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2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，四象限，则k取值范围是，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选
1. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
3. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说确的是（ ）
A. 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B. 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活”
C. 种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树没有成活”
D. 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
4. 如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
5. 如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )
A. B. C. D.
6. 某同学身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m，与他相邻的一棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度为( )
A. 5.3 m B. 4.8 m C. 4.0 m D. 2.7 m
7. 若双曲线y＝位于第二、四象限，则k取值范围是( )
A. k＜1 B. k≥1 C. k＞1 D. k≠1
8. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
9. 李明去参加聚会，每两人都互相奉送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A =20 B. n（n﹣1）=20 C. =20 D. n（n+1）=20
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则+QK的最小值为【 】
A. 1 B. C. 2 D. ＋1
二、填 空 题
11. 已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是_____．
12. 若，则=_________________.
13. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
14. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π）
15. 如图，反比例函数y= 的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于________个面积单位．
三、解 答 题
16. 画右边几何体的三种视图（注意符合三视图原则）
17. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）x2﹣5x+1=0．
18. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
19. “泥兴陶，，是钦州的一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来市场发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答:
(1)每只杯应降价多少元?
(2)在平均每星期获利没有变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售?
20. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
21. 如图，已知反比例函数与函数的图象在象限相交于点A（1，）
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图像的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
22. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒
（1）当t = 4时，求线段PQ的长度
(2)当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？
（3）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？
（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选
1. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
【正确答案】D
【详解】解：如图：
菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，
故四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
【正确答案】A
【详解】由于x=2是方程的一个根，故将x=2代入该方程得：
22-2a+2=0，
从而得到一个关于a的一元方程：6-2a=0，
解之，得 a=3.
故本题应选A.
3. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说确的是（ ）
A. 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B. 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活”
C. 种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树没有成活”
D. 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
【正确答案】D
【详解】A. 种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故没有正确；
B. 种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活” ，故没有正确；
C. 种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活” ，故没有正确；
D. 种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；
故选D.
4. 如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
【正确答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵△AEF的面积为2，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=16．
故选C．
本题考查相似三角形的判定与性质，难度没有大．
5. 如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：观察由几何体可得主视图和俯视图分别为，故答案选B．
考点：简单组合体的三视图．
6. 某同学的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m，与他相邻的一棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度为( )
A. 5.3 m B. 4.8 m C. 4.0 m D. 2.7 m
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例可得：1.6:1.2=树高：3.6，则可解得树高为4.8m.
考点：相似三角形的应用
7. 若双曲线y＝位于第二、四象限，则k的取值范围是( )
A. k＜1 B. k≥1 C. k＞1 D. k≠1
【正确答案】A
【详解】∵双曲线位于第二、四象限，
∴k-1＜0，
∴k＜1．
故选A．
本题主要考查了反比例函数的图象及其性质，用到的知识点：对于反比例函数y= 来说，当k＞0，双曲线的两支分别位于、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D
【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故选D．
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
9. 李明去参加聚会，每两人都互相奉送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程（ ）
A. =20 B. n（n﹣1）=20 C. =20 D. n（n+1）=20
【正确答案】B
【详解】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，由题意得：n（n﹣1）=20．故选B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则+QK的最小值为【 】
A. 1 B. C. 2 D. ＋1
【正确答案】B
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴故选B．
本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填 空 题
11. 已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k≤2且k≠0
【详解】解：∵关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠0．故答案为k≤2且k≠0．
点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于k的一元没有等式组是解题的关键．
12. 若，则=_________________.
【正确答案】
【详解】试题解析：设=k，
∴x=3k，y=4k，z=6k，
∴.
13. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
【正确答案】4.8
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF求得答案．
【详解】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故4.8．
此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用．
14. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π）
【正确答案】0.81π
【详解】如图，由题意可知，DE是☉O1的直径，BC是☉O2的直径，AO2⊥DE于O1，AO2⊥BC于O2，DE=1.2，AO2=3，O1O2=1，
∴DE∥BC，AO1=2，
∴△ADE∽△ABC,
∴，即,
∴BC=1.8，
∴O2C=0.9，
∴S☉O2=.
点睛：本题解题的关键是作出如图所示的辅助线，这样即可构造出：△ADE∽△ABC，再利用相似三角形对应高之比等于相似比即可求得BC的长，从而即可得到☉O2的半径，使问题得到解决.
15. 如图，反比例函数y= 的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于________个面积单位．
【正确答案】4
【详解】设A坐标是：（a，b），则ab=2，B的坐标是：（﹣a，﹣b），
∴AC=2b，BC=2a，
则△ABC的面积是：AC•BC=×2a•2b=2ab=2×2=4．
故答案为4.
