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2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 把二次函数配方化为形式是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 中，，，，那么等于（ ）．
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向上平移个单位，所得图像的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
5. 在中，，、的对边是、，且满足，则等于（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知点、、在函数图像上，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. 且 D. 且
8. 如图，函数与二次函数图象相交于、两点，则函数图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个没有同的交点，则m的取值范围是
A. -3＜m＜- B. -5＜m＜- C. -5＜m＜-3 D. -3＜m＜-
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若是锐角，且，则__________．
12. ，，若，，则__________．
13. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________．
14. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是__________．
15. 二次函数，若，则它的图像一定过点__________．
16. 如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则__________．（结果保留根号）
17. 如图，将函数图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是__________．
18. 如图，已知二次函数图象交轴于，两点（在左边），交轴于点，点是直线上方抛物线上一动点（没有与，重合），则点到直线的距离的值是__________．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：．
20. 解方程：
（） （）．
21. 已知抛物线与直线交于点，．
（）求、、的值．
（）写出此抛物线的顶点和对称轴．
（）直接写出当时，自变量的取值范围．
22. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）的值．
23. 若关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若没有存在，说明理由．
24. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物，两点处测得该塔顶端的仰角分别为，，矩形建筑物宽度，高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果到，）．
25. 如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？
26. 已知抛物线．
（）求证：没有论取何值，抛物线与轴有交点．
（）若抛物线与轴有两个交点，且这两个交点分别在直线的两侧，求的取值范围．
27. 已知二次函数的图象与轴交于、两点（左右），与轴交于点．
（）求的值．
（）若为二次函数图象的顶点，求证：．
（）若为二次函数图象上一点，且，求点的坐标．
28. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．
（）填空：__________，__________．
（）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由．
（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若没有存在，请说明理由．
（）如图②，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】只含有一个未知数（一元），并且未知数项的次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0）.四个选项中只有选项C符合一元二次方程的定义，故选C.
2. 把二次函数配方化为形式是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】．故选C.
3. 中，，，，那么等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵，∴．
∵
∴
解得．
∵，
∴．
故选A.
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向上平移个单位，所得图像的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”可得，将二次函数的图像向上平移个单位，所得图像的解析式为，
故选B.
5. 在中，，、的对边是、，且满足，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴，
令，即可得，
解得，，
∵，
∴．
∵.
故选B.
6. 已知点、、在函数的图像上，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】x=-1时，y1=4×（-1）2+6×（-1）+12=10；x= 时，y2=4× +6×+12=40；x=时，y3=4×（）2+6×+12=16，所以，．故选B.
7. 已知关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. 且 D. 且
【正确答案】B
【分析】根据题中，函数与轴有交点，题中所给函数形式分两种情况：①；②得到函数与轴有交点时关于的关系式，求解即可．
【详解】解：①当，即时，函数与轴有交点为；
②当，即时，函数是一个二次函数，若与轴有交点，则有实数解，
由题意可知，解得，
且；
综合①②可得的取值范围是，
故选：B．
本题考查根据函数图像与轴有交点求参数的取值范围，涉及到一元二次方程根的情况求参数范围等知识点，尤其是要注意，当函数次项系数含有字母参数时，一定要分类讨论，这是难点，也是解决问题的关键．
8. 如图，函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c图象相交于A、B两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个没有相等的根，
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
∵二次函数图象与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的图象与y轴的交点在正半轴上.
4个选项只有选项B符合条件，故选B．
点睛：解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
9. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
【正确答案】C
【详解】试题分析：先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有值为9， 即当t=3时，△PBQ的面积为9cm2；
考点：（1）解直角三角形；（2）二次函数的最值．
10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个没有同的交点，则m的取值范围是
A. -3＜m＜- B. -5＜m＜- C. -5＜m＜-3 D. -3＜m＜-
【正确答案】D
【分析】直线与、共有3个没有同的交点，正于、之间的区域，即可求解．
【详解】令：，可以得到：，，
，
，
，
，
则：，
则：右侧抛物线方程为：，
直线与、共有3个没有同的交点，正于、之间的区域，
其中：与抛物线上方相切，过点B，
将方程和右侧抛物线方程联立得：，
，解得：；
点代入中，则：，
，
故选D．
本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数的平移、图象相切等知识点，综合性较强．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若是锐角，且，则__________．
【正确答案】
详解】∵，
∴，
∴．
12. ，，若，，则__________．
【正确答案】
【详解】由题意得：
∵，．
∴，
∴．
13. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________．
【正确答案】-3
【详解】∵方程的一个解为，
∴将代入原方程，
得：，则，
∵是关于的一元二次方程．
∴，即，
∴．
14. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是__________．
【正确答案】2018
【详解】∵，是方程的两个根．
∴时，，变形得：，
∴．
∴．
对于的两个根，．
．
∴
．
15. 二次函数，若，则它的图像一定过点__________．
【正确答案】（1，1）
【详解】当时，，
∴，
∵，
∴，
则．
∴一定过（1，1）点．
16. 如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则__________．（结果保留根号）
【正确答案】
【详解】过点作于点．
∵，，
∴中，，
∵．
∴．
∴中，，
∴，
∴，
∵分别回到，的时间相等．
∴，即，
∴．
17. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是__________．
【正确答案】
【详解】∵为，．
且．
∴与的水平距离为．
∵两个图象是上下平移的，
∴与抛物线围成的面积与新抛物线围成的面积．
∴，
，∴．
∴新抛物线由原抛物线向上平移个单位．
∴．
18. 如图，已知二次函数的图象交轴于，两点（在左边），交轴于点，点是直线上方抛物线上一动点（没有与，重合），则点到直线的距离的值是__________．
【正确答案】
【详解】作轴交于点，作于．
∵即，
∴，，．
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵中，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
，
设，．
∴．
∴．
∴当时，．
∴．
点睛：本题是二次函数的综合题，解决本题时要注意数形思想和建模思想，求值的问题一般要建立函数模型，利用函数的性质来解决问题.
