2023年中考数学第一轮培优模型练习 模型六 对角互补模型（无答案）

模型六　对角互补模型

类型一　全等型

1. (2022丽水节选)如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F.当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，

(1)求证：AE＝AF；

(2)连接BD，EF，若＝，求的值．

第1题图

2. (2022鄂尔多斯)(1)【探究发现】如图①，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F(点F与点C，D不重合)．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是________．

(2)【类比应用】

如图②，若将(1)中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．

(3)【拓展延伸】

如图③，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．

第2题图

类型二　相似型

3. (2022宜宾)如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动(到点A即停止)，点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连接MN.在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

第3题图

①点M、N的运动速度不相等；

②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；

③S△AMN逐渐减小；

④MN2＝BM2＋DN2.

4. 点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、DC边于点M、N.

【操作发现】如图①，若四边形ABCD是正方形．当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形．

显然PM＝PN；当PM与BC不垂直时，确定PM、PN之间的数量关系：________；

【类比探究】如图②，若四边形ABCD为矩形，试说明：＝；

【拓展应用】如图③，改变四边形ABCD、△PEF形状，其他条件不变，且满足AB＝6，AD＝4，∠B＋∠D＝180°，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．

第4题图

类型三　全等、相似型

5. (2022铁岭)如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E(点E与点C不重合)，点F为AC上一点，点G为AB上一点(点G与点A不重合)，且∠GEF＋∠BAC＝180°.

(1)如图①，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是________；

(2)如图②，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明；

(3)若AB＝6，DG＝1，cosB＝，请直接写出CF的长．