2022-2023学年上海市金山区九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年上海市金山区九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市金山区九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 在 -，，-1，0这四个实数中，的数是( )
A. B. - C. -1 D. 0
2. 下列运算中，正确的是（ ）．
A. B. C. 2x3÷x2=x D.
3. 下列图形中，是对称图形又是轴对称图形的是　　
A. B. C. D.
4. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 抛物线图象与y轴的交点坐标是( )
A. (－3，0) B. (0，3) C. (0，－3) D. (3，0)
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 任何一条直径都是圆的对称轴 D. 过三点可以作一个圆
8. 函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）.

A. 3 B. 4 C. D.
10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论中，正确结论的有（　　）个．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共30分）
11. 函数的自变量x的取值范围是__________________
12. 化简：=___________
13. 把多项式分解因式的结果是______________________
14. 已知二次函数的对称轴为直线x=2，则b=________．
15. 如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10cm，CD=8cm，则AM=_________cm．

16. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D等于_____度

17. 已知扇形的弧长为4π，半径为48，则此扇形的圆心角为________度
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．若OB=2，OP=，则BC的长为___________.

19. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，且BC=4，则△ABC 的面积为_____________．

三、解 答 题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求值：，其中
22. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A(-2，3)、B(-1，2)、C(-3，1)，将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.(点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1)
(1)在正方形网格中作出△A1B1C1；
(2)直接写出点A1 的坐标为___________.

23. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：；B级良好；C级及格；D级没有及格），并将测试结果绘制成了如下两幅没有完整统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题．

（1）本次抽样测试的学生人数是　 　．
（2）图1中∠α的度数是多少度？并直接把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请你估计没有及格的人数多少人？
24. 如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等份点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．

25. 某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）这个商店甲种零件每件售价为260元，乙种零件每件售价为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于2400元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
26. 已知:等边三角形△ABC内接于⊙O，点D 上，连接AD、CD、BD，
（1）如图1，求证：∠ADB=∠BDC=60°；
（2）如图2，若BD=3CD，求证：AE=2CE；
（3）在（2）的条件下，连接OE，若BE=14，求线段OE的长．

27. 如图，已知抛物线原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若没有能，请说明理由．

















2022-2023学年上海市金山区九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 在 -，，-1，0这四个实数中，的数是( )
A. B. - C. -1 D. 0
【正确答案】A

【详解】分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数值大的反而小，据此判断即可．
详解：根据实数比较大小的方法，可得
＞0＞-＞-1，
∴在-，，-1，0这四个实数中，的数为．
故选A．
点睛：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数值大的反而小．
2. 下列运算中，正确的是（ ）．
A. B. C. 2x3÷x2=x D.
【正确答案】A

【详解】分析：根据同底数幂的乘法、合并同类项、单项式的除法和积的乘方法则进行计算．
详解：A、x3•x2=x5，正确；
B、x与x2没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
C、应为2x3÷x2=2x，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选A．
点睛：本题主要考查整式的运算和幂的运算法则，要注意区分它们各自的特点，以避免出错．
3. 下列图形中，是对称图形又是轴对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【详解】A、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形即是对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形没有是对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形既没有是对称图形，也没有是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
此题主要考查了对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称与对称轴．
4. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，
故答案选：A．
5. 反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k-3的符号，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k-3＜0，解得k＜3．
故选：A
本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6. 抛物线的图象与y轴的交点坐标是( )
A. (－3，0) B. (0，3) C. (0，－3) D. (3，0)
【正确答案】C

【详解】分析：令x=0求解即可得到与y轴的交点坐标．
详解：x=0时，y=-3，
所以，图象与y轴的交点坐标是（0，-3）．
故选C．
点睛：本题考查了二次函数上点的坐标特征，是基础题，主要利用了y轴上的点的横坐标为0的特点．
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 任何一条直径都是圆的对称轴 D. 过三点可以作一个圆
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据垂径定理，圆幂性质以及确定圆的条件对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；
B、应为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
C、应为任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故本选项错误；
D、应为过没有在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项错误．
故选A．
点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8. 函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【详解】解：A、根据函数图象知道a＜0，与y轴的交点没有是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据函数的图象知道a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
此题主要考查了二次函数的图象、函数的图象与系数的关系，首先根据函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
9. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）.