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：．
【正确答案】
【详解】试题分析：把角的三角函数值代入后化简即可.
试题解析：
．
20. 解方程：
（） （）．
【正确答案】（1），；（2）x=4.
【详解】试题分析：（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）方程两边同乘以（x+1）（x-1），化分式方程整式方程，解整式方程即可，解分式方程一定要验根.
试题解析：
（）
，
（）
3-3x=
解得
经检验，x=1没有是原方程的根，x=-4是原方程的根.
∴原方程的根为．
21. 已知抛物线与直线交于点，．
（）求、、的值．
（）写出此抛物线的顶点和对称轴．
（）直接写出当时，自变量的取值范围．
【正确答案】（1），，；（2）抛物线顶点为，对称轴直线；（3）或．
【详解】试题分析：（1）把，分别代入与直线，解方程组即可得求解；（2）把抛物线的解析式化为顶点式，直接写出顶点坐标和对称轴即可；（2）求出抛物线和直线的交点坐标，根据交点坐标直接写出结论即可.
试题解析：
（）将、两点代入．
得，
解之得，
将、两点代入．
得．
解之得．
∴，，．
（）
．
∴抛物线顶点为，
对称轴直线．
（）．
，．
∴的范围为或．
22. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）的值．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用直角三角形中求解 再利用勾股定理求解 从而可得答案；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 可得 再求解从而可得答案.
【详解】解：（1） 是边上的高，，，
，
（2） 为边的中点，
本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.
23. 若关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）k＞﹣1且k≠0
（2）没有存在实数k使方程两根的倒数和为0．
【分析】（1）利用方程有两根没有相等的实数根可以得 ，解得k的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得k的值，根据k的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【详解】解：（1）关于x的方程有两个没有相等的实数根
∴，4k+4
解得k＞﹣1且k≠0
（2）假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
设方程的两根为、，
∴+=，.=
∴= ，
即k+2=0且k≠0，
解得k=-2，
又∵k>-1，
∴没有存在实数k使方程两根的倒数和为0．
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到k的取值范围．
24. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端的仰角分别为，，矩形建筑物宽度，高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果到，）．
【正确答案】约有118m.
【详解】试题分析：设，在Rt△FCG中表示出FG的长，继而得AE的长；在Rt△AEF中表示出AE的长，根据AE=EF列出方程，解得x的值，即可得该信号发射塔顶端到地面的高度的长.
试题解析：
设，
∵，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴．
25. 如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？
【正确答案】人行通道的宽度是2米
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，依据面积为28平方米列方程求解即可．
【详解】解：设人行通道的宽度为x米，
∴．
∴，
∴
由题意知：
∴
∴（舍）
答：人行通道的宽度是2米．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为28平方米得出等式是解题关键．
26. 已知抛物线．
（）求证：没有论取何值，抛物线与轴有交点．
（）若抛物线与轴有两个交点，且这两个交点分别在直线的两侧，求的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）证明△≥0即可得结论；（2）根据题意可知当x=2时，y小于0，把x=2代入解析式，列出没有等式，解没有等式即可.
试题解析：
（）
．
∴没有论取何值，抛物线与轴均有交点．
（）根据题意可知当x=2时，y＜0，
∴4+4（k+1）+4k＜0，，
所以．
27. 已知二次函数的图象与轴交于、两点（左右），与轴交于点．
（）求的值．
（）若为二次函数图象的顶点，求证：．
（）若为二次函数图象上一点，且，求点的坐标．
【正确答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）或．
【详解】试题分析：（1）把点代入即可求得a值；（2）先求得抛物线的顶点坐标，利用勾股定理求得AC、BC、PC、PB的值，再利用三边对应成比例的两个三角形相似判定，即可得结论；（3）分两种情况：当Q在BC的下方时，由（2）可知，点Q和点P重合；当点Q在BC的上方时，连接，延长至，使，连接交二次函数图象于点．先求得点E的坐标，再求得EC的解析式，直线EC与抛物线的交点坐标即为点Q的坐标.
