题：本题共8小题，共80分.
17. （1）已知=≠0，求代数式的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个没有同黄金分割点，求C、D之间的距离．
【正确答案】(1)(2) 10﹣20
【详解】试题分析：（1）根据比例的基本性质，利用设k法求解即可；
（2）根据黄金分割点的黄金比，直接根据比例关系求解.
试题解析：（1）设==k，可得：a=2k，b=3k，
把a=2k，b=3k代入．
（2）∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD=BC=AB=5﹣5，
∴CD=AD+BC﹣AB=10﹣20cm．
18. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且点（﹣1，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
【正确答案】(1) y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3(2)（0，﹣3）
【详解】试题分析：（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-2）2+1，然后把（-1，-8）代入求出a即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程-x2+4x-3=0即可．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a （x﹣2）2+1，
把（﹣1，﹣8）代入得a•（﹣1﹣2）2+1=﹣8，
解得a=﹣1
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；
（2）令y=0，则﹣x2+4x﹣3=0，
解得x1=3，x2=1
所以抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
令y=0，得到x=﹣3，
所以与y轴交于点（0，﹣3）．
19. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）1.
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．
【详解】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，
∵，∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴，
又∵，
∴，
∴
20. 在一没有透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?
（2）小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后 放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大 ,谁获胜.请你用树状图或列 表法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由.
【正确答案】（1）.（2）公平，理由见解析.
【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；
（2）首先利用列表法求出两人的获胜概率，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，即可得出答案．
【详解】（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是2球的概率是.
（2）游戏规则对双方公平.列表如下：
由表可知，P（小明获胜）=，P（小东获胜）=，
∵P（小明获胜）=P（小东获胜），
∴游戏规则对双方公平．
考点：1.游戏公平性；2.列表法与树状图法．
21. 如图，在一面靠墙空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积，值是多少？
（3）若墙的可用长度为8米，则求围成花圃的面积．
【正确答案】(1) S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）(2)36(3)32
【详解】试题分析：（1）求出S=AB×BC代入即可；
（2）利用0＜24-4x≤8进而解出即可；
（3）把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案．
试题解析：（1）∵AB=x米，
∴BC=（24﹣4x）米，
∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴当x=3时，S有值为36平方米；
（3）∵，
∴4≤x＜6，
∴当x=4时，花圃的面积为32平方米．
点睛：本题主要考查对二次函数的最值，二次函数的解析式，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．
22. 如图，函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有值？值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的值．
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，没有要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，
设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）× =2﹣t．
又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2．
∴．
∴当t=2时，MN有值4．
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．
（ii）当D没有在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；
由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=x﹣2．
由两方程联立解得D为（4，4）．
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
23. 如图,已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值时，求点E的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）;（3）E的坐标为（﹣，0）.
【详解】试题分析：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB=90°，根据待定系数法求出直线AH的解析式后，联立函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m=时，CN有值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），
把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），
∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）当△PBH与△AOC相似时，
∴△AOC是直角三角形，
∴△PBH也是直角三角形，
由题意知：H（0，2），
∴OH=2，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴
∵∠AOH=∠BOH，
∴△AOH∽△BOH，
∴∠AHO=∠HBO，
∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，
∴∠AHB=90°，
设直线AH的解析式为：y=kx+b，
把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，
∴，
∴解得k=2,b=2，
∴直线AH的解析式为：y=2x+2，
联立，
解得：x=1或x=﹣8，
当x=﹣1时，
y=0，
当x=8时，
y=18
∴P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）
（3）过点M作MF⊥x轴于点F，
设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，0），
∵∠BME=∠BDC，
∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，
∴∠EMC=∠MBD，
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为﹣2，
令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2，
∴x=0或x=3，
∴D（3，﹣2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理可求得：BD=，
∵M（m，0），
∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）
∴由抛物线的对称性可知：∠NCM=∠BDC，
∴△NCM∽△MDB，
∴，
∴，
∴CN=，
∴当m=时，CN可取得值，
∴此时M的坐标为（，﹣2），
∴MF=2，BF=，MD=
∴由勾股定理可求得：MB=，
∵E（n，0），
∴EB=4﹣n，
∵CD∥x轴，
∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，
∴△EMB∽△BDM，
∴，
∴MB2=MD•EB，
∴=×（4﹣n），
∴n=﹣，
∴E的坐标为（﹣，0）．
考点：二次函数综合题.