A. 3 B. 4 C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
详解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，

由垂径定理、勾股定理得：OM=ON=，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选C．
点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论中，正确结论的有（　　）个．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】D

【详解】试题分析：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，从图形来看二次函数与X轴有两个交点，那么方程有两个没有相等的实数根，所以，即2-4ac＞0，所以①正确；从图象来看，二次函数的图象开口向上，所以a>0，对称轴在y轴的右边，所以，解得b<0;二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在其负半轴，那么，即c<0，所以abc＞0，所以②正确；从图象来看，二次函数与X轴有两个交点，一个交点在-2、-1之间，即在-2这点二次函数的函数值大于0，所以，即，因为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为-1，即，那么2a=-b,所以-2b=4a，所以，因此③8a+c＞0正确；因为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为-1，-2点关于对称轴x=-1的对称点是3，所以二次函数在-3点的函数值也大于0，所以9a+3b+c＜0，所以全部正确
考点：二次函数
点评：本题考查二次函数，解答本题需要掌握二次函数的对称轴，开口方向及与X轴的交点情况等等
二、填 空 题（每小题3分，共30分）
11. 函数的自变量x的取值范围是__________________
【正确答案】x≠3

【分析】根据分式有意义的条件，分母没有等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：3-x≠0，
解得：x≠3
故函数中自变量x的取值范围是x≠3．
故答案为x≠3．
点睛：本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 化简：=___________
【正确答案】

【分析】先化简二次根式，再计算即可．
详解】解：原式=6-
=5，
故答案为5．
本题考查了二次根式的加减运算以及分母有理化，是基础知识比较简单．
13. 把多项式分解因式的结果是______________________
【正确答案】5(a-b)2

【分析】先提取公因式5，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2．
【详解】解：5a2-10ab+5b2，
=5（a2-2ab+b2），
=5（a-b）2．
故答案为5（a-b）2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14. 已知二次函数的对称轴为直线x=2，则b=________．
【正确答案】4

【详解】分析：把函数化成顶点坐标式则有=2，即可求得b的值．
详解：∵二次函数y=x2-bx+3，
∴y=（x-）2-+3，
∴=2，即b=4，
故答案为4
点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标式
15. 如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10cm，CD=8cm，则AM=_________cm．

【正确答案】2

【详解】分析：连接OD，首先利用垂径定理求得DM的长，然后在直角△DOM中，利用勾股定理求得OM的长，则AM的长度即可得到．
详解：连接OD，如图，

∵半径AO⊥CD于M，
∴DM=CD=×8=4cm，
∵AB=10cm,
∴OA=OD=AB=×10=5cm，
在Rt△DOM中，OM=cm，
则AM=OA-OM=5-3=2cm．
故答案是：2．
点睛：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D等于_____度

【正确答案】25

【详解】试题解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-130°=50°，
∴∠D=∠BOC=×50°=25°．
考点：圆周角定理．
17. 已知扇形的弧长为4π，半径为48，则此扇形的圆心角为________度
【正确答案】15

【详解】试题分析：设扇形的圆心角为n°，则=4π，解得，n=90，故圆心角为90°.
考点：弧长的计算．
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．若OB=2，OP=，则BC的长为___________.