试题解析：
（）∵与轴交于点．
∴，
∴．
（）连接，，，．
，，，．
∴．
．
．
∵，，．
∴．
∴．
∴．
（）连接，延长至，使．
∵，．
∴，
∴，．
∴和中点为．
∴．
连接交二次函数图象于点．
由（）可知，当在顶点时，，
∵．
∴．
∴是的垂直平分线．
∴．
∴．
设所在直线：，
∴将代入得，．
∴．
解得或．
∴或．
点睛：本题考查了二次函数性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形性质、函数与二次函数的交点坐标等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．
28. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．
（）填空：__________，__________．
（）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由．
（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若没有存在，请说明理由．
（）如图②，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标．
【正确答案】（1），；（2）没有可能直角三角形．理由见解析；（3）；（4）．
【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，求得直线NR和BC的交点坐标即可．
试题解析：
（）设抛物线解析式为．
将代入得．
∴，．
（）在、运动过程中，没有可能是直角三角形．
理由如下，连结．
∵在、运动过程中，，为锐角，
∴当是直角三角形时，．
∵，，．
∴，．
∴．
由勾股定理得：．
∴，．
∴．
∴．
解得．
又∵由题可得，
∴没有成立．
∴没有可能是直角三角形．
（）作平行于，交于．
于点，延长到，使．
作交抛物线于点．
∵．
∴，
∴．
∴，．
∵≌．
∴．
∵是等腰直角三角形．
∴≌．
∴．
∴．
∴．
解得．
∵．
∴．
（）如图所示：连结，取的中点．
连结，．延长交线段与点．
∵点为的中点，点为的中点．
∴，，
∵，．
∴点为的中点．
又∵为的中点．
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．即是的平分线．
设直线的解析式为．把点，．
代入得：．
解得：，．
∴直线的表示为．
同理可得直线的表达式为．
设直线的函数表达式为，将点的坐标代入得：
．解得：．
∴直线的表达式为．
将直线和直线的表达式联立得：
，解得：，．
∴．
点睛：本题考查了二次函数的综合题，能图形运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等进行解题是关键.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣相反数是（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. D.
2. 一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为（ ）
A 1×106 B. 100×104 C. 1×107 D. 0.1×108
4. 下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （﹣a2）3＝﹣a5
C. a10÷a9＝a（a≠0） D. （﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
6. 若分式的值为0，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若a+b=3，，则ab等于（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1
8. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠4
C. ∠3+∠4=180° D. ∠2=30°，∠4=35°
9. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
10. 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A. B.
C. D.
二．填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式____________．
12. 没有等式2x+1＞0的解集是______．
13. 一个没有透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为_____．
14. 在平面直角坐标系中，已知函数y=x−1的图象P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）
15. 已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
16. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=______．
三．解 答 题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：（-2017）0-sin30°++2-1．
18. 解方程组 ．
19. 解没有等式：．
四．解 答 题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
21. 某内陆城市为了落实国家“”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
22. 某校开展“我最喜爱的一项体育”，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下没有完整的条形图和扇形图．
请以上信息解答下列问题：
（1）m= ；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形圆心角的度数为 ；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球．
五、解 答 题（三）（本大题3小題，每小题9分，共27分）
23. （2013年广东梅州8分）已知，函数y=x+1的图象与反比例函数的图象都点A（a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．
24. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且没有与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若没有能，说明理由．
25. 抛物线y=ax2+bx+3点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在值？若存在，求出这个值；若没有存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件点P的坐标；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣的相反数是（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据只有符号没有同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
详解：-的相反数是．
故选C．
点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2. 一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】D
【详解】数据2，3，5，7，8的平均数==5，
故选D．
3. C919大飞机是中国完全具有自主知识产权干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为（ ）
A. 1×106 B. 100×104 C. 1×107 D. 0.1×108
【正确答案】A
【详解】试题分析：将100万用科学记数法表示为：1×106．故选A．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4. 下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．圆柱的主视图为矩形，∴A没有符合题意；
B．正方体的主视图为正方形，∴B没有符合题意；
C．球体的主视图为圆形，∴C没有符合题意；
D．圆锥的主视图为三角形，∴D符合题意．
故选D．
考点：简单几何体的三视图．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （﹣a2）3＝﹣a5
C. a10÷a9＝a（a≠0） D. （﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【正确答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；
故选：C．
本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
6. 若分式的值为0，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式的值为0的条件,列式求解即可.分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母没有为0.两个条件需同时具备，缺一没有可.据此可以解答本题.
【详解】解：由题意得：
解得：x=1
故答案为B
本题考查了分式的值为0的条件，即：（1）分子等于0；（2）分母没有为0.两个条件需同时具备，缺一没有可.据此可以解答本题.