24. 新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
【正确答案】(1) a＞1(2)是(3)0
【详解】试题分析：（1）由函数的性质可求得其值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的没有等式组，可求得a的取值范围；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其值和最小值，满足三角形函数的定义；
（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x2-2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的没有等式组，即可求得m所满足的没有等式，可求得m的取值范围．
试题解析：（1）∵当x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，
∵y=x+a为三角形函数，
∴，
∴a＞1；
（2）是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线，0≤x≤1，
∴当，
∴，
∴它是三角形函数；
（3）∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴，若a为最小，c为，则有，同理当b为最小，c为时也可得，
∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，
∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，ymin=1，
当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当，，当x=1，ymax=﹣2m+2，，
解得0＜m＜1，
∴；
③当，，当x=0，ymax=1，则，
解得，
∴；
④当m＞1，当x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为或．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及新概念、二次函数的性质、没有等式组、三角形的三边关系待知识．在（1）（2）中利用三角形函数的定义得到关于m的没有等式组是解题的关键，在（3）中判断函数为三角形函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（B卷）
考试
一、选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程解是（ ）
A. B. C. D.
5. 澳大利亚野兔泛滥成灾，某牧场为估计该地野兔的只数，先捕捉30只野兔给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的野兔完全混合于野兔群后，第二次捕捉100只野兔，发现其中2只有标志，从而估计该地区有野兔（ ）
A. 800只 B. 1000只 C. 1200只 D. 1500只
6. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则ta等于( )
A. B.
C. D.
7. 如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
8. 已知A，B（ ，）两点在双曲线上，且＞，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
10. 将一条长30的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于86，现设其中一个正方形的周长为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 某市防洪大堤的横截面如图所示，已知AE∥BC，背水坡AB的坡度，且AB=26米．身高1.8米的小明竖直站立于A点，眼睛在M点处测得竖立的高压电线杆顶端D点的仰角为24°，已知地面CB宽30米，则高压电线杆CD的高度约为（ ）（结果到整数，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A. 33米 B. 34米 C. 35米 D. 36米
12. 在下列，，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作，则使得分式方程有整数解，且使得函数的图象三四象限的所有的值有（ ）．
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 8个
二、填 空 题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3，c=2，d=6，那么a=____________．
14. 计算：＝____________．
15. 某校举行春季运动会，需要在初二年级选取一名志愿者．初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名，则被选中这名同学恰好来自初二（3）班的概率是___________．
16. 关于的一元二次方程有实数根，则a满足_______________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在象限内，AB=，对角线BD与轴平行，B，C两点的横坐标分别为、5，反比例函数的图象B，C两点，则的值为___________．
18. 如图，已知在正方形ABCD中，F是CD边上一点（没有与C、D重合），过点D作DG⊥BF交BF延长线于点G．连接AG，交BD于点E，交CD于点M，连接EF．若DG=4，AG=，则EF的长为____________．
三、解 答 题：（本大题2个小题，每小题 8分，共16分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=8，AC=，∠A=30°．
（1）请求出线段AD的长度；
（2）请求出sin∠C值．
20. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
四、解 答 题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21. 解方程与化简：
（1）； （2）．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A坐标为，点B坐标为，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）求函数与反比例函数的解析式；
（2）连接BD，求出∆BDC的周长．
23. 随着的发展，我们的生活越来越方便，越来越多的人在上购物，这个行业也悄然兴起，很多人通过平台商品．
（1）某水果今年九月购进榴莲和奇异果共1000千克，它们的进价均为每千克24 元，然后以榴莲售价每千克45元，奇异果售价每千克36元的价格很快完，若该水果九月获利没有低于17400元，求应购进榴莲至少多少千克？
（2）为了增加量，获得更大的利润，在进价没有变的情况下，该水果十月决定调整售价，榴莲的售价在九月的基础上下调（降价后的售价没有低于进价），奇异果的售价在九月的基础上上涨，同时，与（1）中获得的利润时的量相比，榴莲的量下降了，而奇异果的量上升了，结果十月的额比九月增加了600元．求的值．
24. 如图，四边形ABCD矩形，连接BD，AB=2AD，点E在AB边上，连接ED．
（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面积；
（2）延长CB至点F使得BF=2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN=AN+BN．
五、解 答 题：（本大题2个小题，第25题10分，第26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 ．
②方程的解为 ．
（2）解关于方程：
① （）
②（）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（－3，0）、C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，2），抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，Q为线段AC的中点，当△EGF周长时，在 轴上找一点R，使得|RE－RQ|值，请求出R点的坐标及|RE－RQ|的值；
（3）在（2）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．
2022-2023学年天津市武清区九年级上册数学第二次月考模拟题
（B卷）
考试
一、选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论．
【详解】解：从上往下看该几何体的俯视图是D．
故选D．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题关键．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】抛物线为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k，则抛物线的对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
4. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
x＝0或x－3＝0，
所以x1＝0，x2＝3，
故选C．
点睛：本题主要考查了解一元二次方程，常见的解法有配方法，公式法和因式分解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．本题也可采用选项验证的方法．
5. 澳大利亚野兔泛滥成灾，某牧场为估计该地野兔的只数，先捕捉30只野兔给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的野兔完全混合于野兔群后，第二次捕捉100只野兔，发现其中2只有标志，从而估计该地区有野兔（ ）
A. 800只 B. 1000只 C. 1200只 D. 1500只
【正确答案】D
【详解】试题分析：捕捉100只野兔，发现其中2只有标志，说明有标志的占到，而有标志的共有30只，所以该地区有野兔：30÷＝1500（只）．
故选D．
点睛：本题考查了用样本估计总体的思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本百分比估计总体．
6. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则ta等于( )
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】解：设所对的边分别为，
，
没有妨设，由勾股定理得到
，
故选：B.