【正确答案】

【详解】分析：由AB是⊙O直径，AP是⊙O的切线，易得∠C=∠OAP=90°，又由OP∥BC，可得∠AOP=∠B，即可证得△AOP∽△CBA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
详解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴∠C=90°，BA⊥AP，
即∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴△AOP∽△CBA，
∴，
∵OB=2，OP=，
∴OA=2，AB=4，
∴BC=．
故答案为．
点睛：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
19. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________．
【正确答案】4或2．

【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．
【详解】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，
∴PM==，
∴AP=AM+PM=4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM-PM=2；
当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．
AP的长为4或2．
故4或2．


本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，且BC=4，则△ABC 的面积为_____________．

【正确答案】

【详解】分析：由CM为Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得CM=MB=AM，再根据折叠的性质得到MD=MA，∠DMC=∠AMC，则MD=MC，由于CD⊥MB于H，
根据等腰三角形的性质有MH平分∠DMC，即∠BMC=∠BMD，可得∠DMC=2∠BMC，∠AMC=2∠BMC，利用平角的定义可计算出∠BMC=60°，则△BMC为等边三角形，易得
∠B=60°，∠A=30°，所以AC=BC=4，然后根据三角形面积公式进行计算．
详解：如图，

∵CM为Rt△ABC斜边AB上中线，
∴CM=MB=AM，
∵沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，点A落在点D处，
∴MD=MA，∠DMC=∠AMC，
∴MD=MC，
∵CD⊥MB于H，
∴MH平分∠DMC，即∠BMC=∠BMD，
∴∠DMC=2∠BMC，
∴∠AMC=2∠BMC，
∵∠BMC+∠AMC=180°，
∴∠BMC=60°，
∴△BMC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AC=BC=4，
∴S△ABC=AC•BC=×4×4=8．
故答案为8．
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
三、解 答 题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】 ；．

【分析】先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，代入求值．
【详解】解：原式=

=
当时，原式=．
本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化，计算题是中考必考题，一般难度没有大，要特别慎重，尽量没有在计算上失分．
22. 如图，在边长为1正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A(-2，3)、B(-1，2)、C(-3，1)，将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.(点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1)
(1)在正方形网格中作出△A1B1C1；
(2)直接写出点A1 的坐标为___________.

【正确答案】（1）作图见解析；（2）（3，2）

【详解】分析：（1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据（1）中作出的图形，写出点A1的坐标．
详解：（1）如图所示：
；
（2）由（1）得，点A1的坐标为（3，2），
故答案为（3，2）．
点睛：本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
23. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：；B级良好；C级及格；D级没有及格），并将测试结果绘制成了如下两幅没有完整统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题．

（1）本次抽样测试的学生人数是　 　．
（2）图1中∠α的度数是多少度？并直接把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请你估计没有及格的人数多少人？
【正确答案】(1)40；(2)14 ，图见解析；(3)700

【详解】试题分析：（1）根据B级有14人占抽样总学生数的35%，求抽样总人数；（2）由∠α=×360°得了角度，C级人数为：总人数－A级人数－B级人数－D级人数；（3）估计3500人中的没有及格的人数：3500 抽样样本的没有及格率；
试题解析：
解：（1）本次抽样的人数是14÷35%=40（人），
故答案是：40；
（2）∠α=×360°=144°，
C级的人数是40﹣16﹣14﹣2=8（人），
故答案是：144．
；
（3）估计没有及格的人数是3500×=175（人），
故答案是：175．
24. 如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等份点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】分析：（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC与AD平行，由CD与AD垂直，得到CD与OC垂直，即可得证；
（2）连接OF，利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出∠OCB的度数，在直角三角形OCE中，求出CE的长，利用角平分线性质得到CD=CE，即可求出CD的长．
（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
则CD为圆O的切线；
（2）连接OF，过C作CE⊥AB，
∵，
∴∠AOF=∠FOC=∠COB=60°，
在Rt△OCE中，OC=4，∠OCE=30°，
∴CE=2，
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，
∴CD=CE=2．
点睛：此题考查了切线的判定，圆心角、弧及弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
25. 某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）这个商店甲种零件每件售价为260元，乙种零件每件售价为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于2400元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
【正确答案】甲200元，乙150元；（2）17个