7. 若a+b=3，，则ab等于（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1
【正确答案】B
【详解】∵a+b=3，
∴（a+b）2=9
∴a2+2ab+b2=9
∵a2+b2=7
∴7+2ab=9，7+2ab=9
∴ab=1．
故选B．
考点：完全平方公式；整体代入．
8. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠4
C. ∠3+∠4=180° D. ∠2=30°，∠4=35°
【正确答案】B
【详解】解：∵∠1＝∠4
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行），
故选：B.
9. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10. 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度没有变，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选D．
考点：函数的图象．
二．填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式____________．
【正确答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
故．
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
12. 没有等式2x+1＞0的解集是______．
【正确答案】.
【详解】试题分析：利用没有等式的基本性质，将两边没有等式同时减去1再除以2，没有等号的方向没有变；即可得到没有等式的解集．
原没有等式移项得，2x＞﹣1，
系数化1得，x＞﹣．
故本题的解集为x＞﹣．.
考点：一元没有等式的解法.
13. 一个没有透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为_____．
【正确答案】
【详解】试题分析：确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P=．
考点：概率公式
14. 在平面直角坐标系中，已知函数y=x−1的图象P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）
【正确答案】＜
【分析】根据k=1函数的性质即可得出y=x﹣1为单调递增函数，再根据x1＜x2即可得出y1＜y2，此题得解．
【详解】∵函数y=x﹣1中k=1，
∴y随x值的增大而增大．
∵x1＜x2，∴y1＜y2．
故答案＜．
15. 已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
【正确答案】0
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）-3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β=3，αβ=-4，
∴α2+αβ﹣3α=α（α+β）-3α
=3α-3α
=0．
故答案为0
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
16. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=______．
【正确答案】．
【详解】试题分析：如图，作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=AB=，连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴AB•DE+AC•DF=BC•AG，∵AB=AC=BC=4，∴DE+DF=AG=，故答案为．
考点：等边三角形的性质．
三．解 答 题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：（-2017）0-sin30°++2-1．
【正确答案】1+2.
【详解】试题分析：根据先计算零指数幂、代入角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂，然后计算加减法．
试题解析：原式=1-+2+=1+2．
18. 解方程组 ．
【正确答案】
【详解】试题分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
试题解析：解：，
①+②得：3x=9，即x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为
考点：解二元方程组
19. 解没有等式：．
【正确答案】x≤4
【详解】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项得：3x+2x≤14+6，
合并同类项得：5x≤20，
解得：x≤4．
四．解 答 题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【正确答案】证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
21. 某内陆城市为了落实国家“”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
【正确答案】70 km/h
【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．
【详解】设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：
，解得：x=70．
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
22. 某校开展“我最喜爱的一项体育”，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下没有完整的条形图和扇形图．
请以上信息解答下列问题：
（1）m= ；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球．
【正确答案】（1）150，（2）36°，（3）240．
【分析】（1）根据图中信息列式计算即可；
（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；
（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
（4）根据题意计算即可．
【详解】（1）m=21÷14%=150，
（2）“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°；
（4）1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球．
故答案为150，36°，240．
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
五、解 答 题（三）（本大题3小題，每小题9分，共27分）
23. （2013年广东梅州8分）已知，函数y=x+1的图象与反比例函数的图象都点A（a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B是否在该反比例函数图象上，请说明理由．
【正确答案】解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，
解得：a=1，即A（1，2）．
将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，
∴反比例解析式为．
（2）在．理由如下：
将x=代入反比例解析式得：．
∴点B在反比例图象上．
【详解】（1）将A坐标代入函数解析式中求出a的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．
（2）将B横坐标代入反比例解析式中求出纵坐标的值，即可作出判断．
考点：反比例函数与函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系．
24. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且没有与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若没有能，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）没有能，理由见解析.
【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；
（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，
∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF，
（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF=DE=，
∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，
∴，∴BG=，∴CG=BC﹣BG=；
（3）没有能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，
∴AD﹣AE=BC﹣CG，
∴DE=BG，
由（1）知，△CDE≌△ECF，
∴DE=BF，CE=CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件没有符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG没有能是平行四边形．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定.
25. 抛物线y=ax2+bx+3点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在值？若存在，求出这个值；若没有存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）；（2）① ；② 存在，（（2，）或．
【详解】试题分析：（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其值；
②当△CNQ与△PBM相似时有 或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线点A（1，0）和点B（5，0），
∴ ，解得
∴该抛物线对应的函数解析式为 ；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴.