三、解 答 题
16. 画右边几何体的三种视图（注意符合三视图原则）
【正确答案】作图见解析．
【详解】试题分析：主视图为一个梯形和一个长方形的组合体；左视图为一个矩形，中间有一条虚线；俯视图为两个左右相邻的长方形，左边的长方形里有一条虚线．
试题解析：如图：
考点：作图-三视图．
17. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）x2﹣5x+1=0．
【正确答案】（1）x1=5，x2=﹣1；（2）x1=，x2=．
【详解】试题分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
试题解析：解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，x﹣5=0或x+1=0，∴x1=5，x2=﹣1；
（2）△=（﹣5）2﹣4×1=21，x=，∴x1=，x2=．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
18. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
【正确答案】（1）结果见解析；（2）．
【详解】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为： ．
试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
19. “泥兴陶，，是钦州一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来市场发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答:
(1)每只杯应降价多少元?
(2)在平均每星期获利没有变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售?
【正确答案】（1）所以每只杯子应降价4元或6元.
(2)应按原价的九折出售.
【详解】试题分析：（1）设每只杯子应降价x元，利用量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的单价即可确定几折．
试题解析：（1）设每只杯子降价x元，
根据题意，可列方程：，
整理得：，
解得.
所以每只杯子应降价4元或6元.
(2) 因为要保持每星期获利没有变，且尽可能利于顾客，因为该公司应使价格尽量低，因此应降价6元．
所以有，所以应按原价九折出售.
点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.注意（2）尽可能让利于顾客.
20. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）cm， cm2．
【分析】（1）由正方形可得EH∥BC，所以可以得到对应的两组角相等，即可证明相似；（2）设正方形边长为x，再由△AEH∽△ABC得到对应边成比例，列出关于x的方程，解出x即可．
【详解】证明：(1)∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC；
(2)解：设AD与EH交于点M
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM矩形，
∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得x＝.
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为 cm2.
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两个三角形的相似比等于对应的高之比,角平分线之比,中线之比是本题的解题关键．
21. 如图，已知反比例函数与函数的图象在象限相交于点A（1，）
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图像的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1）反比例函数表达式，函数的表达式为，（2）B点的坐标为（-2，-1），由图像可知，当函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象即可得出答案．
试题解析：（1）把点A（1，﹣k+4）分别代入反比例函数y=与函数y=x+b，
解得：k=2，b=1，
∴两个函数的表达式为：y=，y=x+1．
（2）没有等式x+b＜的解集为：
考点：反比例函数与函数的交点
22. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
【正确答案】（1）4（2）证明见解析
【详解】试题分析:本题考查相似三角形的判定和性质,(1)由平行线得出△DEF∽△CBF,得出对应边成比例求出FC,即可得出DC的长,
(2)由平行线得出△DEF∽△CBF,△AEG∽△CBG,得出对应边成比例由已知条件得出AE=DE,因此,即可得出结论.
(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴，.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴，∴EF·GB＝BF·GE.
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒
（1）当t = 4时，求线段PQ的长度
(2)当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？
（3）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？
（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）由于点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的长度，然后利用勾股定理即可求出PQ的长度；
（2）令PC＝CQ，求t的值.
（3）首先用t分别表示CP，CQ的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于t的方程，解方程即可解决问题；
（4）利用直角三角形的斜边中点的性质可以证明△ABC和△PCQ相似，再根据相似三角形的性质，求得t的值.
试题解析：
（1）当t=4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=4cm，PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ= =10cm；
（2）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，
当PC＝CQ时
10-t=2t
t=
（3）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，
∴S△PQC=PC×CQ=t（10﹣t）=16，
∴t1=2，t2=8，当t=8时，CQ=2t=16＞15，
∴舍去，
∴当t=2时，△PQC的面积等于16cm2；
（4）∵点O为AB的中点，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜边上中线定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC,
∴
∴t=2.5s．
此题比较难，内容比较多，也是一个动点问题，考查了勾股定理、三角形的面积公式、相似三角形的性质与判定等知识，综合性很强，对于学生的能力要求比较高．
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（共16小题，每小题2分，满分42分）
1. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
2. 将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y=4（x+1）2+3 B. y=4（x﹣1）2+3
C. y=4（x+1）2﹣3 D. y=4（x﹣1）2﹣3
3. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、值是（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开平方法
5. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
6. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
7. 方程左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④b+c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的是（ ）
A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
12. 如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′度数为（ ）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
13. 抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
14. 小颖在抛物线y=2x2+4x+5上找到三点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ ）
A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y2＜y3
15. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
16. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17. 已知2是关于一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是________．
18. 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____．
19. 如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为_____．
20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）cm2．
A. 19 B. 16 C. 15 D. 12
三、解 答 题（共6小题，满分66分）
21. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）x2﹣3x=（2﹣x）（x﹣3）
22. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
24. 某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积值？面积是多少？
（3）当这个苗圃园的面积没有小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
25. 在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．
（1）如图①，则△AA′C的形状是 ；
（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；
（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．
26. 如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ；B ；C ；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的值，并求此时E点的坐标．
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（共16小题，每小题2分，满分42分）
1. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
【正确答案】B
【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2. 将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y=4（x+1）2+3 B. y=4（x﹣1）2+3
C. y=4（x+1）2﹣3 D. y=4（x﹣1）2﹣3
【正确答案】B
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），
∴得到的抛物线的解析式为y=4（x-1）2+3．
故选B．
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．
3. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、的值是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数可得a＝－5，b＝－1，故答案选D．
考点：关于原点对称的点的坐标．
4. 一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开平方法
【正确答案】A
【详解】∵在方程5x2-2x=0中，常数项0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故选A.
5. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【正确答案】C
【分析】根据已知条件分两种情况进行讨论即可；得到即可得解；
【详解】∵函数的图象与轴有交点，
当时，，
解得：，
当时，函数的图象与x轴有交点，
故；
故答案选C．
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，准确分析计算是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C
详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
7. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可.
【详解】解：移项得：x2+6x=5，
配方可得：x2+6x+9=5+9，
即（x+3）2=14，
故选：A．
本题考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键.
8. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】解：对于抛物线，
因为，所有抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线x=－1，顶点坐标为（－1，3），
x＞－1时，y随x的增大而减小．
因此，正确结论有①③④三个．
故选C．
9. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，函数的图象过一三四象限，
当时，函数的图象过一二四象限，
故选：B．
11. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④b+c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的是（ ）
A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
【正确答案】B
【详解】（1）∵由图可知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和x轴有两个没有同的交点，
∴b2-4ac>0，故①正确；
（2）由图可知，抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，故②正确；
（3）由图中信息可知，当x=-1时，y=a-b+c<0，故③错误；
（4）∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴b=-2a>0，
∴b+c>0，故④正确；
（5）由图可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故⑤错误.
综上所述，正确结论是①②④.
故选B.
12. 如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（ ）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，
故选C．
考点：旋转的性质．
13. 抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【正确答案】D
【详解】由-x2+2x+6=-2解得：x1=4，x2=-2，
∵4-(-2)=6，
∴抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为6.
故选D.
点睛：抛物线y=ax2+bx+c()在直线y=m上截得的线段的长度等于方程ax2+bx+c=m()的两根的差的值.
14. 小颖在抛物线y=2x2+4x+5上找到三点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ ）
A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y2＜y3
【正确答案】A
【详解】∵点（﹣1，y1）、（2，y2）、（﹣3，y3）在抛物线y=2x2+4x+5上，
∴y1=3，y2=13，y3=11，
∴y1＜y3＜y2．
故选A．
15. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】A
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选A．
16. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8，
②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，
∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B．
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17. 已知2是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是________．
【正确答案】-6．
【详解】设方程的另一个根为,由韦达定理可得:,即,
解得.
点睛:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
18. 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____．
【正确答案】y=．
【详解】由题意可设抛物线解析式为y=a（x+2）2+1，
把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2+1；
故答案为．
19. 如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，
∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，
∵AD=2C′D，
∴AD2=AC′2+C′D2，
即（2C′D）2=12+C′D2，
解得C′D=，
故阴影部分的面积=×1×=．
故答案为．
20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）cm2．
A. 19 B. 16 C. 15 D. 12
【正确答案】C
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，利用S四边形PABQ= S△ABC－S△CAQ=t2-6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值．
【详解】在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=(cm)，
设运动时间为t(0⩽t⩽4),则PC=(6−t)cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC−S△CPQ=AC⋅BC−PC⋅CQ=×6×8−(6−t)×2t=t2−6t+24=(t−3)2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积最小，最小值为15.
故选C.
本题考查了勾股定理、二次函数的最值等知识.根据题意将四边形PABQ的面积用二次函数的形式表达出来是解题的关键.
三、解 答 题（共6小题，满分66分）
21. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）x2﹣3x=（2﹣x）（x﹣3）
【正确答案】1）x=2±；（2）x=3或x=1．
【详解】试题分析：
（1）根据方程特点，用“配方法”解答即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答即可.
