2023年中考数学第一轮培优模型练习 模型九 与圆有关的最值(含隐圆问题)（无答案）

模型九　与圆有关的最值(含隐圆问题)

类型一　点圆最值

1. (2022陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．

第1题图

2. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是________．

第2题图

类型二　线圆最值

3. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为________．

第3题图

4. (2022凉山州)如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．

第4题图

类型三　定点定长作圆

5. (2022德阳)已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为(　　)

A. 2　　　B. 2－2　　　C. 2＋2　　　D. 2

6. (2022嘉兴)如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是________；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为________．

第6题图

类型四　定边定角(含直角对直径)

7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3.点P为△ABC内一动点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是(　　)

第7题图

A. 3     B. 3     C.      D.

8. (2022贵港)如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE＋PM的最小值为(　　)

第8题图

A. －1    B. ＋1     C.     D. ＋1

9. (2022威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG的最小值为________．

第9题图

10. (2022达州)如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为________．

第10题图

11. (2022扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B、C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图①)．

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为________；

②△ABC面积的最大值为________；

(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图①所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图①证明∠BA′C＞30°；

第11题图①

(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图②，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝.

①线段PB长的最小值为________；

②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为________．

类型五　定角定高

12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD是AB边上的高，且CD＝6，则△ABC面积的最小值是________．

第12题图

13. 如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为________，据此可得四边形ABCD的面积最大值为________．

第13题图

类型六　阿氏圆

14. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD－PC的最大值为________．

第14题图

15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一动点，且PB＝3，则AP＋PC的最小值为________．

第15题图