联立直线CD与抛物线解析式可得 ，解得 或，
∴C（0，3），D（7， ），
分别过C、D作直线PN直线，垂足分别为E、F，如图1，
则CE=t，DF=7﹣t，
∴ ，
∴当时，△PCD的面积有值，值为；
②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有 或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t， ），
∴CQ=t，，
∴ ，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5﹣t，，
当时，则，即，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2， ）；
当时，则，即，解得或（舍去），此时P；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或．
考点：二次函数的综合应用，待定系数法,函数图象的交点,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,方程思想,分类讨论思想．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 把二次函数配方化为形式是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 中，，，，那么等于（ ）．
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向上平移个单位，所得图像的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
5. 在中，，、的对边是、，且满足，则等于（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知点、、在函数图像上，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. 且 D. 且
8. 如图，函数与二次函数图象相交于、两点，则函数图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个没有同的交点，则m的取值范围是
A. -3＜m＜- B. -5＜m＜- C. -5＜m＜-3 D. -3＜m＜-
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若是锐角，且，则__________．
12. ，，若，，则__________．
13. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________．
14. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是__________．
15. 二次函数，若，则它的图像一定过点__________．
16. 如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则__________．（结果保留根号）
17. 如图，将函数图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是__________．
18. 如图，已知二次函数图象交轴于，两点（在左边），交轴于点，点是直线上方抛物线上一动点（没有与，重合），则点到直线的距离的值是__________．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：．
20. 解方程：
（） （）．
21. 已知抛物线与直线交于点，．
（）求、、的值．
（）写出此抛物线的顶点和对称轴．
（）直接写出当时，自变量的取值范围．
22. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）的值．
23. 若关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若没有存在，说明理由．
24. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物，两点处测得该塔顶端的仰角分别为，，矩形建筑物宽度，高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果到，）．
25. 如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？
26. 已知抛物线．
（）求证：没有论取何值，抛物线与轴有交点．
（）若抛物线与轴有两个交点，且这两个交点分别在直线的两侧，求的取值范围．
27. 已知二次函数的图象与轴交于、两点（左右），与轴交于点．
（）求的值．
（）若为二次函数图象的顶点，求证：．
（）若为二次函数图象上一点，且，求点的坐标．
28. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．
（）填空：__________，__________．
（）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由．
（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若没有存在，请说明理由．
（）如图②，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】只含有一个未知数（一元），并且未知数项的次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0）.四个选项中只有选项C符合一元二次方程的定义，故选C.
2. 把二次函数配方化为形式是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】．故选C.
3. 中，，，，那么等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵，∴．
∵
∴
解得．
∵，
∴．
故选A.
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向上平移个单位，所得图像的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”可得，将二次函数的图像向上平移个单位，所得图像的解析式为，
故选B.
5. 在中，，、的对边是、，且满足，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴，
令，即可得，
解得，，
∵，
∴．
∵.
故选B.
6. 已知点、、在函数的图像上，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】x=-1时，y1=4×（-1）2+6×（-1）+12=10；x= 时，y2=4× +6×+12=40；x=时，y3=4×（）2+6×+12=16，所以，．故选B.
7. 已知关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. 且 D. 且
【正确答案】B
【分析】根据题中，函数与轴有交点，题中所给函数形式分两种情况：①；②得到函数与轴有交点时关于的关系式，求解即可．
【详解】解：①当，即时，函数与轴有交点为；
②当，即时，函数是一个二次函数，若与轴有交点，则有实数解，
由题意可知，解得，
且；
综合①②可得的取值范围是，
故选：B．
本题考查根据函数图像与轴有交点求参数的取值范围，涉及到一元二次方程根的情况求参数范围等知识点，尤其是要注意，当函数次项系数含有字母参数时，一定要分类讨论，这是难点，也是解决问题的关键．
8. 如图，函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c图象相交于A、B两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个没有相等的根，
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
∵二次函数图象与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的图象与y轴的交点在正半轴上.
4个选项只有选项B符合条件，故选B．
点睛：解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
9. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
【正确答案】C
【详解】试题分析：先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有值为9， 即当t=3时，△PBQ的面积为9cm2；
考点：（1）解直角三角形；（2）二次函数的最值．
10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个没有同的交点，则m的取值范围是
A. -3＜m＜- B. -5＜m＜- C. -5＜m＜-3 D. -3＜m＜-
【正确答案】D
【分析】直线与、共有3个没有同的交点，正于、之间的区域，即可求解．
【详解】令：，可以得到：，，
，
，
，
，
则：，
则：右侧抛物线方程为：，
直线与、共有3个没有同的交点，正于、之间的区域，
其中：与抛物线上方相切，过点B，
将方程和右侧抛物线方程联立得：，
，解得：；
点代入中，则：，
，
故选D．
本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数的平移、图象相切等知识点，综合性较强．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若是锐角，且，则__________．
【正确答案】
详解】∵，
∴，
∴．
12. ，，若，，则__________．
【正确答案】
【详解】由题意得：
∵，．
∴，
∴．
13. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________．
【正确答案】-3
【详解】∵方程的一个解为，
∴将代入原方程，
得：，则，
∵是关于的一元二次方程．
∴，即，
∴．
14. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是__________．
【正确答案】2018
【详解】∵，是方程的两个根．
∴时，，变形得：，
∴．
∴．
对于的两个根，．
．
∴
．
15. 二次函数，若，则它的图像一定过点__________．
【正确答案】（1，1）
【详解】当时，，
∴，
∵，
∴，
则．
∴一定过（1，1）点．
16. 如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则__________．（结果保留根号）
【正确答案】
【详解】过点作于点．
∵，，
∴中，，
∵．
∴．
∴中，，
∴，
∴，
∵分别回到，的时间相等．
∴，即，
∴．
17. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是__________．
【正确答案】
【详解】∵为，．
且．
∴与的水平距离为．
∵两个图象是上下平移的，
∴与抛物线围成的面积与新抛物线围成的面积．
∴，
，∴．
∴新抛物线由原抛物线向上平移个单位．
∴．
18. 如图，已知二次函数的图象交轴于，两点（在左边），交轴于点，点是直线上方抛物线上一动点（没有与，重合），则点到直线的距离的值是__________．
【正确答案】
【详解】作轴交于点，作于．
∵即，
∴，，．
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵中，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
，
设，．
∴．
∴．
∴当时，．
∴．
点睛：本题是二次函数的综合题，解决本题时要注意数形思想和建模思想，求值的问题一般要建立函数模型，利用函数的性质来解决问题.