试题解析：
（1）∵x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5，
则x﹣2=±，
∴x=2±；
（2）∵x（x﹣3）+（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（x+x﹣2）=0，即（x﹣3）（2x﹣2）=0，
则x﹣3=0或2x﹣2=0，
解得：x=3或x=1．
22. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【正确答案】（1）图略；（2）图略，点B″的坐标为（0，﹣6）；（3）点D坐标为（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；
（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．
【详解】解：（1）如图所示△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△即为所求，B′′（0，-6）；
（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．
当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D1坐标为（3，3）．
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边相等，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
24. 某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积值？面积是多少？
（3）当这个苗圃园的面积没有小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【正确答案】（1）x=12；（2）S=112.5（3）6≤x≤10．
【详解】试题分析：
（1）由题意图形可列出方程：x(30-2x)=72，0<即可求得x的值；
（2）设苗圃的面积为S，则由题意可得S=，可知，当时，S=；
（3）由x（30﹣2x）=100解得x1=5，x2=10，二次函数S=x（30﹣2x）的图象开口向下，且x≥6即可得到：当S>100时，x的取值范围是6≤x≤10．
试题解析：
（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，
解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，
∴x=12；
（2）依题意得0<30﹣2x≤18所以，15>x≥6，
∵S=﹣2（x﹣）2+，
由二次函数的性质可得：
当时，S=112.5
（3）令x（30﹣2x）=100，
即x2﹣15x+50=0，解得x=5或10，
因为S=x（30﹣2x）的图象开口向下，且x≥6，所以当这个苗圃的面积没有小于100平方米时，x的取值范围是6≤x≤10．
25. 在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．
（1）如图①，则△AA′C的形状是 ；
（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；
（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．
【正确答案】（1）直角三角形；（2）；（3）见解析.
【详解】试题分析：
（1）由题意易得：A′O=AO=BO，由此可得∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，三角形内角和为180°即可得到∠AA′C=90°，从而可得△A′AC直角三角形；
（2）由已知条件易得：AC=，则由矩形的性质可得OA=OA′=，∠α=60°，
可得△AA′O是等边三角形，从而可得∠OAA′=60°，∠AA′C=90°，可得A′C=sin∠OAA′×AC=；
（3）由题意易得OD=OA=OA′，由此可得∠OA′D=∠ODA′，则可得∠OA′D=(180°-∠DOA′)；由∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°可得∠α=(180°-∠∠DOA′)；由此即可得到∠α=∠OA′D，从而可得A′D∥AC．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵OA=OA′，
∴OA′=OC，
∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，
∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，
∴∠CA′A=90°，
∴△AA′C是直角三角形，
故答案为直角三角形；
（2）∵AB=1，BC=2，
∴AC，
∴OA=OA′=，
∵∠α=60°，
∴△AA′O是等边三角形，
∴∠OAA′=60°，
∴A′C=AC=；
（3）∵∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°，
∴∠α=(180°-∠∠DOA′)，
∵四边形ABCD是矩形，OA′是由OA绕点O旋转得到的，
∴OD=OA=OA′，
∴∠OA′D=∠ODA′，
∴∠OA′D=(180°-∠DOA′)，
∴∠α=∠OA′D，
∴A′D∥AC．
26. 如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ；B ；C ；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的值，并求此时E点的坐标．
【正确答案】（1）A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）;（2）存在．（3）点E坐标为（）．
【详解】试题分析：
（1）在y=﹣x2﹣2x+3中分别由y=0和x=0求出对应的x的值和y的值即可得到A、B、C三点的坐标；
（2）由已知易得抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=1，由题意可知点A、B关于直线x=1对称，连接BC交直线x=1于点P，则此时△ACP的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，把x=1代入所求解析式中求得对应的y的值即可得到点P的坐标；
（3）如图2，连接OE，由题意可设点E的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），由S四边形BOCE=S△OBE+S△OCE即可列式表达出其面积，将所得表达式配方，二次函数的性质即可得到四边形BOCE面积的值和对应的点E的坐标.
试题解析：
（1）令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得：x=﹣3或x=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0）．
故答案为A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）．
（2）存在．
如图①所示：连接BC，交抛物线的对称轴与点P，连接PA．
由题意可知，A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称
∴PB=PA．
∴PC+PA=PC+PB．
由两点之间线段最短可知：PC+PA有最小值．
∴此时△APC周长最小．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
将点B和点C的坐标代入得：，解得k=1，b=3．
∴直线BC的解析式为y=x+3．
把x=﹣1代入y=x+3得y=2
∴P（﹣1，2）
（3）如图②所示：连接OE．
设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）．
S四边形BOCE=OB•|yE|+OC•|xE|=×3×（﹣a）+×3×（﹣a2﹣2a+3）=﹣a2﹣a+=﹣（a+）2+．
∴当a=﹣时，四边形BOCE面积，且面积为．
此时，点E坐标为（）．
点睛：（1）解第2小题的关键是要明白“A、B两点是关于抛物线y=﹣x2﹣2x+3对称轴对称的，连接BC与抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴的交点即为所求P点”；（2）解第3小题的要点是：连接OE，把四边形OEBC的面积用“S△OBE+S△OCE”来表达，这样即可由点E、B、C的坐标表达出所求面积，再配方即可由二次函数的性质求出四边形OEBC面积的值和对应的点E的坐标了.