【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，根据数量=总价÷单价，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，根据总利润=单个利润×数量总获利大于2400元，即可得出关于m的一元没有等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，x=150是分式方程的解，且符合题意，
则甲零件进价为：元，
答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．
（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，
依题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最小值为17．
答：该商店本次购进甲种零件至少是17个．
本题考查了分式方程的应用以及一元没有等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元没有等式．
26. 已知:等边三角形△ABC内接于⊙O，点D在 上，连接AD、CD、BD，
（1）如图1，求证：∠ADB=∠BDC=60°；
（2）如图2，若BD=3CD，求证：AE=2CE；
（3）在（2）的条件下，连接OE，若BE=14，求线段OE的长．

【正确答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.（3）

【详解】分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，推出∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ACB=60°即可解决问题．
（2）如图2中，在BD上截取DH=DC，作EN⊥AD，EM⊥CD垂足分别为N、M．由△ACD≌△BCH推出BD=DA+DC，条件推出AD=2DC，再根据，即可证明．
（3）如图3中，连接AO，由此AO交BC于M，连接OE，作EN⊥BC于N，设OE=x．用x表示BN、EN，在Rt△EBN中，利用勾股定理列出方程即可．
详解：（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BDC=∠BAC，∠ADC=∠ACB，
∴∠ADB=∠BDC=60°．
（2）如图2中，在BD上截取DH=DC，作EN⊥AD，EM⊥CD垂足分别为N、M．

∵∠HDC=60°，DH=DC，
∴△DHC是等边三角形，
∴HC=DC，∠CHD=60°，
∴∠BCA=∠HCD=60°，
∴∠BCH=∠ACD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△ACD≌△BCH，
∴BH=AD，
∴BD=BH+HD=AD+CD．
∵BD=3CD，
∴3CD=AD+CD，
∴AD=2CD，
∵∠ADB=∠BDC，EN⊥DA，EM⊥DC，
∴EN=EM，
∵，
∴AE=2CE．
（3）如图3中，连接AO，由此AO交BC于M，连接OE，作EN⊥BC于N，设OE=x．

∵O是等边三角形的外心，
∴OA=2OM，∵AE=2EC，
∴，
∴OE∥CM，
∵AM⊥BC，
∴AO⊥OE，
∵∠OAE=∠BAC=30°，
∴AE=2x，EC=x，CN=x，BN=x，EN=x
在Rt△BNE中，∵BE2=BN2+EN2，
∴142=（x）2+（x）2，
∴x2=28，
∵x＞0，
∴x=2．
∴OE=2．
点睛：本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会把问题转化为方程去思考．
27. 如图，已知抛物线原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）（，1）（ ，1）；（3）存在，，，，

【详解】试题分析：（1）将x=-2代入y=-2x-1即可求得点B的坐标，根据抛物线过点A、O、B即可求出抛物线的方程.
（2）根据题意，可知△ADP和△ADC的高相等，即点P纵坐标的值为1，所以点P的纵坐标为 ，分别代入中求解，即可得到所有符合题意的点P的坐标．
（3）由抛物线的解析式为 ，得顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，求出F（2，﹣5），DF=5．
又由A（4，0），根据勾股定理得 ．然后分4种情况求解.
点睛：（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意没有要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．

2022-2023学年上海市金山区九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 如果a与互为相反数，那么a等于　　
A. B. 3 C. D.
2. 我国南海海域面积为3 500 000 km2，用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 计算(2x3)2的结果是( )
A. 4x6 B. 2x6 C. 4x5 D. 2x5
4. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC长为(　　)

A. 19 B. 16 C. 18 D. 20
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥1 B. k＞1 C. k＜1 D. k≤1
7. 若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y值为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A. 20 B. 16 C. 20或16 D. 12
8. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于( )

A. B. C. D.
10. 如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定的象限是（　　）
A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 二、三、四 D. 一、三、四
11. 如图，反比例函数 的图象矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
12. 如图，正方形ABCD边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）