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：．
【正确答案】
【详解】试题分析：把角的三角函数值代入后化简即可.
试题解析：
．
20. 解方程：
（） （）．
【正确答案】（1），；（2）x=4.
【详解】试题分析：（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）方程两边同乘以（x+1）（x-1），化分式方程整式方程，解整式方程即可，解分式方程一定要验根.
试题解析：
（）
，
（）
3-3x=
解得
经检验，x=1没有是原方程的根，x=-4是原方程的根.
∴原方程的根为．
21. 已知抛物线与直线交于点，．
（）求、、的值．
（）写出此抛物线的顶点和对称轴．
（）直接写出当时，自变量的取值范围．
【正确答案】（1），，；（2）抛物线顶点为，对称轴直线；（3）或．
【详解】试题分析：（1）把，分别代入与直线，解方程组即可得求解；（2）把抛物线的解析式化为顶点式，直接写出顶点坐标和对称轴即可；（2）求出抛物线和直线的交点坐标，根据交点坐标直接写出结论即可.
试题解析：
（）将、两点代入．
得，
解之得，
将、两点代入．
得．
解之得．
∴，，．
（）
．
∴抛物线顶点为，
对称轴直线．
（）．
，．
∴的范围为或．
22. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）的值．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用直角三角形中求解 再利用勾股定理求解 从而可得答案；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 可得 再求解从而可得答案.
【详解】解：（1） 是边上的高，，，
，
（2） 为边的中点，
本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.
23. 若关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）k＞﹣1且k≠0
（2）没有存在实数k使方程两根的倒数和为0．
【分析】（1）利用方程有两根没有相等的实数根可以得 ，解得k的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得k的值，根据k的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【详解】解：（1）关于x的方程有两个没有相等的实数根
∴，4k+4
解得k＞﹣1且k≠0
（2）假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
设方程的两根为、，
∴+=，.=
∴= ，
即k+2=0且k≠0，
解得k=-2，
又∵k>-1，
∴没有存在实数k使方程两根的倒数和为0．
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到k的取值范围．
24. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端的仰角分别为，，矩形建筑物宽度，高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果到，）．
【正确答案】约有118m.
【详解】试题分析：设，在Rt△FCG中表示出FG的长，继而得AE的长；在Rt△AEF中表示出AE的长，根据AE=EF列出方程，解得x的值，即可得该信号发射塔顶端到地面的高度的长.
试题解析：
设，
∵，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴．
25. 如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？
【正确答案】人行通道的宽度是2米
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，依据面积为28平方米列方程求解即可．
【详解】解：设人行通道的宽度为x米，
∴．
∴，
∴
由题意知：
∴
∴（舍）
答：人行通道的宽度是2米．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为28平方米得出等式是解题关键．
26. 已知抛物线．
（）求证：没有论取何值，抛物线与轴有交点．
（）若抛物线与轴有两个交点，且这两个交点分别在直线的两侧，求的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）证明△≥0即可得结论；（2）根据题意可知当x=2时，y小于0，把x=2代入解析式，列出没有等式，解没有等式即可.
试题解析：
（）
．
∴没有论取何值，抛物线与轴均有交点．
（）根据题意可知当x=2时，y＜0，
∴4+4（k+1）+4k＜0，，
所以．
27. 已知二次函数的图象与轴交于、两点（左右），与轴交于点．
（）求的值．
（）若为二次函数图象的顶点，求证：．
（）若为二次函数图象上一点，且，求点的坐标．
【正确答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）或．
【详解】试题分析：（1）把点代入即可求得a值；（2）先求得抛物线的顶点坐标，利用勾股定理求得AC、BC、PC、PB的值，再利用三边对应成比例的两个三角形相似判定，即可得结论；（3）分两种情况：当Q在BC的下方时，由（2）可知，点Q和点P重合；当点Q在BC的上方时，连接，延长至，使，连接交二次函数图象于点．先求得点E的坐标，再求得EC的解析式，直线EC与抛物线的交点坐标即为点Q的坐标.