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选
1. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
3. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说确的是（ ）
A. 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B. 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活”
C. 种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树没有成活”
D. 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
4. 如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
5. 如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )
A. B. C. D.
6. 某同学身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m，与他相邻的一棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度为( )
A. 5.3 m B. 4.8 m C. 4.0 m D. 2.7 m
7. 若双曲线y＝位于第二、四象限，则k取值范围是( )
A. k＜1 B. k≥1 C. k＞1 D. k≠1
8. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
9. 李明去参加聚会，每两人都互相奉送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A =20 B. n（n﹣1）=20 C. =20 D. n（n+1）=20
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则+QK的最小值为【 】
A. 1 B. C. 2 D. ＋1
二、填 空 题
11. 已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是_____．
12. 若，则=_________________.
13. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
14. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π）
15. 如图，反比例函数y= 的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于________个面积单位．
三、解 答 题
16. 画右边几何体的三种视图（注意符合三视图原则）
17. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）x2﹣5x+1=0．
18. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
19. “泥兴陶，，是钦州的一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来市场发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答:
(1)每只杯应降价多少元?
(2)在平均每星期获利没有变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售?
20. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
21. 如图，已知反比例函数与函数的图象在象限相交于点A（1，）
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图像的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
22. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒
（1）当t = 4时，求线段PQ的长度
(2)当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？
（3）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？
（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选
1. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
【正确答案】D
【详解】解：如图：
菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，
故四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
【正确答案】A
【详解】由于x=2是方程的一个根，故将x=2代入该方程得：
22-2a+2=0，
从而得到一个关于a的一元方程：6-2a=0，
解之，得 a=3.
故本题应选A.
3. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说确的是（ ）
A. 种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B. 种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活”
C. 种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树没有成活”
D. 种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
【正确答案】D
【详解】A. 种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故没有正确；
B. 种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树没有成活” ，故没有正确；
C. 种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活” ，故没有正确；
D. 种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；
故选D.
4. 如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
【正确答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵△AEF的面积为2，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=16．
故选C．
本题考查相似三角形的判定与性质，难度没有大．
5. 如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：观察由几何体可得主视图和俯视图分别为，故答案选B．
考点：简单组合体的三视图．
6. 某同学的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m，与他相邻的一棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度为( )
A. 5.3 m B. 4.8 m C. 4.0 m D. 2.7 m
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例可得：1.6:1.2=树高：3.6，则可解得树高为4.8m.
考点：相似三角形的应用
7. 若双曲线y＝位于第二、四象限，则k的取值范围是( )
A. k＜1 B. k≥1 C. k＞1 D. k≠1
【正确答案】A
【详解】∵双曲线位于第二、四象限，
∴k-1＜0，
∴k＜1．
故选A．
本题主要考查了反比例函数的图象及其性质，用到的知识点：对于反比例函数y= 来说，当k＞0，双曲线的两支分别位于、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D
【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故选D．
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
9. 李明去参加聚会，每两人都互相奉送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程（ ）
A. =20 B. n（n﹣1）=20 C. =20 D. n（n+1）=20
【正确答案】B
【详解】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，由题意得：n（n﹣1）=20．故选B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则+QK的最小值为【 】
A. 1 B. C. 2 D. ＋1
【正确答案】B
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴故选B．
本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填 空 题
11. 已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k≤2且k≠0
【详解】解：∵关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠0．故答案为k≤2且k≠0．
点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于k的一元没有等式组是解题的关键．
12. 若，则=_________________.
【正确答案】
【详解】试题解析：设=k，
∴x=3k，y=4k，z=6k，
∴.
13. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
【正确答案】4.8
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF求得答案．
【详解】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故4.8．
此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用．
14. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π）
【正确答案】0.81π
【详解】如图，由题意可知，DE是☉O1的直径，BC是☉O2的直径，AO2⊥DE于O1，AO2⊥BC于O2，DE=1.2，AO2=3，O1O2=1，
∴DE∥BC，AO1=2，
∴△ADE∽△ABC,
∴，即,
∴BC=1.8，
∴O2C=0.9，
∴S☉O2=.
点睛：本题解题的关键是作出如图所示的辅助线，这样即可构造出：△ADE∽△ABC，再利用相似三角形对应高之比等于相似比即可求得BC的长，从而即可得到☉O2的半径，使问题得到解决.
15. 如图，反比例函数y= 的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于________个面积单位．
【正确答案】4
【详解】设A坐标是：（a，b），则ab=2，B的坐标是：（﹣a，﹣b），
∴AC=2b，BC=2a，
则△ABC的面积是：AC•BC=×2a•2b=2ab=2×2=4．
故答案为4.