A B.
C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共12分）
13. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
14. 设、是一元二次方程的两实数根，则的值为_________
15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个没有同的交点，则常数m的取值范围是_____．
16. 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是_____．

三、解 答 题（共72分）
17. 计算：．

18. 化简：．

19. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB//DE．

20. 在为灾区的捐款中，某校随机了50名学生的捐款情况，统计如表：
捐款金额（元）
5
10
15
20
50
捐款人数（人）
7
18
10
12
3
（1）这50名学生捐款金额的众数和中位数分别为多少元？
（2）如果把这50名学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为15元的人数所对应的扇形圆心角为多少度？
（3）若该校共有1200名学生，估计该校的捐款总数大约是多少元？

21. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离； 
（2）求∠APB的度数．

22. 某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．
（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；
（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最的购买，并说明理由．
23. 如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在象限，点C在第三象限．
（1）求B点的坐标；
（2）若S△AOB=2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．

24. 如图△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求证：DE与⊙O相切；
（3）若BC=18，AB=12，求DE的长．

25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．


























2022-2023学年上海市金山区九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 如果a与互为相反数，那么a等于　　
A. B. 3 C. D.
【正确答案】B

【分析】根据相反数的性质即可解答．
详解】由题意可得： ，解得 ．
故选B.
本题主要考查相反数的性质（互为相反数的两个数相加等于0），熟记和掌握相反数的性质是解题关键．
2. 我国南海海域面积为3 500 000 km2，用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】科学记数法是指：a×，1≤＜10，且n的值为原数的整数位数减一.
【详解】3 500 000=，
故选B．

3. 计算(2x3)2的结果是( )
A. 4x6 B. 2x6 C. 4x5 D. 2x5
【正确答案】A

【详解】试题分析：直接利用积的乘方运算法则化简求出即可． （2x3）2=4x6．
考点：幂的乘方与积的乘方．
4. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故选B．
5. 如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)

A. 19 B. 16 C. 18 D. 20
【正确答案】D

【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【详解】解： 延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；

∵∠A=∠B=60°，
∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故选D．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用，解答此题的关键是正确做出辅助线，得到△ADB为等边三角形．
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥1 B. k＞1 C. k＜1 D. k≤1
【正确答案】D

【分析】直接利用根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：
故选D．
本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于明确：△＞0时，一元二次方程有两个没有等实根；△=0时，一元二次方程有两个相等实根；△＜0时，一元二次方程无实根．
7. 若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A. 20 B. 16 C. 20或16 D. 12
【正确答案】A

【详解】由|x﹣4|+=0，可知，
x﹣4=0，y﹣8=0，
解得x=4，y=8，
有两种情况：
①4是腰长时，三角形三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴没有能组成三角形，
∴此种情况没有成立；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，
周长=8+8+4=20．
综上所述，等腰三角形的周长是20．
故选A．
8. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【详解】如图1，

∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，

∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=；
如图3，

∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是，
故选D．
考查正多边形外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键．
9. 如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于( )

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴，
∵△CEF∽△AEB，
∴，
故选A．
10. 如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定的象限是（　　）
A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 二、三、四 D. 一、三、四
【正确答案】B

【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，
∴△=22﹣4×（6﹣b）=0，2k=﹣2，
∴k=﹣1，b=5，
∴直线y=kx+b、二、四象限．
故选B．
11. 如图，反比例函数 的图象矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】A

【详解】由题意得：E、M、D位于反比例函数的图象上，
则S△OCE=|k|，S△OAD=|k|．
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG=|k|，

又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S矩形ONMG=4|k|，
由于函数图象在象限，k＞0，则k+k+9=4k，
解得：k=3．
故选A．
点睛：本题考查反比例函数的性质和矩形的性质.应用反比例函数的比例系数k的几何意义是解题的关键.
12. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）