试题解析：
（）∵与轴交于点．
∴，
∴．
（）连接，，，．
，，，．
∴．
．
．
∵，，．
∴．
∴．
∴．
（）连接，延长至，使．
∵，．
∴，
∴，．
∴和中点为．
∴．
连接交二次函数图象于点．
由（）可知，当在顶点时，，
∵．
∴．
∴是的垂直平分线．
∴．
∴．
设所在直线：，
∴将代入得，．
∴．
解得或．
∴或．
点睛：本题考查了二次函数性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形性质、函数与二次函数的交点坐标等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．
28. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．
（）填空：__________，__________．
（）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由．
（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若没有存在，请说明理由．
（）如图②，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标．
【正确答案】（1），；（2）没有可能直角三角形．理由见解析；（3）；（4）．
【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，求得直线NR和BC的交点坐标即可．
试题解析：
（）设抛物线解析式为．
将代入得．
∴，．
（）在、运动过程中，没有可能是直角三角形．
理由如下，连结．
∵在、运动过程中，，为锐角，
∴当是直角三角形时，．
∵，，．
∴，．
∴．
由勾股定理得：．
∴，．
∴．
∴．
解得．
又∵由题可得，
∴没有成立．
∴没有可能是直角三角形．
（）作平行于，交于．
于点，延长到，使．
作交抛物线于点．
∵．
∴，
∴．
∴，．
∵≌．
∴．
∵是等腰直角三角形．
∴≌．
∴．
∴．
∴．
解得．
∵．
∴．
（）如图所示：连结，取的中点．
连结，．延长交线段与点．
∵点为的中点，点为的中点．
∴，，
∵，．
∴点为的中点．
又∵为的中点．
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．即是的平分线．
设直线的解析式为．把点，．
代入得：．
解得：，．
∴直线的表示为．
同理可得直线的表达式为．
设直线的函数表达式为，将点的坐标代入得：
．解得：．
∴直线的表达式为．
将直线和直线的表达式联立得：
，解得：，．
∴．
点睛：本题考查了二次函数的综合题，能图形运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等进行解题是关键.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣相反数是（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. D.
2. 一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为（ ）
A 1×106 B. 100×104 C. 1×107 D. 0.1×108
4. 下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （﹣a2）3＝﹣a5
C. a10÷a9＝a（a≠0） D. （﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
6. 若分式的值为0，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若a+b=3，，则ab等于（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1
8. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠4
C. ∠3+∠4=180° D. ∠2=30°，∠4=35°
9. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
10. 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A. B.
C. D.
二．填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式____________．
12. 没有等式2x+1＞0的解集是______．
13. 一个没有透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为_____．
14. 在平面直角坐标系中，已知函数y=x−1的图象P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）
15. 已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
16. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=______．
三．解 答 题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：（-2017）0-sin30°++2-1．
18. 解方程组 ．
19. 解没有等式：．
四．解 答 题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
21. 某内陆城市为了落实国家“”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
22. 某校开展“我最喜爱的一项体育”，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下没有完整的条形图和扇形图．
请以上信息解答下列问题：
（1）m= ；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形圆心角的度数为 ；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球．
五、解 答 题（三）（本大题3小題，每小题9分，共27分）
23. （2013年广东梅州8分）已知，函数y=x+1的图象与反比例函数的图象都点A（a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．
24. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且没有与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若没有能，说明理由．
25. 抛物线y=ax2+bx+3点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在值？若存在，求出这个值；若没有存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件点P的坐标；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣的相反数是（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据只有符号没有同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
详解：-的相反数是．
故选C．
点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2. 一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】D
【详解】数据2，3，5，7，8的平均数==5，
故选D．
3. C919大飞机是中国完全具有自主知识产权干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为（ ）
A. 1×106 B. 100×104 C. 1×107 D. 0.1×108
【正确答案】A
【详解】试题分析：将100万用科学记数法表示为：1×106．故选A．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4. 下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．圆柱的主视图为矩形，∴A没有符合题意；
B．正方体的主视图为正方形，∴B没有符合题意；
C．球体的主视图为圆形，∴C没有符合题意；
D．圆锥的主视图为三角形，∴D符合题意．
故选D．
考点：简单几何体的三视图．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （﹣a2）3＝﹣a5
C. a10÷a9＝a（a≠0） D. （﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【正确答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；
故选：C．
本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
6. 若分式的值为0，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式的值为0的条件,列式求解即可.分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母没有为0.两个条件需同时具备，缺一没有可.据此可以解答本题.
【详解】解：由题意得：
解得：x=1
故答案为B
本题考查了分式的值为0的条件，即：（1）分子等于0；（2）分母没有为0.两个条件需同时具备，缺一没有可.据此可以解答本题.