7. 如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故此选项没有符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠1，
∴AD＝CD，
∴平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
C、根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形；
D、∠1＝90°无法证明四边形ABCD是菱形，故此选项没有符合题意．
故选B．
定睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．．
8. 已知A，B（ ，）两点在双曲线上，且＞，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵点A（－2，y1），B（－3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，
∴3＋2m＜0，
∴m＜，
∴m的取值范围是m＜．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大．
9. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
【正确答案】B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B
10. 将一条长30的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于86，现设其中一个正方形的周长为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为(30－x)，
一个正方形的边长为，另一个正方形的周长为，
根据两个正方形的面积之和等于86可得：
．
故选D．
11. 某市防洪大堤的横截面如图所示，已知AE∥BC，背水坡AB的坡度，且AB=26米．身高1.8米的小明竖直站立于A点，眼睛在M点处测得竖立的高压电线杆顶端D点的仰角为24°，已知地面CB宽30米，则高压电线杆CD的高度约为（ ）（结果到整数，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A. 33米 B. 34米 C. 35米 D. 36米
【正确答案】D
【详解】试题分析：过A点作AF垂直于CB的延长线于点F．
∵i＝1：2.4，AB＝26米，
∴AF：BF＝1：2.4，
设AF＝x米，则BF＝2.4x米，
由勾股定理得：x2＋(2.4x)2＝262，
解得：x＝10，
则AF＝10米，BF＝24米，
∴CN＝FM＝AF＋AM＝10＋1.8＝11.8，
MN＝CF＝CB＋BF＝30＋24＝54米，
∵∠NMD＝24°，
∴DN＝MNtan24°＝54×0.45＝24.3米，
∴CD＝CN＋DN＝11.8＋24.3＝36.1≈36米．
故选D．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12. 在下列，，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作，则使得分式方程有整数解，且使得函数的图象三四象限的所有的值有（ ）．
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 8个
【正确答案】C
详解】试题分析：－2＝，
去分母得：ax＋3－2x＋4＝－1，
(a＋2)x＝－8，
x＝，
当a＝－2时，x＝2，分式方程无意义；
当a＝0时，x＝4；
当a＝1时，x＝8；
当a＝3时，x＝－8．
当a＝0时，y＝bx，是正比例函数，只两个象限，没有符合题意；
当a＝1时，y＝－x2＋bx，当对称轴x＝＞0时图象才一三四象限，
所以b＝1，2，3；
当a＝3时，y＝－3x2＋bx，当对称轴x＝＞0时图象才一三四象限，
所以b＝1，2，3．
所以a＋b＝1＋1＝2或1＋2＝3或1＋3＝4或3＋1＝4或3＋2＝5或3＋3＝6，
故a＋b的值有5个．
故选C．
二、填 空 题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3，c=2，d=6，那么a=____________．
【正确答案】1
【详解】试题分析：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∵b＝3，c＝2，d＝6，
∴，
解得：a＝1．
故答案为1．
点睛：此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．
14. 计算：＝____________．
【正确答案】－1
【详解】试题分析：原式＝－8＋8×()2－(－3)
＝－8＋4＋3
＝1．
故答案为1．
15. 某校举行春季运动会，需要在初二年级选取一名志愿者．初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名，则被选中的这名同学恰好来自初二（3）班的概率是___________．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵在这6名同学中，有2人来自初二（3）班，