A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
可得y=•3x•x=；
故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
可得y=•x•3=；
故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
可得y=•（9﹣3x）•x=；
故D选项错误．
故选：C．
二、填 空 题（每小题3分，共12分）
13. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
【正确答案】3（a+1）2

【分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解.
【详解】3a2＋6a＋3＝．
故答案为．
考点：分解因式．

14. 设、是一元二次方程的两实数根，则的值为_________
【正确答案】27

【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可知+=5，·=-1，因此可知=-2=25+2=27.
故答案为27.
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：，，确定系数a，b，c的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.
15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个没有同的交点，则常数m的取值范围是_____．
【正确答案】0＜m＜2

【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
【详解】分段函数y=的图象如图：

故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个没有同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2．
本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形的方法找到满足条件的m的范围即可.
16. 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是_____．

【正确答案】2+

【详解】试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，
∴AE=AB=，PA=2， 根据勾股定理得：PE=1，
∵点A在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
∴PD=
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a=PD+DC=2+．

本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．
　
三、解 答 题（共72分）
17. 计算：．
【正确答案】2023

【详解】先计算幂及化简值，再进行实数混合运算即可.
解：原式=﹣1+1+2017+6=2023.


18. 化简：．
【正确答案】

【分析】先对括号内的式子进行化简，再根据分式的乘法进行化简即可解答本题．
【详解】原式===．


19. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB//DE．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）见解析

【详解】（1）用边边边证明两个三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质及平行线的判定即可证明.
解：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．


20. 在为灾区的捐款中，某校随机了50名学生的捐款情况，统计如表：
捐款金额（元）
5
10
15
20
50
捐款人数（人）
7
18
10
12
3
（1）这50名学生捐款金额的众数和中位数分别为多少元？
（2）如果把这50名学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为15元的人数所对应的扇形圆心角为多少度？
（3）若该校共有1200名学生，估计该校的捐款总数大约是多少元？
【正确答案】（1）众数为10元，中位数为12.5元；（2）72°；（3）18120元

【详解】（1）由中位数、众数的定义即可得出答案；
（2）先求出捐款金额为15元的人数占50名学生的分率，再乘以360度即可；
（3）先求出样本平均数，再乘以1200即可估计出该校的捐款总数大约是多少元.
解：（1）根据表格可知这50名学生捐款金额的众数为10元，
又∵第25个数为10，第26个数为15，
∴中位数=12.5元．
（2）由题意捐款金额为15元的人数所对应的扇形圆心角为360°×=72°．
（3）平均每人的捐款金额==15.1，
∴若该校共有1200名学生，估计该校的捐款总数大约是：15.1×1200=18120元．


21. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离； 
（2）求∠APB的度数．

【正确答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）连接PQ，

由旋转性质有：
，，，，

即，
是正三角形，
，
，
是正三角形，
；
（2）在中，，，
，
，
．


22. 某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．
（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；
（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最的购买，并说明理由．
【正确答案】（1）一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；（2）最的是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇．

【详解】分析：(1)设一台A型换气扇的售价为x元，一台B型换气扇的售价为y元，列二元方程组求解；(2)设购进A型换气扇z台，总费用为w元，根据“A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，”，求z的取值范围，根据“同时购进这两种型号的换气扇共80台”求w与z的函数关系，由函数的性质确定.
详解：(1)设一台A型换气扇的售价为x元，一台B型换气扇的售价为y元.
根据题意得：解得：
答:一台A型换气扇的售价为50元，一台B型换气扇的售价为75元.
(2)设购进A型换气扇z台，总费用w元，
则有z≤3(80－z)，解得:z≤60，
∵z为换气扇的台数，∴z≤60且z为正整数，
w＝50z＋75(80－z)＝－25z＋6000，
∵－25<0，∴w随着z的增大而减小，
∴当z＝60时，w＝25×60＋6000＝4500，
此时80－z＝80－60＝20.
答:最的是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇.
点睛：本题考查了二元方程组和一元没有等式的应用，对于方程组和没有等式组相的选择类问题，通常的做法是先列方程组求出某些量的具体值，然后根据题目中的没有等关系列没有等式或没有等式组，求出某个量的取值范围，再函数的性质确定.