7. 若a+b=3，，则ab等于（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1
【正确答案】B
【详解】∵a+b=3，
∴（a+b）2=9
∴a2+2ab+b2=9
∵a2+b2=7
∴7+2ab=9，7+2ab=9
∴ab=1．
故选B．
考点：完全平方公式；整体代入．
8. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠4
C. ∠3+∠4=180° D. ∠2=30°，∠4=35°
【正确答案】B
【详解】解：∵∠1＝∠4
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行），
故选：B.
9. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10. 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度没有变，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选D．
考点：函数的图象．
二．填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式____________．
【正确答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
故．
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
12. 没有等式2x+1＞0的解集是______．
【正确答案】.
【详解】试题分析：利用没有等式的基本性质，将两边没有等式同时减去1再除以2，没有等号的方向没有变；即可得到没有等式的解集．
原没有等式移项得，2x＞﹣1，
系数化1得，x＞﹣．
故本题的解集为x＞﹣．.
考点：一元没有等式的解法.
13. 一个没有透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为_____．
【正确答案】
【详解】试题分析：确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P=．
考点：概率公式
14. 在平面直角坐标系中，已知函数y=x−1的图象P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）
【正确答案】＜
【分析】根据k=1函数的性质即可得出y=x﹣1为单调递增函数，再根据x1＜x2即可得出y1＜y2，此题得解．
【详解】∵函数y=x﹣1中k=1，
∴y随x值的增大而增大．
∵x1＜x2，∴y1＜y2．
故答案＜．
15. 已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
【正确答案】0
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）-3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β=3，αβ=-4，
∴α2+αβ﹣3α=α（α+β）-3α
=3α-3α
=0．
故答案为0
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
16. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=______．
【正确答案】．
【详解】试题分析：如图，作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=AB=，连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴AB•DE+AC•DF=BC•AG，∵AB=AC=BC=4，∴DE+DF=AG=，故答案为．
考点：等边三角形的性质．
三．解 答 题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：（-2017）0-sin30°++2-1．
【正确答案】1+2.
【详解】试题分析：根据先计算零指数幂、代入角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂，然后计算加减法．
试题解析：原式=1-+2+=1+2．
18. 解方程组 ．
【正确答案】
【详解】试题分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
试题解析：解：，
①+②得：3x=9，即x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为
考点：解二元方程组
19. 解没有等式：．
【正确答案】x≤4
【详解】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项得：3x+2x≤14+6，
合并同类项得：5x≤20，
解得：x≤4．
四．解 答 题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【正确答案】证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
21. 某内陆城市为了落实国家“”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
【正确答案】70 km/h
【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．
【详解】设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：
，解得：x=70．
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
22. 某校开展“我最喜爱的一项体育”，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下没有完整的条形图和扇形图．
请以上信息解答下列问题：
（1）m= ；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球．
【正确答案】（1）150，（2）36°，（3）240．
【分析】（1）根据图中信息列式计算即可；
（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；
（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
（4）根据题意计算即可．
【详解】（1）m=21÷14%=150，
（2）“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°；
（4）1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球．
故答案为150，36°，240．
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
五、解 答 题（三）（本大题3小題，每小题9分，共27分）
23. （2013年广东梅州8分）已知，函数y=x+1的图象与反比例函数的图象都点A（a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B是否在该反比例函数图象上，请说明理由．
【正确答案】解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，
解得：a=1，即A（1，2）．
将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，
∴反比例解析式为．
（2）在．理由如下：
将x=代入反比例解析式得：．
∴点B在反比例图象上．
【详解】（1）将A坐标代入函数解析式中求出a的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．
（2）将B横坐标代入反比例解析式中求出纵坐标的值，即可作出判断．
考点：反比例函数与函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系．
24. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且没有与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若没有能，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）没有能，理由见解析.
【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；
（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，
∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF，
（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF=DE=，
∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，
∴，∴BG=，∴CG=BC﹣BG=；
（3）没有能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，
∴AD﹣AE=BC﹣CG，
∴DE=BG，
由（1）知，△CDE≌△ECF，
∴DE=BF，CE=CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件没有符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG没有能是平行四边形．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定.
25. 抛物线y=ax2+bx+3点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在值？若存在，求出这个值；若没有存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）；（2）① ；② 存在，（（2，）或．
【详解】试题分析：（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其值；
②当△CNQ与△PBM相似时有 或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线点A（1，0）和点B（5，0），
∴ ，解得
∴该抛物线对应的函数解析式为 ；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴.
联立直线CD与抛物线解析式可得 ，解得 或，
∴C（0，3），D（7， ），
分别过C、D作直线PN直线，垂足分别为E、F，如图1，
则CE=t，DF=7﹣t，
∴ ，
∴当时，△PCD的面积有值，值为；
②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有 或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t， ），
∴CQ=t，，
∴ ，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5﹣t，，
当时，则，即，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2， ）；
当时，则，即，解得或（舍去），此时P；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或．
考点：二次函数的综合应用，待定系数法,函数图象的交点,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,方程思想,分类讨论思想．
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