三、解 答 题
16. 画右边几何体的三种视图（注意符合三视图原则）
【正确答案】作图见解析．
【详解】试题分析：主视图为一个梯形和一个长方形的组合体；左视图为一个矩形，中间有一条虚线；俯视图为两个左右相邻的长方形，左边的长方形里有一条虚线．
试题解析：如图：
考点：作图-三视图．
17. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）x2﹣5x+1=0．
【正确答案】（1）x1=5，x2=﹣1；（2）x1=，x2=．
【详解】试题分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
试题解析：解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，x﹣5=0或x+1=0，∴x1=5，x2=﹣1；
（2）△=（﹣5）2﹣4×1=21，x=，∴x1=，x2=．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
18. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
【正确答案】（1）结果见解析；（2）．
【详解】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为： ．
试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
19. “泥兴陶，，是钦州一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来市场发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答:
(1)每只杯应降价多少元?
(2)在平均每星期获利没有变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售?
【正确答案】（1）所以每只杯子应降价4元或6元.
(2)应按原价的九折出售.
【详解】试题分析：（1）设每只杯子应降价x元，利用量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的单价即可确定几折．
试题解析：（1）设每只杯子降价x元，
根据题意，可列方程：，
整理得：，
解得.
所以每只杯子应降价4元或6元.
(2) 因为要保持每星期获利没有变，且尽可能利于顾客，因为该公司应使价格尽量低，因此应降价6元．
所以有，所以应按原价九折出售.
点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.注意（2）尽可能让利于顾客.
20. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）cm， cm2．
【分析】（1）由正方形可得EH∥BC，所以可以得到对应的两组角相等，即可证明相似；（2）设正方形边长为x，再由△AEH∽△ABC得到对应边成比例，列出关于x的方程，解出x即可．
【详解】证明：(1)∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC；
(2)解：设AD与EH交于点M
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM矩形，
∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得x＝.
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为 cm2.
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两个三角形的相似比等于对应的高之比,角平分线之比,中线之比是本题的解题关键．
21. 如图，已知反比例函数与函数的图象在象限相交于点A（1，）
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图像的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1）反比例函数表达式，函数的表达式为，（2）B点的坐标为（-2，-1），由图像可知，当函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象即可得出答案．
试题解析：（1）把点A（1，﹣k+4）分别代入反比例函数y=与函数y=x+b，
解得：k=2，b=1，
∴两个函数的表达式为：y=，y=x+1．
（2）没有等式x+b＜的解集为：
考点：反比例函数与函数的交点
22. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
【正确答案】（1）4（2）证明见解析
【详解】试题分析:本题考查相似三角形的判定和性质,(1)由平行线得出△DEF∽△CBF,得出对应边成比例求出FC,即可得出DC的长,
(2)由平行线得出△DEF∽△CBF,△AEG∽△CBG,得出对应边成比例由已知条件得出AE=DE,因此,即可得出结论.
(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴，.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴，∴EF·GB＝BF·GE.
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒
（1）当t = 4时，求线段PQ的长度
(2)当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？
（3）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？
（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）由于点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的长度，然后利用勾股定理即可求出PQ的长度；
（2）令PC＝CQ，求t的值.
（3）首先用t分别表示CP，CQ的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于t的方程，解方程即可解决问题；
（4）利用直角三角形的斜边中点的性质可以证明△ABC和△PCQ相似，再根据相似三角形的性质，求得t的值.
试题解析：
（1）当t=4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=4cm，PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ= =10cm；
（2）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，
当PC＝CQ时
10-t=2t
t=
（3）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，
∴S△PQC=PC×CQ=t（10﹣t）=16，
∴t1=2，t2=8，当t=8时，CQ=2t=16＞15，
∴舍去，
∴当t=2时，△PQC的面积等于16cm2；
（4）∵点O为AB的中点，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜边上中线定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC,
∴
∴t=2.5s．
此题比较难，内容比较多，也是一个动点问题，考查了勾股定理、三角形的面积公式、相似三角形的性质与判定等知识，综合性很强，对于学生的能力要求比较高．
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（共16小题，每小题2分，满分42分）
1. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
2. 将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y=4（x+1）2+3 B. y=4（x﹣1）2+3
C. y=4（x+1）2﹣3 D. y=4（x﹣1）2﹣3
3. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、值是（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开平方法
5. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
6. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
7. 方程左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④b+c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的是（ ）
A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
12. 如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′度数为（ ）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
13. 抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
14. 小颖在抛物线y=2x2+4x+5上找到三点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ ）
A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y2＜y3
15. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
16. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17. 已知2是关于一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是________．
18. 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____．
19. 如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为_____．
20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）cm2．
A. 19 B. 16 C. 15 D. 12
三、解 答 题（共6小题，满分66分）
21. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）x2﹣3x=（2﹣x）（x﹣3）
22. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
24. 某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积值？面积是多少？
（3）当这个苗圃园的面积没有小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
25. 在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．
（1）如图①，则△AA′C的形状是 ；
（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；
（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．
26. 如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ；B ；C ；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的值，并求此时E点的坐标．
2022-2023学年河北省唐山市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（共16小题，每小题2分，满分42分）
1. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
【正确答案】B
【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2. 将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y=4（x+1）2+3 B. y=4（x﹣1）2+3
C. y=4（x+1）2﹣3 D. y=4（x﹣1）2﹣3
【正确答案】B
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），
∴得到的抛物线的解析式为y=4（x-1）2+3．
故选B．
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．
3. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、的值是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数可得a＝－5，b＝－1，故答案选D．
考点：关于原点对称的点的坐标．
4. 一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开平方法
【正确答案】A
【详解】∵在方程5x2-2x=0中，常数项0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故选A.
5. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【正确答案】C
【分析】根据已知条件分两种情况进行讨论即可；得到即可得解；
【详解】∵函数的图象与轴有交点，
当时，，
解得：，
当时，函数的图象与x轴有交点，
故；
故答案选C．
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，准确分析计算是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C
详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
7. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可.
【详解】解：移项得：x2+6x=5，
配方可得：x2+6x+9=5+9，
即（x+3）2=14，
故选：A．
本题考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键.
8. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】解：对于抛物线，
因为，所有抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线x=－1，顶点坐标为（－1，3），
x＞－1时，y随x的增大而减小．
因此，正确结论有①③④三个．
故选C．
9. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，函数的图象过一三四象限，
当时，函数的图象过一二四象限，
故选：B．
11. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④b+c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的是（ ）
A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
【正确答案】B
【详解】（1）∵由图可知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和x轴有两个没有同的交点，
∴b2-4ac>0，故①正确；
（2）由图可知，抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，故②正确；
（3）由图中信息可知，当x=-1时，y=a-b+c<0，故③错误；
（4）∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴b=-2a>0，
∴b+c>0，故④正确；
（5）由图可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故⑤错误.
综上所述，正确结论是①②④.
故选B.
12. 如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（ ）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，
故选C．
考点：旋转的性质．
13. 抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【正确答案】D
【详解】由-x2+2x+6=-2解得：x1=4，x2=-2，
∵4-(-2)=6，
∴抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为6.
故选D.
点睛：抛物线y=ax2+bx+c()在直线y=m上截得的线段的长度等于方程ax2+bx+c=m()的两根的差的值.
14. 小颖在抛物线y=2x2+4x+5上找到三点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ ）
A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y2＜y3
【正确答案】A
【详解】∵点（﹣1，y1）、（2，y2）、（﹣3，y3）在抛物线y=2x2+4x+5上，
∴y1=3，y2=13，y3=11，
∴y1＜y3＜y2．
故选A．
15. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】A
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选A．
16. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8，
②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，
∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B．
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17. 已知2是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是________．
【正确答案】-6．
【详解】设方程的另一个根为,由韦达定理可得:,即,
解得.
点睛:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
18. 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____．
【正确答案】y=．
【详解】由题意可设抛物线解析式为y=a（x+2）2+1，
把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2+1；
故答案为．
19. 如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，
∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，
∵AD=2C′D，
∴AD2=AC′2+C′D2，
即（2C′D）2=12+C′D2，
解得C′D=，
故阴影部分的面积=×1×=．
故答案为．
20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）cm2．
A. 19 B. 16 C. 15 D. 12
【正确答案】C
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，利用S四边形PABQ= S△ABC－S△CAQ=t2-6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值．
【详解】在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=(cm)，
设运动时间为t(0⩽t⩽4),则PC=(6−t)cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC−S△CPQ=AC⋅BC−PC⋅CQ=×6×8−(6−t)×2t=t2−6t+24=(t−3)2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积最小，最小值为15.
故选C.
本题考查了勾股定理、二次函数的最值等知识.根据题意将四边形PABQ的面积用二次函数的形式表达出来是解题的关键.
三、解 答 题（共6小题，满分66分）
21. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）x2﹣3x=（2﹣x）（x﹣3）
【正确答案】1）x=2±；（2）x=3或x=1．
【详解】试题分析：
（1）根据方程特点，用“配方法”解答即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答即可.