23. 如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在象限，点C在第三象限．
（1）求B点的坐标；
（2）若S△AOB=2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．

【正确答案】（1）（﹣2，0）；（2）（2，2）；（3）（0，2），（0，4），（0，），（0，）

【详解】（1）利用y=kx+2k，当y=0时，可以求出x的值，从而求出B的坐标；
（2）设点A坐标为（a，b），OB=2，根据S△AOB=2可以求出b，然后求出a，也就求出了A的坐标；
（3）利用△AOP是等腰三角形，而腰与底没有确定，所以分类讨论即可．
解：（1）对于y=kx+2k，当y=0时，x=﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，0）；
（2）设点A坐标为（a，b），
∵点A在象限，
∴a＞0，b＞0，
∵S△AOB=2，
∴，
∴b=2，
∵点A在双曲线上，
∴a=2，
∴A坐标为（2，2）；
（3）符合条件的点P有4个，坐标为：
（0，2），（0，4），（0，），（0，）．


24. 如图△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求证：DE与⊙O相切；
（3）若BC=18，AB=12，求DE的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=4．

【详解】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
（3）利用勾股定理即可得出答案．
（1）证明：连结CD，如图，

∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
即点D是AB的中点；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，
∵AD=BD，OC=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
（3）解：∵AB=12，BD=AD，
∴AD=6，
∵CA=CB=18，
在Rt△ADC中，DC==12，
∵DE⊥AC，
∴•AD•CD=•AC•DE，
∴DE==4 ．


25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=﹣x2+x+3，（2，2）；（2）（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）存在，．

【详解】（1）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，根据对称轴方程求出B点的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式可求出待定系数的值；OD平分∠BOC，那么直线OD的解析式为y=x，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；
（2）分两种情况讨论：①以AD为对角线的平行四边形AMDN，此时MD∥x轴，则M、D的纵坐标相同，由此可求得M点的坐标；②以AD为边的平行四边形ADNM，由于平行四边形是对称图形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N纵坐标的值相等，可据此求出M点的坐标；
（3）由于BD的长为定值，若△BPD的周长最短，那么PB+PD应该最短，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，连接AD，直线AD与对称轴的交点即为所求的P点，可用待定系数法求出直线AD的解析式，联立抛物线对称轴方程即可得到P点坐标．
解：（1）∵OA=2，
∴A（﹣2，0）．
∵A与B关于直线x=对称，
∴B（3，0），
∵A、B，两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴，
解得；
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．
过D作DE⊥x轴于E．

∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC，
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE，即xD=yD，
∴x=﹣x2+x+3，
解得x1=2，x2=﹣3（舍去），
∴D（2，2）；
（2）分两种情况讨论：

①当AD为平行四边形AMDN的对角线时，
∵MD∥AN，即MD∥x轴，
∴yM=yD，
∴M与D关于直线x=对称，
∴M（﹣1，2）；
②当AD为平行四边形ADNM的边时，
∵平行四边形ADNM是对称图形，△AND≌△ANM，
∴|yM|=|yD|，即yM=﹣yD=﹣2，
∴令﹣x2+x+3=﹣2，即x2﹣x﹣10=0；
解得x=，
∴M（，﹣2）或M（，﹣2）．
综上所述：满足条件的M点有3个，即M（﹣1，2）或M（，﹣2）或M（，﹣2）；
（3）∵BD为定值，
∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小．
∵A与B关于直线x=对称，
∴PB=PA，只需PD+PA最小．
连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小．

由A（﹣2，0），D（2，2）可得直线AD：y=x+1，
令x=，得y=，
∴存在点P，使△BPD的周长最小．
点睛：本题是二次函数综合题.熟练应用二次函数的性质是解题的关键.