∴被选中的这名同学恰好是初二（3）班同学的概率是＝．
故答案为．
点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16. 关于的一元二次方程有实数根，则a满足_______________．
【正确答案】a≥－1且a≠3．
【详解】试题分析：∵方程为一元二次方程，
∴a－3≠0，即a≠3，
∵方程有实数根，
∴△＝(－4)2＋4(a－3)＝4a＋4≥0，
∴a≥－1，
综合得a≥－1且a≠3．
故答案为a≥－1且a≠3．
点睛：本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0，方程有两个没有相等的实数根；②△＝0，方程有两个相等的实数根；③△＜0，方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数没有为0．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在象限内，AB=，对角线BD与轴平行，B，C两点的横坐标分别为、5，反比例函数的图象B，C两点，则的值为___________．
【正确答案】
【详解】试题分析：连接AC与BC相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝，
∵对角线BD与轴平行，B，C两点横坐标分别为、5，
∴BO＝5－＝，
在Rt△BOC中，
OC＝＝＝5，
∵B、C在y＝图象上，
∴yB＝，yC＝，
∴OC＝ yB － yC ＝－＝5，
解得k＝．
故答案为．
18. 如图，已知在正方形ABCD中，F是CD边上一点（没有与C、D重合），过点D作DG⊥BF交BF延长线于点G．连接AG，交BD于点E，交CD于点M，连接EF．若DG=4，AG=，则EF的长为____________．
【正确答案】
【详解】试题分析：
如图作AH⊥BG于H交BC于T，AN⊥GD于N，取BD的中点O，连接OA、OG．
∴∠BAD＝∠BGD＝90°，
∴OA＝OD＝OB＝OG，
∴A、B、G、D四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝45°，∠AGD＝∠ABD＝45°，
∴AH＝GH，AN＝NG，
∵∠N＝∠AHG＝∠HGN＝90°，
∴四边形ANGH是矩形，∵AH＝HG，
∴四边形ANGH是正方形，
∵AG＝，
∴AH＝HG＝GN＝AN＝5，
易证△AND≌△AHB，
∴DN＝BH，
∴GD＋GB＝GN－DN＋GH＋BH＝2GN＝10，
∴4＋GB＝10，
∴GB＝6，BD＝＝＝，
∴BH＝1，
∵△BHT∽△AHB，
∴BH2＝AH•HT，
∴HT＝，
∴AT＝AH＋TH＝，
易证△ABT≌△BCF，
∴AT＝BF＝，
∵△BEF∽△BGD，
∴，
∴，
∴EF＝ ．
故答案为．
点睛：本题考查正方形的性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填 空 题中的压轴题．
三、解 答 题：（本大题2个小题，每小题 8分，共16分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，△ABC中，BD⊥AC，AB=8，AC=，∠A=30°．
（1）请求出线段AD的长度；
（2）请求出sin∠C的值．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD的长，然后根据勾股定理或锐角三角函数求出AD的长；
（2）根据CD＝AC－AD求出CD的长，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BC的长，再根据三角函数的定义即可求出sin∠C的值．
试题解析：
解：（1）在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，AB＝8，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝4，AD＝ABcos30°＝4；
（2）∵AC＝6，AD＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝2．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB＝90°，BD＝4，CD＝2，
∴BC＝＝，
∴sin∠C＝＝＝．
20. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【正确答案】（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1000人；（4）
【详解】分析：(1)根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数; （2）计算出短信与的人数即可补全统计图;（3）用样本中喜欢用进行沟通的百分比来估计1000名学生中喜欢用进行沟通的人数即可;（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
详解：（1）.
（2）使用短信的人数：100×5%=5；使用的人数：100-20-5-30-5=40,
条形统计图补充图如图：
（3）（人）
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为.