试题解析：
（1）∵x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5，
则x﹣2=±，
∴x=2±；
（2）∵x（x﹣3）+（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（x+x﹣2）=0，即（x﹣3）（2x﹣2）=0，
则x﹣3=0或2x﹣2=0，
解得：x=3或x=1．
22. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【正确答案】（1）图略；（2）图略，点B″的坐标为（0，﹣6）；（3）点D坐标为（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；
（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．
【详解】解：（1）如图所示△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△即为所求，B′′（0，-6）；
（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．
当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D1坐标为（3，3）．
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边相等，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
24. 某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积值？面积是多少？
（3）当这个苗圃园的面积没有小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【正确答案】（1）x=12；（2）S=112.5（3）6≤x≤10．
【详解】试题分析：
（1）由题意图形可列出方程：x(30-2x)=72，0<即可求得x的值；
（2）设苗圃的面积为S，则由题意可得S=，可知，当时，S=；
（3）由x（30﹣2x）=100解得x1=5，x2=10，二次函数S=x（30﹣2x）的图象开口向下，且x≥6即可得到：当S>100时，x的取值范围是6≤x≤10．
试题解析：
（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，
解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，
∴x=12；
（2）依题意得0<30﹣2x≤18所以，15>x≥6，
∵S=﹣2（x﹣）2+，
由二次函数的性质可得：
当时，S=112.5
（3）令x（30﹣2x）=100，
即x2﹣15x+50=0，解得x=5或10，
因为S=x（30﹣2x）的图象开口向下，且x≥6，所以当这个苗圃的面积没有小于100平方米时，x的取值范围是6≤x≤10．
25. 在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．
（1）如图①，则△AA′C的形状是 ；
（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；
（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．
【正确答案】（1）直角三角形；（2）；（3）见解析.
【详解】试题分析：
（1）由题意易得：A′O=AO=BO，由此可得∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，三角形内角和为180°即可得到∠AA′C=90°，从而可得△A′AC直角三角形；
（2）由已知条件易得：AC=，则由矩形的性质可得OA=OA′=，∠α=60°，
可得△AA′O是等边三角形，从而可得∠OAA′=60°，∠AA′C=90°，可得A′C=sin∠OAA′×AC=；
（3）由题意易得OD=OA=OA′，由此可得∠OA′D=∠ODA′，则可得∠OA′D=(180°-∠DOA′)；由∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°可得∠α=(180°-∠∠DOA′)；由此即可得到∠α=∠OA′D，从而可得A′D∥AC．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵OA=OA′，
∴OA′=OC，
∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，
∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，
∴∠CA′A=90°，
∴△AA′C是直角三角形，
故答案为直角三角形；
（2）∵AB=1，BC=2，
∴AC，
∴OA=OA′=，
∵∠α=60°，
∴△AA′O是等边三角形，
∴∠OAA′=60°，
∴A′C=AC=；
（3）∵∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°，
∴∠α=(180°-∠∠DOA′)，
∵四边形ABCD是矩形，OA′是由OA绕点O旋转得到的，
∴OD=OA=OA′，
∴∠OA′D=∠ODA′，
∴∠OA′D=(180°-∠DOA′)，
∴∠α=∠OA′D，
∴A′D∥AC．
26. 如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ；B ；C ；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的值，并求此时E点的坐标．
【正确答案】（1）A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）;（2）存在．（3）点E坐标为（）．
【详解】试题分析：
（1）在y=﹣x2﹣2x+3中分别由y=0和x=0求出对应的x的值和y的值即可得到A、B、C三点的坐标；
（2）由已知易得抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=1，由题意可知点A、B关于直线x=1对称，连接BC交直线x=1于点P，则此时△ACP的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，把x=1代入所求解析式中求得对应的y的值即可得到点P的坐标；
（3）如图2，连接OE，由题意可设点E的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），由S四边形BOCE=S△OBE+S△OCE即可列式表达出其面积，将所得表达式配方，二次函数的性质即可得到四边形BOCE面积的值和对应的点E的坐标.
试题解析：
（1）令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得：x=﹣3或x=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0）．
故答案为A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）．
（2）存在．
如图①所示：连接BC，交抛物线的对称轴与点P，连接PA．
由题意可知，A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称
∴PB=PA．
∴PC+PA=PC+PB．
由两点之间线段最短可知：PC+PA有最小值．
∴此时△APC周长最小．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
将点B和点C的坐标代入得：，解得k=1，b=3．
∴直线BC的解析式为y=x+3．
把x=﹣1代入y=x+3得y=2
∴P（﹣1，2）
（3）如图②所示：连接OE．
设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）．
S四边形BOCE=OB•|yE|+OC•|xE|=×3×（﹣a）+×3×（﹣a2﹣2a+3）=﹣a2﹣a+=﹣（a+）2+．
∴当a=﹣时，四边形BOCE面积，且面积为．
此时，点E坐标为（）．
点睛：（1）解第2小题的关键是要明白“A、B两点是关于抛物线y=﹣x2﹣2x+3对称轴对称的，连接BC与抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴的交点即为所求P点”；（2）解第3小题的要点是：连接OE，把四边形OEBC的面积用“S△OBE+S△OCE”来表达，这样即可由点E、B、C的坐标表达出所求面积，再配方即可由二次函数的性质求出四边形OEBC面积的值和对应的点E的坐标了.
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