点睛：本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
四、解 答 题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21. 解方程与化简：
（1）； （2）．
【正确答案】（1），；（2）．
【详解】试题分析：（1）分别找出二次项系数、项系数和常数项，直接代入公式求解即可；
（2）先将括号内通分，相减，然后把除法转化为乘法，分子、分母分解因式后约分即可．
试题解析：
（1）解：∵a＝2，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝8＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）解：原式＝＝＝．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A坐标为，点B坐标为，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）求函数与反比例函数的解析式；
（2）连接BD，求出∆BDC的周长．
【正确答案】（1）y=x-2，；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据正切值，可得OE的长，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据点的坐标满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据坐标系内两点间的距离公式分别求出CD、BD、BC的长，即可得出△BDC的周长．
试题解析：
解：（1）如图：过A做AE⊥x轴于E，
∵tan∠AOE＝＝＝，
∴OE＝4，
∴A（4，2），
∵y＝的图象过A（4，2），
∴2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 y＝，
B（－2，n）在 y＝的图象上，
解得n＝－4，
∴B（－2，－4），
函数y＝kx＋b过A、B点，
∴，
解得，
函数解析式为y＝x－2；
（2）当x＝0时，y＝－2，
∴C（0，－2），
当y＝－2时，－2＝，
x＝－4，
∴D（－4，－2），
∴CD＝4，BD＝＝，
BC＝＝，
∴△BDC的周长＝＋＋4
＝＋4．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，根据OA与x轴正半轴夹角的正切值求出A点的坐标，然后利用待定系数法求出解析式是解题的关键．
23. 随着的发展，我们的生活越来越方便，越来越多的人在上购物，这个行业也悄然兴起，很多人通过平台商品．
（1）某水果今年九月购进榴莲和奇异果共1000千克，它们的进价均为每千克24 元，然后以榴莲售价每千克45元，奇异果售价每千克36元的价格很快完，若该水果九月获利没有低于17400元，求应购进榴莲至少多少千克？
（2）为了增加量，获得更大的利润，在进价没有变的情况下，该水果十月决定调整售价，榴莲的售价在九月的基础上下调（降价后的售价没有低于进价），奇异果的售价在九月的基础上上涨，同时，与（1）中获得的利润时的量相比，榴莲的量下降了，而奇异果的量上升了，结果十月的额比九月增加了600元．求的值．
【正确答案】（1）600；（2）20．
【详解】试题分析：（1）设应购进榴莲x千克，则购进奇异果(1000－x)千克，根据该水果九月获利没有低于17400元列出没有等式求解即可；
（2）分别表示出十月和九月的额，然后根据十月的额比九月增加了600元列出含a的方程求解即可．
试题解析：
解：（1）设应购进榴莲x千克，由题意得：
（45－24）x＋（1000－x）（36－24）≥17400，
解得：x≥600，
答：应购进榴莲至少600千克．
（2）由题意得：
45(1－a%)×600(1－a%)＋36(1＋a%)(1000－600)(1＋25%)＝17400＋1000×24＋600，
令a%＝t，则方程可以化简为：15t2－13t＋2＝0，
解得：t1＝，t2＝，
∴a＝20或a＝，
当a＝20时45(1－a%)＝36＞24，
当a＝时45(1－a%)＝15＜24，
∵降价后的售价没有低于进价，
∴a＝20．
点睛：此题主要考查了一元没有等式和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的没有等关系或等量关系，列出没有等式或方程，再求解．
24. 如图，四边形ABCD为矩形，连接BD，AB=2AD，点E在AB边上，连接ED．
（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面积；
（2）延长CB至点F使得BF=2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN=AN+BN．
【正确答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）在Rt△ADE中，解直角三角形求出EA，DA的值，然后根据AB＝2AD求出AB的长，进而求出BE的长，利用三角形的面积公式即可求出面积；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△FHB≌△A，得BH＝BN，HF＝AN，则△HBN是等腰直角三角形，有NH＝，根据线段的和代入得结论．
【详解】解：（1）在Rt△ADE中，
∵∠EDA＝30°，∴EA＝ED＝×6＝3，
DA＝ED•cos30°＝6×＝3，
∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，∴S△BED＝ ×BE×DA＝(6﹣3）×3＝ ；
（2）如图，过B作BH⊥BN，交FM于H，
∴∠H＝∠A＋∠EBH＝90°，
又∵∠ABF＝∠HBF＋∠EBH＝90°，
∴∠A＝∠HBF，
∵CF∥AD，
∴∠AMN＝∠F，
∵AN⊥EM，
∴∠AMN＋∠MAN＝90°，
∠MAN＋∠NAB＝90°，
∴∠NAB＝∠AMN，
∴∠NAB＝∠F，
又∵BF＝2AD，AB＝2AD，
∴AB＝BF，
∴△A≌△FHB，
∴BN＝BH，AN＝FH，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴NH＝，
∵FN＝FH＋NH
＝AN＋．
本题是四边形的综合题，考查了矩形性质、全等三角形判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，考查了等腰直角三角形直角边和斜边的关系，添加辅助线，构造出全等三角形是解决此题的关键．
五、解 答 题：（本大题2个小题，第25题10分，第26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 ．
②方程的解为 ．
（2）解关于方程：
① （）
②（）
【正确答案】（1）①，；②，；（2）①，；②，．
【详解】试题分析：（1）①令个方程中的a＝2即可得到答案；
②把(x－1)看成一个整体，利用个方程的规律即可得出答案；
（2）①等式两边减去1，把(x－1)和(a－1)分别看成是整体，利用第三个方程的规律即可得出答案；
②等式两边减去2，把(x－2)和(a－2)分别看成是整体，利用第二个方程和第四个方程的规律即可得出答案．
试题解析：
解：（1）①由个方程规律可得：x1＝2，x2＝；
②根据个方程规律可得：x－1＝3或x－1＝，
∴x1＝4，x2＝；
（2）①方程两边减1得：(x－1)＋＝(a－1)＋ ，
∴x－1＝a－1或x－1＝，
∴：x1＝a，x2＝；
②方程两边减2得：(x－2)＋＝(a－2)＋ ，
∴∴x－2＝a－2或x－2＝，
∴：x1＝a，x2＝．
点睛：此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（－3，0）、C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，2），抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，Q为线段AC的中点，当△EGF周长时，在 轴上找一点R，使得|RE－RQ|值，请求出R点的坐标及|RE－RQ|的值；
（3）在（2）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．
【正确答案】（1）；（2）E，R（，0），值；（3）P′或或．
【详解】试题分析：（1）把A、B、C的坐标代入抛物线解析式，求出a、b、c的值即可得出解析式；
（2）先证△EFG∽△BAO，得，所以当EF时△EFG周长，求出AB的解析式，设出点E、F的坐标，表示出EF的长，求出EF时E点坐标，根据中点坐标求法求出点Q坐标，表示出EQ的解析式，当E、Q、R在同一直线上时|RE－RQ|，求出此时R点坐标和EQ的长即为答案；
（3）用待定系数法求出PA的解析式为y＝，
①当∠P’PA＝90°时，根据相互垂直的两条直线比例系数互为负倒数求出PP’的解析式为y＝，设P’（x，），由EP’＝EP列方程求出x的值，即可得出点P’的坐标；
②当∠PAP’＝90°时，同理求出AP’的解析式，利用前面的方法即可得出点P’的坐标．
试题解析：
解：（1）∵抛物线点A（0，2）、B（－3，0）、C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝；
（2）∵EG⊥AB，EP⊥OB，
∴∠EGF＝∠FPB＝90°，
∴∠E＋∠EFG＝90°，∠PBF＋∠BFP＝90°，
∵∠EFG＝∠BFP，
∴∠E＝∠PBF，
又∠EGF＝∠AOB，
∴△EFG∽△BAO，
∴，
∵AB是定值，
∴当EF时△EFG周长，
设AB的解析式为y＝kx＋b，
则有，
解得，
∴AB的解析式为y＝x＋2，
设E（x，），则F（x，x＋2）．
∴EF＝()－(x＋2)＝ ＝，
当x＝时EF有值，
此时E．
∵Q是AC中点，A（0，2），C（1，0），
∴Q（，1），
EQ的解析式为：y＝，
当E、Q、R在同一直线上时|RE－RQ|，
令y＝0，则＝0，
x＝，
∴R（，0），
此时|RE－RQ|值＝EQ＝＝；
（3）∵EP⊥x轴，E，
∴P（，0），
∵A（0，2），
∴PA的解析式为y＝，
①当∠P’PA＝90°时，
设PP’的解析式为y＝，
把P（，0）代入得b＝，
∴PP’的解析式为y＝，
设P’（x，），
∵EP’＝EP，
∴，
解得：x1＝，x2＝（没有符合题意，舍去），
＝，
∴P’（ ，）；
②当∠PAP’＝90°时，
同理可得AP’的解析式为：y＝，
设P’（x，），
∵EP’＝EP，
∴，
解得：x1＝，x2＝，
当x＝时，＝，
当x＝时，＝，
∴P’（ ，）或．
综上P’ （ ，）或（ ，）或．
点睛：本题是一道二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数和函数的解析式，二次函数的最值，中点坐标的求法，两点间的距离公式，互相垂直的直线解析式的关系，以及相似三角形的判定和性质，旋转的性质，得出EF时△EFG周长是解决（2）的关键，分类讨论是解决（3）的关键．
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